Интегральное исчисление функций одной переменной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 

 

Б.Г. Разумейко 
И.С. Недосекина 
Л.Р. Ким-Тян 

 

 

 

 
 

 

№ 2764 

Кафедра математики

Интегральное исчисление
функций одной переменной 

 

Курс лекций 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета 

Москва 2017 

УДК 517.5 
 
Р17 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук С.И. Валянский 

Разумейко Б.Г. 
Р17  
Интегральное исчисление функций одной переменной : курс 
лекций / Б.Г. Разумейко, И.С. Недосекина, Л.Р. Ким-Тян. – М. : 
Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 91 с. 
ISBN 978-5-906846-73-0 

Данное издание является продолжением курса лекций «Дифференциальное исчисление», читаемых авторами в рамках программы по математике для 
физико-химических специальностей. Курс является составной частью учебно-методического комплекса, включающего в себя курс лекций, практикум и 
пособие, посвященное разбору экзаменационных билетов.  
Предназначен для студентов первого курса всех технических специальностей НИТУ «МИСиС». 

УДК 517.5 

 
 Б.Г. Разумейко, 
И.С. Недосекина, 
Л.Р. Ким-Тян, 2017 
ISBN 978-5-906846-73-0 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Неопределенный интеграл ........................................................................... 4 
1.1. Определение первообразной функции и неопределенного интеграла ........... 4 
1.2. Основные свойства неопределенного интеграла ............................................... 5 
1.3. Таблица основных неопределенных интегралов ............................................... 7 
1.4. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции ...... 9 
1.5. Метод замены переменной (подстановки) ....................................................... 10 
1.6. Метод интегрирования по частям ...................................................................... 13 
1.7. Интегрирование рациональных дробей ............................................................ 18 
1.8. Понятие рациональной функции многих переменных ................................... 19 
1.9. Интегрирование некоторых тригонометрических и гиперболических 
функций ........................................................................................................................ 20 
1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций ............................... 24 
2. Определенный интеграл ............................................................................. 27 
2.1. Определение интеграла Римана ......................................................................... 27 
2.2. Необходимое условие интегрируемости .......................................................... 28 
2.3. Критерий интегрируемости функции ............................................................... 29 
2.4. Некоторые классы интегрируемых функций ................................................... 31 
2.5. Основные свойства определенного интеграла, связанные с операциями 
над функциями и с отрезками интегрирования ...................................................... 32 
2.6. Оценки интегралов .............................................................................................. 34 
2.7. Интегральная теорема о среднем значении ...................................................... 37 
2.8. Интеграл с переменным верхним пределом ..................................................... 39 
2.9. Формула Ньютона–Лейбница ............................................................................ 41 
2.10. Замена переменной в определенном интеграле ............................................. 43 
2.11. Интегрирование по частям в определенном интеграле ................................ 45 
3. Несобственные интегралы ................................................................................. 46 
3.1. Определение и геометрический смысл несобственного интеграла по 
бесконечному промежутку ........................................................................................ 46 
3.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций .............................. 50 
3.3. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов ......... 53 
3.4. Несобственные интегралы от неотрицательных функций, признаки 
сравнения ..................................................................................................................... 57 
3.5. Абсолютная и условная сходимость интеграла от знакопеременной 
функции ........................................................................................................................ 63 
Библиографический список ....................................................................................... 66 
Приложение 1. Комплексные числа. Разложение многочлена на множители ... 67 
Приложение 2. Разложение правильной рациональной дроби в сумму 
простых дробей ........................................................................................................... 77 
Приложение 3. Некоторые приложения определенного интеграла ..................... 81 
 
 

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

1.1. Определение первообразной функции 
и неопределенного интеграла 

Пусть Х – промежуток числовой оси (отрезок, интервал, полуинтервал). 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пусть функции f(x) и F(x) определены на 
промежутке Х. Если функция F(x) имеет производную на промежутке Х и для всех х выполняется равенство 

 
F (x) = f(x), 

то функция F(x) называется первообразной функцией (или просто 
первообразной) для функции f(x) на Х. 

Пример 1.1. Функция 
2
( )
1
F x
х


, определенная на отрезке 
[–1; 1], имеет на интервале (–1; 1) производную 

 

2
( )
( )
,
1

x
F x
f x
x






 

т.е. F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке 
Х = (–1; 1). 
ТЕОРЕМА 1.1. Если F(x) является первообразной для функции 
f(x) на Х, то любая другая первообразная Ф(х) для функции f(x) на Х 
может быть представлена в виде 

 
Ф(х) = F(x) + С, 

где С – постоянная. 
Доказательство. По условию теоремы 

 
F (x) = f(x) и Ф(x) = f(x) х. 

Рассмотрим 

 
(Ф(х) – F(x)) = Ф(x) –  F (x) = f(x) – f(x) = 0 х. 

Отсюда следует, что 

 
Ф(х) – F(x) = С х, т.е. Ф(х) = F(x) + С. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Совокупность всех первообразных для 
функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) по этому промежутку и обозначается символом 

 
( )
f x dx

. 

Символ  называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной 
функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением. 
Если F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на Х, С – 
произвольная постоянная, то 

 
( )
( )
f x dx
F x
C



. 

Подынтегральное выражение можно записать в виде F(x)dx или 
dF(x), т.е. 

 
f(x)dx = dF(x). 

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной 
функции является обратной к операции дифференцирования. Ее называют интегрированием. 

1.2. Основные свойства неопределенного интеграла 

Свойство 1. Пусть функция F(x) дифференцируема на промежутке Х, тогда 

 
( )
( )
( )
dF x
F x dx F x
C






. 

Доказательство 
Это свойство следует непосредственно из определения неопределенного интеграла. 
Свойство 2. Пусть функция f(x) имеет первообразную на промежутке Х, тогда 

 


( )
( )
d
f x dx
f x dx


 

или 

 


( )
( )
f x dx
f x





. 

Доказательство 
Непосредственно из определения следует, что 

 


( )
( ( )
)
( )
( )
d
f x dx
d F x
C
dF x
f x dx





,  

 


( )
( ( )
)
( )
( )
f x dx
F x
C
F x
f x









. 

Замечание. Согласно свойствам 1 и 2 знаки дифференциала (производной) и интеграла, следующие друг за другом, взаимно уничтожаются. 
Свойство 3. Если функции f1(x) и f2(x) имеют первообразные на 
промежутке Х, то функция f1(x) + f2(x) также имеет первообразную на 
Х, причем 

 
1
2
1
2
(
( )
( ))
( )
( )
f x
f
x dx
f x dx
f
x dx






. 

Доказательство 
Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные для функций f1(x) и f2(x) соответственно. Тогда F(x) = F1(x)+ F2(x) – первообразная для функции 
f1(x) + f2(x), так как 

 
F´(x) = F1´(x) + F2´(x) = f1(x) + f2(x). 

Согласно определению интеграла 

 
 
1
2
1
2
(
( )
( ))
( )
f x
f
x dx
F x
F
x
C





, 

 
1
2
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
f x dx
f
x dx
F x
C
F x
C







. 

Итак, левая часть доказываемой формулы состоит из функций вида 
F1(x) + F2(x) + С, 
а 
правая 
часть 
– 
из 
функций 
вида 
F1(x) + F2(x) + С1 + С2. Так как С, С1, С2  произвольные постоянные, 
то эти совокупности совпадают. 
Свойство 4. Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке Х и k  0, то функция kf(x) также имеет первообразную, причем 

 
( )
( )
kf x dx
k
f x dx



. 

Доказательство 
Пусть F(x) – первообразная для функции f(x). Тогда kF(x) – первообразная для kf(x), так как (kF(x)) = kF(x) = kf(x). Согласно определению интеграла 

 
1
( )
( )
kf x dx
kF x
C



, 

 
2
2
( )
( ( )
)
( )
k
f x dx
k F x
C
kF x
kC





. 

Таким образом, левая часть доказываемой формулы состоит из 
функций вида kF(x) + С1, а правая – из функций вида kF(x) + kС2. 
Ввиду произвольности постоянных С1 и С2 обе совокупности совпадают. 
Замечание. Убедимся, что свойство 4 не работает, если k = 0. 
Действительно 

 
( )
0
( )
kf x dx
f x dx
C





, 
( )
0
( )
0
k
f x dx
f x dx





. 

Объединив свойства 3 и 4, приходим к выводу, что операция интегрирования обладает свойством линейности: интеграл от линейной 
комбинации функций равен соответствующей линейной комбинации 
интегралов от рассматриваемых функций. 

Пример 1.2. Найти 
2
2
1
4
5sin
7
3
1

x
x
dx
x
x












. 

Используя свойство линейности интеграла и таблицу производных, получим 

 
2
2
1
4
5sin
7
3
1

x
x
dx
x
x












=5 sin xdx

7 dx
 

2
3x dx


dx
x

– 

 
2
4
1
dx
x




5cos x

7x

3x

ln x

4arctg x
C


. 

Обратите внимание: необходимым условием овладения искусством интегрирования является безукоризненное знание таблицы производных!  

1.3. Таблица основных неопределенных интегралов 

Приведенный выше пример показывает, что любая формула, 
дающая производную (или дифференциал) какой-либо функции, дает 
и некоторую формулу интегрирования, если прочитать ее справа на

лево. Обратившись к таблице производных простейших функций, 
можем составить таблицу интегралов. 
1. 0
.
dx
С



 

2. 1 dx
x
С




, и вообще, аdx
аx
С



, где а – любое число. 

3. При любом постоянном α  –1 и х > 0 

 

1
α
.
α
1
x
x dx
С







 

Если α = –1 и х > 0, то 
1
ln
dx
x dx
x
C
x







. Так как при x < 0 

функция ln(–x) имеет производную 1

х , то 
ln(
)
dx
x
C
x 



 при x < 0. 

Таким образом, имеем общую формулу 

 
ln
dx
x
C
x 


. 

4. 
x
x
e dx
e
С



 и 
ln

x
x
a
a dx
С
a



 при любом положительном 

а  1. 
5. sin
cos
xdx
x
С
 


; cos
sin
xdx
x
С



; 

2
π
tg
,
π
2
cos
dx
x
С
x
k
x





; 
2
ctg
,
π
sin
dx
x
С
x
k
x

 



. 

6. sh
ch
xdx
x С



; сh
sh
xdx
x
С



; 

2
th
ch
dx
x
С
x



; 
2
cth
,
0.
sh
dx
x
С
x
x

 



 

7. 

2
arcsin
arccos
,
1

dx
x
C
x
C
x
a
x


 




;  

2
arctg
arcctg
1
dx
x
C
x
C
x


 



. 

Дополним нашу таблицу двумя часто встречающимися на практике интегралами, значения которых не получаются непосредственно 
из таблицы производных. 

8. 
2
2
1 ln
,
0.
2
dx
x
a
С
a
a
x
a
x
a







 

Этот интеграл часто называют «высоким логарифмом». Чтобы его 
вычислить, сначала преобразуем подынтегральную функцию следующим образом: 

 
2
2
1
1
(
)(
)
x
a x
a
x
a






(
)
(
)
2 (
)(
)
a
x
a
x
a x
a x
a







1
1
1
.
2a
x
a
x
a









 

Далее, воспользовавшись свойствами неопределенного интеграла, 
получим 

 
2
2
dx
x
a




1
1
1
2
dx
a
x
a
x
a











1
1
1
2
dx
dx
a
x
a
x
a














 


1
ln
ln
2
x
a
x
a
С
a





1 ln
.
2
x
a
С
a
x
a




 

9. 
2
2

2
2
ln
,
0.
dx
x
x
a
c
a
x
a







 

А этот интеграл называют «длинным логарифмом». Формула может быть получена методом интегрирования по частям, с которым 
мы познакомимся позже. А пока читателю предлагается убедиться 
непосредственным дифференцированием, что производная выражения, стоящего в правой части равенства, равна подынтегральной 
функции. 
С помощью табличных интегралов и доказанных выше свойств 
неопределенного интеграла можно выразить интегралы и от более 
сложных элементарных функций также через элементарные функции. 

1.4. Примеры интегралов, не выражающихся через 
элементарные функции 

Производная любой элементарной функции – элементарная функция. С операцией интегрирования дело обстоит иначе. Интегралы от 
некоторых элементарных функций уже не являются элементарными 
функциями. Например: 

1. 
2
x
e
dx


 – интеграл Пуассона; 

2. 
2
sin x dx

, 
2
cos x dx

– интегралы Френеля; 

3. 
ln
dx

x

 – интегральный логарифм; 

4. sin x dx
x

 – интегральный синус, 
cos x dx
x

 – интегральный ко
синус. 

1.5. Метод замены переменной (подстановки) 

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования 
позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла. Такой метод называется методом замены переменной, или методом подстановки.  
Пусть функция u = (х) – определена и дифференцируема на промежутке Х, U – множество ее значений. Пусть для функции f(u) на 
промежутке U существует первообразная F(u), т.е.  

 
F´(u) = f(u). 

Тогда на промежутке Х определена и дифференцируема сложная 
функция F((х)) и по правилам дифференцирования сложной функции имеем: 

 
(F((х)))´ = F((х))(х) = f((х))(х). 

Следовательно, F((х)) – первообразная для функции f((х))(х) на 
промежутке Х. Это означает, что если 

 
( )
( )
f u du
F u
C



, 

то 

 
( ( ))
( )
( ( )) ( ( ))
( ( ))
f
x
x dx
f
x d
x
F
x
C











. 

Приведенную выше формулу называют формулой интегрирования заменой переменной.  
Отметим ее важные частные случаи. 
Случай 1. Пусть F(х) – первообразная для функции f(х), т.е.  

 
f(х)dх = F(х) + С. 

Тогда 

 
(
)
f ax
b dx




1
(
) (
)
f ax
b d ax
b
a





1
(
)
.
F ax
b
C
a


 

Пример 1.3.  
7
(3
5)
x
dx




7
1 (3
5)
(3
5)
3
x
d
x





8
1 (3
5)
3
8
x
C



= 

 

8
(3
5)
.
24
x
C



 

Пример 1.4. 
2
3
dx
x




1
(2
3)
2
2
3
d
x
x





1 ln 2
3
.
2
x
C


 

Пример 1.5. cos(7
1)
x
dx




1 cos(7
1) (7
1)
7
x
d
x





1 sin(7
1)
.
7
x
C


 

Пример 1.6.
2
2
2
1
1
1
arctg
arcctg

1

x
d
dx
x
x
a
С
С
a
a
a
a
a
x
a
x
a










 




 





, 

а  0. 

Пример 1.7. 

2
2
2
arcsin
arccos

1

x
d
dx
x
x
a
С
С
a
a
a
x
x
a










 




 





, 

а  0. 
Случай 2. Используя равенство 

 
ln
,
0,
du
u
C
u
u 



 

получаем 

 
( )
( )
x dx
x






( ( ))
( )
d
x
x





ln
( )
,
( )
0.
x
C
x




 

Пример 1.8. 
2
5

xdx
x






2

2
1
(
5)
2
5

x
dx
x








2

2
1
(
5)
2
5
d x
x






2
1 ln
5
.
2
x
C


 

Пример 1.9. tgxdx 


sin
cos

xdx
x 


(cos )
cos

x dx

x





(cos )
cos
d
x
x



ln cos
.
x
C

