Интегральное исчисление функций многих переменных : векторный анализ

Москва  2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
Кафедра математики

Л.Р. Ким-Тян
И.С. Недосекина

Интегральное исчисление функций 
многих переменных. Векторный анализ

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2973

УДК 517 
 
К40

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук Д.Е. Капуткин

Ким-Тян Л.Р.
К40  
Интегральное исчисление функций многих переменных. 

Векторный анализ: курс лекций / Л.Р. Ким-Тян, И.С. Недосекина. – М.: Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 96 с.
ISBN 978-5-906846-98-3

Курс лекций читается авторами во втором семестре в рамках программы 

по математике для физико-химических направлений и является продолжением 
курсов «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функций многих переменных» и «Интегральное 
исчисление функций одной переменной».

УДК 517

 Л.Р. Ким-Тян, 

И.С. Недосекина, 2018
ISBN 978-5-906846-98-3
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОгЛавЛение

1. Кратные интегралы ...........................................................................4
1.1. Определение и свойства двойного интеграла .........................4
1.2. Вычисление двойного интеграла .............................................8
1.3. Определение и свойства тройного  
и n-кратного интегралов............................................................12
1.4. Вычисление тройного интеграла .............................................14
1.5. Замена переменных в двойном интеграле ...............................16
1.6. Замена переменных в тройном интеграле ...............................27

2. Криволинейные интегралы ..............................................................34
2.1. Вектор-функции скалярного аргумента.  
Гладкие и кусочно-гладкие кривые в пространстве ...............34
2.2. Криволинейные интегралы первого рода ................................36
2.3. Криволинейные интегралы второго рода ................................38
2.4. Формула Грина ...........................................................................44

3. Поверхностные интегралы ...............................................................50
3.1. Поверхностные интегралы первого рода ................................50
3.2. Поверхностный интеграл второго рода ...................................54
3.3. Формула Остроградского–Гаусса .............................................66
3.4. Формула Стокса .........................................................................72

4. Элементы теории поля .....................................................................80
4.1. Скалярные поля. Их основные характеристики .....................80
4.2. Векторные поля. Их основные характеристики .....................83
4.3. Специальные виды векторных полей ......................................85
4.4. Оператор Гамильтона ∇ (набла) ...............................................91
4.5. Дифференциальные операции второго порядка.  
Оператор Лапласа ......................................................................93
Библиографический список ..................................................................95

1. КРаТнЫе инТегРаЛЫ

1.1. Определение и свойства двойного интеграла

Задача об объеме криволинейного цилиндра

Пусть в пространстве дано тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, y), с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и снизу – плоской фигурой G на плоскости xОy. Тело такого вида называется криволинейным цилиндром 
(рис. 1.1). Требуется найти его объем V.

x 

y 

z 
z = f(x, y) 

(ξi, ηi) 

G 

О 

f(ξi, ηi) 

Рис. 1.1. Криволинейный цилиндр. Вычисление его объема

Разобьем область G на n произвольных областей Gi (i = 1, 2, …, n), 

не имеющих общих внутренних точек, с площадями DSi (i = 1, 2, …, n). 
Рассмотрим цилиндрические столбики, которые имеют основаниями эти области и в совокупности составляют данное тело. В каждой 
области Gi возьмем произвольную точку (xi, hi) и вычислим f(xi, hi). 
Объем i-го столбика Vi ≈ f(xi, hi)DSi (см. рис. 1.1). Тогда объем криволинейного цилиндра

1
1
(
,
)

n
n

i
i
i
i
i
i
V
V
f
S

=
=
=
≈
x h D
∑
∑
.

Естественно предположить, что 

1
(
,
)

n

i
i
i
i
f
S
V

=
x h D
→
∑
, n → ∞.

Определение двойного интеграла

Пусть G∈R2 – замкнутая ограниченная область; функция z = f(x, y) 

определена и ограничена в области G. Предполагается, что граница области G состоит из конечного числа кривых, определяемых непрерывными функциями вида у = j(x) и x = y(y). Разобьем область G на n произвольных областей Gi (i = 1, 2, …, n), не имеющих общих внутренних 

точек, с площадями DSi (i = 1, 2, …, n). Обозначим 
{
}
1

n

i
i
G
=
t =
 – разбиение области G.
В каждой области Gi возьмем произвольную точку (xi, hi) и составим сумму

1

(
)
,

n

i
i
i

i

f
S
t
=
s =
x h D
∑
,

которая называется интегральной суммой Римана для функции f в области G, соответствующей данному разбиению t и выбору промежуточных точек (xi, hi).
Пусть d(Gi) – диаметр множества Gi – наибольшее расстояние 

между его граничными точками. Обозначим 

1max (
)
i
i n d G
t
≤ ≤
l =

 
– мел
кость разбиения.
ОПРеДеЛение 1.1. Пусть существует 

0
lim
I

t
t
l → s =
, не завися
щий от характера разбиения t и выбора промежуточных точек (xi, hi). 
Тогда функция z = f(x, y) называется интегрируемой по Риману в области G, а число I – двойным интегралом от этой функции по G и обозначается одним из символов

( , )
( , )

G
G
I
f x y ds
f x y dxdy
=
=
∫∫
∫∫
.

Геометрический и физический смысл  
двойного интеграла

1. Пусть функция f(x, y) ≥ 0 и непрерывна в области G. Тогда объем криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью 
z = f(x, y) и снизу – областью G, 

( , )

G
V
f x y dxdy
= ∫∫
.

2. Если положить f(x, y) = 1 всюду в области G, то площадь этой 

области 

G
S
dxdy
= ∫∫
.

3. Если f(x, y) – поверхностная плотность материала, из которого 

изготовлена плоская пластинка, то ее масса

( , )

G
m
f x y dxdy
= ∫∫
.

Теоремы, дающие достаточные условия 
интегрируемости

ТеОРеМа 1.1. Функция f(x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области G, интегрируема в этой области.
ТеОРеМа 1.2. Функция f(x, y), ограниченная в замкнутой ограниченной области G и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида у = j(x) и x = y(y), интегрируема в этой области.

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому ограничимся их 
формулировкой.
1. Если f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области G, то для любых 

чисел α, β функция

αf(x, y) + βg(x, y)

интегрируема в G и имеет место равенство

(
( , )
( , ))
( , )
( , )

G
G
G

f x y
g x y dxdy
f x y dxdy
g x y dxdy
a
+ b
= a
= b
∫∫
∫∫
∫∫
.

2. Если G = G1∪G2, причем G1 и G2 не имеют общих внутренних 

точек и f(x, y) интегрируема в областях G1 и G2, то она интегрируема 
в области G; при этом

1
2

( , )
( , )
( , )

G
G
G

f x y dxdy
f x y dxdy
f x y dxdy
=
+
∫∫
∫∫
∫∫
.

3. Если интегрируемые в области G функции f(x, y) и g(x, y) удовлетворяют неравенству f(x, y) ≤ g(x, y), то 

( , )
( , )

G
G
f x y dxdy
g x y dxdy
≤
∫∫
∫∫
.

4. Если функция f(x, y) интегрируема в области G, то интегрируема 

и функция |f(x, y)|, и имеет место неравенство

( , )
( , )

G
G
f x y dxdy
f x y dxdy
≤
∫∫
∫∫
.

5. Если функция f(x, y) интегрируема в области G, то справедливо 

неравенство

( , )

G
mS
f x y dxdy
MS
≤
≤
∫∫
,

где 
inf
( , )
G
m
f x y
=
, 
sup
( , )
G
M
f x y
=
, S – площадь области G.

6. Если f(x, y) непрерывна в области G, то в этой области найдется 

такая точка (ξ, η), что

( , )
( , ) .

G

f x y dxdy
f
S
=
x h
∫∫

Замечание. Формула

1
( , )
( , )

G

f
f x y dxdy
S
x h = ∫∫

называется формулой среднего значения, а число f(ξ, η) – средним значением функции f(x, y) в области G.

1.2. вычисление двойного интеграла

Пусть область 
1
2
{( , ):
[ , ],
( )
( )}
G
x y
x
a b
x
y
x
=
∈
j
≤
≤ j
, где j1(x), 

j2(x) − непрерывные на [a, b] функции. Пусть функция z = f(x, y) 
непрерывна в области G, тогда существует двойной интеграл 

( , )
.

G
f x y dxdy
∫∫
 Если f(x, y) ≥ 0 в области G, этот интеграл равен объ
ему криволинейного цилиндра, изображенного на рис. 1.2. Найдем 
этот объем.

x 

z 

O 

y 

a 

b 
x + dx 

z = f(x, y) 

S(x) – площадь 
сечения 

x 

y = ϕ1(x) 

y = ϕ2(x) 

Рис. 1.2. Вычисление объема  
криволинейного цилиндра

Пусть S(x) – площадь сечения рассматриваемой объемной фигуры 

плоскостью, перпендикулярной оси Оx. Тогда S(x)dx – объем элементарного слоя. Объем V всего тела может быть найден по формуле

( )

b

a
V
S x dx
= ∫
.

При фиксированном х – величина S(x) – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x, y), j1(x) ≤ y ≤ j2(x), т.е.

2

1

( )

( )
( )
( , )
.

x

x
S x
f x y dy

j

j
= ∫

Таким образом, искомый объем

2

1

( )

( )
( , )
.

x
b

a
x
V
f x y dy dx

j

j





= 



∫ ∫

ОПРеДеЛение 1.2. Область G∈R2 называется элементарной 
по y, если

G = {(x, y): x ∈ [a, b], j1(x) ≤ y ≤ j2(x)},

где j1(x), j2(x) – непрерывные на [a, b] функции (рис. 1.3).
Область G∈R2 называется элементарной по х, если

G = {(x, y): у ∈ [c, d], y1(y) ≤ x ≤ y2(y)},

где y1(y), y2(y) – непрерывные на [c, d] функции (рис. 1.4).

x 

y 

a 
b 

y = ϕ1(x) 

y = ϕ2(x) 

G 

О 

Рис. 1.3. Область, элементарная по у

x 

y 

с 

d 
x = ψ1(y) 
G 

x = ψ2(y) 

О 

Рис. 1.4. Область, элементарная по х

ТеОРеМа 1.3. Если для функции f(x, y), определенной в элементарной по y области G∈R2, существует двойной интеграл 

( , )

G

f x y dxdy
∫∫
, а при каждом фиксированном x∈[a, b] существу
ет интеграл

2

1

( )

( )
( , )

x

x
f x y dy

j

j∫
, то существует повторный интеграл 

2

1

( )

( )
( , )

x
b

a
x
dx
f x y dy

j

j
∫
∫
 и выполняется равенство

2

1

( )

( )
( , )
( , )

x
b

G
a
x
f x y dxdy
dx
f x y dy

j

j
=
∫∫
∫
∫
.

Замечание 1. Аналогичная теорема справедлива для области, элементарной по переменной х:

2

1

( )

( )
( , )
( , )

y
d

G
c
y
f x y dxdy
dy
f x y dx

y

y
=
∫∫
∫
∫
.

Замечание 2. Если двойной интеграл может быть сведен как к по
вторному интегралу вида 

2

1

( )

( )
( , )

x
b

a
x
dx
f x y dy

j

j
∫
∫
, так и к интегралу вида 

2

1

( )

( )
( , )

y
d

c
y
dy
f x y dx

y

y
∫
∫
, то для вычисления двойного интеграла можно вос

пользоваться любым из этих представлений. Однако может оказаться, 
что одно из них значительно удобнее, поэтому в конкретных задачах 
выбор порядка интегрирования может быть не безразличен.
Замечание 3. Для вычисления двойного интеграла, взятого по области G более сложной формы, эту область следует разбить на элементарные относительно координатных осей области (например, так, 
как показано на рис. 1.5). Интеграл по области G сведется к сумме интегралов по элементарным областям, каждый из которых может быть 
сведен к повторному.

y

x

G1

G2

G4

G3

О

G = G1 ∪ G2 ∪ G3 ∪ G4

Рис. 1.5. Разбиение области интегрирования на части,  
элементарные относительно координатных осей

Пример 1.1. Вычислить 
xydxdy
∫∫
, где G = {(x, y): y ≥ x, y ≤ 2 – x, х ≥ 0}. 

x

y = x

y = 2 – x

G

О

y

2

2

1

1

Рис. 1.6. Область интегрирования