Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей

Покупка
Артикул: 752847.01.99
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину
В данной работе основы аксиоматики теории вероятностей изложены так. чтобы помочь читателю обрести верное понимание первых понятий этой абстрактной теории. Работа предназначена для тех специалистов по вычислительной математике, которые используют вероятностный метод Монте-Карло для решения различных задач математической физики и создают программы для этих расчетов
Никишова, Ю. С. К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей : учебно-методическое пособие / Ю. С. Никишова, А. Н. Субботин. - Саров : РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2018. - 62 с. - ISBN 978-5-9515-0391-6. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1230799 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
Ю. С. Никишова, А. Н. Субботин 
 
 
 
К ПРОБЛЕМЕ ИЗУЧЕНИЯ  
ПЕРВЫХ ПОНЯТИЙ АКСИОМАТИКИ 
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2018 
УДК 519.211;  519.212;  517.518.115 
ББК 
22.171 
 
Н62 
 
 
Рецензент: кандидат физико-математических наук О. В. Коваленко 
 
 
Никишова, Ю. С., Субботин, А. Н. 
           К проблеме изучения первых понятий аксиоматики теории вероятностей: 
Учебно-методическое пособие. – Саров: ФГУП 
«РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2018. – 62 с. : ил. 
 
   ISBN 978-5-9515-0391-6 
 
В данной работе основы аксиоматики теории вероятностей изложены 
так, чтобы помочь читателю обрести верное понимание первых 
понятий этой абстрактной теории. Работа предназначена для тех 
специалистов по вычислительной математике, которые используют вероятностный 
метод Монте–Карло для решения различных задач математической 
физики и создают программы для этих расчетов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
УДК 519.211;  519.212;  517.518.115 
ББК 22.171 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0391-6                                 © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2018 
Н62 
Содержание 
 
Определения, обозначения, сокращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 
Кванторы . . . . . . . . . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 
Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 
Меры и интегралы. Вероятность. Случайная величина . . . . . . . . . . 7 
Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9 
Глава 1. Первые понятия теории вероятностей в аксиоматике 
Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12 
§ 1.1. Вероятностное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12 
§ 1.2. Случайная величина. Значение случайной величины . . . . .  13 
§ 1.3. Индуцированное случайной величиной вероятностное 
пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
§ 1.4. Функция распределения вероятностей действительной 
случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  16 
§ 1.5. Вероятностные меры на прямой R1. Теорема о разло- 
жении функции распределения вероятностей на дискретную, 
абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты.  
Плотность функции распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
§ 1.6. Математическое ожидание случайной величины . . . . . . . . . 24 
§ 1.7. Моделирование случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . .  25 
Глава 2. Независимость измеримой функции от меры  
и случайной величины от вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 
Глава 3. Примеры описания реальных случайных экспе- 
риментов на языке аксиоматики теории вероятностей . . . . . .  30 
§ 3.1. Вероятностная модель колоды из 36 игральных карт . . . . .  31 
§ 3.2. Вероятностная модель лотереи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 
§ 3.3. Вероятностная модель анизотропного рассеяния . . . . . . . . . 34 
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  36 
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  37 
Приложение А. Предварительные сведения из логики и  
функционального анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 
 
А.1. Аксиоматический метод и «неопределяемые» понятия.  
Теорема логики о противоречивой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  39 
А.2. Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 
А.3. Алгебры и σ-алгебры множеств. Измеримые пространства.  
Фазовое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  44 
А.4. Измеримые функции. Борелевские функции. Индикаторная  
функция. Теорема о представлении вещественной измеримой  
функции пределом последовательности простых измеримых  
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 
А.5. Меры. Теорема Каратеодори о продолжении мер с алгебры  
на σ-алгебру. Пространство с мерой. Вероятностная мера . . . . . .  48 
А.6. Пространство (R1, B(R1), λ). Борелева σ-алгебра на  
прямой R1. Мера Лебега. Функция распределения на R1. Мера  
Лебега–Стилтьеса. Связь между мерами и функциями  
распределения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  51 
А.7. Интеграл Лебега. Абсолютная непрерывность интеграла  
Лебега. Теорема Радона–Никодима. Замена переменной  
в интеграле Лебега. Интеграл Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 
А.8. Мера Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  60 
Определения, обозначения1, сокращения 
 
Кванторы 
Кванторы – это выражения «существует» и «для всякого». 
Без кванторов утверждение «f(x) > 0» является сокращением одного 
из следующих двух точных утверждений: «существует x такое, 
что f(x) > 0» и «для всякого x: f(x) > 0». Без кванторов приходится 
додумываться, какое из этих утверждений имеется в виду.  
∃ x – квантор существования по переменной x («существует x»): 
(∃ x∈X): π(x) – существует элемент x∈X такой, что истинно 
(высказывание) π(x). 
{∃ x⎮ρ(x)}: π(x) – среди элементов x, для которых истинно ус-
ловие ρ(x), существует элемент x такой, что истинно π(x). 
∀x – квантор общности по переменной x («для всякого x»): 
(∀x∈X): π(x) – для всех элементов x∈X (для каждого элемента 
x∈X) истинно π(x). 
{∀x⎮ρ(x)}: π(x) – истинно π(x) для всех тех элементов x, для 
которых истинно ρ(x).  
Теорема. Отрицание утверждения, содержащего кванторы ∀, ∃ 
и утверждение P, получается заменой кванторов ∀ на ∃, ∃ на ∀ и 
утверждения P на его отрицание – неP. 
 
Множества и отображения 
{x: x ∈ X} ≡ {x ∈ X} – множество X, состоящее из элементов, 
имеющих общее обозначение x. 
{x: π(x)} – подмножество тех элементов x множества X, для ко-
торых истинно π(x). 
K ⊆ X – подмножество множества X: (∀x ∈ K): (x ∈ X). 
X\K ≡ K ≡ {x:x∉K} – дополнение к подмножеству K. X= 
= {x∈K}∪{x∉K} ≡ K∪
.
K  
                                                            
1 При цитировании замена обозначений переменных для лучшего со-
гласия с контекстом работы делается без оговорок. 
∅ = X\X – пустая часть некоторого множества X – несобствен-
ное подмножество множества X, не содержащее ни одного элемен-
та из множества X.  
R1 – {x: –∞≤ x ≤ +∞} ≡ [–∞, +∞] – расширенная действительная 
прямая. 
Rn – евклидово вещественное n-мерное линейное пространство – 
прямое (декартово) произведение n пространств R1. 
f
X
Y
⎯
⎯
→  или f: X → Y – отображение f (функция f(·)) множества 
X во множество Y. 
f(·) – точка на месте аргумента функции подчеркивает, что речь 
идет именно о функции, а не о значении функции при каком-то оп-
ределенном значении аргумента. 
f –1(G) ≡ {x: f(x)∈G} ≡ {f∈G} – полный прообраз множества  
G ⊆ Y при отображении f: X → Y (подмножество множества X). 
x↑a  (x↓a) – x стремится к a возрастая (убывая). 
σ-алгебра множеств – система множеств, замкнутая относи-
тельно операции дополнения и операции пересечения счетного 
числа множеств. Элементы σ-алгебры называются измеримыми 
множествами.  
Борелевская (борелева) σ-алгебра – наименьшая σ-алгебра 
множеств топологического пространства, порожденная открытыми 
множествами. В n-мерном евклидовом пространстве Rn борелев-
ская σ-алгебра совпадает с наименьшей σ-алгеброй, порожден-
ной полуоткрытыми справа параллелепипедами: {x: a1 ≤ x1 < b1,…, 
an ≤ xn < bn}, где x = (x1,…, xn) и –∞ ≤ ai < bi ≤ + ∞. Борелева  
σ-алгебра замкнута относительно операций дополнения и пересе-
чения счетного числа и замкнутых, и открытых множеств. 
Измеримое пространство – пара (X, F ) – пространство X с 
введенной в нем σ-алгеброй F. Для обозначения σ-алгебры упот-
ребляется курсив или готический шрифт. Иногда, чтобы указать, на 
каком пространстве введена σ-алгебра, пишут FX или F(X). 
Фазовое пространство – измеримое пространство (X, F) назы-
вается фазовым, если σ-алгебра FX содержит все подмножества X, 
состоящие из одной точки. В физике точки фазового пространства 
обычно называют состояниями, в теории вероятностей – элемен-
тарными событиями.  
Измеримая функция – отображение f: X → Y измеримого про-
странства (X, FX) на измеримое пространство (Y, GY) называется 
(FX, GY )-измеримым (измеримым относительно пары (FX, GY)), если 
прообраз любого множества из σ-алгебры GY принадлежит σ-ал-
гебре FX: (∀G∈GY) (∃A∈FX): f –1(G) = A. Когда ясно, о каких σ-ал-
гебрах идет речь, функция f: X → Y называется FX-измеримой или 
просто измеримой. 
Борелевское отображение – для топологических пространств 
(X, BX) и (Y, BY) с борелевскими σ-алгебрами BX, BY отображение 
f: X→Y называется борелевским, если оно (BX, BY)-измеримо, т. е.:  
(∀ B ∈ BY) (∃ A ∈ BX): f –1(B) = A. 
 
 
 
Меры и интегралы. Вероятность. Случайная величина 
Пространство с мерой – тройка (X, F, μ) – измеримое про-
странство (X, F ) с заданной на множествах A∈FX неотрицательной 
счетно-аддитивной функцией – мерой μ (A).  
( ) (
)
X
X
f x
dx
fd
μ
≡
μ
∫
∫
 – интеграл Лебега от функции f(x) по мере 
μ пространства (X, F, μ). 
Вероятностное пространство – тройка (Ω, A, P) – измери-
мое пространство (Ω, A) с заданной на σ-алгебре A счетно-ад-
дитивной мерой P(A), нормированной на 1 (P(Ω)=1). Элементы A 
σ-алгебры A  называются (случайными) событиями.  
P(A) – вероятность события A.  
(mod P) – равенство выполнено с вероятностью P = 1 (или вы-
полнено почти наверное). 
Случайная величина (с.в.) ξ – измеримое отображение ξ:Ω → X 
измеримого пространства (Ω, A) на измеримое пространство (X, B). 
Действительная (числовая) случайная величина (д.с.в.) – 
измеримая функция ξ: Ω →R1 измеримого пространства (Ω, A ) на 
измеримое пространство (R1, B(R1)).  
Простая случайная величина – дискретная действительная 
случайная величина, представимая в виде конечной суммы 
ξ(ω) =
1
( )
i
i
A
i
x I
∞
=
ω
∑
, где 
1
i
i
A
∞
=
∑
= Ω, xi∈R1. 
( ) (
)
E
P d
Ω
ξ= ξ ω
ω
∫
 – математическое ожидание числовой случай-
ной величины ξ – интеграл Лебега от функции ξ по мере P вероят-
ностного пространства (Ω, A, P). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Введение 
Цель работы – изложить основы современной теории вероят-
ностей так, чтобы помочь читателю получить верное понимание 
начал этой абстрактной теории. Работа предназначена для тех спе-
циалистов по вычислительной математике, которые используют 
вероятностный метод Монте-Карло для решения различных задач 
математической физики и создают программы для этих расчетов. 
В первой и второй главах работы рассматриваются первые по-
нятия аксиоматики теории вероятностей – случайная величина, ин-
дуцированное вероятностное пространство, закон распределения, 
функция распределения, плотность функции распределения, мате-
матическое ожидание. Подчеркивается, что случайная величина – 
это обыкновенная функция от элементарных событий. Обращается 
внимание на тождественность понятий случайная величина и изме-
римая функция. Обсуждается вопрос отличия понятия случайная 
величина от понятия значение случайной величины. Рассматривается 
вопрос о независимости измеримой функции от меры и случайной 
величины от вероятности. В работе подробно обсуждаются ключе-
вые моменты, на которых не всегда заостряется внимание читателя 
в иных учебных пособиях, что подчас приводит к недопониманию 
теории. В третьей главе на простых примерах демонстрируется 
смысл определений, приведенных в предыдущих главах работы. 
В приложении собран минимум предварительных сведений из 
логики и функционального анализа, требуемый для построения ак-
сиоматики теории вероятностей. Это приложение играет если не 
главную, то, по крайней мере, существенную роль в достижении 
цели работы. Предполагается, что приложение облегчит процесс 
освоения читателем начал современной теории вероятностей. 
Начала теории вероятностей можно излагать различными спо-
собами. Избранный авторами способ можно назвать новым. Он по-
зволил в небольшой по объему работе полно показать связи между 
первыми понятиями аксиоматики теории вероятностей и при этом 
не потонуть в деталях. Схематично эти связи показаны на рис. 1. 
Изложение не претендует на абсолютную строгость. Теоремы при-
водятся без доказательств, чтобы техническими деталями, напри-
мер доказательствами эквивалентности разных определений, не 
затенить основные элементы конструкции аксиоматики, фигури-
рующие в практике расчетов задач методом Монте-Карло. 
 
 
Рис. 1. Схема связей первых понятий теории вероятностей 
 
В предисловии к первому изданию книги «Основные понятия 
теории вероятностей» [1], открывшей новую эру в развитии теории 
вероятностей, А. Н. Колмогоров писал: «Целью предлагаемой работы 
является аксиоматическое обоснование теории вероятностей. Ве-
дущей мыслью автора было при этом естественное включение основ 
Измеримое пространство (Ω, A ) 
Вероятностное пространство (Ω, A, P)
Случайная величина (с.в.) ξ: Ω → X 
Индуцированное случайной величиной вероятностное 
пространство (X, B, Pξ) 
Дискретная компонента 
функции распределения 
вероятностей случайной 
величины 
Абсолютно непрерывная 
компонента функции 
распределения вероят-
ностей случайной вели-
чины 
Математическое ожидание 
случайной величины 
Статистическое моделирование 
случайной величины  
Сингулярная компо-
нента функции рас-
пределения вероят-
ностей случайной 
величины 
теории вероятностей, считавшихся еще недавно совершенно своеоб-
разными, в ряд общих понятий современной математики» [1, с. 5]. 
В 1930-х годах (книга [1] была впервые издана на немецком 
языке в 1933 г.) были уже установлены глубокие аналогии между 
понятиями теории вероятностей и классического анализа: мерой 
множества и вероятностью события, случайной величиной и изме-
римой функцией, интегралом и математическим ожиданием. Осво-
бодив теорию вероятностей от нечетко определенных понятий слу-
чай, случайный выбор (таких терминов в книге [1] нет!), А. Н. Кол-
могоров построил свою аксиоматику на базе лебеговской теории 
меры и решил задачу аксиоматизации теории вероятностей, по-
ставленную еще в 1900 г. Д. Гильбертом. 
Отыщи всему начало, и ты многое поймешь. 
Козьма Прутков 
 
Глава 1. Первые понятия теории вероятностей в аксиоматике 
Колмогорова 
§ 1.1. Вероятностное пространство 
В настоящее время общепринятой является конструкция тео-
рии вероятностей, основанная на теоретико-множественной аксио-
матике А. Н. Колмогорова. Эта конструкция начинается с исходно-
го вероятностного пространства – тройки (Ω, A, P), где 
{ω:ω ∈ Ω} – пространство элементарных событий − множество 
элементов ω; 
A − σ-алгебра некоторых, в общем случае не всех, а избранных 
подмножеств пространства Ω. Элементы этой σ-алгебры называ-
ются (случайными) событиями или исходами; 
P − вероятность или вероятностная мера – неотрицательная 
счетно-аддитивная функция множества, определенная для событий 
A∈A и нормированная так, что P(Ω)=1. Иными словами, P – рас-
пределение вероятностей на σ-алгебре A.  
Аксиоматика теории вероятностей называется теоретико-
множественной, поскольку в ее основании лежит канторовская 
теория множеств. Задание в исходном множестве Ω σ-алгебры A 
означает, что определено измеримое пространство – пара (Ω, A ). 
Пара (Ω, A ) переходит в тройку (Ω, A, P) после введения на σ-ал-
гебре A  вероятности Р(A) – меры, нормированной на 1. Этот шаг 
аксиоматики – появление вероятностного пространства, четко от-
ражен на рис. 1.  
В литературе вероятностное пространство (Ω, A, P) называют 
по-разному: основным, первичным, исходным пространством, про-
странством исходов, выборочным пространством. 
 
 
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину