Методы математической физики. Ч. 3. Одномерное уравнение теплопроводности для неограниченного стержня

№568

ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТВОПООБРАЗОВАНИЮ

Кафедра математики

И.Э. Гурьянова
В.Г. Облаков

Методы математической
физики

Часть 3. Одномерное уравнение
теплопроводности для неограниченного
стержня

Учебное пособие

Рекомендовано редакционноиздательским
советом института

Москва  Издательство ´УЧЕБАª
2006

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.С., Облаков В.Г. 
Г95  
Методы математической физики. Ч. 3. Одномерное уравнение теплопроводности для неограниченного стержня: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2006. – 19 с. 

Учебное пособие представляет собой третью часть курса математической 
физики. В 1-й и 2-й частях курса рассматривались задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний, когда объекты были конечны (конечная струна, конечный стержень). 
В данном пособии рассмотрены случаи, когда стержень имеет бесконечную 
или полубесконечную длину. 
Содержание пособия соответствует программе курса «Уравнения математической физики». 
Предназначено для студентов второго курса технологических факультетов. 

© Московский государственный институт

стали и сплавов (технологический  
университет) (МИСиС), 2006 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Преобразование Фурье и его свойства ...............................................4 
2. Задача Коши для уравнения теплопроводности в бесконечном 
стержне ......................................................................................................7 
3. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности 
в полубесконечном стержне ....................................................................9 
4. Вторая смешанная задача для уравнения теплопроводности 
в полубесконечном стержне ..................................................................14 
Библиографический список...................................................................18 
 

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО СВОЙСТВА 

Для решения задач, когда стержень имеет бесконечную или полубесконечную длину, вместо рядов Фурье будет использовано преобразование Фурье. Поэтому введем это преобразование и рассмотрим 
его свойства. 
Пусть функция 
( )
f x  определена, непрерывна (или имеет конечное число точек разрыва I рода) и абсолютно интегрируема на интер
вале (
)
,
−∞ + ∞ , т.е. 
( )
f x d x

+∞

−∞∫
 сходится. Тогда преобразованием 

Фурье функции 
( )
f x  называется функция 
( )
f λ
, определяемая соотношением  

 
( )
( )
1
2

i
x
f
f x e
d x

+∞
− λ

−∞
λ =
π ∫
. 
(1.1) 

При этом 
( )
f λ
называется образом-Фурье для 
( )
f x , а 
( )
f x  – 

прообразом для 
( )
f λ
и переход от 
( )
f
x  к 
( )
f λ
обозначается 

( )
( )

.

.
f x
f
→
λ
. Если известна 
( )
f λ
, то переход от 
( )
f λ
к 
( )
f x  обо
значается 
( )
( )

.

.
f
f x
λ →
и определяется соотношением 

 
( )
( )
1
2

i
x
f x
f
e
d

+∞
λ

−∞
=
λ
λ
π ∫ .  
(1.2) 

Рассмотрим свойства преобразования Фурье: 
1. Если имеем линейную комбинацию функций, то 

 
( )
( )
( )
( )

.

1 1
2
2
1 1
2
2
.
f
x
f
x
f
f
α
+ α
→α
λ + α
λ
, 

1
2
,
const
α α −
. 

2. Если прообраз 
( )
f x  сдвинуть на постоянную α, то образ 
( )
f λ
умножится на 
λα
i
e−
, т.е. 

(
)
( )

.
λα

.

i
f x
e
f
−
− α →
λ
. 

3. Если 
( )
( )

.

.
f x
f
→
λ
, то 
(
)

.

.
1
f
x
f
λ
⎛
⎞
α ⋅
→
⎜
⎟
α
α
⎝
⎠
, где 
const
0
α =
>
. 

4. Если 
( )
f
x
′
 удовлетворяет тем же условиям, что и 
( )
f x  для 
существования преобразования Фурье, тогда  

 
( )
( )

.

.
f
x
i f
′
→ λ
λ
. 

Теперь введем определение свертки. 
Функция ( )
g x , определяемая соотношением 

 
( )
( )
(
)
1
2
1

2

g x
f
s
f
x
s d s

+∞

−∞
=
⋅
−
π ∫
,  
(1.3) 

называется сверткой двух функций 
( )
1f
x  и 
( )
2f
x  и обозначается 
( )
( )
1
2
f
x
f
x
∗
. 
5. Если имеем свертку двух функций, то 

( )
( )
( )
( )

.

1
2
1
2
.
f
x
f
x
f
f
∗
→
λ
λ
, т.е. преобразование Фурье свертки 

равно произведению образов Фурье функций. 
Замечание. Аналогичные свойства справедливы, если преобразование Фурье применяется к функции, зависящей от двух переменных 
(
)
,
u x t , которая удовлетворяет условиям преобразования Фурье по 
переменной x  и достаточно быстро убывает при x → ±∞  вместе со 
своими производными до второго порядка включительно. 

 
(
)
(
)
λ
1
,
,
;

2

i x
u
t
u x t e
d x

+∞
−

−∞
λ
=
π ∫
(1.4) 

 
(
)
(
)

.

.
,
,
u x t
u
t
→
λ
; (
)
(
)

.

.
,
,
u
t
u x t
λ
→
. 

6. 
Если 
(
)
,
u
u x t
=
 
зависит 
от 
двух 
переменных, 
тогда 

(
)
(
)
.

.

,
,
u x t
u
t

t
t

∂
∂
λ
→
∂
∂

, где преобразование Фурье происходит по пере
менной х. 

7. Если v(x, s) = 
(
)

o

,
,

t
u x s d s
∫
то v(x, s) = 
(
)
(
)

.

.
o

,
,
,

t
u x t ds
u
s ds
→
λ
∫
т.е. 

имеем связь между интегрированием оригинала и образа. 

2. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В БЕСКОНЕЧНОМ 
СТЕРЖНЕ 

Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности в бесконечном стержне, которая называется задачей Коши для 
(
)
,
u
u x t
=
: 

 
(
)

2
2
2
,
u
u
a
f x t
t
x
∂
∂
=
+
∂
∂
, 
(
)
;
x∈ −∞ +∞ , 
(
)
0;
t ∈
+∞ . 
(2.1) 

 
(
)
( )
;0
u x
x
= ϕ
, 
(
)
;
x∈ −∞ +∞ . 
(2.2) 

Классическим решением задачи (2.1), (2.2) называется функция 
(
)
,
u x t , непрерывная в замкнутой области 
(
) [
)
;
0;
D = −∞ +∞ ×
+∞ , 
имеющая непрерывные производные первого порядка по t и второго 
порядка по x  в открытой области 
(
) (
)
;
0;
D = −∞ +∞ ×
+∞ , удовлетворяющая в D уравнению (2.1) и при 
0
t →
 начальному условию (2.2). 
Если 
( )
x
ϕ
 из (2.2) непрерывна и ограничена в (
)
;
−∞ +∞  и 
(
)
,
f x t  

непрерывна по обеим переменным в D  и ограничена, тогда задача 
Коши (2.1), (2.2) имеет классическое решение. 
Применим к задаче (2.1), (2.2) преобразование Фурье: 

 
(
)
(
)

.

.
,
,
u x t
u
t
→
λ
;     
(
)
(
)

.

.
,
,
f x t
f
t
→
λ
;     ( )
( )

.

.
x
ϕ
→ϕ λ
, 

тогда эта задача будет иметь вид 

 
(
)
(
)
(
)
2
2
,
,
,
;
u
t
a
u
t
f
t
t

∂
λ
+
λ
λ
=
λ
∂

(2.3) 

 
(
)
( )
0
,
t
u
t
=
λ
= ϕ λ
.  
(2.4) 

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого 
порядка для функции (
)
,
u
t
λ
имеет вид 

 
(
)
(
)
(
)
( )

2 2
2 2
λ
λ

0
,
,

t
a
t s
a
t
u
t
f
s e
d s
e
−
−
−
λ
=
λ
+ ϕ λ
∫ . 
(2.5) 

Найдем теперь по (
)
,
u
t
λ
функцию (
)
,
u x t . 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
( )

2 2

2 2

λ

λ
λ

0

λ
λ

1
,
,
2

1
,
2

1
,
2

i x

t
a
t s
i
x

a
t i
x

u x t
e
u
t d

e
d
f
s d
d s

e
d
d

+∞

−∞

+∞
+∞
−
−
+
−η

−∞
−∞

+∞
+∞
−
+
−η

−∞
−∞

=
⋅
λ
λ =
π

⎡
⎤
=
λ
η
η
+
⎢
⎥
π
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
+
λ ϕ η
η
⎢
⎥
π
⎢
⎥
⎣
⎦

∫

∫ ∫
∫

∫
∫

где 

 
(
)
(
)
λ
1
λ,
,
2

i
u
t
u
t e
d

+∞
−
η

−∞
=
η
η
π ∫
, 

 
(
)
(
)
λ
1
λ,
,
2

i
f
t
f
t e
d

+∞
−
η

−∞
=
η
η
π ∫
, 

 
( )
( )
λ
1
λ
2

i
e
d

+∞
−
η

−∞

ϕ
=
ϕ η
η
π ∫
. 

Используя интеграл 

2

2 2
2

δ
λ
λ
4
λ
i
e
d
e

+∞
−
−ε
+
δ
ε

−∞

π
= ε
∫
, получаем 

 
(
)

(
)2

2 2
2
λ
λ
4
1
1
2
2

x t
a
t i
x
a t
e
d
e
a
t

−
+∞
−
−
+
−η

−∞
λ =
π
π
∫
. 

Таким образом, решение задачи (2.1), (2.2) есть 

 (
)
(
)

(
)
(
)

( )

(
)

2

2
2

2
4
4

0

,
1
1
,
2
2

x
x
a
t s
t
a t
f
s e
u x t
d
d s
e
d

a
t
s
a
t

−η
−
−η
−
+∞
+∞
−

−∞
−∞

η
=
η
+
ϕ η
η
π
−
π
∫ ∫
∫
, (2.6) 

где первое слагаемое есть решение задачи Коши для неоднородного 
уравнения с однородным начальным условием 
( )
(
)
0
x
ϕ
≡
 и второе 

слагаемое есть решение задачи Коши для однородного уравнения 
(
)
(
)
,
0
f x t ≡
 с неоднородным начальным условием 
( )
(
)
0
x
ϕ
≡/
. 

3. ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ 
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В 
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 

Рассмотрим следующую задачу – найти решение уравнения теплопроводности 

 
(
)

2
2
2
,
u
u
a
f x t
t
x
∂
∂
=
+
∂
∂
,    
0,
0
x
t
>
>
,  
(3.1) 

удовлетворяющего начальному условию 

 
(
)
( )
,0
u x
x
= ϕ
,    
0
x ≥
,  
(3.2) 

и граничному условию 

 
(
)
( )
0,
u
t
t
= α
,    
0
t ≥
.  
(3.3) 

При соответствующих условиях, наложенных на функцию (
)
,
u x t  
и условия согласования начальных и граничных условий, задача (3.1) 
– (3.3) имеет классическое решение. 
Для этой задачи воспользуемся результатом главы 2 и методом 
продолжения.  Вначале сведем задачу (3.1) – (3.3) к задаче с однородными граничными условиями, введя для этого новую неизвестную функцию (
)
,
v x t , т.е.  

 
(
)
(
)
( )
,
,
u x t
v x t
t
=
+ α
.  
(3.4) 

Тогда для (
)t
x
v
,
 получим следующую задачу: 

 

(
)
(
)
(
)
( )

(
)
( )
( )
( )
( )
(
)

2
2
2
,
, где  
,
,
;             

,0
,
где   
0 ;                             

0,
0.
                                    

d
t
v
v
a
f x t
f x t
f x t
t
dt
x

v x
x
x
x

v
t

⎧
α
∂
∂
=
+
=
−
∂
∂

= ϕ
ϕ
= ϕ
− α
⎨

=

⎪
⎪⎪

⎪
⎪
⎪⎩

 

В уравнениях (3.5) и (3.6) 
( )t
α
, то же самое, что и в уравнении 

(3.3). 
(
)
,
f x t
и ( )
x
ϕздесь не есть Фурье-образы из главы 2. 

(3.5) 

(3.6) 

(3.7)

Далее 
разобьем 
задачу 
(3.5) 
– 
(3.7) 
на 
две 
задачи: 
(
)
(
)
(
)
1
2
,
,
,
v x t
v
x t
v
x t
=
+
, где 
(
)
1
,
v
x t  и 
(
)
2
,
v
x t  удовлетворяют следующим задачам: 

 
(
)
( )
(
)

2
2
1
1
2

1

1

;            

,0
;            

0,
0.
             

v
v
a
t
x

v
x
x

v
t

⎧∂
∂
=
⎪ ∂
∂
⎪⎪
= ϕ
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩

(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2

2

2

,
;     

,0
0;                        

0,
0.
                     

v
v
a
f x t  
t
x

v
x

v
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩

 

Рассмотрим решения задачи (3.8) – (3.10) для 
(
)
1
,
v
x t . Применим 
для этой цели результат решения задачи для бесконечного стержня 
из главы 2:  

 

 (
)
( )

(
)

(
)

(
)

(
)
(
)

(
)

2

2
2

2
4
4

0

1
1
,
,
2
2

,
,
2
1

x y
x y
t
a
t s
a t
e
u x t
y e
d y
f
y s
d y d s

a
t
a
t
s

u
x t
u
x t

−
−
−
+∞
+∞
−
−

−∞
−∞
=
ϕ
+
π
π
−

=
=
∫
∫ ∫

, 

где 
(
)
1
,
u
x t  есть решение задачи для однородного уравнения с неодно
родными начальными условиями и 
(
)
2
,
u
x t  есть решение задачи для 
неоднородного уравнения с однородными начальными условиями. 
Для решения задачи (3.8) – (3.10) для 
(
)
1
,
v
x t  используем выраже
ния для 
(
)
1
,
u
x t . Для этого сделаем нечетное продолжение функции 

( )
x
ϕиз (3.9): 

(3.8)

(3.9) 

(3.10) 

(3.11) 

(3.12) 

(3.13) 

( )
( )
(
)

,
0,

*

,
0.

x
x
x
x
x

⎧ϕ
≥
⎪
ϕ
= ⎨−ϕ −
≤
⎪⎩

Рассмотрим теперь решение задачи Коши для 
*
1v  (3.8*), (3.9*): 

 

(
)
( )

*
2
*
2
1
1
2

*
1

,  
;
0;                                  (3.8*)

,0
*
.                                                               (3.9*)

v
v
a
x
t
t
x

v
x
x

⎧∂
∂
=
− ∞ <
< ∞
>
⎪ ∂
∂
⎨
⎪
= ϕ
⎩

 

Решение этой задачи есть 

(
)
( )

(
)2

2
*
4
1
1
,
*
2

x y

a t
v
x t
y e
d y

a
t

−
+∞
−

−∞
=
ϕ
π ∫
; 
(
)
*
1
,
v
x t  есть решение (3.8*), 

(3.9*). 

(
)
( )

(
)

( )

(
)

(
)
( )

(
)

( )

(
)

(
)
( )
( )
( )

2
2

2
2

2
2

2
2

0
*
4
4
1
0

0
4
4

0

1
1
,
*
*
2
2

сделаем   в первом
1
1
интеграле замену
*
*
2
2
,

так как *
;

*
 для 
0,

 обратн

x y
x y

a t
a t

x z
x y

a t
a t

v
x t
y e
d y
y e
d y
a
t
a
t

z e
d z
y e
d y

a
t
a
t
z
y d z
d y

z
z

y
y
y

z
y

−
−
+∞
−
−

−∞

+
−
+∞
−
−

−∞

=
ϕ
+
ϕ
=
π
π

+
=
=
ϕ
+
ϕ
=
π
π
= −
= −

ϕ
−
= −ϕ

ϕ
= ϕ
>
=
=

∫
∫

∫
∫

(
)
( )

(
)
(
)
2
2

2
2
4
4

0

1
.
2
ая замена 

в первом интеграле

x y
x y

a t
a t
y
e
e
d y
a
t

−
+
+∞
−
−
⎡
⎤
+
⎢
⎥
=
ϕ
−
⎢
⎥
π
⎣
⎦
∫ *
1v  удовлетворяет условию (3.10): 
(
)
*
1 0,
0
v
t =
и 
*
1v  удовлетворяет 
уравнениям (3.8), (3.9). 
Таким образом, решение задачи (3.8) – (3.10) есть 

 
(
)
( )

(
)
(
)
2
2

2
2
4
4
1
1
,
.

2

x y
x y

a t
a t
v
x t
y
e
e
d y

a
t

−
+
+∞
−
−

−∞

⎡
⎤
⎢
⎥
=
ϕ
−
⎢
⎥
π
⎣
⎦
∫ (3.14)