Аналитическая геометрия и линейная алгебра : матрицы и системы уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРА ЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

№ 2585

Кафедра математики

С.В. Шерстов

Аналитическая геометрия
и линейная алгебра

Матрицы и системы уравнений

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом 
университета

Москва  2015

УДК 519
 
Ш50

Р е ц е н з е н т
д-р физ.-мат. наук, проф. Р.З. Муратов

 
Шерстов С.В.
Ш50  
Аналитическая геометрия и линейная алгебра : матрицы и 
системы уравнений : учеб.-метод. пособие / С.В. Шерстов. – 
М. : Изд. Дом МИСиС, 2015. – 17 с.
ISBN 978-5-87623-970-9

Содержание учебно-методического пособия составляют стандартные темы 
учебного плана по высшей математике: операции над матрицами, определители и матричные уравнения, методы решения систем уравнений и их исследование. Объем материала рассчитан на 1 лекцию в неделю в течение 6 недель.
Предназначено для студентов I курса всех специальностей.

УДК 519

 С.В. Шерстов, 2015
ISBN 978-5-87623-970-9
 НИТУ «МИСиС», 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Матрицы и действия над ними .........................................................4
2. Определитель матрицы 2-го и 3-го порядка ....................................6
3. Системы уравнений 2-го и 3-го порядка. Формулы Крамера .........6
4. Системы линейных уравнений n-го порядка.
Элементарные преобразования. Метод Гаусса ...................................7
5. Элементарные преобразования строк (столбцов).
Метод Жордана – Гаусса ......................................................................9
6. Минор и алгебраическое дополнение матрицы.
Определители n-го порядка. Свойства определителей .....................10
7. Обратная матрица. Матричные уравнения. Формулы Крамера .....13
8. Линейная зависимость строк. Базисный минор. Две теоремы
о ранге матрицы. Две леммы о зависимых строках.
Теорема о базисном миноре ...............................................................14
9. Теорема Кронекера – Капелли. Вычисление ранга матрицы .......15

1. Матрицы и действия над ними

1. Определение. Матрицей А (
)
ik
a
 называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел aik, которые называются элементами матрицы:
 

11
12
1

21
22
2

1
2

n

n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø









 

 
1-й столбец 
2-й 
n-й

Размерность матрицы А (m × n). Если m = 1, то матрица – строка, 
если n = 1, то матрица – столбец. Если m = n, то матрица квадратная. 
Если aik = 0, то матрица нулевая.
2. Операции с матрицами. Зададим матрицу В:

 

1
11

1

.

n

m
mn

b
b

B

b
b

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
çè
ø






С матрицами можно проводить математические операции:
а) сложение

 

11
11
1
1

1
1

;

n
n

m
m
mn
mn

a
b
a
b
A
B
a
b
a
b

æ
ö
+
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
=ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
+
+
è
ø







б) умножение на число λ

 

11
1

1

;

n

m
mn

a
a
A
a
a

λ
λ
λ
λ
λ

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø







в) умножение матриц
Пусть B1 имеет размерность n
k
´
, тогда можно умножить А на B1 
по правилу 
1
.
AB
C
=
 Элементы матрицы С вычисляются по правилу

1
.

n

ij
is sj
s
c
a b

=
=å

Размерность матрицы С (
)
m
k
´
.
3. Свойства операций:
1) A
B
B
A
+
=
+
;
2) (
)
(
)
A
B
C
A
B
C
+
+
=
+
+
;
3) (
)
A
B
A
B
λ
λ
λ
+
=
+
;

– 1-я строка

– 2-я строка

– m-я строка

4) (
)
1
2
1
2
A
A
A
λ
λ
λ
λ
+
=
+
;
5) (
)
(
)
1
2
1
2
A
A
λ λ
λ
λ
=
;
6)
(
)
(
)
A BC
AB C
=
;
7) (
)
A
B C
AC
BC
+
=
+
;
8) 
(
)
A B
C
AB
AC
+
=
+
.
Определение. Матрица Ат транспонированная к А, если столбцы А 
заменить соответствующими строками:

 
(
)
(
)
т
*
,
ik
ik
A
a
A a
¬

где 
*
ij
ji
a
a
=
.

В результате получится матрица

 

11
21
1

12
22
2
т

1
2

.

m

m

n
n
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø









4. Квадратная матрица
Определение. Последовательность а11, а22, ..., ann квадратной матрицы называется главной диагональю, если все элементы, лежащие 
вне главной диагонали, равны 0, то матрица диагональная:

 

11

22

0
0

0
0 .

0
0
nn

a
a
I

a

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø










Если при этом 
11
a
 = 
22
a
 = … = 
nn
a
 = 1, то матрица единичная: 

 

1
0
0
0
1
0 .

0
0
1

E

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø



   


Всегда AE
EA
A
=
=
.
Если AB
BA
E
=
=
, то В – обратная к А.
1.
B
A=
Определение. 
1,...,
n
A
A  – матрицы, 
1,...,
n
λ
λ  – числа, тогда 

1
1
...
n
n
A
A
λ
λ
+
+
 – линейная комбинация.

2. Определитель матрицы 2-го и 3-го порядка

1. Матрица 2-го порядка:

 

11
12

21
22
.
a
a
A
a
a

æ
ö÷
ç
÷
=ç
÷
ç
÷
çè
ø

Определение. Определитель матрицы A  – это число det A (или |A| ):

 
11 22
21 12
det A
A
a a
a a
=
=
.

2. Квадратная матрица 3-го порядка:

 

11
12
13

21
22
23

31
32
33

.
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø

 

11
12
13
11
12
13

21
22
23
21
22
23

31
32
33
31
32
33

det
a
a
a
a
a
a
A
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
=  

 
11 22 33
12 23 31
13 32 21
31 22 13
12 21 33
32 23 11
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
.

Пример

 

1
4
0
2
5
0
3
6
2
A

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø

; 
 

 det
1 5 2
2 6 0
4 0 3
3 5 0
2 4 2
6 0 1
10
16
6
A = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ - ⋅ ⋅ =
=- .

3. Системы уравнений 2-го и 3-го порядка.
Формулы Крамера

1. Системы 2-го порядка:

 

11 1
12
2
1

21 1
22
2
2

,

.

a x
a x
b

a x
a
x
b

ì
+
=
ïïíï
+
=
ïî

Обозначим 
11
12

21
22

a
a
a
a
D=
;  
1
12
1
2
22

b
a
b
a
D =
;  
11
1
2
21
2

a
b
a
b
D =
.

 

Формулы Крамера. Пусть 
0
D¹
, тогда

 

1
1
2
x
D
= D ;  
2
2
x
D
= D

2. Системы 3-го порядка:

 

11 1
12
2
13
3
1

21 1
22
2
23
3
2

31 1
32
2
33
3
3

,
,
.

a x
a x
a x
b
a x
a
x
a x
b
a x
a x
a x
b

ì
+
+
=
ïïïï
+
+
=
íïïï
+
+
=
ïî

 

1
12
13

1
2
22
23

3
32
33

;
b
a
a
b
a
a
b
a
a
D =

11
1
13

2
21
2
23

31
3
33

a
b
a

a
b
a

a
b
a

D =
;  

11
12
13

21
22
23

31
32
33

0
a
a
a
a
a
a
a
a
a
D=
¹
; 

11
12
1

3
21
22
2

31
32
3

a
a
b
a
a
b
a
a
b
D =
.

Тогда
i
ix
D
= D .

4. Системы линейных уравнений n-го порядка. 
Элементарные преобразования. Метод Гаусса

1. Дана система уравнений

 

11 1
12
2
1
1

21 1
22
2
2
2

1 1
2
2

,
,

.

n
n

n
n

m
m
mn
n
m

a x
a x
a x
b
a x
a
x
a
x
b

a
x
a
x
a
x
b

ì
+
+
+
=
ïïïï
+
+
+
=
ïïíïïïï
+
+
+
=
ïïî






 
(1)

Определение. Решением (1) называется совокупность 
0
1
x , ..., 
0
n
x , 
которая обращает уравнения системы (1) в верные равенства.
Система (1) совместна, если она имеет решения.
Система (1) несовместна, если решений нет.
Система (1) определенная, если решение единственное, в противном случае она неопределенная. 
Система однородная, если 1
2
...
0
m
b
b
b
=
=
=
=
.
Системы равносильны (эквивалентны), если их решения совпадают.

2. Элементарные преобразования:

1) одно из уравнений системы умножается на число, отличное 
от 0;
2) два уравнения системы меняются местами;
3) к одному из уравнений прибавляется другое, умноженное на 
число.

Можно доказать, что элементарные преобразования приводят к 
равносильной системе.

3. Метод Гаусса

Первый шаг

А) Если 
11
0,
a
=
 то меняем уравнения местами, так чтобы в новой 
системе 
11
0.
a
¹
Б) Прибавляем ко 2-му уравнению (1) 1-е уравнение, умноженное

на 
21

11

a
a

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

, прибавляем к 3-му уравнению 1-е, умноженное на 
31

11
,
a
a

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

 и т.д.
В) 
Если 
в 
процессе 
преобразований 
получим 
уравнение 

1
2
0
0
...
0
n
x
x
x
b
⋅
+ ⋅
+
+ ⋅
=
, то, если 
0,
b ¹
 система несовместна, если 
0,
b =
 то это уравнение отбрасывается.
Результатом является система

 

11 1
12
2
13
3
1
1

22
2
23
3
2
2

32
2
33
3
3

2
2
3
3

...
,

...
,

...
,

...................................................

...
.

n
n

n
n

n
n

m
m
mn
n
m

a x
a x
a x
a x
b

a
x
a x
a
x
b

a x
a x
a
x
b

a
x
a
x
a
x
b

ì
+
+
+
+
=
ïïïï
ì ¢
¢
¢
¢
+
+
+
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
¢
¢
¢
¢
ï
+
+
+
=
í
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
¢
¢
¢
¢
+
+
+
=
ïî
îïï

 
(2)

Второй шаг

Повторяем алгоритм первого шага над системой (2) и т.д. После 
конечного числа шагов получаем эквивалентную систему: 

 

11 1
12
2
13
3
1
1

22
2
23
3
2
2

33
3
3

1
1
1

...
,

...
,

...
,

.........................................................

...
,

n
n

n
n

n
n

k
k
k
kk
k
kn
n
k

a x
a x
a x
a x
b

a
x
a x
a
x
b

a x
a
x
b

a
x
a
x
b

ì
+
+
+
=
ïïïï
¢
¢
¢
¢
ï
+
+
+
=
ïïïï
¢¢
¢¢
¢¢
+
+
=
íïïïïïïï
+
+
=
ïïî

 
(3) 

где 
11
0
a
¹
,
22
0
a¢ ¹
, ..., 
1
k
kk
a 0
¹
.

Анализ системы

1. Если k
n
=
, то решение системы единственное (его получим, 
двигаясь снизу вверх по уравнениям системы)

1

1

n
n
n
n
nn

b
x
a


=
, 
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
b
a
x
=
, …

2. Если k
n
<
, то получим общее решение в следующей форме: 
положим 
1
1
k
x
C
+ =
, 
2
2
k
x
C
+ =
, 
n
n k
x
C =
, где С1, ..., Cn–k – произвольные постоянные.
Определим 
1, ...,
k
x
x  как в п. 1 .

5. Элементарные преобразования строк (столбцов).
Метод Жордана – Гаусса

1. Рассмотрим систему (1) и свяжем с ней расширенную матрицу A :

 

1
11
12
1

21
22
2
2

1
2

.

n

n

m
m
mn
m

b
a
a
a
a
a
a
b
A

a
a
a
b

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø






 


Тогда элементарным преобразованиям 1) 2) 3) системы (1) соответствуют элементарные преобразования строк матрицы A :
1) строка умножается на число, не равное 0;
2) строки меняются местами;
3) к одной из строк прибавляется другая, умноженная на число.
2. С помощью элементарных преобразований строк и перестановки столбцов (как и в методе Гаусса) приводим матрицу A  к виду

 

1
1
1
1

2
1
2
2

3
1
3
3

1

1
0
0
0
1
0
0
0
1
,

0
0
0

k
n

k
n

k
n

kk
kn
k

a
a
b
a
a
b
A
a
a
b

a
a
b

+

+

+

+

æ
ö
¢
¢
¢÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
¢
¢
¢
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
¢
¢
¢÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
¢
¢
¢ ÷
çè
ø








   







которой соответствует система (эквивалентная исходной)

 

1
1
1
1
1
1

2
2
1
1
2

1
1

,
...................................................

k
k
n
n

k
k
n
n

kk
k
kn
n
k

x
a
x
a x
b

x
a
x
a
x
b

a
x
a
x
b

+
+

+
+

+
+

ì
¢
¢
¢
+
+
=
ïïïï
¢
¢
¢
+
+
=
ïïíïïïïï
¢
¢
¢
=
ïî









исследование которой описано в методе Гаусса.

Пример

 

1
2
4

1
2
3

1
2
3

1
2
3
4

2
3,

3
2
1,

2
2
4,

3
2
2
.

x
x
x

x
x
x

x
x
x

x
x
x
x

ì
+
=ïïïï
=
ïïíï
+
=
ïïïï
+
ïî
Преобразуем расширенную матрицу:

1
2
0
1
3
1
2
0
1
3
3
1
2
0
1
0
5
2
3 10
2
1
2
1
4
0
5
2
3 10
1
3
2
2
7
0
5
2
3 10

æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
è
ø
è
ø




1
2
0
1
3
0
5
2
3 10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

æ
ö
- ÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø



3
1
2
0
1
2
3
2
0
1
2
5

æ
ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø



4
1
1
0
3
5
5
.
2
3
0
1
2
5
5

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

Вернемся к системе уравнений:

 

1
3
4

2
3
4

4
1
1,
5
5
2
3
2.
5
5

x
x
x

x
x
x

ìïï
=
ïïïíïï
=
ïïïî

 

Общее решение системы имеет вид

 

3
1

4
2

1
1
2

2
1
2

,

,

4
1
1
,
5
5
1
3
2
.
5
5

x
C

x
C

x
C
C

x
C
C

ì
=
ïïïï
=
ïïïïïí
= +
+
ïïïïïï
=
+
+
ïïïî

6. Минор и алгебраическое дополнение матрицы. 
Определители n-го порядка. Свойства определителей

1. Пусть A  – квадратная матрица.
Определение. Минором 
ij
M  называют определитель матрицы, полученной из A  вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Пример

 

1
2
3
4
5
6 ;
7
8
9
A

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷
ç
÷
ç
÷÷
çè
ø

 
23
1
2
8
14
6.
7
8
M
=
= =

Определение. Алгебраические дополнения 
ij
A  к элементу 
ij
a  матрицы называют число 
(
)
1
i
j
ij
ij
A
M
+
= .
Пример

 
(
)
(
)
(
) (
)
2 3
5
23
23
1
2
1
1
1
6
6.
7
8
A
M
+
= ⋅
= = ⋅ =

2. Определение. Определитель матрицы 
(
)
A
n
n
´
 равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

 
1
1
2
2
det
...
i
i
i
i
in
in
A
A
a A
a A
a A
=
=
+
+
+

или 

 
1
1
2
2
det
...
j
j
j
j
nj
nj
A
a A
a
A
a A
=
+
+
+
.

Пример

 

1
2
3
4
0
1
2
3 .
0
2
1
3
0
1
1
1

A

æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=ç
÷÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

 

(
)
1 1
11
21
31
41
11

1
2
3
det
1
0
0
0
1
1
2
1
3
1
1
1
A
A
A
A
A
M
+
= ⋅
+ ⋅
+ ⋅
+ ⋅
= ⋅ ⋅
=
=

 
1
6
6
3
3
4
3.
= + + - - =

3. Свойства определителя
1) Определитель не меняется при элементарных преобразованиях 
столбцов и строк 3-го типа.
2) Определитель равен 0, если есть строки (столбцы), состоящие 
из нулей.
3) Определитель меняет знак при элементарном преобразовании 
2-го типа.
4) При умножении строки (столбца) на число λ  определитель умножается на λ .
5) Если две строки одинаковые, то det A  = 0.
6) Если строка (столбец) есть линейные комбинации других 
строк, то 
0
A =
.
7) При транспонировании матрицы определитель не меняется.