Введение в планирование экспериментов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2398 

Кафедра сертификации и аналитического контроля

Ю.П. Адлер 
 
 

Введение в планирование 
экспериментов 

 

Учебное пособие 

Допущено учебно-методическим объединением  
по образованию в области металлургии в качестве  
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению Металлургия 

Москва  2014 

УДК 519.240 
 
А28 

Р е ц е н з е н т  
канд. хим. наук  Ю.В. Грановский (МГУ) 

Адлер, Ю.П. 
А28  
Введение в планирование экспериментов : учеб. пособие / 
Ю.П. Адлер. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 36 с. 
ISBN 978-5-87623-770-5 

Учебное пособие предназначено для первого знакомства с планированием 
эксперимента. Оно не требует никаких предварительных знаний об этом предмете. Конечно, предполагается, что читатель не забыл школьный курс математики 
и готов потратить время для знакомства с предметом. Поскольку планирование 
эксперимента применяется во всех эмпирических науках, в пособии используются исключительно бытовые примеры, что не помешает читателю приспособить 
его результаты к своей области практических исследований. В библиографии 
приводятся некоторые работы, которые могут служить заинтересованным читателям для дальнейшего чтения.  
Первоначально большая часть материалов этого пособия публиковалась 
отдельными статьями в журнале «Современная лабораторная практика», 
и автор получил разрешение на использование материалов этих публикаций. 
Предназначено для студентов и аспирантов всех специальностей. 

УДК 519.240 

ISBN 978-5-87623-770-5 
© Ю.П. Адлер, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Пробуем приготовить  шоколадный напиток ....................................4 
2. Учимся считать...................................................................................14 
3. Экономим опыты................................................................................24 
4. Даешь подробности!...........................................................................32 
Библиографический список...................................................................35 
 

1. ПРОБУЕМ ПРИГОТОВИТЬ  
ШОКОЛАДНЫЙ НАПИТОК 

В лабораторных исследованиях сложилась парадоксальная ситуация. Много лет все мы знаем, что существует планирование экспериментов, что оно имеет массу преимуществ перед интуитивными 
подходами, что речь идет о больших деньгах и о значительной экономии времени. И что же? Все остается по-прежнему. Возникает вопрос: почему? Представляется, что есть два фундаментальных момента, мешающих систематическому переходу к планированию лабораторных исследований. 
Первый из них – представление о том, что планирование эксперимента связывает исследователя по рукам и ногам, лишает его того 
творческого момента, ради которого, собственно, мы и участвуем 
в этом процессе. Без творчества всякие исследования превращаются 
в скучную рутину, не представляющую никакого интереса. 
Второй момент не столь фундаментален, но тоже важен. Это проблема изучения совершенно новой области знаний, никак не связанной с нашими профессиональными интересами. На это жалко тратить время – оно всегда в дефиците, да и просто лень. 
Попробуем возразить. Во-первых, планирование эксперимента нисколько не связывает наши творческие порывы. Напротив, оно переводит 
исследование на гораздо более высокий уровень и сулит значительно более важные и лучше обоснованные результаты. Правда, верно, что придется научиться интерпретировать результаты на другом языке, к которому, как к любому языку, надо еще привыкнуть. Зато мы получаем сразу 
массу преимуществ. Прежде всего, наши результаты получаются сразу с 
оценкой неопределенности, связанной с их получением. Это избавляет от 
многих иллюзий и позволяет говорить о качестве результатов. Кроме того, результаты в нашем случае легко поддаются визуализации, а наглядное представление обычно существенно облегчает обмен мнениями и 
выдвижение новых гипотез. Причем для проверки этих гипотез снова 
можно применить планирование эксперимента. Это создает систематическую методологию исследования. Одновременно ускоряется весь процесс 
получения результатов, и общее время, потребное для исследования, поддается более точному оцениванию. Более того, во многих случаях возникает уверенность в том, что в рамках заданной постановки задачи и при 
существующих ограничениях результат вряд ли можно улучшить. Тогда 
мы говорим об оптимальном решении. 

Об экономии времени и денег мы уже говорили. Деньги, затраченные на исследование, играют важную роль в дальнейшей коммерциализации полученных результатов. Ведь в конечном счете результаты исследований нужны для того, чтобы с их помощью научиться зарабатывать деньги. Чем дешевле результаты, тем выше конкурентные преимущества. То же самое можно сказать и о затратах 
времени. Как говорил классик: «Время, которое мы имеем, это деньги, которых мы не имеем». 
Второй момент тоже, на наш взгляд, поддается преодолению. Конечно, было бы важно возобновить обучение специалистов методам 
планирования эксперимента. Совсем без знаний не обойтись, но вовсе нет нужды становиться глубоким знатоком этой обширной области человеческих знаний. Вместо этого можно либо найти консультанта, либо, что гораздо лучше, создать команду из специалистов всех направлений, используемых в данном исследовании, в том 
числе, и в области планирования эксперимента. Команда – вот ключ 
к решению комплексных проблем, нередко возникающих в лабораторных исследованиях. 
Задачи планирования эксперимента весьма разнообразны. Но что 
бы мы ни делали, планирование эксперимента всегда отвечает на три 
вопроса: 
1. Сколько опытов надо поставить. 
2. В каких условиях. 
3. В каком порядке.  
При этом предполагается, что сама задача поставлена и точность, 
с которой требуется получить ответ, определена. 
О каких постановках задач может идти речь? Делались многочисленные попытки классифицировать задачи планирования эксперимента, 
но мы не знаем никакого «окончательного» решения. Поэтому приходится ограничиваться перечислением наиболее часто встречающихся 
ситуаций, не претендуя на исчерпывающую полноту. Вот один из возможных перечней постановок задач с краткими пояснениями. 
1. Задача оценивания констант. Примеров – сколько угодно: 
скорость звука, скорость света, постоянная Планка, температура 
плавления, температура кипения и т.д. 
2. Задача аппроксимации. В общем виде задана некоторая математическая модель. Надо оценить ее параметры, чтобы этой моделью 
можно было пользоваться на практике. Примеры: градуировка термопары, градуировка измерительной системы. Частными случаями 
задачи аппроксимации служат задачи экстраполяции (прогноза), ко

гда нас интересует результат, лежащий вне области экспериментирования. Пример: масштабирование лабораторного аппарата для построения промышленного образца.  
3. Задача оптимизации. Задан набор переменных, влияющих, как 
мы считаем, на интересующий нас процесс. Надо найти такие конкретные значения этих переменных, которые доставляют оптимум 
(наибольшее или наименьшее значение) некоторому критерию оптимальности (показателю качества). 
4. Задача адаптации. Временная последовательность задач оптимизации при изменяющихся внешних условиях, например, при изменении свойств сырья. 
5. Задача отсеивания. Выбор из множества возможностей одной 
или нескольких, наиболее полно соответствующих заданному набору 
критериев. Примеры: выбор катализатора, растворителя, добавки; 
поиск лекарств, сплавов, строительных материалов и тому подобное 
с заданными свойствами. 
6. Задача дискриминации. Отсеивание не на множестве объектов, а на множестве моделей. Задан набор альтернативных математических моделей. Надо найти ту или те из них, что наилучшим образом согласуются с результатами эксперимента. Сюда же можно отнести и задачи межлабораторных сравнений. 
7. Задачи с ограничениями. Пример: исследование диаграмм состав – свойство или диаграмм состояния. 
8. Динамические задачи. Это задачи, в которых переменная 
«время» играет особую роль. Примеры: задача слежения за движущимся объектом или изучение химической реакции в меняющейся во 
времени среде. 
Успех планирования эксперимента существенно зависит от тех 
знаний, какими мы располагаем перед началом исследования. Такие 
знания принято называть априорными. Чем больше мы знаем перед 
экспериментом, тем быстрее, дешевле и лучше мы сможем получить 
результаты. Для определения уровня априорной информации часто 
используются модели ящиков разной «степени черноты». Когда мы 
знаем все, что нам требуется, понятно, никакой эксперимент не нужен. Это модель «белого ящика». 
Его антипод – «черный ящик», кибернетическая модель, введенная 
в обиход Норбертом Винером. Она соответствует случаю, когда мы вообще ничего не знаем об интересующем нас объекте. Однако «ничего» – понятие относительное. Мы ведь знаем, что объект существует 
и что он нам интересен. А это немало. Тем не менее так принято гово

рить. Конечно, именно «черный ящик» представляет собой самый 
сложный и самый важный случай. Здесь, кроме планирования эксперимента, можно предложить разве что гадание на кофейной гуще. 
Понятно, что в природе чаще всего встречаются разного рода 
промежуточные случаи, о которых естественно говорить как о «серых ящиках». Степень их «серости» может сильно варьировать. Одно 
дело, например, известная модель с неизвестными константами, 
и совсем другое – куча конкурирующих гипотез. Список задач, который мы привели выше, содержит задачи с разной степенью «серости» вплоть до «черноты». 
Конечно, каждая задача и при каждом уровне априорной информации требует отдельного подробного рассмотрения. Но давайте для 
начала рассмотрим пример. В работе [1] рассматривается интересная 
задача, которую мы приспособим для наших целей. Это задача поиска рецепта приготовления горячего жидкого шоколада. Априорная 
информация гласит, что предпочтения потребителя зависят от шести 
переменных, которые в планировании эксперимента принято называть факторами. Это: 
1) доля шоколада; 
2)  сливочность (отношение молоко/сливки); 
3) консистенция (структура); 
4) температура; 
5) сладость (связана с долей шоколада); 
6) интенсивность (уровень) чувства голода. 
Исследования показали, что существует оптимальное соотношение какао (шоколада) и сахара, поэтому они не рассматриваются в 
данной работе как независимые факторы. Значит, фактор 5 учитывается как фиксированное значение (уровень) для соответствующего 
уровня фактора 1 и таким образом непосредственно в нашем исследовании не участвует. Действительно, зачем тратить дорогие опыты 
на изучение того, что мы и так знаем. Получается, что факторы 1, 2, 3 
(и 5) дают рецепт нашего напитка. А факторы 4 и 6 – это условия 
внешней среды. Причем о температуре известно, что ее оптимум соответствует примерно 150…170 °F (66…77 °С) для любых горячих 
напитков. Именно этот диапазон и поддерживался в наших экспериментах. Понятно также, что голод сильно влияет на степень удовлетворенности потребителя любой пищи. Поэтому пробы надо проводить в одно и то же время или при одном и том же уровне голода, 
иначе результаты будет трудно сравнивать. Наконец, мы заранее знаем, что один человек в короткое время не может сравнить более 5–6 

вариантов. Дальше у него наступает насыщение, и он перестает различать вкус и теряет способность его оценивать. 
Таким образом, благодаря априорным знаниям нам удалось свести 
задачу с шестью факторами всего к трем. Это огромная экономия 
времени и денег. Если, конечно, в наших рассуждениях и знаниях 
нет ошибок. 
Теперь можно заняться собственно планированием. Прелесть современного подхода заключается в том, что мы научились проводить 
опыты так, чтобы одновременно изменялись уровни всех факторов 
(в данном случае – трех). А результаты можно было бы рассматривать при желании для каждого фактора отдельно. Это не только 
весьма существенно повышает эффективность эксперимента и снижает его объем, но одновременно существенно повышает его точность. Можно было бы ставить эксперимент так. Зафиксировать, 
скажем, сливки и консистенцию, и менять только уровень шоколада, 
измеряя при этом степень удовлетворенности потребителя. Найдя 
наилучший уровень шоколада, и зафиксировав его, можно было бы 
менять уровень сливок, сохраняя постоянную консистенцию. И действовать так, пока не кончатся рассматриваемые факторы. Такой 
эксперимент принято называть однофакторным. Его очень любил 
великий французский ученый Ле Шателье. Он даже говорил, что 
только идиоты меняют одновременно несколько факторов. Увы! Даже великие люди время от времени оказываются не правы. Мы воздержимся от эпитетов в его адрес. 
Сейчас мы не станем доказывать правоту наших утверждений на 
этот счет, но, поверьте, они существуют и могут быть предъявлены 
по первому требованию [2]. Лучше продолжим наш рассказ. Придирчивый читатель заметил, конечно, что мы не учли еще много 
факторов, с которыми следовало бы считаться. Так, например, мы 
не рассматривали стоимость напитка, вид сливок, варианты различных добавок и т.д. Когда-нибудь мы научимся решать задачи с очень 
большим числом факторов. Но пока мы еще только начинаем, будем 
утешать себя мыслью о том, что сначала надо найти основной рецепт, изучая различные соотношения наших трех факторов, а затем 
можно продолжить процесс совершенствования. Мы же понимаем, 
что он непрерывен и бесконечен. 
Итак, приступим к построению собственно программы эксперимента. Различные шоколадные смеси будем делать с разными уровнями какао и сахара, сливок, получаемых из цельного сухого молока 
с помощью распылителя, и гуаровой смолы (естественного сгустите

ля или наполнителя, получаемого из сока растения гуар, растущего 
в Индии). Были определены реальные диапазоны уровней для каждого ингредиента, которые затем разбили на 11 категорий, представленных в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Уровни для ингредиентов горячего жидкого шоколада 

Номер категории 
Соответствующие уровни  
шоколада, сливок и сгустителя 

0 
Крайне мало/совсем нет 

1 
Очень мало 

2 
Мало 

3 
Гораздо менее половины 

4 
Немного менее половины 

5 
Половина/умеренно 

6 
Немного более половины 

7 
Более половины 

8 
Много 

9 
Очень много 

10 
Чрезвычайно много/через край 

Степень удовлетворенности потребителя оценивалась по субъективной стобалльной шкале. Причем чем ближе к ста, тем выше удовлетворенность потребителя. 
Напиток готовился в стакане емкостью 180 г, который заполнялся 
приблизительно до объема в 160 г, при температуре 170 °F. Может 
показаться странным использование искусственной шкалы, приведенной в табл. 1.1. Ведь можно было пользоваться точными результатами взвешивания и измерения в весовых или объемных единицах. 
Но на практике редко прибегают к точным измерениям в подобных 
случаях. У бармена просто нет времени для столь тщательных манипуляций. Поэтому такой, более грубый, подход вполне уместен. Избыточная точность, не соответствующая ситуации задачи и ее требованиям, всегда приводит к увеличению объема эксперимента, а значит, и времени, и затрат. 
Следующий естественный шаг в наших действиях – определение 
на основе априорной информации такого рецепта, который представляется наиболее вероятным для решения задачи. Вряд ли мы сможем 
угадать оптимальный рецепт сразу. Тем более, что у нас в команде на 
этот счет есть разногласия. Но, во-первых, чем ближе наш выбор будет к действительному оптимуму, тем быстрее и проще мы его оты

щем. А во-вторых, все равно нужна какая-то точка отсчета, «печка», 
от которой и пойдут «танцы». Наша команда решила, что такая точка 
соответствует 5-й категории для сливок и для шоколада и 3-й категории для консистенции. Это значит, что исходные представления 
большинства нашей команды о том, какой напиток придется более 
всего по вкусу потребителю, сводятся к тому, что он должен содержать умеренное количество сливок и шоколада и быть скорее жидким, чем густым. Кроме того, в этот момент наша команда полагала, 
что шоколад играет более важную роль, чем сливки. 
Таким образом, точка отсчета у нас есть. Для сравнения разных 
вариантов удобнее всего рассматривать уровни ингредиентов, расположенные симметрично относительно этой центральной точки. Более 
того, поскольку требования к точности результатов не слишком высоки, не стоит брать более двух разных уровней для каждого ингредиента. Как далеко их взять от центральной точки зависит от того, 
что мы знаем или думаем относительно того, насколько сильно изменение уровней того или иного фактора скажется на оценках потребителя. Если мы думаем, что зависимости слабы, то стоит выбирать 
далеко отстоящие уровни, а если мы полагаем, что зависимости 
сильные, то лучше пользоваться ближайшими значениями. Конечно, 
здесь легко ошибиться, но это дело поправимое. Результаты первой 
же серии экспериментов помогут нам скорректировать выбранные 
уровни. После зрелых размышлений мы решили отступить от среднего значения на два уровня – соответственно вверх и вниз. В результате получается табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

Факторы и их уровни для эксперимента  
с жидким шоколадом (первая серия опытов) 

Факторы 
Уровень 
Сливки 
Шоколад 
Наполнитель 

Верхний 
7 
7 
5 

Нулевой 
5 
5 
3 

Нижний 
3 
3 
1 

Теперь осталось перебрать все возможные сочетания трех факторов на двух уровнях каждый. Всего получится 8 различных вариантов. Плюс нулевая точка – итого 9. Их можно свести в табл. 1.3, где 
в последнем столбце приведены результаты оценки напитка потребителем в баллах. 

Таблица 1.3 

План и результаты первой серии экспериментов 

Номер опыта 
Сливки 
Шоколад 
Наполнитель 
Оценка 

1 
3 
3 
1 
21 

2 
7 
3 
1 
55 

3 
3 
7 
1 
34 

4 
7 
7 
1 
67 

5 
3 
3 
5 
38 

6 
7 
3 
5 
68 

7 
3 
7 
5 
52 

8 
7 
7 
5 
78 

9 
5 
5 
3 
53 

Рассмотрим полученные результаты. Хорошо видно, что наши исходные представления оказались далекими от действительности. Лучший 
результат, с точки зрения предпочтений потребителя, получился в опыте 
номер 8. Здесь все оказалось выше среднего. Надо больше сливок, больше шоколада и больше наполнителя, чем мы думали. 
Ну что ж, поумнев благодаря полученным результатам, мы можем 
теперь спланировать следующую серию опытов. Логично построить их 
относительно нового центра, поскольку мы знаем вариант напитка, который гораздо больше нравится потребителям, чем наш предыдущий 
нулевой опыт. Это, естественно, результат опыта номер 8, где сливки 
находятся на уровне 7, шоколад – на уровне 7, а наполнитель – на уровне 5. Будем теперь «плясать от новой печки». Интервал для верхнего 
и нижнего уровней придется уменьшить, сделав его равным не двум, 
а одной градации вверх и вниз. Тогда получится табл. 1.4.  

Таблица 1.4 

Факторы и их уровни для эксперимента  
с жидким шоколадом (вторая серия опытов) 

Факторы 
Уровень 
Сливки 
Шоколад 
Наполнитель 

Верхний 
8 
8 
6 

Нулевой 
7 
7 
5 

Нижний 
6 
6 
4 

План эксперимента полностью сохранит свою структуру. Только 
изменятся уровни факторов, а значит, и условия опытов. План и результаты второй серии опытов представлены в табл. 1.5.