Избранные труды. Вопросы физики элементарных частиц в плоском и искривленном пространстве-времени. Том 2

Модифицированный метод получения дираковских самосопряженных… 
1 
 
 
 
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
 
В. П. НЕЗНАМОВ 
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ. 
ВОПРОСЫ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ В ПЛОСКОМ  
И ИСКРИВЛЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ–ВРЕМЕНИ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Часть II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2019 

Вопросы физики элементарных частиц… 
2 
 
УДК 539.12 
ББК 22.382 
И 32 
 
 
Незнамов, В. П. Избранные труды. Вопросы физики элементарных 
частиц в плоском и искривленном пространстве–времени: в 2 ч. Ч. 2.  
Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019. – 306 с. 
 
ISBN 978-5-9515-0414-2 
ISBN 978-5-9515-0428-9 (ч. 2) 
 
 
В книге представлены работы по вопросам физики элементарных 
частиц в плоском и искривленном пространстве–времени. 
Книга может быть полезна физикам-теоретикам, интересующимся 
вопросами физики фермионов в рамках Стандартной модели  
и применением квантовой механики движения частиц со спином 1/2  
к решениям общей теории относительности в области сильных гравитационных 
полей. 
 
 
 
 
 
 
УДК 539.12 
ББК 22.382 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0428-9 (ч. 2) 
ISBN 978-5-9515-0414-2                                   © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019 
                                                                            © Незнамов В. П., 2019 
И 32 
 

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
3 
 
 
 
УДК 530.145.7; 514.764.2 
 
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1/2 
В АКСИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГОЛЫХ 
СИНГУЛЯРНОСТЕЙ СТАТИЧЕСКОЙ q-МЕТРИКИ1 
 
В. П. Незнамов, В. Е. Шемарулин 
 
 
Исследовано квантово-механическое движение частиц со спином 1/2 
в аксиально-симметричном поле статических голых сингулярностей, обра-
зованных 
массовым 
распределением 
с 
квадрупольным 
моментом  
(q-метрика). Анализ проведен с помощью метода эффективных потенциалов 
уравнения Дирака, обобщенного на случай, когда радиальные и угловые пе-
ременные не разделяются. Показано, что при 
lim
lim
1
,
1
q
q
q
 

  го-
лые сингулярности не исключают возможности существования стационар-
ных связанных состояний дираковских частиц для вытянутого вдоль 
аксиальной оси распределения массы в q-метрике. 
Для 
сжатого 
массового 
распределения 
голые 
сингулярности  
q-метрики отделены от дираковской частицы бесконечно большими оттал-
кивающими барьерами с последующей потенциальной ямой, углубляющей-
ся при движении по углу от экватора (или от 
min,
  
 
min
  
) к по-
люсам. Исключение составляют полюсы и при 
*
0
q
q


 – некоторые точки 
i
  для состояний частицы с 
32
j 
. 
 
 
Введение 
 
В терминах мультипольных моментов простейшим статическим решением 
вакуумных уравнений Эйнштейна является метрика Шварцшильда, у которой 
существует только массовый монопольный момент. Первое вакуумное решение с 
квадрупольным массовым моментом было получено Вейлем в 1917 г. [1]. С тех 
пор в литературе появилось много работ, посвященных исследованиям вакуум-
ных решений с ненулевыми мультипольными моментами (см., например, [2–14]). 
Достаточно 
простая 
компактная 
форма 
для 
квадрупольной 
метрики  
(q-метрики) получена в [4]. В сферических координатах ее можно представить в 
виде 
                                   
 
1 © Grav. Cosmol. 2017. Vol. 23, N 2. Р. 149–161. DOI: 10.1134/S0202289317020050; arxiv: 
1706.05229 (gr-qc, hep-th). 

Избранные труды… 
4 


2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
0
sin
1
1
1
sin
.
1
4
1
q
q
q
q
r
r
r
dr
ds
c dt
r d
r
d
r
r
r
r
r
r
r

































 


























 










(1) 
В (1) 
0
2
2GM
r
c

 – горизонт событий (гравитационный радиус) поля 
Шварцшильда. Ниже будем использовать систему единиц 
1
c

 . 
q-метрика является аксиально-симметричным вакуумным решением, кото-
рое при 
0
q   сводится к сферически-симметричной метрике Шварцшильда. 
Из условия положительности массы Арновитта–Дезера–Мизнера следует 
условие 
1
q    [13]. Интервал 


1,0
q 
 описывает вытянутое вдоль аксиальной 
оси массовое распределение источника q-метрики; интервал 


0,
q
  описывает 
сжатое массовое распределение. 
q-метрика имеет голые сингулярности при 
0
r 
 и 
0
r
r

. При некоторых 
значениях параметров существует третья сингулярность [13], определяемая 
уравнением 
2
2
2
0
0
sin
0.
4
r
r
r r


 
    
(2) 
Наша работа посвящена исследованию квантово-механического движения 
частиц со спином 1/2 в поле голых сингулярностей q-метрики (1). 
Анализ проведен с помощью эффективных потенциалов уравнения Дирака 
в поле q-метрики. Для такого анализа получен самосопряженный гамильтониан и 
обобщен метод эффективных потенциалов на случай, когда радиальные и угло-
вые переменные не разделяются. В результате показано, что при 
lim
1
0
q
q
 


 
голые сингулярности не исключают возможности существования стационарных 
связанных состояний дираковских частиц для вытянутого распределения массы в 
q-метрике (
lim
1
q
 , величина 
lim
q
 зависит от параметров q-метрики (1)). 
Для сжатого массового распределения голые сингулярности q-метрики от-
делены от дираковской частицы бесконечно большими отталкивающими барье-
рами с последующей потенциальной ямой, углубляющейся при движении по уг-
лу от экватора (или от 
min
  
, 
min
    
) к полюсам. Исключение составляют 
полюсы и при 
*
0
q
q


 – некоторые точки 
i
  для состояний частицы с 
32
j 
. 
(Расчеты, проведенные с помощью пакета программ «Maple», показали, что 
*
1,4142
2
1,41424
q



. Подробнее о смысле 
*
q  см. п. 3.1). 
Работа организована следующим образом. В разделе 1 получен самосо-
пряженный дираковский гамильтониан в поле q-метрики. В разделе 2 для случая, 
когда радиальные и угловые переменные не разделяются, обобщен метод полу-

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
5 
чения эффективных потенциалов уравнения Дирака. В разделе 3 полученный 
эффективный потенциал исследуется в зависимости от 

,
r   и от начальных па-
раметров q-метрики. В разделе 4 обсуждается соответствие полученных резуль-
татов гипотезе космической цензуры. В Заключении кратко обсуждаются полу-
ченные результаты. 
 
 
1. Самосопряженный гамильтониан частицы со спином 1/2  
в поле q-метрики 
 
Искомый гамильтониан определим с помощью алгоритмов получения са-
мосопряженных дираковских гамильтонианов во внешних гравитационных по-
лях с использованием методов псевдоэрмитовой квантовой механики [15–17]. 
В (1) обозначим 
0
1
,
S
r
f
r
 
 
(3) 




2
2
2
0
2
sin
,
1
.
4
q
q
S
r
a r
r f





 







 
(4) 
Тогда ненулевые компоненты метрического тензора в (1) имеют вид 




1
1
2
2
2
00
11
22
33
;
,
;
,
;
sin
.
q
q
q
q
S
S
S
S
g
f
g
f
a r
g
f
a r
r
g
f
r

 



 

 

 
      (5) 
Ненулевые тетрадные векторы в калибровке Швингера [18] и -матрицы 
Дирака с мировыми индексами 




1
1
2
2
2
0
1
2
3
2
0
1
2
3
1
1
2
2
;
;
;
,
sin
,
,
q
q
q
q
s
s
s
s
f
f
f
H
f
H
H
H
r
a r
a r
r










        (6) 




1
1
2
2
2
0
0
1
1
2
2
3
3
2
1
1
2
2
;
;
;
.
sin
,
,
q
q
q
q
s
s
s
s
f
f
f
f
r
a r
ra r



 

 

 

 




        (7) 
В (6), (7) подчеркнутые индексы являются локальными индексами. Знак 
«~» над величинами означает, что они рассчитаны при использовании тетрадных 
векторов в калибровке Швингера. 
Для диагональных метрических тензоров g  самосопряженный гамиль-
тониан в  -представлении (с плоским скалярным произведением волновых 
функций) легко вычисляется из равенства, полученного в [17]: 


1
,
2
red
red
H
H
H 
 

 
(8) 
где 

Избранные труды… 
6 
0
0
00
00
.
k
red
k
m
i
H
g
g
x


 
 

 
(9) 
В (8) знак «+» означает эрмитово сопряжение. 
В (9) m  – масса дираковской частицы, 
00
g
 – компонента обратного метри-
ческого тензора. 
С учетом (5), (7) получим 
1
1
0
0 1
2
2
12
1 2
1
0 1
0 2
2
1
1
2
2
1
1
1
1 ctg
2
2
q
q
s
s
q
q
s
s
H
f
m
if
r
r
a
f
i
f
r
a
ra









 
 
















 

 

 










 
1 2
1 2
0 2
0 3
2
2
12
1
1
1
.
2
sin
q
q
s
s
i f
if
r
r
a









 

 







               (10) 
Уравнение Дирака в гамильтоновой форме для частицы со спином 1/2 в 
поле голой сингулярности q-метрики имеет вид 




,
,
.
t
i
H
t
t





r
r
 
(11) 
 
 
2. Эффективные потенциалы для поля голых сингулярностей  
q-метрики 
 
Из вида гамильтониана (10) видно, что радиальные и угловые переменные 


,
r   в уравнении (11) не разделяются. Необходимо обобщение стандартного 
метода получения эффективных потенциалов квадрированием уравнений Дирака 
для вещественных радиальных волновых функций. 
Волновую функцию 


, t
 r
 в (11) представим в виде 




 


 
3
,
,
.
,
im
iEt
r
t
e
e
i
r




  




 

 
   


r
                     (12) 
Здесь E  – энергия дираковской частицы, m – магнитное квантовое число, спи-
нор  
 
 
12
12
Y
Y







   






 представляет сферические гармоники для спина 1/2. Яв-
ный вид  
   можно представить в виде [19] 

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
7 
 
 
 






1
1
2
2
12
cos
sin
!
1
2
2
1
4
!
sin
cos
2
2
jm
m
jm
Y
j
m
Y
j
m



















  
 

















 
 
 
12
12
1
2
.
m
l
m
l
m
P
P









 

















                                      (13) 
В (13) 
12
m
l
P 
 – присоединенные функции Лежандра; ,
j l  – квантовые числа 
полного углового и орбитального моментов дираковской частицы. 
Далее отметим два обстоятельства: 
1. Поскольку переменные 

,
r   в (11) не разделяются, функции 

,
r

  и 


,
r

  зависят от r  и от  . 
2. Для получения вещественных эффективных потенциалов необходимо, 
чтобы функции 

,
r

  и 

,
r

  тоже были вещественными. 
После подстановки (12) уравнение (11) будет содержат спиноры 
 
  , 
 
d
d
 

, функции 

,
r

 , 

,
r

  и их производные по r  и  . 
Если в гамильтониане (10) провести эквивалентную замену 
1
3
3
2
2
1
,
,
,
  
  
  
 
(14) 
то производную 
 
d
d
 

 в (11) можно устранить, используя уравнение Брилла и 
Уилера [20] 
 
 
2
1
1 ctg
,
2
sin
m
i








 

    










          
(15) 
где 
1
2
,
   – матрицы Паули; 


1
1 ,
2
1, 2,...
1
,
2
l
j
l
l
j
l


 


 
 

 


                              (16) 
, 
. 

Избранные труды… 
8 
В результате, учитывая (12) и определение спинора* 
 
 
 
12
12
Y
Y







   






, 
уравнение (11) можно записать в виде системы четырех уравнений 
 




1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1 1
1
1
1
,
2
q
q
q
q
s
s
s
s
q
q
s
s
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
f
r
Y
f
Y
r
r
a
a


















































 












 
1 2
2
1
1
2
2
1
1
.
sin
q
s
m
f
Y
r
a















                     (17) 
 




1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1 1
1
1
,
2
q
q
q
q
s
s
s
s
q
q
s
s
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
f
r
Y
f
Y
r
a
a


















































 












 
1 2
2
1
1
2
2
1
1
.
sin
q
s
m
f
Y
r
a















                   (18) 
 
 




1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1 1
1
1
1
,
2
q
q
q
q
s
s
s
s
q
q
s
s
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
f
r
Y
f
Y
r
r
a
a

























 
























 












 
1 2
2
1
1
2
2
1
1
.
sin
q
s
m
f
Y
r
a















                      (19) 
                                   
 
*В отличие от (13) здесь и далее для краткости в обозначениях 
 
12
Y   убраны индексы. 

Движение частиц со спином 1/2 в аксиально-симметричном поле… 
9 
 




1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1 1
1
1
1
,
2
q
q
q
q
s
s
s
s
q
q
s
s
E
Y
f
m
Y
f
f
f
Y
r
r
r
r
a
a
a
f
r
Y
f
Y
r
r
a
a


















































 












 
 
1 2
2
1
1
2
2
1
1
.
sin
q
s
m
f
Y
r
a















                      (20) 
 
Далее в (17)–(20) мы можем избавиться от производных 




,
r




 и 




,
r




. Для этого уравнение (17) умножаем на 
 
12Y

 , уравнение (18) 
умножаем на 
 
12Y

  и складываем их. Аналогично поступаем с уравнениями 
(19), (20). Получаем 
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
q
q
q
q
s
s
s
s
E
f
m
f
f
f
r
r
r
r
a
a
a

















 




 














    
1 2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
.
sin
q
s
Y
Y
m
f
r
a
Y
Y








































              (21) 
 
1
1 2
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
q
q
q
q
s
s
s
s
E
f
m
f
f
f
r
r
r
r
a
a
a

















  
 


















 
1 2
1
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
.
sin
q
s
Y
Y
m
f
r
a
Y
Y








































                        (22) 
 
Уравнения (21), (22) можно использовать для стандартной процедуры по-
лучения эффективных потенциалов. Угол   и энергия частицы E  в этом случае 
являются параметрами.