Методы математической физики. Ч. 2. Уравнение колебаний конечной струны

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.Э., Облаков В.Г. 
Г95  
Методы математической физики. Ч. 2. Уравнение колебаний 
конечной струны: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2005. – 26 с. 

В пособии излагается решение первой, второй и третьей смешанных задач для уравнения колебаний конечной струны. 
Несмотря на обилие учебников по математической физике, большинство 
из них предназначены для университетов и фактически малодоступны для 
многих студентов технических вузов из-за чрезмерной сложности изложения 
и большого объема. Данное пособие отличается более простым изложением с 
подробными разъяснениями. 
Предназначено для студентов второго курса технологических факультетов, может быть использовано для самостоятельной работы и при подготовке 
к экзаменам. 
Так как курс «Методы математической физики» читается и на других факультетах МИСиС, пособие, как надеются авторы, будет полезным и для студентов других факультетов. 
 

© Московский государственный институт

стали и сплавов (Технологический  
университет) (МИСиС), 2005 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Формулировка краевой задачи. Первая смешанная задача ..............4 
2. Вторая смешанная задача ..................................................................11 
3. Третья смешанная задача (тип А) .....................................................16 
4. Третья смешанная задача (тип Б)......................................................21 
Библиографический список...................................................................25 
 

1. ФОРМУЛИРОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. 
ПЕРВАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 

Уравнение колебаний рассматривается для тонкой струны длины l . 
Рассмотрим процесс малых поперечных колебаний струны около 
положения равновесия (
)
0
,
≡
t
x
u
. 

 
(
)t
x
f
x
u
a
t
u
,
2

2
2
2

2
+
∂
∂
=
∂
∂
. 
(1.1) 

Искомая функция (
)t
x
u
,
 – отклонение точки струны с абсциссой 

x , в момент времени t . Здесь 

;)
const
 
струны
 
плотность
;
const
 
струны
 
натяжения
 
величина
(
0
0
2
−
−
ρ
−
−

ρ
=
T
T
a
 

(
)
(
)

ρ
=
t
x
R
t
x
f
,
,
, ( (
)t
x
R
,
 – нагрузка, приложенная к струне в точке 

с абсциссой x , в момент времени t ). Если 
(
)
0
,
≡
t
x
f
, то уравнение 
описывает свободные колебания струны, если же (
)
0
,
≡/
t
x
f
, то говорят о вынужденных колебаниях струны. 
Чтобы решение было вполне определено, функция (
)t
x
u
,
 должна 
удовлетворять краевым и начальным условиям, соответствующим 
физическим условиям задачи. 
Краевые условия так называемой первой смешанной задачи формулируются следующим образом: 

(
)
( )
(
)
( )
⎭
⎬
⎫
≥
ψ
=

≥
ψ
=

0
,
;

0
,
;0

2

1
t
t
t
u

t
t
t
u

l

– граничные 
условия 
I 
типа

(условия закрепления на концах).
(1.2)

Начальные условия формулируются следующим образом: 

(
)
( )

(
)
( )
⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=

x
x
t
u

x
x
u

2

1

0,

0,
 
– начальная форма струны при 
0
=
t
, 

– начальная скорость каждой точки
струны при 
0
=
t
. 

 

(1.3)

Таким образом, первая смешанная задача для колебания струны 
принимает вид: 

0
,
0
>
<
<
t
x
l
 
(1.4)

(1.5)

– (начальные условия)

l
≤
≤ x
0
 
(1.6)

(1.7)

(
)

(
)
( )

(
)
( )

(
)
( )
(
)
( )
⎪⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

⎭
⎬
⎫
≥
ψ
=

≥
ψ
=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=

+
∂
∂
=
∂
∂

0
,
,

0
,
,0

0,

0,

,
,

2

1

2

1

2

2
2
2

2

t
t
t
u

t
t
t
u

x
x
t
u

x
x
u

t
x
f
x
u
a
t
u

l
– (граничные условия)

(1.8)

О п р е д е л е н и е . Функцию (
)t
x
u
,
 называют классическим решением смешанной задачи, если она удовлетворяет уравнению (1.4) и 
условиям (1.5) – (1.8) и является дважды непрерывно дифференцируемой при 
T
t
x
<
<
<
<
0
,
0
l
 и непрерывной при 
T
t
x
≤
≤
≤
≤
0
,
0
l
. 

Решение, как и в работе [1] проведем в два этапа. 
1. Сделаем граничные условия нулевыми с помощью замены: 

 
(
)
(
)
( )
( )t
b
x
t
a
t
x
v
t
x
u
+
+
=
,
,
, 

где (
)t
x
v
,
 – новая искомая функция, а функции ( )t
a
 и ( )t
b
 найдем, 
используя условия 

(
)
(
)
⎩
⎨
⎧
=

=

.
0
,

,
0
,0

t
v

t
v

l
 

(
)
(
)
( )
( )
( )t
t
b
t
a
t
v
t
u
1
0
,0
,0
ψ
=
+
⋅
+
=
, 
(
)
(
)
( )
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( ).
,

,
,
,

1
1
2

2
1

t
t
b
t
t
t
a

t
t
t
a
t
v
t
u

ψ
=
ψ
−
ψ
=

ψ
=
ψ
+
⋅
+
=

l

l
l
l
 

Таким образом, (
)
(
)
( )
( )
( )t
x
t
t
t
x
v
t
x
u
1
1
2
,
,
ψ
+
ψ
−
ψ
+
=
l
. 
(1.9) 

Подставим теперь (
)t
x
u
,
 из выражения (1.9) в выражение (1.4) и 
начальные условия (1.5), (1.6), предварительно найдя 

( )
( )
( )t
x
t
t
t
v
t
u

1
1
2
ψ′
+
ψ′
−
ψ′
+
∂
∂
=
∂
∂
l
, 

( )
( )
( )t
x
t
t
t
v
t
u

1
1
2
2

2

2

2
ψ′′
+
ψ′′
−
ψ′′
+
∂
∂
=
∂
∂
l
, 

( )
( )

l
t
t
x
v
x
u
1
2
ψ
−
ψ
+
∂
∂
=
∂
∂
; 
2

2

2

2

x
v
x
u
∂
∂
=
∂
∂
, 

получаем: 
(
)
( )
( )
( )

(
)
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
2
1
l
t
x
F

t
x
t
t
t
x
f
x
v
a
t
v

,

1
1
2
2

2
2
2

2
,

=

ψ′′
−
ψ′′
−
ψ′′
−
+
∂
∂
=
∂
∂
, 

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
v
1
1
1
2
1
~
0
0
0
0,
ϕ
=
ψ
−
ψ
−
ψ
−
ϕ
=
l
, 

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
t
v

2
1
1
2
2
~
0
0
0
0,
ϕ
=
ψ′
−
ψ′
−
ψ′
−
ϕ
=
∂
∂
l
. 

Для функции (
)t
x
v
,
 получаем новую смешанную задачу с однородными (нулевыми) краевыми условиями и видоизмененными начальными условиями 
( )
( )
x
x
2
1
~
,
~
ϕ
ϕ
, а также видоизмененным уравнением с новым свободным членом (
)t
x
F
,
: 

 

(
)

(
)
( )

(
)
( )

(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=
=

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=

+
∂
∂
=
∂
∂

.0
,
,
0
,0

,
~
0,

,
~
0,

,
,

2

1

2

2
2
2

2

t
v
t
v

x
x
t
v

x
x
v

t
x
F
x
v
a
t
v

l

 
(1.10) 

2. Решение задачи (1.10) ищем, как и в работе [1], методом разделения переменных (методом Фурье). Для упрощения техники решения 
будем 
искать 
решение 
задачи 
(1.10) 
в 
виде 
суммы 
(
)
(
)
(
)t
x
v
t
x
v
t
x
v
,
,
,
2
1
+
=
, где (
)t
x
v
,
1
 – решение задачи: 

(
)

(
)

(
)

(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=

=

=
∂
∂

=

+
∂
∂
=
∂
∂

0
,

,
0
,0

,
0
0,

,
0
0,

,
,

1

1

1

1

2
1
2
2
2
1
2

t
v

t
v

x
t
v

x
v

t
x
F
x
v
a
t
v

l

 
(1.11) 

и 
(
)t
x
v
,
2
 – решение задачи: 

 

(
)
( )

(
)
( )

(
)
(
)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=

=

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=
∂
∂
=
∂
∂

.0
,

,
0
,0

,
~
0,

,
~
0,

,

2

2

2
2

1
2

2
2
2
2
2
2
2

t
v

t
v

x
x
t
v

x
x
v
x
v
a
t
v

l

 
(1.12) 

Решим задачу для (1.12) методом разделения переменных, как в 
работе [1], найдя при этом собственные функции соответствующей 
задачи Штурма – Лиувилля: 
(
)
( ) ( )t
T
x
X
t
x
v
=
,
2
 подставим в первое 
уравнение задачи (1.12) 

 
( )
( )

( )
( )
const
2
≡
µ
=
′′
=
′′
x
X
x
X
t
T
a
t
T
. 

Для 
( )
x
X
 имеем задачу Штурма – Лиувилля 

 
( )
( )
⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
=
=
µ
−
′′

.0
,0
0
,0

l
X
X
X
X
 
(1.13) 

Решение (1.13), как и в работе [1]: 

( )
l
x
n
x
X n
π
= sin
 – собственные функции, 

2

2
2

l
n

n
π
−
=
µ
 – собственные значения, 

K
,3,2,1
=
n
 
Разложим функции 
( )
x
1
~ϕ
 и 
( )
x
2
~ϕ
 в ряд Фурье по собственным 
функциям задачи (1.13) 

 
( ) ∑

∞

=

π
=
ϕ

1
1
sin
~

n
n
x
n
p
x
l
, 

 
( ) ∑

∞

=

π
=
ϕ

1
2
sin
~

n
n
x
n
q
x
l
, 

где  
( )
∫
π
ϕ
=

l

l
l 0

1
sin
~
2
x
d
x
n
x
pn
, 

 
( )
∫
π
ϕ
=

l

l
l 0

2
sin
~
2
x
d
x
n
x
qn
. 

Тогда для функций 
( )t
Tn
 получаем задачу 

 
( )
( )
( )
( )
⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
′
=

=
µ
−
′′

.
0

,
0

,0
2

n
n

n
n

n
n
n

q
T

p
T

t
T
a
t
T

 

Решением 
( )
( )t
T
a
t
T
n
n
n
µ
=
′′
2
 является 

 
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=
l
l
t
a
n
d
t
a
n
c
t
T
n
n
n
sin
cos
; 
l
a
n

n
π
=
α
. 

Решение (1.12) будет иметь вид 

 
(
)
(
)
(
)
[
]
∑

∞

=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
α
+
α
=

1
2
sin
sin
cos
,

n
n
n
n
n
x
n
t
d
t
c
t
x
v
l
. 
(1.14) 

Из начальных условий для 
(
)t
x
v
,
2
 получим 

( )

( )
( )
⎪
⎪

⎩

⎪
⎪

⎨

⎧

α
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
ϕ
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
ϕ
⋅
α
=

=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
ϕ
=

∫
∫

∫

l
l

l

l
l
l

l
l

0

2

0

2

0

1

sin
~
2
sin
~
2

sin
~
2

n

n

n
n

n
n

q
x
d
x
n
x
a
n
x
d
x
n
x
d

p
x
d
x
n
x
c

(1.15) 

Для задачи (1.11) для (
)t
x
v
,
1
, будем искать ее решение в виде ряда 

по собственным функциям 
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=
l
x
n
x
X n
sin
, полученным при ре
шении задачи (1.12) для 
(
)t
x
v
,
2
: 

 
(
)
( )
∑

∞

=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=

1
2
sin
,

n
n
x
n
t
T
t
x
v
l
, 
(1.16) 

где 
( )t
Tn
 – неизвестные функции. 

 
(
)
( )

( )
(
)
⎪
⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=

∫

∑

∞

=

l

l
l

l

0

1

sin
,
2

,
sin
,

x
d
x
n
t
x
F
t
b

x
n
t
b
t
x
F

n

n
n
 
(1.17) 

Подставим (1.16), (1.17) в (1.11) – в уравнение и начальные условия, и получим 

 
( )
( )
( )

( )
( )
⎪⎩

⎪⎨

⎧

=
′
=

=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
+
′′

.0
0
;
0
0

,

2
2

n
n

n
n
n

T
T

t
b
t
T
n
a
t
T
l
 
(1.18) 

Задачу Коши (1.18) для 
( )t
Tn
 решаем методом вариации постоян
ной, как в работе [1], обозначив 
2

2
2
2
2
l
n
a
n
π
=
α
. 

Решим сначала соответствующее однородное уравнение.  

 
( )
( )
;
,
0
,
0
~
~
2
2
2
i
k
k
t
T
t
T
n
n
n
n
n
α
±
=
=
α
+
=
α
+
′′
 

 
( )
(
)
(
)
const
,
;
sin
cos
~
0
0
0
0
−
α
+
α
=
n
n
n
n
n
n
n
d
c
t
d
t
c
t
T
. 

Будем искать 
( )t
Tn
 в виде: 
( )
( )
(
)
( )
(
)t
t
d
t
t
c
t
T
n
n
n
n
n
α
+
α
=
sin
cos
, (1.19) 
где 
( )
( )t
d
t
c
n
n
,
 – неизвестные функции, для которых имеем систему 
уравнений: 

 
( )
(
)
( )
(
)
( )(
)
(
)
( )
(
)
( )
⎩
⎨
⎧
=
α
α
+
α
α
−

=
α
+
α

.
cos
sin

,0
sin
cos

t
b
t
t
d
t
t
c

t
t
d
t
t
c

n
n
n
n
n
n
n

n
n
n
n
 

Решая эту систему, находим 

 
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
∫
α
α
−
=
α
α
−
=

t

n
n
n
n

t

n
n
n
n
s
d
s
s
b
t
d
s
d
s
s
b
t
c

0
0
cos
1
,
sin
1
. 

Здесь учтено, что 
( )
( )
0
0
;
0
0
=
′
=
n
n
T
T
. 

Получаем, что 
( )
( )
(
)
[
]
4
4
4
3
4
4
4
2
1
функций
 
свертка

0
sin
1 ∫
−
α
α
=

t

n
n
n
n
s
d
s
t
s
b
t
T
. 
(1.20) 

Таким образом, решение задачи (1.11) дается выражением (1.16), 
где 
( )t
Tn
 определяется выражением (1.20). 
З а м е ч а н и е  1 .  Решение (1.11), (1.12) является формальным, 
так как мы не проверяли используемые ряды на сходимость. 
Можно показать, что если 
(
)t
x
f
,
, 
( )
x
1
ϕ
, 
( )
x
2
ϕ
 достаточно гладкие функции, то формальное решение задач (1.11), (1.12) будет классическим. 
З а м е ч а н и е  2 .  Если при решении задачи (1.12) для 
(
)t
x
v
,
2
 начальные условия 
( )
x
1
~ϕ
, 
( )
x
2
~ϕ
 будут линейными комбинациями собственных функций соответствующей задачи Штурма – Лиувилля, то 
решение 
(
)t
x
v
,
2
 будет состоять из конечного числа слагаемых. 
З а м е ч а н и е  3 .  Если при решении задачи (1.11) для (
)t
x
v
,
1
 функ
ция 
(
)t
x
F
,
 будет иметь вид: 
(
)
( ) ( )
∑
=
=

m

k
k
k
t
a
x
X
t
x
F

1
,
, где 
( )
x
X k
 – соб
ственные функции задачи Штурма – Лиувилля; 
( )t
ak
 – непрерывные 
функции, тогда (
)t
x
v
,
1
 будет содержать m  слагаемых. 

2. ВТОРАЯ СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА 

 

(
)

(
)
( )

(
)
( )

(
)
( )

(
)
( )
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

−
≥

⎪
⎪
⎭

⎪⎪
⎬

⎫

ψ
=
∂
∂

ψ
=
∂
∂

−
≤
≤
⎪⎭

⎪⎬

⎫

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=

>
<
<
+
∂
∂
=
∂
∂

.
условия
 
граничные
0
,0

,0

,
условия
 
начальные
0
0,

0,

,0
,
0
;
,

2

1

2

1

2

2
2
2

2

t
t
t
x
u

t
t
x
u

x
x
x
t
u

x
x
u

t
x
t
x
f
x
u
a
t
u

l

l

 
(2.1) 

1. Произведем замену функции, чтобы получить однородные (нулевые) граничные условия: 

 
(
)
(
)
( )
( )
( ) ,
2
,
,
1
2
1
2
x
t
x
t
t
t
x
v
t
x
u
ψ
+
ψ
−
ψ
+
=
l
 
(2.2) 

 
( )
( )
( )x
t
x
t
t
t
v
t
u

1
2
1
2
2

2

2

2

2
ψ′′
+
ψ′′
−
ψ′′
+
∂
∂
=
∂
∂
l
, 

 
( )
( )

l
t
t
x
v
x
u
1
2
2

2

2

2
ψ
−
ψ
+
∂
∂
=
∂
∂
, 

 
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) x
x
x
v
x
x
u
0
2
0
0
0,
0,
1
2
1
2
1
ψ
+
ψ
−
ψ
+
=
ϕ
=
l
; 

 
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
v
1
1
2
1
2
1
~
0
2
0
0
0,
ϕ
=
ψ
−
ψ
−
ψ
−
ϕ
=
l
; 

 
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )x
x
x
t
v
x
x
t
u
0
2
0
0
0,
0,
1
2
1
2
2
ψ′
+
ψ′
−
ψ′
+
∂
∂
=
ϕ
=
∂
∂
l
; 

(
)
( )
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
x
t
v

2
1
2
1
2
2
~
0
2
0
0
0,
ϕ
=
ψ′
−
ψ′
−
ψ′
−
ϕ
=
∂
∂
l
. 

В результате для (
)t
x
v
,
 получаем следующую задачу: 

 

(
)

(
)
( )

(
)
( )

(
)

(
)
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=
∂
∂

=
∂
∂

ϕ
=
∂
∂

ϕ
=

+
∂
∂
=
∂
∂

,
0
,

,
0
,0

,
~
0,

,
~
0,

,
,

2

1

2

2
2
2

2

t
x
v

t
x
v

x
x
t
v

x
x
v

t
x
F
x
v
a
t
v

l

 
(2.3) 

где (
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )x
t
x
t
t
t
t
a
t
x
f
t
x
F
1
2
1
2
1
2

2

2
1
,
,
ψ′′
−
ψ′′
−
ψ′′
−
ψ
−
ψ
+
=
l
l
. 

2. Разбиваем решение задачи (2.3) на две задачи:  

 
(
)
(
)
(
)t
x
v
t
x
v
t
x
v
,
,
,
2
1
+
=
 
(2.4) 

Задача для (
)t
x
v
,
1
: 

 

(
)

(
)

(
)

(
)

(
)
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎩

⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

⎨

⎧

=
∂
∂

=
∂
∂

=
∂
∂

=

+
∂
∂
=
∂
∂

.0
,

,
0
,0

,
0
0,

,
0
0,

,
,

1

1

1

1

2
1
2
2
2
1
2

t
x
v

t
x
v

x
t
v

x
v

t
x
F
x
v
a
t
v

l

 
(2.5)