Методы математической физики. Ч. 4. Уравнение колебаний для неограниченной струны

№ 61

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Êàôåäðà ìàòåìàòèêè

È.Ý. Ãóðüÿíîâà
Â.Ã. Îáëàêîâ

Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè

×àñòü IV. Óðàâíåíèå êîëåáàíèé
äëÿ íåîãðàíè÷åííîé ñòðóíû

Êóðñ ëåêöèé

Ðåêîìåíäîâàíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì
ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà

Ìîñêâà  Èçäàòåëüñòâî «Ó×ÅÁÀ»
2008

УДК 51 
 
Г95 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.С. Мастрюков 

Гурьянова И.Э., Облаков В.Г. 
Г95  
Методы математической физики. Ч. 4. Уравнение колебаний 
для неограниченной струны: Курс лекций. – М.: МИСиС, 
2008. – 16 с. 

Данное издание представляет собой четвертую часть курса лекций по математической физике. Первая глава посвящена решению задачи Коши для 
уравнения колебаний бесконечной струны методом бегущей волны. Во  второй и третьей главах подробно излагается решение первой и второй смешанных задач для уравнения колебаний полубесконечной струны. 
Соответствует программе курса «Методы математической физики». 
Предназначен для студентов второго курса всех факультетов. 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2008 

Оглавление 

1. Задача Коши для уравнения колебаний бесконечной струны......4 
2. Первая смешанная задача для уравнения колебаний 
полубесконечной струны.....................................................................7 
3. Вторая смешанная задача для уравнения колебаний 
полубесконечной струны...................................................................11 
Библиографический список...............................................................15 

1. Задача Коши для уравнения колебаний 
бесконечной струны 

Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях бесконечной 
струны. Эта задача ставится следующим образом: 
Найти решение уравнения колебаний 

 
(
)

2
2
2
2
2
;
U
U
a
f x t
t
x
∂
∂
−
=
∂
∂
, 
(
)
;
U
U x t
=
; 
x
−∞ <
< +∞ ; 
0
t >
, 
(1.1) 

удовлетворяющее начальным условиям 

 
(
)
( )
;0
U x
x
= ϕ
,  
(1.2) 

 
(
)
( )
;0
U x
x
t
∂
= ψ
∂
.  
(1.3) 

Формулировка существования классического решения задачи Коши 
(1.1) – (1.3) аналогична формулировке в пособии [1]. 
Здесь мы будем решать задачу Коши (1.1) – (1.3) методом бегущих волн, в отличие от [1], где использовалось преобразование Фурье. Для этого введем новые переменные: 

 
,

,

y
x
at

z
x
at

=
−
⎧
⎨ =
+
⎩
 z
y
>
,  
(1.4) 

тогда 
2

y
z
x
+
=
; 
2
z
y
t
a
−
=
, отсюда 

 
(
)
(
)
;
;
;
2
2

y
z z
y
V y z
U x t
U
a

⎛
⎞
+
−
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. 
(1.5) 

Запишем левую часть уравнения (1.1) в переменных ,y z : 

 

2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2

;

2
;

2
.

U
V
V
a
a
t
y
z

U
V
V
V
a
y
z
t
y
z

U
V
V
V
a
y
z
x
y
z

⎧∂
∂
∂
= −
+
⎪ ∂
∂
∂
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎪
=
−
+
⎨
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎪
=
+
+
⎜
⎟
⎪
∂
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎩

 
(1.6) 

Тогда 

 

2
2
2
2
2
2
2
4
U
V
V
a
a
y
z
t
x
∂
∂
∂
−
= −
∂
∂
∂
∂
. 
(1.7) 

Для решения задачи (1.1) – (1.3) разобьем ее на две подзадачи: 

(
)
( )

(
)
( )

2
2
2
1
1
2
2

1

1

;

;0
;

;0
;

U
U
a
t
x

U
x
x

U
x
x
t

⎧∂
∂
=
⎪ ∂
∂
⎪⎪
= ϕ
⎨
⎪∂
⎪
= ψ
∂
⎪⎩

 
(1.8) 

(
)

(
)

(
)

2
2
2
2
2
2
2

2

2

;
;

;0
0;

;0
0;

U
U
a
f x t
t
x

U
x

U
x
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪⎪
=
⎨
⎪∂
⎪
=
∂
⎪⎩

 
(1.9) 

0
t >
; 
x
−∞ <
< +∞ . 
0
t >
; 
x
−∞ <
< +∞ , 

где 
(
)
(
)
(
)
1
2
;
;
;
U x t
U
x t
U
x t
=
+
. 

Рассмотрим решение задачи (1.8) для 
(
)
1
;
U
x t , в которой однородное уравнение и неоднородные начальные условия. 
Пусть 
(
)
(
)
1
1
;
;
V
y z
U
x t
=
. Тогда в силу соотношения (1.7) 

2
1
0
V
y
z
∂
=
∂
∂
 при y
z
<
, откуда следует, что 
(
)
( )
( )
1
;
V
y z
g y
h z
=
+
, 

y
z
<
, где 
( )
g y , 
( )
h z  – непрерывно дифференцируемые функции, 
поэтому 

 
(
)
(
)
(
)
1
;
U
x t
g x
at
h x
at
=
−
+
+
. 

Используя начальные условия из (1.8), получаем 

 
( )
( )
( )
( )
( )
( )

;

.

g x
h x
x

ag
x
ah x
x

⎧
+
= ϕ
⎪⎨
′
′
−
+
= ψ
⎪⎩
 
(1.10) 

Из второго уравнения (1.10) следует, что 

 
( )
( )
( )

0

1
d
;

x

g x
h x
s
s
C
a
−
= −
ψ
+
∫
 
const
C −
.  
(1.11) 

Из (1.10) и (1.11) получим 

( )
( )
( )

( )
( )
( )

0

0

1
1
d
;
2
2
2

1
1
d
.
2
2
2

x

x

C
g x
x
s
s
a

C
h x
x
s
s
a

⎧
=
ϕ
−
ψ
+
⎪
⎪⎨
⎪
=
ϕ
+
ψ
−
⎪⎩

∫

∫

  
(1.12) 

Подставляя окончательно в ( )
g x  вместо x  выражение (
)
x
at
−
, в 
( )
h x  вместо x  выражение (
)
x
at
+
, окончательно получаем 

 
(
)
(
)
(
)
( )
1
1
1
;
d
2
2

x at

x at

U
x t
x
at
x
at
s
s
a

+

−
=
ϕ
−
+ ϕ
+
+
ψ
⎡
⎤
⎣
⎦
∫
. 
(1.13) 

Формула (1.13) представляет собой решение задачи (1.8). Решение 
задачи (1.9) для 
(
)
2
;
U
x t  запишем без вывода: 

 
(
)
(
)

(
)

(
)

2
0

1
;
,
d
d
2

x a t
t

x a t
U
x t
f s
s
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
. 
(1.14) 

Окончательно 

 
(
)
(
)

(
)

(
)

(
)

1
2
;
;
;

1.13
1.14

U x t
U
x t
U
x t
=
+
. 
(1.15) 

Более подробное рассмотрение задачи (1.1) – (1.3) имеется в пособии [2]. 

2. Первая смешанная задача для уравнения 
колебаний полубесконечной струны 

Рассмотрим задачу – найти решения уравнения колебаний 

 
(
)

2
2
2
2
2
;
U
U
a
f x t
t
x
∂
∂
=
+
∂
∂
, 
0
x >
, 
0
t >
,  
(2.1) 

удовлетворяющего начальным условиям 

 
(
)
( )

(
)
( )

;0
;

;0
;

U x
x

U x
x
t

= ϕ
⎧
⎪∂
⎨
= ψ
⎪ ∂
⎩

 
0
x ≥
 
(2.2) 

и граничному условию 

 
(
)
( )
0;
U
t
t
= α
, 
0
t ≥
. 
(2.3) 

При соответствующих условиях, наложенных на функцию 
(
)
;
U x t  
и условия согласования начальных и граничных условий (2.2) и (2.3) 
задача (2.1) – (2.3) имеет классическое решение. 
Для решения этой задачи воспользуемся результатом главы 1 и 
методом продолжения, изложенным в пособии [1]. Сведем исходную 
задачу к задаче с однородными граничными условиями: 

 
(
)
(
)
( )
;
;
U x t
V x t
t
=
+ α
,  
(2.4) 

тогда для 
(
)
;
V x t  получим следующую задачу: 

(
)
(
)
(
)
( )
(
)

(
)
( )
( )
( )
( )

(
)
( )
( )
( )
( )
(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
;
,
     где
;
;
;
2.5

0
,
  где
0 ;

 
2.6
;0
,
  где
0 ;

0;
0.
2.7

V
V
a
f x t
f x t
f x t
t
t
x

V x;
x
x
x

V x
x
x
x
t

V
t

⎧∂
∂
′′
=
+
=
− α
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
= ϕ
ϕ
= ϕ
− α
⎫
⎪
⎪
∂
⎨
⎬
′
= ψ
ψ
= ψ
− α
⎪
⎪
∂
⎭
⎪
⎪
=
⎪
⎩

8 

В соотношениях (2.5) – (2.6) функция 
( )t
α
 та же, что в соотношении (2.3). 
Далее разобьем задачу (2.5) – (2.7) на две задачи: 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)
(
)

2
2
2
1
1
2
2

1
1

1

;
2.8

;0
;
;0
;
2.9

0;
0.
2.10

V
V
a
t
x

V
V
x
x
x
x
t

V
t

⎧∂
∂
=
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
∂
= ϕ
= ψ
⎨
∂
⎪
⎪
=
⎪
⎩

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
2
2

2
2

2

;
;
2.11

;0
0;
;0
0;
2.12

0;
0,
2.13

V
V
a
f x t
t
x

V
V
x
x
t

V
t

⎧∂
∂
=
+
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
∂
=
=
⎨
∂
⎪
⎪
=
⎪
⎩

где 
(
)
(
)
(
)
1
2
;
;
;
V x t
V
x t
V
x t
=
+
. 

Рассмотрим решение задачи (2.8) – (2.10) для 
(
)
1
;
V
x t . Используем 
результат решения задачи для  бесконечной струны (1.13) – (1.15); 
для 
(
)
1
;
V
x t  используем формулу для 
(
)
1
;
U
x t  из (1.13). Сделаем не
четное продолжение ( )
x
ϕи 
( )
x
ψиз (2.9) в соответствии с методом 
из [1]: 

 
( )
(
)
(
)

*
,
0;

,
0;

x
x
x
x
x

⎧
ϕ
>
⎪
ϕ
= ⎨−ϕ −
<
⎪⎩

( )
(
)
(
)

*
,
0;

,
0.

x
x
x
x
x

⎧
ψ
>
⎪
ψ
= ⎨−ψ −
<
⎪⎩

(2.6*) 

Рассмотрим теперь решения задачи (2.8*) – (2.9*) для 
(
)
*
1
;
V
x t : 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

2
*
2
*
2
1
1
2
2

*
*
*
*
1
1

,
,
0;
2.8*

0
;
;0
.
2.9*

V
V
a
x
t
t
x

V
V
x;
x
x
x
t

⎧∂
∂
=
− ∞ <
< +∞
>
⎪ ∂
∂
⎪⎨
∂
⎪
= ϕ
= ψ
⎪
∂
⎩

 

Решение этой задачи запишем в соответствии с формулой (1.13): 

 
(
)
(
)
(
)
( )
*
*
*
*
1
1
1
;
2
2

x at

x at

V
x t
x
at
x
at
s d s
a

+

−
⎡
⎤
=
ϕ
−
+ ϕ
+
+
ψ
⎣
⎦
∫
. 

Если (
)
(
)
0
x
at
x
at
+
>
−
>
, то 
(
)
(
)
* x
at
x
at
ϕ
±
= ϕ
±
и 

 
(
)
(
)
* x
at
x
at
ψ
±
= ψ
±
. 

Если (
)
0
x
at
−
<
, то 
(
)
(
)
* x
at
at
x
ϕ
−
= −ϕ
−
и 

 
(
)
(
)
* x
at
at
x
ψ
−
= −ψ
−
. 
Поэтому решение задачи (2.8) – (2.9) имеет вид 

 
(
)

(
)
(
)
( )

(
)
(
)
( )

1

1
1
d ,
2
2

                     если
0
;
0;
;
1
1
d ,
2
2

                     если
0;
.

x at

x at

x at

at x

x
at
x
at
s
s
a

x
t
x
a
V
x t

x
at
x
at
s
s
a

x
x
t
a

+

−

+

−

⎧
ϕ
+
+ ϕ
−
+
ψ
⎡
⎤
⎪
⎣
⎦
⎪
⎪
⎪
< ≤
>
⎪
= ⎨
⎪
ϕ
+
− ϕ
−
+
ψ
⎡
⎤
⎣
⎦
⎪
⎪
⎪
>
≤ < +∞
⎪⎩

∫

∫

  
(2.14) 

Совпадение 
1
V  и 
*
1
V  для 
0
x >
, 
0
t >
 обосновывается так же, как и 
в [1]. Выражение (2.14) есть решение задачи (2.8) – (2.10).  
Теперь найдем решения задачи (2.11) – (2.13). Для этого используем формулу (1.14). Сделаем нечетное продолжение 
(
)
;
f x t
: 

 
(
)
(
)

(
)

*
;
,
если
0;

;
;
,
если
0.

f
x t
x
f
x t
f
x t
x

⎧
>
⎪
= ⎨−
−
<
⎪⎩

(2.5*) 

Тогда решение задачи Коши для функции 
(
)
*
2
;
V
x t : 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
*
2
*
2
*
2
2
2
2

*
*
2
2

;
,
,
0;
2.11*

0
0;
;0
0,
2.12*

V
V
a
f
x t
x
t
t
x

V
V
x;
x
t

⎧∂
∂
=
+
− ∞ <
< +∞
>
⎪ ∂
∂
⎪⎨
∂
⎪
=
=
⎪
∂
⎩

 

будет по аналогии с формулой (1.14) для 
(
)
2
;
U
x t  таким: 

 
(
)
(
)

(
)

(
)
(
)

(
)

*
*
*
2

выражая
1
;
;
d
d
;
через
2
;

x a t

x a t
V
x t
f
s
s
f
x t
a
f x t

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ =
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
(
)

(
)

(
)

(
)

0
*

0
0
0

1
1
;
d
d
;
d
d
2
2

x a t
t
t

x a t
f s
s
f
s
s
a
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
=
τ
τ+
τ
τ=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
∫
∫
∫
(2.14*) 

 
(
)

(
)

(
)

0

1
;
d
d .
2

x a t
t

x a t
f s
s
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
При 
0
x >
, 
0
t >
 
(
)
(
)
*
;
;
f x t
f
x t
=
и 
(
)
*
2
;
V
x t  и 
(
)
2
;
V
x t  удовлетворяют одному уравнению, одинаковым начальным условиям и 
(
)
*
2 0;
0
V
t =
. Так как 
(
)
*
;
f
s τ – нечетная функция, то 

 
(
)
(
)

(
)

(
)

2
0

1
;
;
d
d .
2

x a t
t

x a t
V
x t
f s
s
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
(2.15) 

Выражение (2.15) есть решение задачи (2.11) – (2.13).  
Окончательно 
(
)
(
)
(
)
( )
1
2
;
;
;
U x t
V
x t
V
x t
t
=
+
+ α
. 

3. Вторая смешанная задача для уравнения 
колебаний полубесконечной струны 

Решение задачи в этой главе аналогично решению задачи из главы 2. 
Рассматривается задача 

(
)
(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)
( )
(
)

2
2
2
2
2
;
,
0,
0;
3.1

;0
;
;0
,
0;
3.2

0;
,
0.
3.3

U
U
a
f x t
x
t
t
x

U
U x
x
x
x
x
t

U
t
t
t
x

⎧∂
∂
=
+
>
>
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
∂
= ϕ
= ψ
≥
⎨
∂
⎪
⎪∂
= β
≥
⎪ ∂
⎩

 

Здесь аналогичные замечания относительно существования классического решения задачи (3.1) – (3.3). 
Делаем замену: 

 
(
)
(
)
( )
;
;
U x t
V x t
x
t
=
+
⋅β
,  
(3.4) 

тогда 
(
)
;
V x t  есть решение задачи: 

(
)
(
)
(
)
( )
(
)

(
)
( )
( )
( )
( )

(
)
( )
( )
( )
( )
(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
;
,
где
;
;
;
 
3.5

0
,
где   
0 ;

3.6
;0
,
где   
0 ;

0;
0.
3.7

V
V
a
f x t
f x t
f x t
x
t
t
x

V x;
x
x
x
x

V x
x
x
x
x
t

V
t
x

⎧∂
∂
′′
=
+
=
−
⋅β
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
= ϕ
ϕ
= ϕ
−
⋅β
⎫
⎪
⎪
∂
⎨
⎬
′
= ψ
ψ
= ψ
−
⋅β
⎪
⎪
∂
⎭
⎪
⎪∂
=
⎪∂
⎩

Далее, как в главе 2, разобьем задачу для 
(
)
;
V x t  на две задачи: 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

(
)
(
)

2
2
2
1
1
2
2

1
1

1

,
0,
0;
3.8

0
;
;0
;
3.9

0;
0.
3.10

V
V
a
x
t
t
x

V
V
x;
x
x
x
t

V
t
x

⎧∂
∂
=
>
>
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
∂
= ϕ
= ψ
⎨
∂
⎪
⎪∂
=
⎪ ∂
⎩

12 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2
2
2
2
2
2

2
2

2

;
,
0,
0;
3.11

0
;0
0;
3.12

0;
0,
3.13

V
V
a
f x t
x
t
t
x

V
V
x;
x
t

V
t
x

⎧∂
∂
=
+
>
>
⎪ ∂
∂
⎪
⎪
∂
=
=
⎨
∂
⎪
⎪∂
=
⎪ ∂
⎩

где 
(
)
(
)
(
)
1
2
;
;
;
V x t
V
x t
V
x t
=
+
. 

Решение задачи (3.8) – (3.10) аналогично решению (2.8) – (2.10), 
только ( )
x
ϕи 
( )
x
ψпродолжаем четным образом. 

( )
(
)
(
)

*
,
0;

,
0;

x
x
x
x
x

⎧ϕ
>
⎪
ϕ
= ⎨ϕ −
<
⎪⎩

( )
(
)
(
)

*
,
0;

,
0,

x
x
x
x
x

⎧ψ
>
⎪
ψ
= ⎨ψ −
<
⎪⎩

(3.6*) 

тогда для 
*
1
V  получим задачу Коши: 

(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)

2
*
2
*
2
1
1
2
2

*
*
*
*
1
1

,
0,
;
3.9*

0
;
;0
.
3.10*

V
V
a
t
x
t
x

V
V
x;
x
x
x
t

⎧∂
∂
=
>
− ∞ <
< + ∞
⎪ ∂
∂
⎪⎨
∂
⎪
= ϕ
= ψ
⎪
∂
⎩

 

Задача Коши для 
*
1
V  имеет такое решение: 

 
(
)
(
)
(
)
( )
*
*
*
*
1
1
1
;
d
2
2

x at

x at

V
x t
x
at
x
at
s
s
a

+

−
⎡
⎤
=
ϕ
+
+ ϕ
−
+
ψ
⎣
⎦
∫
. 

Здесь, как и в главе 2, заменим 
*
ϕ  и 
*
ψ  на ϕи ψ, учитывая, что 

*
ϕ  и 
*
ψ  – четные продолжения ϕи ψ; обоснование 
*

1
1
V
V
=
 для 

0
x >
, 
0
t >
, как в [1]. Тогда 

(
)

(
)
(
)
( )

(
)
(
)
( )
( )

1

0
0

1
1
d ,
2
2

                     если
0,
0
;
;
1
1
d
d
,
2
2

                     если
0,
.

x at

x at

x at
at x

x
at
x
at
s
s
a

x
x
t
a
V x t

x
at
at
x
s
s
s
s
a

x
x
t
a

+

−

+
−

⎧
ϕ
+
+ϕ
−
+
ψ
⎡
⎤
⎪ ⎣
⎦
⎪
⎪
⎪
>
< ≤
⎪
= ⎨
⎡
⎤
⎪
ϕ
+
+ϕ
−
+
ψ
+
ψ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎪ ⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
⎪
⎪
>
≤ < + ∞
⎪⎩

∫

∫
∫

(3.14) 

Выражение (3.14) есть решение задачи (3.8) – (3.10). 
Для решения задачи (3.11) – (3.13) сделаем четное продолжение 
(
)
;
f x t
: 

 
(
)
(
)

(
)

*
;
,
если
0;

;
;
,
если
0.

f
x t
x
f
x t
f
x t
x

⎧
>
⎪
= ⎨
−
<
⎪⎩

(3.5*) 

Тогда для 
*
2
V  имеем задачу Коши: 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

2
*
2
*
2
*
2
2
2
2

*
*
2
2

;
,
0,
;                       3.11*

0
;0
0.                                                              3.12*

V
V
a
f
x t
t
x
t
x

V
V
x;
x
t

⎧∂
∂
=
+
>
− ∞ <
< + ∞
⎪ ∂
∂
⎪⎨
∂
⎪
=
=
⎪
∂
⎩

 

Решение задачи Коши (3.11*) – (3.12*) дается формулой (1.14) 
или (2.14*): 

 
(
)

(
)

(
)
*
*
2
0

1
;
d
d .
2

x a t
t

x a t
V
f
s
s
a

+
−τ

−
−τ

⎛
⎞
⎜
⎟
=
τ
τ
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
∫
 

Используя свойство 
(
)
*
;
f
x t , запишем решение для 
(
)
2
;
V
x t :