Дифференциальное исчисление функций многих переменных

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

Б.Г. Разумейко 
И.С. Недосекина 
Л.Р. Ким-Тян 

 

 

 

 
 

 

№ 3129 

Кафедра математики

Дифференциальное исчисление
функций многих переменных 

 

Курс лекций 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета 

Москва 2017 

УДК517.5 
Р17 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, Т.В. Морозова 

Разумейко Б.Г. 
Р17Дифференциальное исчисление функций многих переменных : 
курс лекций / Б.Г. Разумейко, И.С. Недосекина, Л.Р. КимТян. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 57 с. 
ISBN 978-5-906846-74-7 

Данное издание является продолжением курса лекций «Дифференциальное исчисление», читавшихся авторами студентам ИНМиН.  
Курс предназначен для студентов первого курса всех технических специальностей НИТУ «МИСиС». 

УДК 517 

ISBN 978-5-906846-74-7 
 


Б.Г. Разумейко, 
И.С. Недосекина, 
Л.Р. Ким-Тян, 2017 
НИТУ «МИСиС», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ................................................................................................................ 4 
1. Понятие функции многих переменных. Предел и 
непрерывность .......................................................................................... 5 
1.1. Понятие функции двух и трех переменных ......................................... 5 
2.2. Евклидово пространство Rm.  Понятие функции m 
переменных ........................................................................................................... 8 
1.3. Множества точек евклидова пространства Rm .................................... 9 
1.4. Предел и непрерывность функции многих переменных ............... 13 
2. Производные и дифференциалы функций многих переменных .... 15 
2.1. Частные производные ............................................................................... 15 
2.2. Дифференцируемость функции многих переменных. 
Дифференциал .................................................................................................... 16 
2.3. Дифференцирование сложной функции ............................................. 20 
2.4. Правила дифференцирования ................................................................ 21 
2.5. Касательная плоскость и нормаль к графику функции двух 
переменных ......................................................................................................... 22 
2.6. Геометрический смысл дифференциала функции двух 
переменных ......................................................................................................... 24 
2.7. Производная по направлению и градиент .......................................... 25 
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков ......... 29 
3.1.Частные производные высших порядков ............................................ 29 
3.2. Некоторые сведения из теории квадратичных форм ...................... 30 
3.3. Дифференциалы высших порядков ...................................................... 31 
3.4. Формула Тейлора для функции многих переменных ..................... 33 
4. Неявные функции и их дифференцирование ................................... 35 
4.1. Неявные функции одной переменной ................................................. 35 
4.2. Неявные функции от нескольких переменных ................................. 37 
5. Экстремумы функций многих переменных ..................................... 39 
5.1. Локальные экстремумы ........................................................................... 39 
5.2. Условный экстремум ................................................................................ 44 
5.3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений  
функции на компакте ........................................................................................ 51 
Библиографический список .................................................................................. 56 
 

Предисловие 

Курс лекций является составной частью учебно-методического 
комплекса раздела «Дифференциальное исчисление» дисциплины 
«Математика». Комплекс включает в себя курс лекций, практикум и 
пособие, посвященное разбору экзаменационных билетов. Предлагаемый вашему вниманию курс лекций соответствует программе по 
математике физико-химических специальностей, но может быть использован студентами и других инженерных специальностей.  
Предыдущая часть курса посвящена изучению функций одной переменной. Однако на практике нередки случаи, когда независимых 
переменных оказывается несколько. 
Например, объем V кругового цилиндра есть функция двух переменных – радиуса его основания R и высоты Н; зависимость между 
этими переменными выражается формулой V = R2H. 
Изучая физическое состояние какого-либо объекта, часто приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Например, 
плотность материала, из которого изготовлено тело, температура, 
электрический потенциал – все эти величины являются функциями 
от координат x, y, z точки, в которой они измеряются. Если физическое состояние тела меняется еще и во времени, то к этим независимым переменным добавляется время t и мы имеем дело с функциями 
четырех переменных.  
Курс посвящен изучению дифференциальных свойств функций 
многих переменных и приложению дифференциального исчисления 
к исследованию поведения функций. 

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 

1.1. Понятие функции двух и трех переменных 

Множество всевозможных упорядоченных пар (х, у) вещественных чисел х и у называется координатной плоскостью. 
При этом каждую пару (х, у) мы будем называть точкой этой 
плоскости и обозначать одной буквой М (рис. 1.1). Числа х и у называются координатами точки М. Запись М(х, у) означает, что точка М 
имеет координаты х и у. 
Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью R2, 
если между любыми двумя ее точками М'(х', у') и М''(х'', у'') определено расстояние (М', М'') по формуле 

 
2
2
(
,
)
( ''
')
( ''
') .
M M
x
x
y
y







 

 
Рис. 1.1. Точки на евклидовой плоскости R2 

Если каждой точке М(х, у) из некоторого множества {М} точек 
евклидовой плоскости R2 ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число z, то говорят, что на множестве {М} задана функция z = z(M), или z = f(M), или z = f(х, у): 

 
f: R2  R. 

Множество {М} называется областью определения функции и 
обозначается D(f). Совокупность всех значений, которые функция 
принимает на множестве D(f), называется областью значений функции и обозначается E(f). 

x 

y 

0 
x´ 
x´´ 

y´´ 

y´ 
M´´(x´´, y´´) 

M´(x´, y´) 
(M´, M´´) 

Для функции двух переменных можно ввести понятие графика, а 
именно: графиком функции z = f(х, у) называется поверхность, точки 
которой имеют координаты (х, у, f(х, у)). 
Множество точек М(x, y) евклидовой плоскости R2, в которых 
функция принимает одно и то же значение С, называется линией 
уровня функции z = f(х, у), соответствующей данному значению С. 
Линии уровня находятся как решения уравнения 

 
f(х, у) = С , где С = const. 

Если взять числа С1, С2, … , образующие арифметическую прогрессию с разностью h, то получим ряд линий уровня, по взаимному 
расположению которых можно получить представление о графике 
функции, т.е. о форме поверхности. Там, где линии расположены 
гуще, функция изменяется быстрее (поверхность идет круче). 
Термин «линии уровня» заимствован из картографии. Линия 
уровня на географической карте – это географическое место 
точек одинаковой высоты. 

Пример 1.1. 
2
2
4
z
x
y



 
Областью определения этой функции является круг радиусом 2 с 
центром в начале координат, т.е. 

 
2
2
2
( )
{
( , )
:
4}
D f
M x y
R
x
y




, 

а множество значений 

 
( )
{
:0
2}
E f
z
R
z




. 

График функции – верхняя полусфера радиусом 2 с центром в начале 
координат (рис. 1.2). Линии уровня определяются уравнением 

 
2
2
4
x
y
С



 

или 

 
2
2
2
4
,
0.
x
y
С
С




 

Далее, по аналогии с функцией двух переменных, введем понятие 
функции трех переменных. Для этого, аналогично понятиям координатной и евклидовой плоскости, вводятся понятия координатного и 
евклидова пространства. 
 

y 

x 

z 
Поверхность 

D 
x 

y 

D 

x2 + y2 = 4

Линии уровня 

 

Рис. 1.2. График и линии уровня функции 

2
2
4
z
x
y



 

Множество всевозможных упорядоченных троек (х, у, z) вещественных чисел называется координатным пространством. При этом 
каждую тройку (х, у, z) мы будем называть точкой этого пространства и обозначать одной буквой М. Числа х, у и z называются координатами точки М. 
Координатное пространство называется евклидовым пространством R3, если между любыми двумя его точками М'(х', у', z´) и 
М''(х'', у'', z'') (рис. 1.3). Определено расстояние (М', М'') по формуле 

 
2
2
2
ρ(
,
)
( ''
')
( ''
')
(
) .
M
M
x
x
y
y
z
z










 

x

y 

M´(x´, y´, z´) 

M´´(x´´, y´´, z´´) 
z 

О 

(M´, M´´) 

 

Рис. 1.3. Точки в евклидовом пространстве R3 

Пусть теперь {М} – множество точек евклидова пространства R3. 
Если каждой точке М(х, у, z){М} ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число u, то говорят, что 
на множестве {М} задана функция и = u(M), или и = f(М), или 
и = f(х, у, z): 

 
f: R3  R. 

Аналогично линиям уровня для функции трех переменных вводится понятие поверхности уровня. Множество точек М(x, y, z) евклидова пространства R3, в которых функция принимает одно и то же 
значение С, называется поверхностью уровня функции и = f(х, у, z), 
соответствующей данному значению С. 
Поверхности уровня находятся как решения уравнения  

 
f(х, у, z) = С , где С = const. 

Пример 1.2. 
2
2
2.
u
x
y
z



 
Областью определения этой функции является все евклидово пространство R3
, а множеством значений – полупрямая u  0. Поверхности уровня определяются уравнением 

 
2
2
2
,
0.
x
y
z
С
С




 

2.2. Евклидово пространство Rm.  
Понятие функции m переменных 

Познакомившись с понятиями евклидовой плоскости и евклидова 
трехмерного пространства, перейдем к рассмотрению более общего 
случая. 
Множество 
всевозможных 
упорядоченных 
совокупностей 
(х1, х2, … , хm) из m действительных чисел х1, х2, …, хm называется mмерным координатным пространством. При этом каждую упорядоченную совокупность (х1, х2, … , хm) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. Числа х1, х2, …, хm называются координатами точки М. Запись М(х1, х2, … , хm) означает, что 
точка М имеет координаты х1, х2, … , хm. 
m-мерное координатное пространство называется евклидовым 
пространством Rm, если между любыми двумя его точками 
М'(х1´, х2´, … , хm´) и М''(х1´´, х2´´, … , хm´´) определено расстояние 
(М', М'') по формуле 

2
2
2
1
1
2
2
(
,
)
(
''
')
(
''
')
...
(
"
') .
m
m
M M
x
x
x
x
x
x










 

Расстояние между точками в Rm
 обладает следующими свойствами (рис. 1.4): 
(М', М'')  0, причем (М', М'') = 0  М' = М''; 
(М', М'') = (М'', М'); 
(М', М'')  (М', М) + (М, М'')(неравенство треугольника). 

 
Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация неравенства  
треугольника в R2 

Если каждой точке М(х1, х2, … хm) из некоторого множества {М} 
точек евклидова пространства Rm ставится в соответствие по известному закону некоторое действительное число u, то говорят, что на 
множестве {М} задана функция u = f(M), или u = f(х1, х2, … , хm). 

 
f: Rm  R. 

Пример 1.3. При рассмотрении физических процессов, меняющихся во времени, значения физических характеристик определяются значениями четырех переменных: трех координат x, y, z и времени 
t. Пусть u – температура в определенной точке комнаты в момент 
времени t. Тогда u = f(x, y, z, t). 

1.3. Множества точек евклидова пространства Rm 

Множество {М} всевозможных точек евклидова пространства Rm, 
координаты которых х1, х2, … , хm удовлетворяют неравенству 

 
0 2
0 2
0
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)
...
(
)
m
m
x
x
x
x
x
x
R







, 

x 

y 

O 

M´´(x´´, y´´) 

M´(x´, y´) 

M(x, y) 

называется m-мерным шаром радиусом R с центром в точке 

0
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
m
M
x
x
x
. Таким образом, m-мерный шар определяется как 
множество {М} всевозможных точек евклидова пространства Rm
, 
расстояние от каждой из которых до некоторой точки М0  Rm удовлетворяет неравенству 

 
(М, М0)  R. 

Если расстояние от каждой точки множества {М} до точки М0 удовлетворяет строгому неравенству 

 
(М, М0) < R, 

то множество {М} называется открытым m-мерным шаром. 
Будем называть ε-окрестностью точки 
0
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
m
M
x
x
x
 m-мерного 
евклидова пространства открытый m-мерный шар радиусом ε с центром в точке М0 (рис. 1.5). При этом для ε-окрестности будем использовать обозначение Uε(M0). 
Проколотой ε-окрестностью точки М0  Rm будем называть множество Uε(M0), из которого удалена точка М0. Это множество будем 
обозначать
0
(
)
U
M

. 

 
Рис. 1.5. ε-окрестность точки 
0
M  евклидовой плоскости 

Пусть {М} – некоторое множество точек евклидова пространства 
Rm. Введем следующие понятия (рис. 1.6). 
Точка М множества {М} называется внутренней точкой этого 
множества, если существует -окрестность точки М, все точки которой принадлежат множеству {М}. 

y 

О 

ε 

M0(x0, y0 ) 

x 

Точка М называется граничной точкой множества {М}, если в 
любой -окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежащие множеству {М}, так и точки, не принадлежащие {М} (заметим, 
что граничная точка может не принадлежать множеству {М}). 
Границей множества {М} называется совокупность всех его граничных точек. 

 
Рис. 1.6. Точки множества {М} евклидовой плоскости R2 

Множество {М} называется открытым, если все его точки внутренние. 
Множество {М} называется замкнутым, если каждая его граничная точка принадлежит {М}. 
Непрерывной кривой Г в евклидовом пространстве Rm называется 
множество точек этого пространства, координаты которых представляют собой непрерывные функции параметра t: 

 
х1 = x1(t), х2 = x2(t), … , хm = xm(t), t[, ]. 

Пример 1.4. х = аcost, y = bsint, t[0, 2] – параметрические 
уравнения эллипса в R2. 
Множество {М} Rm называется связным, если две любые его 
точки можно соединить непрерывной кривой Г, целиком лежащей в 
этом множестве. 
Открытое и связное множество {М}Rm называется областью 
(рис. 1.7). 
Если {М} Rm представляет собой область, то множество, полученное присоединением к {М} всех его граничных точек, называется 
замкнутой областью. 

ε 

ε 
{М} 

Граничная точка 
множества {М} 

Внутренняя точка 
множества {М}