Методы математической физики : волновое уравнение для бесконечной и полубесконечной струны. Уравнение теплопроводности для бесконечного и полубесконечного стержня

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 

 
 

 

№ 2148 

Кафедра математики

И.Э. Гурьянова 
В.Г. Облаков 

Методы математической физики 

Волновое уравнение для бесконечной  
и полубесконечной струны.  
Уравнение теплопроводности для бесконечного 
и полубесконечного стержня 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2012 

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова, И.Э. 
Г95  
Методы математической физики : волновое уравнение для 
бесконечной и полубесконечной струны. Уравнение теплопроводности для бесконечного и полубесконечного стержня : учеб. пособие / И.Э. Гурьянова, В.Г. Облаков. – М. : Изд. 
Дом МИСиС, 2012. – 30 с. 
ISBN 978-5-87623-604-3 

В учебном пособии рассмотрены методы решения задач для уравнения 
теплопроводности бесконечного и полубесконечного стержня и волнового 
уравнения для бесконечной и полубесконечной струны.  
Предназначено для студентов технологических специальностей, изучающих дисциплину «Методы математической физики». 
УДК 51 

ISBN 978-5-87623-604-3 
© И.Э. Гурьянова, 
В.Г. Облаков, 2012 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны.........4 
2. Первая смешанная задача для уравнения колебаний  
полубесконечной струны........................................................................7 
3. Вторая смешанная задача для уравнения колебаний  
полубесконечной струны......................................................................11 
4. Преобразование Фурье и его свойства ............................................14 
5. Задача Коши для уравнения теплопроводности в бесконечном 
стержне. ..................................................................................................17 
6. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности  
в полубесконечном стержне .................................................................20 
7. Вторая смешанная задача для решения уравнения  
теплопроводности в полубесконечном стержне.................................25 
Библиографический список..................................................................29 
 

1. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 
КОЛЕБАНИЙ БЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ 

Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях бесконечной 
струны. Эта задача ставится следующим образом: 
Найти решение уравнения колебаний 

 
(
)

2
2
2
2
2
;
U
U
a
f x t

t
x
∂
∂
−
=
∂
∂
,  
(
)
;
U
U x t
=
;  
x
−∞ <
< +∞ ;  
0
t >
, 
(1.1) 

удовлетворяющее начальным условиям: 

 
(
)
( )
;0
U x
x
= ϕ
,  
(1.2) 

 
(
)
( )
;0
U x
x
t
∂
= ψ
∂
.  
(1.3) 

Формулировка существования классического решения задачи Коши (1.1) – (1.3) аналогична формулировке в пособии [7] и в книге [4]. 
Здесь мы будем решать задачу Коши (1.1) – (1.3) методом бегущих волн в отличие от [7], где  использовалось преобразование Фурье. Для этого введем новые переменные  

 
,

,

y
x
at

z
x
at

=
−
⎧
⎨ =
+
⎩
   z
y
>
,  
(1.4) 

тогда 
2

y
z
x
+
=
; 
2
z
y
t
a
−
=
. 

Таким образом, 

 
(
)
(
)
;
;
;
2
2

y
z z
y
V y z
U x t
U
a

⎛
⎞
+
−
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
.  
(1.5) 

Запишем левую часть уравнения (1.1) в переменных ,y z : 

 

2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2

,

2
,

2
.

U
V
V
a
a
t
y
z

U
V
V
V
a
y z
t
y
z

U
V
V
V
a
y z
x
y
z

⎧∂
∂
∂
⎪
= −
+
∂
∂
∂
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎪
=
−
+
⎨
⎜
⎟
∂ ∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎪
=
+
+
⎜
⎟
⎪
∂ ∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎩

 
(1.6) 

Тогда 

 

2
2
2
2
2
2
2
4
U
V
V
a
a
y z
t
x
∂
∂
∂
−
= −
∂ ∂
∂
∂
.  
(1.7) 

Для решения задачи (1.1) – (1.3) разобьем ее на две подзадачи: 
(
)
(
)
(
)
1
2
;
;
;
U x t
U
x t
U
x t
=
+
. Тогда 

 
(
)
( )

(
)
( )

2
2
2
1
1
2
2

1

1

;

;0
;

;0
;

U
U
a
t
x
U
x
x

U
x
x
t

⎧∂
∂
=
⎪ ∂
∂
⎪⎪
= ϕ
⎨
⎪∂
⎪
= ψ
⎪ ∂
⎩

 
(1.8) 

 
0
t >
; 
x
−∞ <
< +∞ . 

 

(
)

(
)

(
)

2
2
2
2
2
2
2

2

2

;
;

;0
0;

;0
0;

U
U
a
f x t

t
x
U
x

U
x
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪⎪
=
⎨
⎪∂
⎪
=
⎪ ∂
⎩
 

(1.9) 

 
0
t >
; 
x
−∞ <
< +∞ . 

Рассмотрим решение задачи (1.8) для 
(
)
1
;
U
x t , где однородное 
уравнение и неоднородные начальные условия. 
Пусть 
(
)
(
)
1
1
;
;
V
y z
U
x t
=
. Тогда в силу соотношения (1.7): 

2
1
0
V
y z
∂
=
∂ ∂
 при y
z
<
, откуда следует, что 
(
)
( )
( )
1
;
V
y z
g y
h z
=
+
, 

y
z
<
, где 
( )
g y , 
( )
h z  – непрерывно дифференцируемые функции. 
Поэтому 
 
(
)
(
)
(
)
1
;
U
x t
g x
at
h x
at
=
−
+
+
. 
Используя начальные условия из (1.8), получим: 

 
( )
( )
( )
( )
( )
( )

;

.

g x
h x
x

ag
x
ah x
x

⎧
+
= ϕ
⎪⎨
′
′
−
+
= ψ
⎪⎩
  
(1.10) 

Из второго уравнения (1.10) следует, что 

 
( )
( )
( )

0

1
d

x

g x
h x
s
s
C
a
−
= −
ψ
+
∫
, 
const
C −
.  
(1.11) 

Из (1.10) и (1.11) получим: 

 
( )
( )
( )

( )
( )
( )

0

0

1
1
d
;
2
2
2

1
1
d
.
2
2
2

x

x

C
g x
x
s
s
a

C
h x
x
s
s
a

⎧
=
ϕ
−
ψ
+
⎪
⎪⎨
⎪
=
ϕ
+
ψ
−
⎪⎩

∫

∫

  
(1.12) 

Подставляя окончательно в 
( )
g x  вместо x  выражение (
)
x
at
−
, в 

( )
h x  вместо x  выражение (
)
x
at
+
, окончательно получим 

 
(
)
(
)
(
)
( )
1
1
1
;
d
2
2

x a t

x a t

U
x t
x
at
x
at
s
s
a

+

−
=
⎡ϕ
−
+ ϕ
+
⎤ +
ψ
⎣
⎦
∫
. 
 (1.13) 

Формула (1.13) представляет решение задачи (1.8). Решение задачи (1.9) для 
(
)
2
;
U
x t  запишем без вывода: 

 
(
)
(
)

(
)

(
)

2
0

1
;
,τ d
dτ
2

x a t
t

x a t
U
x t
f s
s
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
.  
(1.14) 

Окончательно 

 
(
)
(
)
(
)
1
2
;
;
;
U x t
U
x t
U
x t
=
+
.  
(1.15) 

Более подробное рассмотрение задачи (1.1) – (1.3) имеется в пособии [6]. 

2. ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА  
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ  
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ 

Рассмотрим задачу: найти решения уравнения колебаний 

 

2
2
2
2
2
( ; )
d U
d U
a
f x t

dt
dx
=
+
,   
0
x >
,   
0
t >
,  
(2.1) 

удовлетворяющего начальным условиям 

 
(
)
( )

(
)
( )

;0
;

;0

U x
x

U x
x
t

⎧
= ϕ
⎪⎨∂
= ψ
⎪ ∂
⎩

   
0
x ≥
 
(2.2) 

и граничному условию 

 
(
)
( )
0;
U
t
t
= α
,   
0
t ≥
. 
 (2.3) 

При соответствующих условиях, наложенных на функцию 
(
)
;
U x t , 
и условиях согласования начальных и граничных условий (2.2), (2.3) 
задача (2.1) – (2.3) имеет классическое решение. Для решения этой 
задачи воспользуемся результатом гл. 1 и методом продолжения, изложенным в [7]. Сведем исходную задачу к задаче с однородными 
граничными условиями: 

 
(
)
(
)
( )
;
;
U x t
V x t
t
=
+ α
. 
(2.4) 

Тогда для (
)
;
V x t  получим следующую задачу: 

 

(
)
(
)
(
)
( )
(
)

(
)
( )
( )
( )
( )

(
)
( )
( )
( )
( )
(
)

(
)

2
2
2
2
2
;
,       где
;
;
;         
2.5

; 0
,                          
0 ;

         
2.6

;0
,                        
0 .

0;
0.
                           

V
V
a
f x t
f x t
f x t
t
t
x
V x
x
x
x

V x
x
x
x
t
V
t

∂
∂
′′
=
+
=
− α
∂
∂
⎫
= ϕ
ϕ
= ϕ
− α
⎪⎬
∂
′
= ψ
ψ
= ψ
− α
⎪
∂
⎭
=

(
)
                                                      
2.7

⎧

⎩

В соотношениях  (2.5) – (2.6) функция ( )
α t  та же, что в соотношении (2.3). 
Далее разобьем задачу (2.5) – (2.7) на две задачи: 
(
)
;
V x t =  

(
)
(
)
1
2
;
;
V
x t
V
x t
=
+
, где 
(
)
1
;
V
x t , 
(
)
2
;
V
x t  есть решения следующих 
задач: 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)

2
2
2
1
1
2
2

1
1

1

;                                                                          2.8

0
;
;0
;                                           2.9

0;
0.
                             

V
V
a
t
x
V
V
x;
x
x
x
t
V
t

∂
∂
=
∂
∂
∂
= ϕ
= ψ
∂
=

(
)
                                               2.10

⎧
⎪
⎪
⎪⎨
⎪
⎪
⎪⎩

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)

2
2
2
2
2
2
2

2
2

2

;
;                                                    2.11

0
0;
;0
0;                                                  2.12

0;
0.                            
              

V
V
a
f
x t
t
x
V
V
x;
x
t
V
t

∂
∂
=
+
∂
∂
∂
=
=
∂
=

(
)
                            2.13

⎧
⎪
⎪
⎪⎨
⎪
⎪
⎪⎩

 

Рассмотрим решение задачи (2.8) – (2.10) для 
(
)
1
;
V
x t .  Используем 
результат решения задачи для  бесконечной струны (1.13) – (1.15); для 
(
)
1
;
V
x t  используем формулу (1.13) для 
(
)
1
;
U
x t . Сделаем нечетное 

продолжение ( )
x
ϕи 
( )
x
ψиз (2.9) в соответствии с методом из [7]: 

 
( )
( )
(
)

*
,
0;

,
0;

x
x
x
x
x

⎧ ϕ
>
⎪
ϕ
= ⎨−ϕ −
<
⎪⎩

( )
(
)
(
)

*
,
0;

,
0.

x
x
x
x
x

⎧ ψ
>
⎪
ψ
= ⎨−ψ
−
<
⎪⎩

(2.6*) 

Рассмотрим теперь решения задачи (2.8)* – (2.9*) для 
(
)
*
1
;
V
x t : 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

2
*
2
*
2
1
1
2
2

*
*
*
*
1
1

,
,
0;    
            
        2.8*

0
;
;0
.     
          
          2.9*

V
V
a
x
t
t
x
V
V
x;
x
x
x
t

⎧ ∂
∂
=
−∞ <
< +∞
>
⎪⎪ ∂
∂
⎨
∂
⎪
= ϕ
= ψ
⎪
∂
⎩
 

Решение этой задачи в соответствии с формулой (1.13): 

 
(
)
(
)
(
)
( )
*
*
*
*
1
1
1
;
d
2
2

x a t

x a t

V
x t
x
at
x
at
s
s
a

+

−
⎡
⎤
=
ϕ
−
+ ϕ
+
+
ψ
⎣
⎦
∫
. 

Если (
) (
)
0
x at
x at
+
>
−
> , то 
(
)
(
)
* x at
x at
ϕ
±
=ϕ
±
и 
(
)
(
)
* x at
x at
ψ
±
=ψ
±
. 

Если (
)
0
x at
−
< , то 
(
)
(
)
* x
at
at
x
ϕ
−
= −ϕ
−
и 
(
)
(
)
* x
at
at
x
ψ
−
= −ψ
−
. 
Поэтому решение задачи (2.8) – (2.9) имеет вид 

 
(
)

(
)
(
)
( )

(
)
(
)
( )

1

1
1
d
,
2
2

                     если 0
;
0 ;
;
1
1
d
,
2
2

                     если
0;
.

x a t

x a t

x a t

a t x

x
at
x
at
s
s
a
x
t
x
a
V
x t

x
at
x
at
s
s
a
x
x
t
a

+

−

+

−

⎧
⎡ϕ
+
+ ϕ
−
⎤ +
ψ
⎪
⎣
⎦
⎪
⎪
< ≤
>
⎪⎪
= ⎨
⎪
⎡ϕ
+
− ϕ
−
⎤ +
ψ
⎣
⎦
⎪
⎪
⎪
>
≤ < +∞
⎪⎩

∫

∫

 
(2.14) 

Совпадение 
1
V  и 
*
1
V  для 
0
x >
, 
0
t >
 обосновывается аналогично 
тому, как и в части 3 пособия. Выражение (2.14) есть решение задачи 
(2.8) – (2.10).  
Рассмотрим теперь решения задачи (2.11) – (2.13). Для этого используем формулу (1.14) для 
(
)
2
;
U
x t . Для этого сделаем нечетное 

продолжение 
(
)
;
f x t
. 

 
(
)
(
)

(
)

*
;
, если
0;

;
;
, если
0.

f
x t
x
f
x t
f
x t
x

⎧
>
⎪
= ⎨−
−
<
⎪⎩

(2.5*) 

Тогда решение задачи Коши для функции 
(
)
*
2
;
V
x t  по аналогии с 

формулой (1.14) для 
(
)
2
;
U
x t : 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
*
2
*
2
*
2
2
2
2
*
*
2
2

;
,
,
0;                         2.11*

0
0;
;0
0                                                          2.12*

V
V
a
f
x t
x
t
t
x
V
V
x;
x
t

⎧∂
∂
=
+
−∞ <
< +∞
>
⎪⎪ ∂
∂
⎨
∂
⎪
=
=
⎪
∂
⎩
дает результат: 

(
)
(
)

(
)

(
)
*
*
2
1
;
;
d .
2

x a t

x a t
V
x t
f
s
ds
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
 
(2.13) 

Выражая 
(
)
*
;
f
x t  через 
(
)
;
,
f x t
(
)
(
)

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)

*
2
0
0

0
*

0
0

1
;
;
d
d
2

1
1
;
d
d
;
d
d .
2
2

x a t
t

x a t
t
t

x a t
x a t

V
x t
f s
s
a

f
s
s
f s
s
a
a

+
−τ

+
−τ

−
−τ
−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ +
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
+
τ
τ =
τ
τ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

∫
∫

∫
∫
∫
∫

(2.14*) 

При 
0
x >
, 
0
t >
: 
(
)
(
)
*
;
;
f x t
f
x t
=
и 
(
)
*
2
;
V
x t  и 
(
)
2
;
V
x t  удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям и 
(
)
*
2 0;
0,
V
t =
 так как 
(
)
*
;
f
s τ – нечетная функция, поэтому 

 
(
)
(
)

(
)

(
)

2
0

1
;
;
d
.
2

x a t
t

x a t
V
x t
f s
ds
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
(2.15) 

Выражение (2.15) есть решение задачи (2.11) – (2.13).  
Окончательно 
(
)
(
)
(
)
( )
1
2
;
;
;
U x t
V
x t
V
x t
t
=
+
+ α
. 

3. ВТОРАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ  
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ 

Решение задачи этой главы аналогично решению задачи гл. 2. 
Рассматривается задача 

(
)
(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)
( )
(
)

2
2
2
2
2
;
,
0,
0;                                 3.1

;0
,
;0
,
0;                           3.2

0;
,
0; .                                                   
3.3

U
U
a
f
x t
x
t
t
x
U
U
x
x
x
x
x
t
U
t
t
t
x

⎧ ∂
∂
=
+
>
>
⎪ ∂
∂
⎪
∂
⎪
= ϕ
= ψ
≥
⎨
∂
⎪ ∂
⎪
= β
≥
∂
⎪⎩

 

Здесь аналогичные замечания относительно существования классического решения задачи (3.1) – (3.3). 
Делаем замену: 
 
(
)
(
)
( )
;
;
β
U x t
V x t
x
t
=
+
,  
(3.4) 

тогда 
(
)
;
V x t  есть решение задачи: 

(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )

(
)
( )
( )
( )
( )
(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
;
, где
;
;
;
3.5

0
,   
0 ;

                
3.6

;0
,    
0 .

0;
0 .
                                                                    
3.7

V
V
a
f
x t
f
x t
f
x t
x
t
t
x
V
x;
x
x
x
x

V
x
x
x
x
x
t
V
t
x

⎧∂
∂
′′
=
+
=
− β
∂
∂
⎫
= ϕ
ϕ
= ϕ
− β
⎪⎬
∂
′
= ψ
ψ
= ψ
− β
⎪
∂
⎭
∂
=
∂

⎪
⎪
⎪⎪⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩

 

Далее, как в гл. 2, разобьем задачу для 
(
)
;
V x t  на две подзадачи: 

(
)
(
)
(
)
1
2
;
;
;
V x t
V
x t
V
x t
=
+
. Тогда 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)

2
2
2
1
1
2
2

1
1

1

,
0,
0;                                          3.8

0
,
;0
;                                    3.9

0;
0.
                                                           

V
V
a
x
t
t
x
V
V
x;
x
x
x
t
V
t
x

∂
∂
=
>
>
∂
∂
∂
= ϕ
= ψ
∂
∂
=
∂

(
)
    3.10

⎧
⎪
⎪⎪⎨
⎪
⎪
⎪⎩