Математика: Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной

№ 2769           МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
     «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»


   Кафедра математики






                Математика




        Предел функции. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной

  Сборник задач


  Рекомендовано редакционно-издательским советом университета





            МИСиС



Москва 2016

УДК 517.3 М34

Рецензент
д-р техн. наук, проф. А.В. Горбатов


Авторы: И.В. Сурская, П.В. Макаров, А.Э. Адигамов, С.В. Шерстов






        Математика : Предел функции. Дифференциальное и инте-М34 гральное исчисление функций одной переменной : сб. задач /

     И.В. Сурская [и др.]. - М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. - 49 с.
        ISBN 978-5-906846-43-3




         Сборник содержит практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл».
         Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Некоторые разделы сборника начинаются с указания тем, знание которых необходимо при выполнении заданий.

          Сборник задач предназначен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС».


УДК 517.3



ISBN 978-5-906846-43-3

© Коллектив авторов, 2016
© НИТУ «МИСиС», 2016

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ............................................ 4
I. Предел функции .......................................5
II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной . 13
III. Интегральное исчисление функций одной переменной ..26
IV. Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения ......................... 34
V.  Несобственный интеграл .............................45

3

ПРЕДИСЛОВИЕ
   В сборнике подобраны практические задания по пяти разделам высшей математики: «Предел функции», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Определенный интеграл и некоторые его геометрические приложения», «Несобственный интеграл».
   Некоторые разделы начинаются с перечня тем, знание которых необходимо при выполнении заданий. Затем представлены индивидуальные задачи для каждого студента группы. Каждое задание составлено в 30 вариантах. Задачи, предложенные в сборнике, разного уровня сложности. Это позволит преподавателям пользоваться данным сборником при выполнении студентами не только контрольных аудиторных, но и домашних работ, ориентируясь на разный уровень подготовленности студентов.
   Сборник задач составлен для студентов всех отделений, обучающихся в НИТУ «МИСиС». Он также может использоваться студентами других вузов при подготовке к зачетам или экзаменам и преподавателями для проведения контрольных работ.
   Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания, которые можно присылать по электронной почте: ivsurs@mail.ru.

4

I. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
   1. Определение предела функции. Свойства пределов.
   2.   Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.
   3. Раскрытие неопределенностей.
   4. Первый и второй замечательные пределы.

Вариант 1

Вариант 2

1. lim
x ^w

5 x + 2
3 x⁴+7x¹ ²+2;

1. lim
x ^w

3 x⁴ + 5 x² + 2 .
5 x² - 8 x -1 ;

2. lim
x ^2

2. lim
x ^5

5x² - 26x + 5
x² - 2 x -15 ’

x² - 5 x + 6
2 x² - 3 x - 2 ;

x ^0    x

       1- cos 6x
4. lim-----;----;
   x ’ x

5 5. 5+ + x - >/13 - x
3. lim-----------. ------x >4   2 - V8 - x

sin x
4. lim-----
x>n x 
;
К

arcsin² 4x
5.  lim----------;
x >0 x tg3 x

          3x
         e -1
5.  lim---------;
   x >-0 arctg 8 x

        6. lim
          x ^w

2 x - 3 ^ x
2 x - 2 )

6. lim
x ^w

3 x + 4 ^ x
3 x + 2 J

Вариант 3

Вариант 4

        1. lim

           x ^w

3 x⁵ - 7 x³ + 5 .
2 x + 8 ;

1. lim
x ^w

7 x⁴ + 5 x³ - 2 ;
3 x³ - 5 x² ’

2. lim
x ^-2

3 x² + 5 x - 2
x² + 3 x + 2 ’

2. lim
   x ^-1

2 x² + x -1 x² +6x+5

3. lim
x ^1

"Vx — 2- — x 8+ + x - л/10 - x

3.

6 6- - x - y/x - 4 lim----------------;
x ^5     x - 5

4. lim

xsin8x

x>0' 1 - cos x

4.

5. lim
x ^0

arctg 11 x e⁻⁷ x -1

5.

sin² 3x lim——— ;
x ^0 x³ + 2 x²
1-   cos3x lim  ;
x ^0 x ■ arctg x

6. lim
x ^w

f 3 x - 5 \
L 3 x + 2 J

6. lim
x ^w

x + 5
x - 2

7x -1

5

Вариант 5

Вариант 6

1. lim
x ^w

7 x⁴ + 3 x² + У5 .
1~T-x² + 3 x

1. lim
x ^w

4 x³ + 5 x² -1 ;
5 x⁴ - 3 x ’

       2x² +9x+9
2. lim —----------;
   x ^-3 x² + 2 x - 3
x ,. lx +1 -11 - x
3. lim---. -------   x ^0 1+ + x -1
       sin³ 7x
4. lim----2— ;
   x>⁰ хsin² 6x

2. lim
   x ^-3

3 x² + 8 x - 3 x² + 5x+ 6

;

3. lim
x ^4

2 - V8 - x x - 4

      tg² 3x
4. lim—=-2— ; x>0 sin² 5x

e⁷x
5. lim e

	

e³x

   x >-0 tg 8 x
3x
, г™ I x +1 ]
6. lim I------I
   x>v I x + 5 J

;

cos4x-cos2x
5. lim-------2---x >⁰ arcsin² 3 x

6. lim
x ^w

2 x +1
2 x - 5

4x+1

1. lim
x ^w

Вариант 7
2 x + 7
3 x³ + 5 x + 2;

Вариант 8

1. lim
x ^w

6 x³ + 8 x² -1
3 x + 2 ;

2. lim
x ^-3

² -4x-21

3x² +11x+6

2. lim
x ^1

3. lim—== x -14

3-x

;

4 x + x — 5
x² + 2 x - 3 ’

3. lim
x ^3

;

— Г —

      sin² 2x
4. lim—------;
   x >0 x + 3 x

cosx-1
4. lim-------x^2" x - 2л

      lncos5x
5. lim--------;
   x >0 ln cos 8 x

x⁴ sin —
5

5. lim 4
   x ^0 arctg⁴ x

;

6. lim
x ^w

5 x + 4
5 x - 3

2x+3

6 x²
, I 3 x² - 2 )
6. lim I —2-----I
   x^w 1 3 x² + 4 J

6

Вариант 9

Вариант 10

1 lim
x ^w

8 x³ - 4 x +1
3 x² - 7 x + 5 ;

      9x⁶+ 3x²
1. lim -----  x>' 2x³+3x +1

-1

;

x² -14x+40
2. lim —2-------;
   x>⁴ 6x² - 23x - 4

2. lim

2x²

2

-7x-4

-2x-8

3 lim
x ^3

4 lim

7- - x - 2
  x - 3 ;
    x²

3. lim
x ^2

x-2

x-1 - Тэ

;
— x

5 lim

1- cos 4x lncos2x

sin⁴ 9x
4. lim——---x^0 х² tg² 2x

;

x>0 x sin 5x

;

2x²
л г I x ⁺ ⁴ I
6 . lim I —------I
    x >v 1 x² - 5 J

       1 - e⁻⁴x
5. lim---------x >0 arcsin 3 x

6. lim
x ^w

4x+10

4x-7

;

3x+1

1. lim
x ^w

Вариант 11
7x² +3x-2

Вариант 12

2. lim
x ^-4

x⁴+ 5x³+ 4
3 x² +14 x + 8
 x² + 2 x - 8 ’

1. lim
x ^w

2. lim
x ^1

5 x + 4
9 x² + 8 x - 7 ;

4 x² - 7 x + 3
2 x - x -1

   .. x- - 2 - 4- - x
3. lim--------------   x >³    x - 3
       sin² 5x
4. lim—------- ;
   x > 2 x² + x
       1- cos7x
5. lim------2— ;
   x>⁰ arcsin² 5x

;

3. lim
x ^1

1-x

x

- 2- - x

        tg4x
4. lim —²-----;
   x^0 x cos 2x

6. lim
x ^w

5x -1I⁴x

      ln (x + 1) - sin² 5x
5. lim—--------------;
   x ^0  arcsin 4 x

5x+7

6. lim
x ^w

3x-4
x+7 I

x-10

7

Вариант 13

Вариант 14

1. lim
   x ^w

3 x⁶ + 3 x³ -1 . x⁵ + 4 x + 2 ’

1. lim
x ^w

7 x⁴ - 3 x³ + 5 . 1° x⁵ + 5 x + 3 ;

2. lim
x ^5

2. lim
   x ^-1

7 x² + 9 x + 2 ;
2 x² + x -1

2x² - 6x - 20 ; x² - 2 x -15 ’

   . x- - 2 -1
3. lim---------;
   x>³  x - 3

3. lim
x ^3

x - 3
5/7 — x — x X + 1

4. lim-tg-²- ;
   x >° x + 3 x

          3x
       Sin —
5.  lim----4- ;
   x ° arctg x
5x-2
i I 6x + 3 ^
6.  lim I-----I
   x ^w I 6 x -1 J

      1-   cos4x
4.  lim--------;
   x >°   . x
        x Sin —
             2

        8x 3x
       e8x ₋e3x
5.  lim---------;
   x >° arctg 4 x

4x-5

6. lim
   x ^w

2 x - 3
2 x + 5

Вариант 15

Вариант 16

1. lim
x ^w

5 x⁵ + 4 x - 6
3 x⁶ - 5 x +10 ;

1. lim
x ^w

 9 x⁹ + 7 x ⁷
3 x³ - 2 x² +1;

2. lim
x ^2

3 x² - 7 x + 2 .
2 x² - 3 x - 2 ;

2. lim
x ^-4

x² - 3x - 28
3 x² + 8 x -16 ;

3. lim
x ^5


    a/9 - x 

x-5

3. lim
x ^2

x - 2
x-^1 -1 ;

4. lim

sin²10x

x>° tg 4x ■ sin 5x

x² - 6x+5
4. lim---------;
x^⁵ sin(x - 5)

cos8x-1
5. lim-----2— ;
x >⁰ arcsin² 3x

3 x + 7 Y x

5. lim
x ^°

arctg² 9 x
( e ⁻ ⁸ x -1) tg x

6. lim
x ^w

3x-8

6. lim
x ^w

2x-1
6 x + 7 1

6x-4

8

1. lim
x ^w

Вариант 17
x² -3x+2

2. lim
x ^-2

5x+2
3 x² + 8 x + 4 .
2 x² + 7 x + 6 ;

1. lim
x ^w

Вариант 18 (30x⁷ + 5)(x +1)

2. lim
x ^5

71 - x - 2

3. lim ----=—
x>³ Vx - 2 -1

;

3. lim

10-x⁸
x² + x - 30
4x² -15x - 25 ; x-4

;

- V13 - x ’

3 _____

4x²

4. lim
   x >⁰ tg3x ■ sin² 7x

;

In (2x +1)- tg² 4x
5. lim—----------
6. lim
x ^w

arcsin9x
3x+2
5 x - 2 |

;

      8+2x-x²
4. lim--------- ;
   x>⁴ sin(4 - x)
      lncos3 x
   x >0lncos7x ’

5 x + 4

6. lim
x ^w

5x+1
x -10 ]

x-7

1. lim
x ^w

Вариант 19
(x+5)³+3x-1

2. lim
x ^-3

5x³ +4x+1
2 x² + 9 x + 9
4 x² +11 x - 3 ;

;

1. lim
x ^w

Вариант 20 (30 - x)(x³ +1)

2. lim
x ^-5

5x⁴ -1

;

4 x² +19 x - 5
2 x² +13 x +15 ;

V8⁻ x
3. lim---
	

   x>4    x - 4
      sin² 5x
4. lim-------- ;
   x >0 x sin 2 x
1- cos9x
5. lim--------   x >0 x arcsin x

x
;

;

2x² +1

    , I 3 x² - 2 )

6. lim I —2-----I
   x^w 1 3x² + 5 J

3. lim
x ^3

4. lim

V1 + x - 2
  x - 3 ;
1- cos 4x

x>0 x tg2x

1-e
5. lim--
-5x

x>0 sin3x

6. lim
x ^w

;

;

3x+4
5 x - 8 |

5x+5

9

1. lim
x ^w

Вариант 21
3 x⁵ + x - 4 _ >9 x⁵ - 4 x +1;

Вариант 22
1. Um (3x22 ⁺ "2x ⁻ ⁴⁾. x^w (x -1)(x² - 2x)

2. lim
x ^-7

2x² + 9x - 35
3x² +17x - 28 ;
  (x-2)²

2. lim

5x²
2x²

	

	

18 x - 8
4 x -16 ;

3. lim -----=----=

    x >; Vx -1 - V3

        sin² 4x
4. lim---------;
   x >⁰ x³ ctg 3 x

	

;
x

3. lim _ x - V8

2 - Y8
- x 
x
~i=; xx

4. lim

1 - cos 5x

x >0 x - 3 x

2;

e²x
5. lim e

-e

x ^+0 arctg 8 x

;

arcsin³ 8x
5. lim--------2— ;
x >⁰sin xtg 8x

6. lim
x ^w

7x -10 ^6x ⁺ ³

7x+1

6. lim
x ^w

x+5
4 x + 9 )

4x-8

1. lim x ^w

Вариант 23 (7-x²)(2x³+4)

2. lim
    x >' 6 x

x⁵ + 10 x² - 25 . ² - 29x - 5 ;

;

1. lim

Вариант 24
9x³+2x²+1

x>' (x

2. lim

3. lim

4. lim

x² x² ctg x

x>0 sin 2x

;

² - 4)(x +1)

8x²
6x²

-5x-3

	

x-5

5. lim—---  x ^0 ex -1

;

6. lim
x ^w

3 x - 4 Y x⁺⁵

3x+10

3. lim = x ^1 <8 + x

4. lim

x-1

- V10 - x ’

sin(x - 3)

x'" x

2    6;
-x-6

     ln (cos 4 x )
5. lim—¹—2—- ; x>⁰ arcsin² 7 x

6. lim
x ^w

4 x -1Y x⁺¹

4x + 5

10

1. lim
x ^w

Вариант 25
(x - 4)(13 - x)

2. lim
x ^-5

3. lim
x ^0

4. lim

8 x² + 5 x - 2 ’ x² + 3 x -10
4x² + 23x +15 ’

1 + x² -1
---------;
   x
4 - x²

1. lim
x ^w

Вариант 26
4 x² + 8 x - 5

2 x - 3

•

2. lim
x^i 2x'

3. lim
x ^3

x³ -1

2

	

x - 5 ’

x x — 2 — 4 - — x

x +1 - 2

•

   x >2 sin(2 - x)
x x tg5 x
5. lim-----2— •
   x >⁰ arctg² 9 x

•

4. lim

1 - cos3x

• 2 •
Sin x

5. lim
x ^0 e

tg 3x

,6 x

	

e² x •

а г f ⁷ x - 4 Yx
6. lim I-----I
x ^w I 7 x +10 J

6. lim
x ^w

5 x - 8

5 x +1

x-7

1. lim
x ^w

Вариант 27
(x - 2)⁴ + 2x

Вариант 28

2. lim
x ^-3

3 x⁴ - 5 x² -1’
4 x² + 9 x - 9
7 x² +10 x + 3 ;

1. lim
x ^w

2. lim
x ^-2

3. lim
x ^5

4. lim
x ^V

lx -1 - 2 • x - 5 ’
sin 2x

    ---— •


3. lim
x ^5

7 x³ + 4 x + 2 .
4x +1 - (10 - x)³ ;

x² - 3 x -10
9x² + 22x + 8 ;

(x - 5)²
6б - x - yjx - 4

x     x arctg5 x
5. lim-------2---•
   x>⁰ arcsin² 7x
        z      \5x-2
, f f x + 11 1
6. lim I-------I
   x>v I x - 9 J

     tg²2 x
4. lim-²—— ; x^⁰ sin 3 x

      x ln (4 x +1)
5. x™ lncos3x •

6. lim
x ^w

_ X 3 x +1
4 x +10 Vx

4 x - 7

11