Математический анализ : функции нескольких переменных
Покупка
Тематика:
Основы математики
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 77
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-87623-791-0
Артикул: 752784.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Настоящее пособие содержит справочный материал по теме «Функции нескольких переменных», задачи для индивидуальных домашних заданий, а также подробный разбор методов решения типовых задач домашнего задания. Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 231300.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» № 2357 Кафедра математики Т.В. Лоссиевская Математический анализ Функции нескольких переменных Учебное пособие Рекомендовано редакционно-издательским советом университета Москва 2014
УДК 517.5 Л79 Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. П.И. Черноусов Лоссиевская, Т.В. Л79 Математический анализ : функции нескольких переменных : учеб. пособие / Т.В. Лоссиевская. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 77 с. ISBN 978-5-87623-791-0 Настоящее пособие содержит справочный материал по теме «Функции нескольких переменных», задачи для индивидуальных домашних заданий, а также подробный разбор методов решения типовых задач домашнего задания. Количество вариантов обеспечивает индивидуальное задание каждому студенту. Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 231300. УДК 517.5 ISBN 978-5-87623-791-0 © Т.В. Лоссиевская, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Функции нескольких переменных и их свойства..............................4 1.1. Частные производные ...................................................................4 1.2. Дифференцируемость ФНП в точке ............................................5 1.3. Дифференциал ...............................................................................7 1.4. Производная сложной функции ...................................................7 1.5. Инвариантность формы первого дифференциала ...........................8 1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................9 1.7. Скалярное поле ............................................................................11 1.8. Производная по направлению. Градиент ..................................11 1.9. Производные и дифференциалы высших порядков......................12 1.10. Формула Тейлора для ФНП......................................................15 1.11. Неявные функции ......................................................................15 1.12. Экстремумы ФНП (безусловные) ............................................22 1.13. Условный экстремум.................................................................25 1.14. Задача отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, заданной в замкнутой ограниченной области......................34 2. Решение типовых задач......................................................................36 3. Задания ................................................................................................56 Библиографический список...................................................................76
1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ СВОЙСТВА В настоящем разделе дается справочный материал, касающийся дифференциальных свойств функций нескольких переменных (ФНП). Ради геометрической наглядности изложение ведется для функций двух переменных: ( , ) f x y . В случае необходимости рассматриваются функции большего числа переменных. 1.1. Частные производные Пусть функция ( , ) f x y определена в некоторой окрестности точки 0 0 0 ( , ). M x y Определение 1.1. Полным приращением функции ( , ) f x y в точке 0 0 0 ( , ), M x y соответствующим приращениям аргументов и , Δ Δ х у называется разность 0 0 0 0 ( , ) ( , ) + Δ + Δ − f x x y y f x y и обозначается . Δf Таким образом, 0 0 0 0 ( , ) ( , ). Δ = + Δ + Δ − f f x x y y f x y (1.1) Замечание. Точка 0 0 ( , ) M x x y y + Δ + Δ принадлежит окрестности точки 0 0 0 ( , ), M x y где определена функция ( , ) f x y . Определение 1.2. Частным приращением функции ( , ) f x y по переменной х, соответствующим приращению , Δх называется разность 0 0 0 0 ( , ) ( , ) + Δ − f x x y f x y и обозначается . Δx f Таким образом, 0 0 0 0 ( , ) ( , ). x f f x x y f x y Δ = + Δ − (1.2) Аналогично определяется частное приращение функции ( , ) f x y по переменной у. Определение 1.3. Пусть функция ( , ) f x y определена в некоторой окрестности точки 0 0 0 ( , ). M x y Если существует конечный предел 0 lim , x x f x Δ → Δ Δ то он называется частной производной функции ( , ) f x y по переменной х в точке 0 0 0 ( , ) M x y и обозначается 0 0 ( , ) f x y x ∂ ∂ , или 0 0 ( , ). xf x y ′
Таким образом, 0 0 0 ( , ) lim . x x f f x y x x Δ → Δ ∂ = ∂ Δ (1.3) Аналогично определяется частная производная функции ( , ) f x y по переменной у. Из определения 1.3 следует, что частная производная f x ∂ ∂ вычисляется при фиксированном у, т.е. она вычисляется так же, как производная функции ( ) ( , ) x f x y ϕ ≡ одной переменной х, а у является параметром. 1.2. Дифференцируемость ФНП в точке Определение 1.4. Функция ( , ) f x y называется дифференцируемой в точке 0 0 0 ( , ), M x y если ее полное приращение в этой точке представимо в виде 2 2 ( ), ( ) ( ) f A x B y o x y Δ = ⋅ Δ + ⋅ Δ + ρ ρ = Δ + Δ , (1.4) где величины А и В не зависят от и . х у Δ Δ Замечание. Всякая функция, определенная в некоторой окрестности точки 0 0 0 ( , ) M x y , имеет полное приращение, но не для всякой функции ее полное приращение представимо в виде (1.4), т.е. не всякая функция дифференцируема в точке 0 0 0 ( , ) M x y . Пример 1.1. Доказать, что функция 3 ( , ) f x y xy = недифференцируема в точке (0,0). Доказательство. Предположим противное: существуют величины А и В, независящие от , и x y Δ Δ такие, что имеет место равенство ( , ) (0,0) ( ) f f x y f A x B y o Δ ≡ Δ Δ − = ⋅Δ + ⋅Δ + ρ , см. (1.4). Так как f(0,0) = 0, то отсюда получаем, что 3 ( ) х у А х В у о Δ ⋅Δ = ⋅Δ + ⋅Δ + ρ . (1.5) В (1.5) положим у х Δ = Δ . Тогда 1 3 ( ) ( ) ( ) о х х А В х − Δ Δ = + + Δ . (1.6)
В (1.6) переходим к пределу при 0 х Δ → . Получим ( ) 0, А В ∞ = + + что невозможно. Теорема 1.1 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Теорема 1.2 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция ( , ) f x y дифференцируема в точке 0 0 0 ( , ) M x y , то в этой точке существуют обе частные производные и f f x y ∂ ∂ ∂ ∂ и имеет место равенство 2 2 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) . f f f x y x x y y o x y x y ∂ ∂ Δ = ⋅Δ + ⋅Δ + ρ ρ = Δ + Δ ∂ ∂ (1.7) Замечание. Существование обеих частных производных в точке не является достаточным условием дифференцируемости функции ( , ) f x y в этой точке. Например, функция ( , ) f x y = 3 ху недифференцируема в точке (0,0) (см. пример 1.1), но (0,0) (0,0) 0 f f x y ∂ ∂ = = ∂ ∂ (доказать). Теорема 1.3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Если обе частные производные и f f x y ∂ ∂ ∂ ∂ определены в не которой окрестности точки 0 0 0 ( , ) M x y и непрерывны в самой точке 0, M то функция ( , ) f x y дифференцируема в точке 0 0 0 ( , ) M x y . Замечание. Непрерывность частных производных в точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в этой точке. Пример 1.2. Доказать, что функция 2 2 2 2 1 ( ) sin , ( , ) (0,0), ( , ) 0, ( , ) (0,0) x y x y f x y x y x y ⎧ + ≠ ⎪ = + ⎨ ⎪ = ⎩ дифференцируема в точке (0,0), а ее частные производные ( , ) f x y x ∂ ∂ и ( , ) f x y y ∂ ∂ не являются непрерывными в этой точке.
Доказательство. 1. Так как 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) ( ) ( ) f f x y f x y o Δ ≡ Δ Δ − ≤ Δ + Δ =ρ = ρ , то функция ( , ) f x y дифференцируема в точке (0,0). 2. Имеем 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) 2 sin ( ) cos f x y x x x y x x y x y − ∂ = − + ∂ + + , ( , ) (0,0). х у ≠ Отсюда следует, что 0 0 lim ( , ) x y f x y x → → ∂ ∂ не существует. Следовательно, производная ( , ) f x y x ∂ ∂ не является непрерывной в точке (0,0). 1.3. Дифференциал Определение 1.5. Пусть функция ( , ) f x y дифференцируема в точке 0 0 0 ( , ). M x y Дифференциалом функции ( , ) f x y в точке 0 0 0 ( , ) M x y (обозначается 0 0 ( , ) df x y ) называется линейная относительно и х у Δ Δ часть полного приращения функции ( , ) f x y в точке 0 0 0 ( , ). M x y Если х и у независимые переменные, то положим по определению 0 0 , . x x x dx y y y dy Δ = − = Δ = − = Тогда из (1.7) и определения 1.5 следует 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) , f f df x y x y dx x y dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ (1.8) или . f f df dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ (1.8*) 1.4. Производная сложной функции Теорема 1.4. Пусть функции ( ) , u x y и ( ) , v x y дифференцируемы в точке 0 0 0 ( , ), М х у а функция ( ) , f u v дифференцируема в точке 0 0 ( , ), M u v где 0 0 0 0 0 0 ( , ), ( , ). u u x y v v x y = = Тогда сложная функция
( ) ( ) ( , , , ) f u x y v x y дифференцируема в точке 0 0 0 ( , ) М х у и имеют место формулы , f f u f v x u x v x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.9) . f f u f v y u y v y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.10) Замечание 1. Теорема верна для любого количества переменных , , , x y z … и переменных , , , , u v w … причем количество переменных , , , x y z … не обязательно совпадает с количеством переменных , , , u v w …. Формулы для вычисления частных производных функции f естественным образом обобщаются на эти случаи. Замечание 2. а) Если ( ) , f f x y = , a ( ) x x t = , ( ) y y t = , то в результате имеем функцию одной переменной ( ( ), ( )) f x t y t . Тогда . df f dx f dy dt x dt y dt ∂ ∂ = + ∂ ∂ В частности, б) если ( ) , f f x y = , ( ) y y x = , то . df f f dy dx x y dx ∂ ∂ = + ∂ ∂ (1.11) Производная , df dx стоящая в левой части (1.11), называется пол ной производной функции ( ) , f x y по переменной х. Отметим, что f x ∂ ∂ – частная производная функции ( ) , f x y по переменной х; вооб ще говоря, они не совпадают. 1.5. Инвариантность формы первого дифференциала Инвариантность формы первого дифференциала заключается в том, что формула (1.8*)
f f df dx dy x y ∂ ∂ = + ∂ ∂ имеет место и тогда, когда х и у являются независимыми переменными, и тогда, когда х и у – некоторые функции; но в первом случае , , dx x dy y = Δ = Δ а во втором – dx и dy – дифференциалы соответствующих функций. 1.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть S – поверхность, заданная уравнением ( , , ) 0. F x y z = (1.12) Определение 1.6. Прямая называется касательной к поверхности S в точке 0 0 0 0 ( , , ), M x y z если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности S и проходящей через точку 0. МОпределение 1.7. Точка ( , , ) M x y z S ∈ называется особой точкой поверхности S, если в этой точке 0 F F F x y z ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ (см. (1.12)) или хотя бы одна из этих производных не существует. Определение 1.8. Точка ( , , ) М x y z S ∈ называется обыкновенной точкой поверхности S, если в точке Мсуществуют и непрерывны ча стные производные , , F F F x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ и хотя бы одна из этих производных отлична от нуля. Теорема 1.5. Все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости. Определение 1.9. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности S, проходящим через данную точку 0 0 0 0 ( , , ) , M x y z S ∈ называется касательной плоскостью к поверхности S в точке 0 0 0 0 ( , , ). M x y z Замечание. В особых точках поверхности может не существовать касательной плоскости. Например, вершина конуса является особой точкой и не имеет касательной плоскости. Определение 1.10. Нормалью к поверхности в некоторой точке этой поверхности называется прямая, проходящая через указанную точку перпендикулярно касательной плоскости.
а) Поверхность задана неявно: ( , , ) 0. F x y z = (см. (1.12)). Точка 0 0 0 0 ( , , ) M x y z поверхности 0 0 0 ( , , ) 0 F x y z = не является особой, т.е. 2 2 2 0 0 0 ` ( ) ( ) ( ) 0. F F F M M M x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + > ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Нормальный вектор касательной плоскости в точке 0 0 0 0 ( , , ) M x y z имеет вид 0 0 0 ( ), ( ), ( ) . F F F N M M M x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ Уравнение касательной плоскости 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. F F F M x x M y y M z z x y z ∂ ∂ ∂ − + − + − = ∂ ∂ ∂ (1.13) Канонические уравнения нормали 0 0 0 0 0 0 . ( ) ( ) ( ) x x y y z z F F F M M M x y z − − − = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.14) Напомним, что 2 2 2 0, 0 0 0 0 0 ( , ) 0, ( ) ( ) ( ) 0. F F F F x y z M M M x y z ⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + > ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ б) Поверхность задана явно: 2 ( , ), ( , ) . z f x y x y G R = ∈ ⊂ Нормальный вектор касательной плоскости в точке 0 0 0 0 0 ( , , ( , )) M x y f x y S ∈ имеет вид 0 0 ( ), ( ), 1 f f N M M x y ⎛ ⎞ ∂ ∂ = − ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ . Сле довательно, уравнение касательной плоскости 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); f f z f M M x x M y y x y ∂ ∂ − = − + − ∂ ∂ (1.15) канонические уравнения нормали 0 0 0 0 0 ( ). 1 ( ) ( ) x x y y z f M f f M M x y − − − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ (1.16)
1.7. Скалярное поле Определение 1.11. Если каждой точке М области G cтавится в соответствие число U(M), то говорят, что в области G определено скалярное поле U(M). Область G (область определения скалярного поля) может быть на плоскости 2 ( ), G R ⊆ а может быть и в пространстве 3 ( ). G R ⊆ В первом случае скалярное поле называется плоским, во втором – пространственным. Определение 1.12. Поверхностью уровня пространственного скалярного поля U(M) называется поверхность, на которой U(M) = C, где C – константа. Аналогично определяется линия уровня плоского скалярного поля. Замечание. Понятия скалярного поля и функции двух (для плоского поля) и трех (для пространственного) переменных различны. Но как только введена система координат скалярное поле становится функцией соответствующих переменных. 1.8. Производная по направлению. Градиент Определение 1.13. Пусть скалярное поле U(M) определено в некоторой окрестности точки 0, М а из точки 0 М исходит луч l. Если существует конечный предел 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ), M M M l U M U M U M M M l → ∈ − ∂ ≡ ∂ (1.17) то он называется производной скалярного поля U(M) в точке 0 М в направлении l. Пусть далее введена декартова прямоугольная система координат. В этом случае скалярное поле (пространственное) ( ) ( , , ). U M U x y z ≡ Предполагается, что функция ( ) , , U x y z дифференцируема в точке 0 0 0 0 ( , , ). M x y z Тогда 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos , U U U U M x y z x y z x y z l x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = α + β+ γ ∂ ∂ ∂ ∂ или, короче, cos cos cos , U U U U l x y z ∂ ∂ ∂ ∂ = α + β + γ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.18)
Доступ онлайн
В корзину