Высшая математика. Функции комплексного переменного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 80 

Кафедра математики

И.Е. Гопенгауз 

Высшая математика

Функции комплексного переменного 

Курс лекций 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 517.53 
 
Г66 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. Б.Е. Гопенгауз 

Гопенгауз, И.Е. 
Г66  
Высшая математика. Функции комплексного переменного : курс лекций / И.Е. Гопенгауз. – М. : Изд. Дом 
МИСиС, 2011. – 100 с. 
ISBN 978-5-87623-359-2 

Пособие представляет собой изложение курса лекций по теории функций 
комплексного переменного.  
Во введении излагаются начальные сведения о комплексных числах и об 
элементарных функциях комплексного переменного. Далее речь идет об условии дифференцируемости и о криволинейном интеграле в комплексной 
плоскости, о рядах Тейлора и Лорана. В третьей главе излагаются теория вычетов и ее применения. В четвертой главе рассказано о конформных отображениях, задаваемых с помощью элементарных функций. Пятая глава посвящена операционному исчислению и некоторым его приложениям. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 
230401 «Прикладная математика», а также для преподавателей, ведущих занятия по курсу «Теория функций комплексного переменного». 

УДК 517.53 

ISBN 978-5-87623-359-2 
© Гопенгауз И.Е., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Глава 1. Введение .....................................................................................4 
§ 1. Комплексные числа.......................................................................4 
§ 2. Степенные ряды в комплексной плоскости................................5 
§ 3. Элементарные функции в комплексной плоскости ...................7 
Глава 2. Регулярные функции ...............................................................10 
§ 4. Производная. Условия Коши – Римана. Сопряженные 
гармонические функции ....................................................................10 
§ 5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. 
Понятие конформного отображения ................................................16 
§ 6. Криволинейные интегралы в комплексной области................17 
§ 7. Теорема Коши..............................................................................21 
§ 8. Интегральная формула Коши. Следствия.................................26 
§ 9. Ряды Тейлора и Лорана. Следствия...........................................30 
§ 10. Теорема единственности и принцип максимума модуля 
для аналитических функций..............................................................35 
Глава 3. Вычеты и их применения........................................................39 
§ 11. Поведение функции в окрестности изолированной 
особой точки.......................................................................................39 
§ 12. Вычеты .......................................................................................44 
§ 13. Вычисление несобственных интегралов 
с помощью вычетов............................................................................48 
§ 14. Принцип аргумента. Теорема Рушé.........................................55 
Глава 4. Конформные отображения, осуществляемые основными 
элементарными функциями...................................................................64 
§ 15. Линейная и дробно-линейная функции...................................64 
§ 16. Степенная, показательная и логарифмическая функции.......70 
§ 17. Функция Жуковского. Тригонометрические функции..........73 
Глава 5. Операционное исчисление......................................................78 
§ 18. Функции-оригиналы и их изображение по Лапласу..............78 
§ 19. Основные теоремы операционного исчисления. 
Изображение периодических функций ............................................81 
§ 20. Построение таблицы простейших операционных 
соответствий. Изображение дробных степеней ..............................86 
§ 21. Нахождение оригинала по изображению. Теоремы 
разложения..........................................................................................90 
§ 22. Примеры применения операционного исчисления................94 
Библиографический список...................................................................99 

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ 

§ 1. Комплексные числа 

Мнимая единица − это 
1
i =
−  (от слова imaginary). Так как 
2
1
0
i = − <
, то i не может быть действительным числом. Комплекс
ным числом называется сумма вида z
x
yi
=
+
, где ,x y ∈R. Число x 

называется действительной частью z, число y называется мнимой 
частью z. Записывается это так: 
Re( ),  
Im( )
x
z
y
z
=
=
. Повторим ещё 
раз, что y, как и x, действительное число. Множество (поле) всех 
комплексных чисел обозначают C. 

 

Рис.1 

Поставим в соответствие комплексному числу z
x
yi
=
+
 точку с 
декартовыми координатами (x, y), рис. 1. Полярные координаты этой 
же точки обозначим , 
r ϕ . В таком случае 
cos , 
sin
x
r
y
r
=
ϕ
=
ϕ . По
этому 
(
)
cos
sin
z
r
i
=
ϕ +
ϕ . Ясно, что 
2
2
r
x
y
=
+
. 
В отличие от алгебраической записи z
x
yi
=
+
, равенство 
(
)
cos
sin
z
r
i
=
ϕ +
ϕ  называется тригонометрической записью комплексного числа z. Число r называют модулем z, число φ − аргументом 
z; 
их 
обозначения: 
,  
arg( )
r
z
z
=
ϕ =
. 
Точнее 
говоря, 
arg
(
; ]
z ∈ −π π  − главное значение многозначной функции. Полное 
значение функции − это Arg
arg
2
,  
z
z
k
k
=
+
π
∈. 

Если 1
1
1
z
x
y i
=
+
, 2
2
2
z
x
y i
=
+
, то 
(
)
(
)
1
2
1
2
1
2
z
z
x
x
y
y
i
+
=
+
+
+
. 

Перемножать комплексные числа удобнее, если использовать их тригонометрическую запись. Действительно, 

(
)
(
1 2
1 2
1
2
1
2
cos
cos
sin
sin
z z
r r
=
ϕ
ϕ −
ϕ
ϕ
+  

(
))
1
2
1
2
sin
cos
cos
sin
i
+
ϕ
ϕ +
ϕ
ϕ
=  

(
)
(
)
(
)
1 2
1
2
1
2
cos
sin
r r
i
=
ϕ + ϕ
+
ϕ + ϕ
. 

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули 
перемножаются, а их аргументы складываются. Это подсказывает 
еще одну форму записи комплексных чисел − показательную или 
экспоненциальную: z = reiφ. Более естественное обоснование формул Эйлера 

cos
sin ,  cos
,  sin
2
2

i
i
i
i
i
e
e
e
e
e
i
i

ϕ
− ϕ
ϕ
− ϕ
ϕ
+
−
=
ϕ +
ϕ
ϕ =
ϕ =
,  

связывающих показательную функцию и тригонометрические функции, будет дано в теории степенных рядов. 
Число z
x
yi
=
−
 называют сопряженным к числу z
x
yi
=
+
. Яс
но, что 
2
zz
z
=
. 

Свойства операции сопряжения: (
)
1
2
1
2
z
z
z
z
±
=
±
, 1
2
1
2
/
/
z
z
z
z
=
, 

(
)
1 2
1 2
z z
z z
=
, 

§ 2. Степенные ряды в комплексной плоскости 

В комплексном случае теорема Абеля для степенных рядов справедлива в той же формулировке, что и в действительном случае. 

Теорема Абеля. Если степенной ряд 
(
)
0

k
k
k
c
z
a
∞

=
−
∑
 сходится 

0
при  z
a
≠
, то этот ряд абсолютно и равномерно сходится на множе
стве 
0
,  где  
z
a
r
r
z
a
−
≤
< ρ =
−
. 

Доказательство формально то же, что и в действительном случае*. 
И снова из этой теоремы следует существование такого числа R − 
радиуса сходимости, что ряд сходится, когда z
a
R
−
<
, и расходит
ся, когда z
a
R
−
>
. Разница, однако, имеется.  

 

Рис. 2 

На действительной числовой прямой множество 
x
a
R
−
<
 
представляет 
собой 
интервал 
(интервал 
сходимости). 

. На комплексной плоскости множество z
a
R
−
<
 − круг сходимости степенного ряда, а число R − радиус 
этого круга (рис. 2). 

И снова 
1
R
L
=
, где 
1
|
|
lim |
|

n

n
n

c
L
c

+

→∞
=
 или 
lim
|
|
n
n
n
L
c
→∞
=
. В общем слу
чае 
lim
|
|
n
n
n
L
c
→∞
=
 (Коши – Адамар). 

––––––––– 

* Так как по условию ряд 
0
0
(
)k
k
k
c
z
a

∞

=
−
∑
 сходится, то его общий член  стремится 

к нулю, следовательно, 
0
M
∃
>
 такое, что 
k
kc
M
ρ ≤
 или 
/
, 
k
kc
M
k
≤
ρ
∀ . Поэто
му 
 
при z
a
r
−
≤
< ρ  будет 
(
)
(
)
/
, где 
/
1
k
k
k
k
c
z
a
M r
Mq
q
r
−
≤
ρ
=
=
ρ < , т.е. дан
ный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом. По теореме Вейерштрасса 
рассматриваемый 
степенной 
ряд 
сходится 
абсолютно 
и 
равномерно 

 
при z
a
r
−
≤
< ρ . 

§ 3. Элементарные функции в комплексной 
плоскости 

Для того чтобы распространить основные элементарные функции на 
комплексную плоскость, воспользуемся степенными разложениями: 

2
3
4

0
: 1
...
, 
;
2!
3!
4!
!

n
z

n

z
z
z
z
e
z
z
n

∞

=
= +
+
+
+
+
=
∀ ∈
∑
(
)

2
4
2

0
ch : 1
...
, 
;
2!
4!
2
!

n

n

z
z
z
z
z
n

∞

=
= +
+
+
=
∀ ∈
∑
(
)

3
5
2
1

0
sh :
...
, 
;
3!
5!
2
1 !

n

n

z
z
z
z
z
z
n

∞
+

=
=
+
+
+
=
∀ ∈
+
∑
(
) (
)

2
4
2

0
cos : 1
...
1
, 
;
2!
4!
2
!

n
n

n

z
z
z
z
z
n

∞

=
= −
+
−
=
−
∀ ∈
∑
(
) (
)

3
5
2
1

0
sin :
...
1
, 
.
3!
5!
2
1 !

n
n

n

z
z
z
z
z
z
n

∞
+

=
=
−
+
−
=
−
∀ ∈
+
∑
Из этих определений следует, что 
ch
sh
z
e
z
z
=
+
, 
ch
sh
z
e
z
z
−
=
−
. 
Поэтому 

ch
2

z
z
e
e
z
−
+
=
 и sh
2

z
z
e
e
z
−
−
=
. 

Далее, 

2
3
4
5
6
7
8
1
...
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
iz
z
z
z
z
z
z
z
e
iz
i
i
i
= +
−
−
+
+
−
−
+
+
, следовательно, 

 
cos
sin
iz
e
z
i
z
=
+
, 
(1) 

и 

 
cos
sin
iz
e
z
i
z
−
=
−
. 
(2) 

Поэтому 

cos
2

iz
iz
e
e
z
−
+
=
, 
(3) 

 
sin
2

iz
iz
e
e
z
i

−
−
=
. 
(4) 

 

Соотношения (1), (3) и (4) называются формулами Эйлера. 
Следствия: 
( )
ch
cos
iz
z
=
, 
( )
cos
ch
iz
z
=
, 
( )
sh
sin
iz
i
z
=
, 

( )
sin
sh
iz
i
z
=
; наконец, 
(cos
sin )
i
z
r
i
re ϕ
=
ϕ +
ϕ =
, это − экспоненциальная запись комплексного числа. 

Свойства основных элементарных функций 

1. Теоремы сложения 
Так как абсолютно сходящиеся ряды можно почленно перемножить, то 

1
2

2
1
1
1

2
2
2
2

1
...
...
2!
!

1
...
...
2!
!

n

z
z
n

z
z
z
n
e e
z
z
z
n

+
+
+
+
+
= ×
=

+
+
+
+
+

(
)
1
2
1
z
z
+
+
+  

(
)
2
2
1
1 2
2
1
2
...
2! z
z z
z
+
+
+
+
(
)
1
1 2
2
1
!
...
...
!
!
!
n
k n k
n
n
z
z z
z
n
k n
k
−
⎛
⎞
+
+
+
+
+
=
⎜
⎟
−
⎝
⎠
 

(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
...
...
2!
!

n
z
z
z
z
z
z
z
z
e
n
+
= +
+
+
+
+
+
+
+
=
. 

Таким образом, 
1
2
1
2
z z
z
z
e
e e
+
=
. Это − теорема сложения для показательной функции. 
Упражнение. С помощью последнего соотношения и формул Эйлера доказать теоремы сложения для тригонометрических функций в 
комплексной плоскости: 

(
)
1
2
1
2
1
2
sin
sin
cos
cos
sin
z
z
z
z
z
z
+
=
+
, 

(
)
1
2
1
2
1
2
cos
cos
cos
sin
sin
z
z
z
z
z
z
+
=
−
. 

2. Периодичность 
(
)
sin
2
sin cos2
cos sin2
sin
z
z
z
z
+ π =
π +
π =
; аналогично 
(
)
cos
2
cos
z
z
+ π =
. 

Экспонента имеет чисто мнимый период: 
2
2
z
i
z
i
e
e e
+ π
π
=
=  

=
(
)
cos2
sin 2
z
z
e
i
e
π +
π =
. 
3. Неограниченность тригонометрических функций 
Имеем 
(
)
sin
sin
sin ch
cos sh
z
x
iy
x
y
i
x
y
=
+
=
+
, следовательно, 

2
2
2
2
sin
sin
ch
cos
sh
z
x
y
x
y
=
+
= 

(
)
2
2
2
2
2
2
sin
1
sh
cos
sh
sin
sh
x
y
x
y
x
y
=
+
+
=
+
. 

Аналогично доказывается, что 
2
2
cos
cos
sh
z
x
y
=
+
. 
Отсюда следует, что |sin z| и |cos z| эквивалентны величине 

1
sh
2

y
y
e
→ ∞
∼
 при  y → ±∞ . 

Из этих же формул видно, что нули функций sin z , cos z  лежат на 
действительной оси. 

По определению 
sin
tg
,  
cos
2
z
z
z
k
z
π
=
≠
+ π , 
cos
ctg
,  
,
sin
z
z
z
k
z
=
≠ π  

k ∈. 

Логарифмическая и показательная функции 

Логарифм − функция, обратная по отношению к экспоненте: 

Ln
z
w
e
z
w
=
⇔
=
. 

Если z
x
iy
=
+
, то 
iy
z
x
e
e e
=
; следовательно, 
,
z
x
e
e
=
 Arg ez = 

2
,
y
k
=
+
π  k ∈. 

Если 
(
)
2
i
k
w
e θ+
π
= ρ
, то 
(
)
Ln
ln
2
w
i
k
=
ρ +
θ +
π , иначе говоря, 

(
)
Re Ln
ln
w
w
=
, 

(
)
Im Ln
Arg
arg
2
, 
w
w
w
k
k
=
=
+
π
∈. (Напомним, что 
(
]
arg
,
w∈ −π π .) 

ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ 

§ 4. Производная. Условия Коши – Римана. 
Сопряженные гармонические функции 

1˚. Дадим определение производной функции комплексного переменного. 
Определение. Рассмотрим функцию 
( )
f z , определенную в круговой 

окрестности 
0
z
z
r
−
<
 точки 
0
z . В таком случае 
(
)
0
f
z
=
′
 

(
)
(
)
0
0

0
lim
z

f z
z
f z

z
Δ →

+ Δ
−
=
Δ
, если, разумеется, этот предел существует. 

Мы почти дословно повторили определение производной в вещественном случае. Однако если там 
x
Δ  могло стремиться к нулю 
только слева или справа, то сейчас arg z
Δ  ничем не ограничен. Было 

бы только 
0
z
Δ →
. Мы увидим дальше, что это обстоятельство приводит к существенному различию в свойствах дифференцируемых 
функций действительного и комплексного переменного. 
Из определения производной следуют обычные правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции. 

Пример. Доказать, что (
)
1,  
n
n
z
nz
n
−
′ =
∈. 

Имеем 

(
)
(
)

0
lim
n
n
n
z

z
z
z
z
z
Δ →

+ Δ
−
′ =
=
Δ
 

(
)
(
)
1
1
0
lim

n
n
n
n
z

z
nz
z
o
z
z
nz
z

−
−
Δ →

+
Δ +
Δ
−
=
=
Δ
. 

2˚. Условия Коши – Римана 
Теорема. Пусть функция 
( )
(
)
(
)
,
,
,  где  
f z
u x y
iv x y
z
x
iy
=
+
=
+
, оп
ределена в окрестности точки 0
0
0
z
x
iy
=
+
. Для существования про
изводной 
(
)
0
f
z
′
 необходимо и достаточно выполнение следующих 

двух условий: 

1) функции двух переменных (
)
,
u x y  и (
)
,
v x y  дифференцируемы 

в точке (
)
0
0
,
x y ; 

2) в этой точке выполнены равенства: 

 
u
v

x
y
v
u

x
y

∂
∂
⎧
=
⎪∂
∂
⎪⎨∂
∂
⎪
= −
⎪∂
∂
⎩

 − уравнения 

Коши – Римана. 
Доказательство необходимости условий. 
Пусть существует 
(
)
0
f
z
A
iB
=
+
′
, это значит, что в точке 
0
z  

( )1
f
A
iB
o
z
Δ
=
+
+
Δ
 при 
0
z
Δ →
 или 
(
)(
)
u
i v
A
iB
x
i y
Δ + Δ =
+
Δ + Δ
+  

(
)
(
)
2
2
o
x
y
⎛
⎞
Δ
+ Δ
⎜
⎟
⎝
⎠  при 
 и 
0
x
y
Δ
Δ →
. 

Иначе говоря, 
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2

2
2
  при  
,
0
u
A x
B y
o
x
y
x
y
v
B x
A y
o
x
y

⎧
⎛
⎞
Δ =
Δ −
Δ +
Δ
+ Δ
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎪
Δ Δ →
⎨
⎛
⎞
⎪Δ =
Δ +
Δ +
Δ
+ Δ
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎩

.  

Таким образом, в точке (
)
0 0
,
x y  

1) функции (
)
(
)
,
, 
,
u x y
v x y  дифференцируемы; 
2) выполнены равенства: 

  

  
  уравнения  Коши 
 Римана.

u
v
A
x
y
v
u
B
x
y

∂
∂
⎧
=
=
⎪ ∂
∂
⎪
−
−
⎨∂
∂
⎪
= −
=
⎪∂
∂
⎩

 

Доказательство достаточности условий.  
Пусть в точке (
)
0
0
,
x
y
 функции (
)
(
)
,
 и  
,
u x y
v x y  дифференцируемы? и 

пусть в этой точке выполнены равенства 
u
v

x
y
∂
∂
=
∂
∂  и 
v
u

x
y
∂
∂
= −
∂
∂ . Если 

обозначить u
v
A
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
, v
u
B
x
y
∂
∂
= −
=
∂
∂
, то получим