Аксиоматические основы функций подстановки в системе счисления ряда факториальных множеств и их характеристики

 
 
 
 
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр −  
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
А. П. Мартынов, И. А. Мартынова,  
В. Н. Фомченко 
 
 
 
Аксиоматические основы функций подстановки  
в системе счисления ряда факториальных  
множеств и их характеристики 
 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2019 

 
 
 
 
УДК 004.056 
ББК 32.81 
 М29 
 
Одобрено научно-методическим советом Саровского  
физико-технического института Национального исследовательского  
ядерного университета «МИФИ» и ученым советом ФГБУ «Институт 
управления образования» Российской академии образования 
 
Рецензенты: ведущий научный сотрудник ФГБУ «27 Центрального научно-
исследовательского института» Министерства обороны РФ, доктор 
технических наук А. В. Седаков, старший научный сотрудник ФГКВОУ 
«Военная академия РВСН имени Петра Великого», заслуженный деятель 
науки РФ, лауреат премии Правительства РФ в области образования, доктор 
технических наук, профессор Ю. А. Романенко. 
 
Мартынов А. П., Мартынова И. А., Фомченко В. Н. 
Аксиоматические основы функций подстановки в системе 
счисления ряда факториальных множеств и их характеристики: 
Монография. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 
2019. – 210 с.: ил. 
 
ISBN  978-5-9515-0447-0  
 
 
В учебном пособии рассмотрены аксиоматические основы функций 
подстановки в системе счисления ряда факториальных множеств. Основное 
внимание уделено позиционным системам счисления и основным понятиям 
теории множеств. Введены понятия ряда факториальных множеств, 
рассмотрены его аксиоматические основы. Приведена новая позиционная 
система счисления – система счисления ряда факториальных 
множеств. Рассмотрены характеристики функций подстановки в системе 
счисления ряда факториальных множеств и их статистические данные. 
Представленные материалы могут быть использованы студентами 
и аспирантами технических специальностей, а также предназначены для 
широкого круга инженерно-технических работников, занимающихся разработкой 
информационных технологий и защитой информации. 
 
УДК 004.056 
ББК 32.81 
 
ISBN  978-5-9515-0447-0                       ©   ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2019 
М29 

Содержание 
 
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7 
Часть 1. Аксиоматические основы функций подстановки  
в системе счисления ряда факториальных множеств . . . . . . . 
 
13 
1. Непозиционные и позиционные системы счисления . . . . . . . 
13 
2. Перевод целых чисел из одной позиционной системы 
счисления в другую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
17 
3. Системы счисления и теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . 
21 
 
3.1. Множества и десятичная система счисления . . . . . . . . . 
22 
 
3.2. Позиционный метод формирования множеств . . . . . . . . 
24 
 
3.3. Теоремы о числе элементов позиционных множеств . . . . . 
27 
 
3.4. Основные характеристики позиционных систем  
       счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
28 
4. Аксиоматические основы подстановок ряда факториальных 
множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
30 
 
4.1. Подстановки (перестановки), факториал, ряд факто- 
       риальных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
30 
 
4.2. Система определений ряда факториальных множеств . . . 
36 
 
4.3. Проблема нумерации элементов ряда факториальных  
       множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
37 
 
4.4. Структура, определения и теоремы ряда факториальных  
       множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
41 
 
4.5. Распределение теорем по факториальным множествам  
и их структурные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
44 
5. Система счисления ряда факториальных множеств . . . . . . . 
47 
 
5.1. Принципы и этапы формирования системы счисления  
       ряда факториальных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
47 
 
5.2. Правила построения системы счисления ряда факто- 
       риальных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
51 
6. Алгоритмы преобразования элементов множества из десятичной 
системы счисления в систему счисления ряда факториальных 
множеств и обратно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
52 
 

6.1. Преобразования элементов множества из десятичной 
системы счисления в систему счисления ряда факториальных 
множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
53 
 
6.2. Преобразования элементов множества из системы 
счисления ряда факториальных множеств в десятичную 
систему счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
57 
 
6.3. Теоремы преобразования чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
59 
7. Система счисления ряда факториальных множеств и реализация 
подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
61 
 
7.1. Метод последовательного циклического сдвига элементов 
факториальных множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
61 
 
7.2. Алгоритм формирования множества числовых значений 
циклических сдвигов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
63 
8. Системы счисления рядов упорядоченных множеств . . . . . 
71 
Часть 2. Характеристики функций подстановки в системе 
счисления ряда факториальных множеств . . . . . . . . . . . . . .  
 
75 
9. Общие характеристики подстановок ряда факториальных 
множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
75 
 
9.1. Независимые циклы и их количество . . . . . . . . . . . . . . . 
76 
 
9.2. Декремент подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
80 
 
9.3. Инверсия подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
82 
 
9.4. Четность подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
85 
 
9.5. Знак подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
86 
 
9.6. Постановка задачи исследования для одиночных подстановок 
с наилучшими характеристиками . . . . . . . . . . 
 
86 
10. Состав и характеристики подстановок факториальных 
множеств Ф1 и Ф2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
87 
11. Состав и характеристики подстановок факториального 
множества Ф3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
88 
 
11.1. Количество независимых циклов подстановок мно-
жества Ф3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
89 
 
11.2. Декремент подстановок множества Ф3 . . . . . . . . . . . . . 
90 
 
11.3. Инверсия подстановок множества Ф3 . . . . . . . . . . . . . . 
92 
 
11.4. Количество независимых циклов и декремент под-
становок множества Ф3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
93 
 
11.5. Декремент и инверсия подстановок множества Ф3 . . . 
94 

11.6. Количество независимых циклов, декремент и ин-
версия множества Ф3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
95 
12. Состав и характеристики подстановок множества Ф4 . . . . . 97 
 
12.1. Количество независимых циклов множества Ф4 . . . . . 99 
 
12.2. Декремент подстановки множества Ф4 . . . . . . . . . . . . . 101 
 
12.3. Инверсия подстановок множества Ф4 . . . . . . . . . . . . . . 103 
 
12.4. Количество независимых циклов и декремент под-
становок множества Ф4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
106 
 
12.5. Декремент и инверсия подстановок множества Ф4 . . . 107 
 
12.6. Количество независимых циклов, декремент и ин-
версия множества Ф4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
109 
13. Состав и характеристики подстановок множества Ф5 . . . . . 111 
 
13.1. Количество независимых циклов множества Ф5 . . . . . 117 
 
13.2. Декремент подстановок  множества Ф5 . . . . . . . . . . . .  123 
 
13.3. Инверсия подстановок множества Ф5 . . . . . . . . . . . . . . 126 
 
13.4. Количество независимых циклов и декремент под-
становок множества Ф5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
132 
 
13.5. Декремент и инверсия подстановок множества Ф5 . . . 140 
 
13.6. Количество независимых циклов, декремент и ин-
версия подстановок множества Ф5  . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
146 
14. Характеристики подстановок произвольного факториаль-
ного множества. Критерии выбора одиночных подстановок 
с наилучшими характеристиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
153 
 
14.1. Количество независимых циклов подстановок . . . . . . 153 
 
14.2. Декремент подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  154 
 
14.3. Количество независимых циклов и декремент под-
становок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
155 
 
14.4. Инверсия подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 
 
14.5. Критерии выбора одиночных подстановок с наилуч-
шими характеристиками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
156 
15. Статистические данные количества независимых циклов 
подстановок и их анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
161 
 
15.1. Статистические данные количества независимых 
циклов подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
161 
 
15.2. Последовательный алгоритм формирования значений 
количества независимых циклов и их числа в целом 
и по диапазонам факториального множества Ф5 . . . . . 
 
 
162 

15.3. Результаты анализа статистических данных количества 
независимых циклов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
165 
16. Статистические данные декремента подстановок и их 
анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
169 
 
16.1. Статистические данные декремента подстановок . . . . 169 
 
16.2. Последовательный алгоритм формирования значений 
декремента и их числа в целом и по диапазонам 
множества Ф5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
170 
 
16.3. Результаты анализа статистических данных декремента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 

172 
17. Статистические данные инверсии подстановок и их 
анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
176 
 
17.1. Статистические данные инверсии подстановок . . . . .  176 
 
17.2. Последовательный алгоритм формирования значений 
инверсии и их числа в целом и по диапазонам 
множества Ф5  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
 
177 
 
17.3. Результаты анализа статистических данных инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . . . 
 
179 
18. Аксиоматическое построение подстановок ряда факториальных 
множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
183 
 
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 
Приложение 1. История возникновения и преобразования 
чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
 
190 
 
П1.1. Числа в математике и нашей жизни . . . . . . . . . . . . . . . 190 
 
П1.2. Устный счет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 
 
П1.3. Римская система записи чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 
 
П1.4. Счет у первобытных народов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 
 
П1.5. Числа ацтеков в Мексике в XI–XVI вв. . . . . . . . . . . . . 197 
 
П1.6. Египетская нумерация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 
 
П1.7. Алфавитные нумерации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  200 
 
П.1.7.1. Греческое алфавитное изображение чисел . . . . . . . 200 
 
П.1.7.2. Алфавитная нумерация Древней Руси . . . . . . . . . . . 201 
 
П1.8. Позиционные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  202 
 
П1.8.1. Клинописная запись чисел Древнего Вавилона . . . . 202 
 
П1.8.2. Цифры индейцев племени майя . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 
 
Список литературы к приложению 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 
Приложение 2. Общие аксиоматические понятия, определения 
и построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
 
205 
 

Введение 
 
Цели долгосрочного развития России заключаются в обеспечении 
и закреплении геополитической роли страны как одного из лидеров, 
определяющих мировую политическую и экономическую 
повестку дня. Единственным возможным способом достижения 
этих целей, кроме повышения обороноспособности, является переход 
экономики на инновационную модель развития. Для России 
в современных условиях оптимальным является вариант развития 
тех сегментов экономики, в которых имеются конкурентные преимущества 
или в которых они могут быть созданы за сравнительно 
короткий промежуток времени. 
Стремительное увеличение объемов информации и переход 
к цифровой экономике как средству достижения поставленной цели 
привели к бурному развитию информационных технологий и необходимости 
значительной перестройки информационной среды. Это 
не только новая возможность осуществить научно-технический 
и технологический прогресс, но и новая угроза, связанная с глобализацией 
информации и необходимостью ее защиты, которая в основном 
обеспечивается криптографическими методами. Все это 
повышает актуальность более глубокого анализа и изучения суще-
ствующих криптографических функций, алгоритмов, протоколов 
и систем, и делает актуальным поиск и создание новых методов, 
функций и алгоритмов криптографической защиты информации 
[1–7]. 
Криптографическая система в общем случае определяется как 
некоторое множество отображений одного пространства возмож-
ных сообщений в другое пространство возможных криптограмм 
и обратно. Каждое отображение соответствует способу преобразо-
вания при помощи конкретного ключа [1–5]. В основе функций 
преобразования данной модели лежит теория множеств, алгебраи-
ческие и криптографические структуры и группы преобразований, 
включающие понятия теории групп, колец и полей [6, 7]. 
Весь исторический опыт развития криптографии [1–3] показы-
вает, что основными ее функциями преобразования являются 

функции подстановки и перестановки, которые обеспечивают пре-
образование информации путем ее рассеивания и перемешивания. 
Изучение и анализ этих функций занимает важное место в теории 
защиты информации. Они настолько тесно связаны между собой, 
что порой их трудно разделить.  
В процессе криптографического анализа функций подстановок 
и перестановок возникла необходимость их однозначной иденти-
фикации [3–5], классификации, нумерации, анализа принципов рас-
пределения характеристик и свойств, а также их произвольного 
и упорядоченного автоматизированного выбора, перебора, сравнения, 
преобразования и практической их реализации. На этом этапе была 
выдвинута гипотеза, что между множеством чисел и любым упоря-
доченным или произвольно взятым множеством подстановок (пере-
становок) существует взаимно однозначное соответствие, при ко-
тором преобразования элементов множеств являются биективными. 
Объектом исследования стали не только криптографические 
алгоритмы, протоколы, методы и функции преобразования инфор-
мации, но и подстановки и перестановки как группы преобразований. 
Подстановки являются наиболее изученными функциями из этой 
пары. Варианты описания, преобразования и применения подстано-
вок опубликованы довольно широко в научной литературе [3–12]. 
В частности, в работах [6, 7] представлена довольно интересная 
и полная классификация алгебраических структур и групп преобра-
зований. 
Перестановки являются менее изученными функциями, но по 
своей значимости они являются не менее важными для теории за-
щиты информации. Обратим внимание на еще одно очень важное 
обстоятельство. Проведенный анализ как перестановок, так и под-
становок затруднен тем, что в открытых источниках они исследо-
ваны и описаны как отдельные объекты, структуры и элементы и 
не рассмотрены в комплексе, когда одновременному анализу под-
вергаются все возможные перестановки отдельного множества или 
даже ряда множеств.  
Для того чтобы провести полный и всесторонний анализ всех 
возможных подстановок отдельного множества или ряда множеств, 
необходимо иметь возможность их структурирования и однознач-
ной нумерации. Это позволит решить задачу выбора конкретных 
подстановок, которые являются неоднородными объектами мно-

жеств, и количества подстановок, обладающих  определенными 
свойствами и характеристиками, а также позволит определить их 
взаимное влияние при проведении операций с группами переста-
новок. Все вышеупомянутое значительно повышает актуальность 
подтверждения или опровержения выдвинутой ранее гипотезы 
о взаимно однозначном соответствии. 
В части подстановок, которым посвящена данная работа, 
предметом исследования являются позиционные системы счисления, 
методы, способы и алгоритмы преобразования элементов 
множеств, формы представления и нумерации подстановок и в некоторой 
степени перестановок, их качественные и количественные 
характеристики и аксиоматические основы построения.  
К первым работам в процессе решения этой задачи по направлениям 
исследования относятся  работы, связанные с разработкой 
и реализацией во ВНИИЭФ метода факториального сжатия, обеспечивающего 
максимально возможное сжатие информации конкретных 
перестановок, представленных в табличном виде, при реализации 
их на ЭВМ. Результаты этих исследований отражены 
в работе [13]. При этом задача установления взаимно однозначного 
соответствия множеств и нумерации перестановок не решена. 
В монографии [6] рассмотрены аксиоматический метод познания 
и основные понятия теории множеств. Приведены определения 
алгебраических и криптографических структур, групп, колец, полей. 
Рассмотрены многочлены над полем, вычисления и преобразования 
в поле Галуа, цифровые устройства, их модель и возможные 
варианты применения. 
Настоящим прорывом в данном направлении стала работа [14], 
подтверждающая на практике ранее выдвинутую гипотезу и делающая 
из нее научный факт. В ней впервые предложена и рассмотрена 
система счисления ряда факториальных множеств, имеющая (
в отличие от известных позиционных систем счисления) переменное 
основание и переменные позиционные коэффициенты. 
Представлены способы преобразования чисел из десятичной системы 
счисления в систему счисления ряда факториальных множеств 
и обратно, обеспечивающие обратимое и взаимно однозначное 
преобразование и нумерацию элементов ряда факториальных 
множеств любой размерности. Предложен способ преобразования 

образов ряда факториальных множеств в конкретные перестановки. 
В работе заявлено, что подобные системы счисления можно строить 
для любых упорядоченных множеств.  
По результатам анализа математической теории поля и вопросов 
защиты информации подготовлена и выпущена монография [7], 
где рассмотрены вопросы теории информации, модели криптогра-
фических систем и системы связи при наличии шума, условная эн-
тропия как математическая мера неопределенности и помехоустой-
чивое кодирование информационных сообщений. Уточнена клас-
сификация 
алгебраических 
и 
криптографических 
структур. 
Приведены определения алгебраических структур и групп преобра-
зований, к которым относятся подстановки и перестановки.  
Анализу подстановок и их характеристик были посвящены два 
учебных пособия [11, 12]. В них рассмотрены вопросы теории мно-
жеств, криптографические системы и алгебраические структуры. 
Основное внимание уделено подстановкам как группам преобразо-
ваний, циклическим подстановкам и их свойствам (характеристи-
кам) и общим характеристикам подстановок. 
В развитие данного направления опубликован ряд работ, на-
правленных на анализ основных характеристических свойств эле-
ментов рядов факториальных множеств в процессе защиты инфор-
мационных систем [15–19]. 
Накопленные результаты исследований и анализ полученных 
материалов показали, что из-за расширения области исследований 
наметилась некоторая неоднозначность в обозначениях и нечет-
кость ряда определений при проведении исследований свойств та-
ких характеристик подстановок и перестановок, как декремент, ко-
личество независимых циклов, инверсия, четность и знак подста-
новок и перестановок, что потребовало проведения более 
глубокого их теоретического изучения. Одновременно это потре-
бовало в дополнение к качественным понятиям факториальных 
множеств, ряда факториальных множеств и его системы счисления 
[11, 12, 15–19] разработки аксиоматических основ функций под-
становки и перестановки в системе счисления ряда факториальных 
множеств. 
Данная работа продолжает публикацию результатов исследо-
ваний в данном направлении и устраняет наметившийся пробел. 
Для создания полноценной аксиоматической теории требуется 

время и всесторонний анализ, именно поэтому данная работа пози-
ционирована не как законченная теория, а как основа аксиоматиче-
ского построения перестановок в системе счисления ряда фактори-
альных множеств. 
Монография состоит из введения, двух частей и двух при-
ложений.  
Часть 1 посвящена аксиоматическим основам функций подста-
новки в системе счисления ряда факториальных множеств. В ее 
состав входят разделы 1–8. В разделе 1 кратко рассмотрены непо-
зиционные и позиционные системы счисления. В разделе 2 рас-
смотрены вопросы перевода  целых чисел из одной позиционной 
системы счисления в другую. В разделе 3 рассмотрены вопросы 
систем счисления и теория множеств. Отдельно рассмотрены мно-
жества и десятичная система счисления и  позиционный метод фор-
мирования множеств, теоремы о числе элементов позиционных 
множеств и основные характеристики позиционных систем счис-
ления. В разделе 4 рассмотрены аксиоматические основы построе-
ния перестановок ряда факториальных множеств, функции подста-
новки (перестановки), факториал, ряд факториальных множеств, 
его система определений и структура, проблема нумерации элемен-
тов ряда факториальных множеств, а также распределение теорем по 
факториальным множествам и их структурные характеристики. 
В разделе 5 подробно рассмотрена система счисления ряда 
факториальных множеств, принципы и этапы ее формирования 
и правила построения. 
В разделе 6 приведены алгоритмы преобразования элементов 
множества из десятичной системы счисления в систему счисления 
ряда факториальных множеств и обратно. Раздел дополнен теоре-
мами преобразования чисел. 
В разделе 7 рассмотрена система счисления рядов факториаль-
ных множеств и реализация конкретных подстановок,  приведен 
метод последовательного циклического сдвига элементов фактори-
альных множеств и алгоритм формирования множества числовых 
значений циклических сдвигов. 
В разделе 8 авторами сделано заявление, что возможно по-
строение систем счисления рядов упорядоченных множеств. В ка-
честве объекта для исследования предложены алгебраическая 
и геометрическая прогрессии. 

Часть 2 посвящена характеристикам функций подстановки 
в системе счисления ряда факториальных множеств. В ее состав 
входят разделы 9–17. 
В разделе 9 рассмотрены общие характеристики подстановок 
ряда факториальных множеств, такие как независимые циклы и их 
количество, декремент, инверсия, четность и знак подстановки, 
а также постановка задачи исследования для одиночных подстано-
вок с наилучшими характеристиками. 
В разделах 10–13 рассмотрен состав и характеристики под-
становок факториальных множеств от Ф1 до Ф5 по отдельности 
и в различных сочетаниях. 
В разделе 14 рассмотрены характеристики подстановок произ-
вольного факториального множества, а также критерии выбора 
одиночных постановок с наилучшими характеристиками. 
Разделы 15–17 содержат статистические данные количества не-
зависимых циклов, декремента и инверсии подстановок и их анализ. 
В разделе18, как итоговом для данной работы, рассмотрены 
общие вопросы аксиоматического построения перестановок ряда 
факториальных множеств. 
В приложении 1 кратко описана история возникновения и пре-
образования чисел, отдельно приведен список литературы, исполь-
зованный авторами по данному направлению. 
В приложении 2 для лучшего понимания изложенного мате-
риала приведены основные аксиоматические понятия, определения 
и построения. 
 

Часть 1. Аксиоматические основы функций  
подстановки в системе счисления ряда  
факториальных множеств 
1. Непозиционные и позиционные системы счисления 
 
Чтобы пользоваться числами, прежде всего необходимо уметь 
их правильно записывать и называть. Способ записи и наименова-
ния чисел принято называть системой счисления. Системы счисле-
ния делятся на две большие группы: непозиционные и позицион-
ные. В непозиционной системе счисления каждый знак, употреб-
ляемый для записи чисел, означает одно и то же число. Слово 
цифра как раз и означает знак, используемый для изображения числа. 
Наиболее известными примерами непозиционных систем счис-
ления являются римская и славянская системы. В римской системе 
роль цифр играют буквы латинского алфавита. В славянской сис-
теме нумерации в роли цифр выступали буквы славянского алфа-
вита, над которыми ставился знак ~ (титло). Титло ставился только 
над одной из букв. В отличие от римской в славянской системе для 
обозначения цифр употреблялись все буквы алфавита.  
Значение каждой цифры в позиционной системе счисления оп-
ределяется не только ею самой, но и позицией (местом), которое 
она занимает в записи числа [20–24]. Фрагмент истории возникно-
вения и преобразования чисел и систем счисления приведен в при-
ложении 1. 
Выделим характерные для позиционной системы счисления 
три правила построения, которые стали для нас настолько привыч-
ными, что воспринимаются как аксиомы или что-то само собой ра-
зумеющееся: 
1) число разбивается на разряды (позиции), которые считаются 
справа налево; 
2) каждая цифра в записи числа означает определенное количе-
ство единиц именно того разряда, в котором она стоит; 

3) единица каждого следующего разряда всегда в определенное 
число раз превосходит единицу предыдущего. Это отношение на-
зывается основанием системы счисления.  
Акцентируем наше внимание именно на этих трех правилах, 
уточнив второе правило – цифру в записи числа будем в дальней-
шем называть позиционным коэффициентом. 
Привычной для нас в настоящее время является позиционная 
десятичная система счисления. В этой системе для записи любого 
числа используют лишь десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Она 
потому и называется десятичной, что в ее основании лежит число 
десять: каждый следующий разряд в десять раз больше преды-
дущего, а позиционный коэффициент содержит 10 элементов 
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
Таким образом, в позиционной системе счисления, в том числе 
и десятичной, одна и та же цифра получает различные числовые 
значения в зависимости от ее места в записи числа. Первая, вторая, 
третья и т. д. цифры числа при счете справа налево называются 
единицами первого, второго, третьего и последующих разрядов 
соответственно.  
Замечание 1.1. Ноль играет особую роль во всех позиционных 
системах счисления, он означает отсутствие единиц соответствующего 
разряда. 
Любое натуральное число в привычной для нас десятичной 
системе счисления в соответствии с приведенными выше правилами 
можно представить в виде 
N = an10n + an–1 10n–1 +…+ ai10i +…+ a2102 + a1101 + a0,   (1.1) 
где ai – позиционный коэффициент, содержащий цифры от 0 до 9, 
а n – номер позиции {0, 1, …, n}. 
1
2
1
2
1
1
1
0
1
1
1
10
10
10
10
...
...
10.
10
10
10
i
n
i
n
i
n
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
         (1.2) 
Форма записи числа при этом выглядит следующим образом: 
anan–1 …a2 a1 a0.                                (1.3) 
Например: 1ּ105 + 3ּ104 + 7ּ103 + 5ּ102 + 0ּ101 + 4 = 137504, 
9ּ104 + 0ּ103 + 3ּ102 + 4ּ101 + 8 = 90348, 
7ּ103 + 5ּ102 + 1ּ101 + 3 = 7513.