Ряды и дифференциальные уравнения : числовые и функциональные ряды

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2054 

Кафедра математики

Л.Р. Ким-Тян 
 
 

Ряды и дифференциальные 
уравнения 

Числовые и функциональные ряды 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2012 

УДК 517 
 
К40 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. Б.В. Логинов (УлГТУ) 

Ким-Тян, Л.Р. 
К40  
Ряды и дифференциальные уравнения :  числовые и функциональные ряды : учеб. пособие / Л.Р. Ким-Тян. – М. : Изд. 
Дом МИСиС, 2012. – 82 с. 
ISBN 978-5-87623-561-9 

Учебное пособие состоит из двух глав. В каждой главе изложен основной 
теоретический материал, необходимый для понимания темы, разобраны примеры, а также приведены упражнения для самостоятельного решения и закрепления соответствующей темы и типовые варианты контрольных работ. 
Предназначено для студентов всех специальностей. 

УДК 517 

ISBN 978-5-87623-561-9 
© Л.Р. Ким-Тян, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие............................................................................................4 
1. Числовые ряды....................................................................................5 
1.1. Понятие числового ряда ............................................................5 
1.2. Свойства сходящихся числовых рядов.....................................6 
1.3. Критерий Коши сходимости числового ряда ..........................9 
1.4. Необходимый признак сходимости числового ряда...............9 
1.5. Достаточный признак расходимости числового ряда.............10 
1.6. Достаточные признаки сходимости числовых рядов 
с положительными членами.............................................................13 
Упражнения .......................................................................................26 
1.7. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная 
сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.........31 
Упражнения .......................................................................................38 
2. Функциональные ряды.......................................................................41 
2.1. Основные понятия......................................................................41 
2.2. Свойства функциональных рядов.............................................43 
2.3. Степенные ряды..........................................................................47 
Упражнения .......................................................................................53 
2.4. Ряд Тейлора.................................................................................54 
2.5. Разложение элементарных функций в степенные ряды .........58 
Упражнения .......................................................................................68 
2.6. Приложения рядов к приближенным вычислениям ...............69 
Упражнения .......................................................................................72 
2.7. Решение дифференциальных уравнений 
с помощью степенных рядов............................................................72 
Упражнения .......................................................................................75 
Типовые варианты контрольных работ................................................76 
Библиографический список...................................................................78 
Ответы к упражнениям ..........................................................................79 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Большую роль в математическом анализе играют ряды. Они имеют важные приложения в приближенных вычислениях и решениях 
дифференциальных уравнений. С помощью бесконечных рядов с 
любой степенью точности можно найти значения интегралов (интегралы Френеля, интегральный синус, интегральный косинус и др.), 
не вычисляемых стандартными способами. Учебное пособие состоит 
из двух глав: «Числовые ряды» и «Функциональные ряды». В первой 
главе приводятся необходимые и достаточные признаки сходимости 
знакоположительных и знакопеременных числовых рядов. Вторая 
глава содержит основные теоремы о свойствах функциональных рядов, на основе которых вычисляются суммы функциональных рядов 
и определяются области их сходимости. Приведены примеры с подробными решениями и пояснениями, которые помогут студентам 
самостоятельно разобраться в данной теме. Также даны упражнения 
для самостоятельного закрепления усвоенных знаний по соответствующей главе. Для контроля правильности выполнения упражнений 
в приложении приведены ответы или даны указания для их выполнения. Типовые варианты контрольных работ помогут студентам подготовиться к контрольным мероприятиям по теме «Ряды».  
Автор выражает особую благодарность профессору В.А. Треногину, доцентам Г.Д. Левшиной и И.С. Недосекиной за критические замечания и полезные советы в написании пособия. 

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

1.1. Понятие числового ряда 

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел 

 
а1, а2, а3, …, аn… 
(1.1) 

Определение 1.1. Числовым рядом называется формальное выражение вида 

 
1
2
1
...
...
n
n
n

a
a
a
a

∞

=
+
+
+
+
=∑
, 
(1.2) 

где аn – действительные числа, (n = 1, 2, 3, …). 
Числа а1, а2, … называются членами ряда, а аn – общим членом числового ряда. 
Примеры числовых рядов: 

1) 
1

1

1
1
1
1
1
...
...
2
4
2
2
n
n
n

∞

−
=
+
+
+
+
+
=∑
 – геометрическая прогрессия; 

2) 
2
1
1

1
...
...
n
n

n

a
aq
aq
aq
aq

∞
−
−

=
+
+
+
+
+
=∑
 – геометрическая прогрессия; 

1

1

2
0

1
2
3)
...
...
;  
2
3
1
1

4) 1
2
3
...
...
;

1
1
1
1
5) 1
...
...
. 

n

n

n
n
n

n
n
n
n

n
n

∞

=

∞

=

∞

=

+
+
+
+
=
+
+

+
+
+
+
+
=

+
+
+
+
+
=
π
π
π
π

∑

∑

∑

 

Составим суммы: 

 
S1 = a1;  
 
S2 = a1 + a2; 
(1.3) 
 
… 
 
Sn = a1 + a2 + … + an. 

Определение 1.2. Сумма конечного числа n первых членов ряда 
называется n-й частичной суммой ряда: Sn = a1 + a2 + … + an. 
Как видно из определения, частичные суммы имеют конечное 
число слагаемых, т.е. значения этих сумм можно вычислить. В свою 

очередь, эти значения частичных сумм образуют числовую последовательность {Sn}, которая может быть сходящейся или расходящейся 
последовательностью.  

Определение 1.3. Если при n → ∞ существует конечный предел 
последовательности {Sn} частичных сумм членов данного ряда 
lim
n
n
S
S

→∞
=
, то ряд (1.2) называется сходящимся, а число S, к которо
му стремится предел последовательности частичных сумм, – его 
суммой. (Понятие суммы ряда существует только для сходящихся 
рядов.) Если последовательность {Sn} не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимся. 

Определение 1.4. Ряд, членами которого являются члены ряда 
(1.2), начиная с (n + 1)-го, взятые в том же порядке, что и в исходном 
ряде, называется n-м остатком ряда (1.2) и обозначается 

 
1
2
1

...
n
k
n
n
k n
R
a
a
a

∞

+
+
= +
=
=
+
+
∑
 

1.2. Свойства сходящихся числовых рядов 

Теорема 1.1. 

1. Если ряд

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится, то остаток ряда стремится к нулю при 

n → ∞. 
2. Если остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. 
Доказательство 

1. Пусть ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится и сумма его равна S. Это означает, 

что предел n-й частичной суммы существует и равен S. Но 

 
1
2
1
2
1

...
...
 
n
n
n
n
n
n
n

a
a
a
a
a
a
S
R

∞

+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
=
+
∑
, 

следовательно, Sn + Rn = S, откуда Rn = S – Sn. 
Рассмотрим предел n-го остатка ряда при n → ∞: 

 
lim
lim(
)
lim
lim
0
n
n
n
n
n
n
n
R
S
S
S
S
S
S
→∞
→∞
→∞
→∞
=
−
=
−
=
−
=
, 

т.е. получили, что если ряд сходится, то остаток ряда стремится к 
нулю при n → ∞. Первая часть теоремы доказана. 

2. Пусть 
1
2
1

...
k
i
k
k
i k
R
a
a
a

∞

+
+
= +
=
=
+
+
∑
 k – остаток ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится 

(k – фиксированное число). Тогда (по определению сходящегося ряда) m
я частичная сумма k-го остатка ряда 
( )
1
2
1
...

k m
k
m
i
k
k
k m
i k

a
a
a
a

+

+
+
+
= +
σ
=
=
+
+
∑
 

имеет предел при m → ∞: 

 
( )
( )

1
2
lim
lim(
...
)
k
k

m
k
k
k m
m
m
a
a
a
+
+
+
→∞
→∞
σ
=
+
+
+
= σ
. 

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
: 

 
1
1
1
2
1
2
...
...
...
n
n
k
k
k
k m
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
=  

 
( ), 
k
k
m
S
=
+ σ
 

где Sk – k-я частичная сумма (k – фиксированное число); 
σm
(k) – m-я частичная сумма k-го остатка ряда. 

Переходя к пределу при n → ∞, получаем 

 
( )
( )
( )
( )
lim
lim(
)
lim
lim
lim
k
k
k
k

n
k
m
k
m
k
m
k
n
n
n
n
m
S
S
S
S
S
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
=
+ σ
=
+
σ
=
+
σ
=
+ σ
. 

Sk является числом, так как представляет собой сумму конечного 
числа членов ряда, следовательно, предел n-частичной суммы ряда 

существует и он конечен, а значит ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится. Что и требо
валось доказать.  
Следствие. Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет 
на его сходимость (или расходимость), как и не влияет приписывание 
нескольких новых членов в ряде.  

Теорема 1.2. Если числовой ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится и сумма его равна S, 

то сходится и числовой ряд

1

n

n

ka

∞

=∑
 (k = const), сумма которого равна kS. 

Доказательство 

 
1
2
1
1

...
...
n
n
n
n
ka
ka
ka
ka
ka

∞

+
=
=
+
+
+
+
+
=
∑
 

 
1
2
1
2
(
...
)
(
...)
.
n
n
n
n
n
k a
a
a
k a
a
kS
kR
+
+
=
+
+
+
+
+
+
=
+
 

Так как ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится, то lim
n
n
S
S

→∞
=
, а lim
0
n
n
R
→∞
=
. А предел 

n-й частичной суммы ряда 

1

n

n

ka

∞

=∑
 будет равен kS. Действительно, 

 
(
)
1
2
1
lim
lim
...

n

i
n
n
n
i
ka
ka
ka
ka
→∞
→∞
=

⎛
⎞ =
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
 

 
(
)
1
2
lim
...
lim
lim
.
n
n
n
n
n
n
k a
a
a
kS
k
S
kS

→∞
→∞
→∞
=
+
+
+
=
=
=
 

Остаток ряда 

1

n

n

ka

∞

=∑
 при n → ∞ стремится к нулю (докажите са
мостоятельно). 
Итак, теорема 1.2 доказана. 

Теорема 1.3. Пусть даны два сходящихся числовых ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
 и 

1

n

n

b

∞

=∑
, суммы которых соответственно равны А и В. Тогда ряды 

1
(
)
n
n
n

a
b

∞

=
+
∑
 и 

1
(
)
n
n
n

a
b

∞

=
−
∑
 также будут сходящимися, а их суммы со
ответственно будут равны А + В и А – В. 
Другими словами, сходящиеся ряды можно почленно складывать 
и вычитать. 
Доказательство. Пусть Sna = a1 + a2 +…+an – n-я частичная сум
ма ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
 и Snb = b1 + b2 + … + bn – n-я частичная сумма ряда 

1

n

n

b

∞

=∑
. Тогда пределы последовательностей частичных сумм рядов 

1
(
)
n
n
n

a
b

∞

=
+
∑
 и 

1
(
)
n
n
n

a
b

∞

=
−
∑
 будут соответственно 

 
(
)

1
1
1
lim
(
)
lim
lim

n
n
n

i
i
i
i
na
nb
n
n
n
i
i
i
a
b
a
b
S
S
→∞
→∞
→∞
=
=
=

⎛
⎞
⎛
⎞
+
=
+
=
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
 

 
lim
lim
;
na
nb
n
n
S
S
A
B

→∞
→∞
=
+
=
+
 

(
)

1
1
1
lim
(
)
lim
lim

n
n
n

i
i
i
i
na
nb
n
n
n
i
i
i
a
b
a
b
S
S
→∞
→∞
→∞
=
=
=

⎛
⎞
⎛
⎞
−
=
−
=
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
∑
∑
 

 
lim
lim
.
na
nb
n
n
S
S
A
B

→∞
→∞
=
−
=
−
 

Теорема 1.3 доказана. 

1.3. Критерий Коши сходимости числового ряда 

Теорема 1.4. Для того чтобы ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходился, необходимо и 

достаточно, чтобы 
0
:
и
0,
N
n
N
p
p
∀ ε >
∃
∀
>
∀
>
∈Z  имело место 

неравенство
1
2...
n
n
n
p
a
a
a
+
+
+
+
+
< ε . 

Другими словами, если вспомнить определение фундаментальной 
последовательности, то для сходимости числового ряда необходимо 
и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда была 
фундаментальной. 
Доказательство теоремы следует из определений сходимости ряда 
и фундаментальной последовательности. Однако непосредственное 
применение критерия Коши для исследования сходимости числового 
ряда затруднительно, поэтому существуют другие признаки, имеющие практическое приложение. 

1.4. Необходимый признак сходимости 
числового ряда 

Теорема 1.5. Если ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится, то lim
0
n
n
a
→∞
=
. 

Другими словами, если ряд сходится, то предел общего члена этого ряда при n → ∞ равен нулю. 

Доказательство. Пусть Sn – n-я частичная сумма ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
, т.е. 

 
Sn = a1 + a2 + … + an, 

а Sn–1 – (n – 1)-я частичная сумма ряда, т.е.  

 
Sn–1 = a1 + a2 + … + an–1, 

Тогда 

аn = Sn – Sn–1. 

Найдем предел общего члена ряда при n → ∞. Так как ряд сходится, то lim
n
n
S
S

→∞
=
 и 
1
lim
n
n
S
S
−
→∞
=
, следовательно,  

 
(
)
1
1
lim
lim
lim
lim
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
S
S
S
S
−
−
→∞
→∞
→∞
→∞
=
−
=
−
=
−
=
. 

Что и требовалось доказать. 
Обратное утверждение к теореме 1.5 неверно. Подтверждением 
этого замечания является следующий пример. 

Пример 1.1. Ряд вида 

1

1
1
1
1
1
...
...
2
3
n
n
n

∞

=
= +
+
+
+
+
∑
 называется гар
моническим рядом. Как мы видим, предел общего члена ряда равен 

нулю: 
1
lim
0

n
n
→∞
=
. Однако этот ряд является расходящимся. Покажем это: 

 

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
(
)
(
)
2
3
4
5
2
3
4
5
6
7
8

1
1
1
1
2
4
8
1
(
...
)
...
1
...
9
16
2
4
8
16
1
1
1
1
1
1
...
.
2
2
2
2

n
S
n

n
n

n

= +
+
+
+
+
+
= +
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+
> +
+
+
+
+
+
=

= +
+
+
+
+
+

 

Ясно, что при достаточно больших n можно ввести в последнее 

выражение сколько угодно половинок ( 1

2 ). Таким образом, Sn без
гранично возрастает и поэтому последовательность {Sn} расходится, 

и, следовательно, гармонический ряд 

1

1
1
1
1
1
...
...
2
3
n
n
n

∞

=
= +
+
+
+
+
∑
 так
же расходится.  

1.5. Достаточный признак расходимости 
числового ряда 

Теорема 1.6. Если предел общего члена числового ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
 при 

n → ∞ отличен от нуля, то этот числовой ряд расходится. 

Доказательство проведем от противного. Предположим, что ряд 
является сходящимся. Тогда по теореме 1.5 lim
0
n
n
a
→∞
=
, но по условию 

теоремы lim
0
n
n
a
→∞
≠
. Получили противоречие, т.е. наше предположе
ние о сходимости числового ряда неверно, следовательно, данное 
противоречие доказывает теорему. 

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд 

1 7
5
n

n
n

∞

=
−
∑
. 

Решение. Общий член данного ряда 
7
5

n

n
a
n
=
−
. Найдем его пре
дел при n → ∞: 

 
1
lim
lim
0
7
5
7
n
n
n
n
a
n
→∞
→∞
=
=
≠
−
. 

Так как предел общего члена отличен от нуля, то по теореме 1.6 
(достаточному признаку расходимости ряда) получим, что данный 
ряд расходится. 

Пример 1.3. Покажем, что геометрический ряд (геометрическая 

прогрессия) 
1
2
3

1

...
k

k
aq
a
aq
aq
aq

∞
−

=
=
+
+
+
+
∑
 сходится при ⏐q⎥ < 1 и 

его сумма 
1

a
S
q
= −
, и расходится при ⏐q⎥ ≥ 1. 

Решение. Пусть 
1
2
1

1
...

n

k
n
n
k

S
aq
a
aq
aq
aq
−
−

=
=
=
+
+
+
+
∑
. 

Если q = 1, то Sn = na, и при n → ∞ последовательность {Sn} является расходящейся. 
Если q ≠ 1, то можно записать 

 
1
2
(
...
)
(
...
)
n
n
n

n
n
S
qS
a
aq
aq
aq
aq
aq
a
aq
−
−
=
+
+
+
−
+
+
+
=
−
, 

откуда следует 

 
1
1
1

n

n

n
a
aq
a
a
S
q
q
q
q

−
=
=
−
−
−
−
. 

Если ⏐q⎥ < 1, то lim
0
n

n
q
→∞
=
 и поэтому 
lim
1
n
n

a
S
S
q
→∞
=
= −
.