Кристаллофизика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

№ 615 
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 

Технологический университет 

МИСиС 

Кафедра физики кристаллов 

К.М. Розин 
В.С. Петраков 

Кристаллофизика 

Учебное п о с о б и е 

Допущено учебно-методическим объединением по 
образованию в области металлургии в качестве учебного 
пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям: Физическое 
материаловедение, Материаловедение, технология 
материалов и покрытий, Электроника и 
микроэлектроника, Техническая физика 

Москва 
Издательство «УЧЕБА» 
2 0 0 6 

УДК 548.3 
Р64 

Рецензент 
канд. техн. наук А.В. Иванова 

Розин К.М., Петраков В.С. 
Р64 
Кристаллофизика: Учеб. пособие. – М.: МИСиС, 2006. – 249 с. 

Приводится систематическое изложение важнейших понятий и практических методов кристаллографии и кристаллохимии, начиная с классических 
методик определения символов атомных рядов и атомных плоскостей в кристаллах и завершая новейшими методиками описания эпитаксиальных кристаллических структур и атомных дефектов реальных кристаллов. 

В отличие от большинства изданий указанного направления, носящих сугубо теоретический характер, данное учебное пособие характеризуется практической направленностью и использованием различных форм активизации 
учебного процесса. 

Детально рассматриваются возможные атомные механизмы некоторых 
фазовых (полиморфных) переходов, что способствует активному усвоению 
важнейших понятий учебной дисциплины. 

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 651700 «Физическое материаловедение, технология материалов и покрытий», 550700 «Электроника и микроэлектроника», 553100 «Техническая физика». 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (технологический 
университет) (МИСиС), 2006 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие 
5 

Часть I. Геометрическая кристаллография 
Тема 1. Явление самоогранки кристаллов (законы 

плоскогранности и прямореберности кристаллических 
многогранников) 
8 

Тема 2. Закон изменчивости форм естественной огранки 

кристаллических многогранников 
10 

Тема 3. Закон угловых констант кристалла (закон Стенона) 
12 

Тема 4. Закон анизотропии физических свойств 

кристаллических тел 
15 

Тема 5. Закон симметрии форм естественной огранки 

кристаллических многогранников 
17 

Тема 6. Законы планарной симметрии 
19 

Тема 7. Законы простой осевой симметрии 
23 

Тема 8. Откуда берутся центры симметрии в кристаллах? 
26 

Тема 9. Законы центральной симметрии 
28 

Тема 10. Законы инверсионной осевой симметрии 
31 

Тема 11. Сравнительная характеристика инверсионных и 

простых элементов симметрии 
35 

Тема 12. Законы взаимодействия простых элементов 

симметрии кристаллических многогранников 
38 

Тема 13. Законы симметрии кристаллических многогранников 
44 

Тема 14. Принципы объединения классов (точечных групп) 

симметрии в сингонии и категории 
47 

Тема 15. Международные правила установки кристаллов 
49 

Тема 16. Закон рациональности двойных отношений 

параметров граней кристаллов (или закон целых чисел 
Гаюи) 
51 

Тема 17. Принципы определения символов граней 

кристаллических многогранников 
53 

Тема 18. Определение символов направлений и ребер 

кристаллического многогранника 
60 

Тема 19. Закон зон (поясов) Х. Вейсса и его приложения 
65 

Тема 20. Особенности индицирования гексагональных и 

тригональных кристаллов 
71 

Тема 21. Простые формы и их комбинации 
75 

Часть II. Структурная кристаллография 
Тема 22. Закон максимальной атомной плотности граней 

кристалла (закон Браве) 
84 

3 

Тема 23. Особые элементы симметрии кристаллических 

структур 
86 

Тема 24. Взаимодействие элементов симметрии, содержащих 

трансляционные компоненты 
93 

Тема 25. Принципы объединения элементов симметрии в 

пространственные группы симметрии 
кристаллических структур 
97 

Тема 26. Типы пространственных решеток Браве 
100 

Тема 27. Определение международного символа 

пространственной группы симметрии 
105 

Тема 28. Правильные системы точек и базис кристаллической 

структуры 
108 

Тема 29. Измерение и расчет кристаллических структур 
115 

Тема 30. Определяющее влияние кристаллохимических 

факторов на кристаллическую структуру 
123 

Тема 31. Моделирование кристаллических структур с 

помощью метода плотнейших шаровых упаковок 
(ПШУ) и координационных (структурных) 
многогранников 
126 

Тема 32. Законы изоморфизма 
141 

Тема 33. Полиморфные превращения в кристаллических 

структурах 
143 

Тема 34. Эпитаксиальные и двойниковые кристаллические 

структуры 
149 

Тема 35. Дефекты кристаллических структур 
159 

Тема 36. Определение межплоскостных расстояний и угловых 

констант кристаллической структуры с помощью 
метода обратной пространственной решетки 
170 

Часть 3. Приложения 
Приложение 1. Решение типичных пространственных задач 

кристаллографии методом стереографической 
проекции 
182 

Приложение 2. Стандартные стереографические проекции 
192 

Приложение 3. Матричная форма записи элементов симметрии....212 
Приложение 4. Выбор координатных систем и начала 

координат для описания кристаллических структур 
различных сингоний 
222 

Приложение 5. Некоторые структурные типы 
232 

Приложение 6. Расчетные формулы кристаллографии 
241 

Рекомендуемый библиографический список 
248 

4 

Предисловие 

Настоящее учебное пособие посвящено систематическому изложению тех разделов курса «Кристаллофизика», которые связаны с 
изучением внешней формы и внутреннего строения кристаллов, определяющих их замечательные физические свойства. 

Методы изучения кристаллической структуры превратились за 
последние десятилетия в научную базу не только большинства новейших наукоемких инженерных дисциплин (например, всех полупроводниковых специальностей, композиционных материалов, материалов квантовой электроники, сверхпроводниковых материалов и 
др.), но и стали неотъемлемыми элементами таких традиционных 
отраслей знания, как металлургическое производство, обработка металлов давлением, литейное производство, металловедение и термическая обработка металлов и многие другие. 

Авторы данного учебного пособия обобщили свой многолетний 
опыт преподавания курсов кристаллофизики, кристаллографии и 
кристаллохимии на многих факультетах Московского государственного института стали и сплавов: полупроводниковых материалов и 
приборов (ПМП), цветных и драгоценных металлов (ЦМД), вечернем 
факультете, факультете повышения квалификации преподавателей 
вузов (ФПКП), а также в Московском народном университете инженерных и экономических знаний. 

В отличие от большинства учебников по кристаллофизике и кристаллографии, носящих сугубо теоретический характер, настоящее 
учебное пособие насыщено многочисленными практическими примерами решения типичных задач геометрической и структурной кристаллографии, а также снабжено многими расчетными формулами и 
справочными таблицами. 

Важное место в пособии занимают многочисленные пространственные объекты: кристаллические многогранники и кристаллические 
структуры и разнообразные методы их представления: от стереографических проекций граней и ребер кристаллов до правильных систем 
точек, позволяющих определить с математической точностью координаты каждого атома в кристаллической структуре. 

В полном соответствии с историей развития науки о кристаллах в 
пособии отражена ведущая роль отечественной кристаллографической школы в ХIХ – ХХ вв.: 

5 

– открытие взаимосвязи между внешней формой естественной огранки кристаллов и их химическим составом (Д.И. Менделеев); 

– открытие 32 законов симметрии кристаллических многогранников (А.В. Гадолин); 

– создание международного универсального кристаллографического инструмента для построения стереографических проекций характерных направлений в кристаллах – градусной сетки Вульфа 
(Г.В. Вульф); 

– открытие 230 законов атомного строения кристаллических веществ, ставших основой современного международного стандарта 
(Е.С. Федоров); 

– открытие закона дифракции пучка параллельных рентгеновских 
лучей, прошедших через кристалл, позволившего расшифровать периодическое атомное строение кристаллических веществ и получить 
экспериментальное доказательство законов атомного строения кристаллов по Е.С. Федорову (Г.В. Вульф); 

– создание современного учения о строении реального кристалла 
с учетом дефектов атомного строения: точечных и линейных дефектов кристаллической структуры (А.Ф. Иоффе, Я.И. Френкель); 

– расшифровка сложнейших атомных структур группы минералов 
(силикатов) с помощью метода координационных многогранников 
(Н.В. Белов); 

– разработка первого квантового генератора–источника мощного 
лазерного излучения (Н.Г. Басов, А.М. Прохоров); 

– разработка гетероструктур на основе соединений типа А3В5, 
обеспечивших создание нового класса аппаратуры для миниатюрной 
мобильной связи (Ж.И. Алферов). 

В настоящем пособии систематически рассмотрены фундаментальные законы и важнейшие практические методы кристаллографии 
и кристаллохимии, начиная с классических методик определения 
символов атомных рядов и атомных плоскостей в кристаллах и завершая новейшими методиками описания эпитаксиальных структур 
и атомных дефектов реальных кристаллических структур. 

Для большей доступности учебного материала авторы по возможности старались избегать сложных математических выводов. Вместе 
с тем в пособии детально рассматриваются возможные атомные механизмы некоторых фазовых (полиморфных) переходов, что, безусловно, способствует активному усвоению важнейших понятий учебной дисциплины. 

6 

Одним из примеров неформального подхода к формулировкам базовых определений курса может служить новое, нетрадиционное определение зоны в кристалле как совокупности атомных плоскостей, 
построенных из одинаковых, параллельных друг другу атомных рядов 
(структурная формулировка) вместо прежнего формального определения зоны как совокупности граней кристалла, которые пересекаются 
по параллельным ребрам. Приведенное сопоставление свидетельствует не только о непротиворечивости обоих определений, но подчеркивает четкость и углубленный смысл структурной формулировки. 

Авторы надеются, что пособие окажется полезным для подготовки специалистов множества наукоемких отраслей и для широкого 
круга читателей, заинтересованных в ознакомлении с важнейшими 
методиками исследования кристаллического вещества. 

7 

ЧАСТЬ I. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 

Тема 1. Явление самоогранки кристаллов 

(законы плоскогранности и прямореберности 

кристаллических многогранников) 

Самопроизвольное образование плоских граней и прямых ребер на 
поверхности медленно растущего из газообразной или жидкой фазы кри
сталла называют его естественной огранкой, или самоогранкой. 
Уникальное явление самоогранки – следствие закономерного, 
периодического 
внутреннего 

(атомного) строения кристаллов: 
их ребра – прямолинейные атомные ряды, их грани – атомные 
плоскости, которые составлены 
из параллельных атомных рядов. 
Сами кристаллические многогранники представляют собой 
пакеты параллельных атомных 
плоскостей. Способность кристаллических тел к самоогранке 
часто именуют законами плоскогранности и прямореберности. 

На рис. 1.1 показано 
наглядное 
соотношение 
между явлением самоогранки и атомным строением кубических кристаллов: 
граням куба соответствуют квадратные атомные 
сетки (рис. 1.2, а), граням 
октаэдра – атомные сетки 
из равносторонних треугольников (рис. 1.2, б), 
граням ромбододекаэдра – 
атомные сетки из вытянутых прямоугольников (рис. 1.2, в). 

Рис. 1.1. Взаимно однозначное 
соответствие между симметрией 
естественной огранки кубического 
кристалла и атомной структурой его 

граней 

а 
б 
в 

Рис. 1.2. Атомная структура граней кубического 

кристалла, приведенного на рис. 1.1: 

а – квадратные атомные сетки; б – треугольные 

атомные сетки; в – прямоугольные атомные сетки 

8 

На рис. 1.3 приведены фотографии обычных снежинок, радующих глаз своими чеканными 
узорами. Для этих узоров характерны шестиугольные звездочки, а также комбинации из пар 
симметричных правильных треугольников. Все эти формы находятся в полном соответствии с 
атомным строением кристалликов льда: с плоскими атомными 
сетками из правильных треугольников 
(или правильных 
шестиугольников). 

Исключительное разнообразие форм естественной огранки 
можно проиллюстрировать на 
примере 
кристаллов 
NaClO3 
(рис. 1.4, а), FeS2 (рис. 1.4, б), 
ZnS (рис. 1.4, в). 

Приведенные примеры способствуют четкому и образному 
представлению об уникальном 
природном явлении естественной самоогранки кристаллических тел и его причинах: закономерном, периодическом атомном строении кристаллов. Следует заметить, что хотя кристаллы всегда характеризуются закономерным внутренним строением, однако явление самоогранки наблюдается лишь при 
некоторых, особо благоприятных условиях, например при 
начальных стадиях образования 
снежинок (когда они еще не успели слипнуться в бесформенные конгломераты). 

Рис. 1.3. Разнообразие форм 
природных снежинок 

Рис. 1.4. Некоторые формы 
естественной огранки кристаллов: 

NaClO3 (а), FeS2 (б), ZnS (в) 

9 

Контрольные вопросы 

1. В чем отличие естественной огранки кристаллов от их искусственной огранки? 

2. Из каких фаз можно получить кристаллические многогранники? 
3. Каковы особенности выращивания ограненных монокристаллов? 
4. Где применяются кристаллы кварца? 

Контрольные задания 

1. Опишите характерные особенности строения снежинок. 
2. Приведите пример искусственной огранки ювелирных кристаллов (схему огранки). 

3. Охарактеризуйте геометрические формы естественной огранки 
кубических кристаллов и их характерные сочетания. 

4. Схематически изобразите планы нескольких кубических кристаллических многогранников. 

5. Приведите примеры наименований производственной технологической аппаратуры для выращивания монокристаллов. 

Тема 2. Закон изменчивости форм естественной 
огранки кристаллических многогранников 

Кристаллы одного и того же вещества (следовательно, с одинаковой атомной структурой) могут весьма существенно различаться по 
своей естественной огранке. Различие форм естественной огранки 
кристаллов зависит от числа граней, их разновидностей и развитости, 
а также их взаимного расположения. Так, хотя число и взаимное расположение граней у всех трех кристаллов природного кварца совпадают, но их грани различаются и по числу ребер и по своим геометрическим формам (рис. 2.1, а – в). 

Однако при всех этих различиях взаимное расположение граней 
трех кристаллов кварца совершенно идентично: стереографические 
проекции нормалей шести вертикальных граней гексагональной 
призмы (р) у этих кристаллов совпадают друг с другом (рис. 2.2). 
Аналогичным образом совмещаются друг с другом и стереографические проекции всех двенадцати наклонных граней гексагональной 
дипирамиды (d): шести – верхних, помеченных на проекции кружками, и шести – нижних, помеченных на проекции крестиками. 

10 

Рис. 2.1. Различие форм естественной огранки 
кристаллов природного кварца (а – в) 

С существенными различиями в естественной 
огранке кристаллов можно 
встретиться также у квасцов (рис. 2.3, 2.4). Если у 
левого кристалла наиболее 
развиты грани куба (а), то 
у правого – грани октаэдра 
(o), а грани куба (а) и ромбододекаэдра (т) развиты 
значительно слабее. В то 
же время у левого кристалла (рис. 2.3, а) отсутствуют грани ромбододекаэдра (т). 

Таким образом, различие форм естественной 
огранки 
характерно 
не 
только 
для 
кристаллов 
разного химического состава, но также и для кристаллов одинакового состава. Хотя в последнем 
случае кристаллы характеризуются 
совершенно 
одинаковым 
атомным 

Рис. 2.2. Стереографические 
проекции нормалей граней 
гексагональной призмы (р) и 
гексагональной дипирамиды 
(d), приведенных на рис. 2.1 

Рис. 2.3. Кристаллы квасцов RbAl(SO4)2 12H2O 
кубического (а) и октаэдрического (б) облика 

Рис. 2.4. Стереографические проекции 
нормалей граней кристаллов квасцов 

приведенных на рис. 2.3. Грани: куба (k), 

октаэдра (o), ромбододекаэдра (r) 

11 

строением, различие форм их огранки возникает из-за несовпадения 
условий образования этих кристаллов: агрегатного состояния исходной фазы (парофазного, жидкого или твердого), температуры и химического состава маточных фаз, а также множества других технологических параметров. 

Контрольные вопросы 

1. Какие внешние факторы могут оказывать влияние на формы естественной огранки растущих кристаллов? 

2. Могут ли исчезать некоторые грани растущего кристалла в 
процессе его роста? 

3. Какие разновидности изменения самоогранки кристалла можно 
наблюдать при нестабильности условий кристаллизации? 

Контрольные задания 

1. Опишите различия форм огранки снежинок (рис. 1.3). 
2. Опишите различия в формах естественных граней и ребер кристаллов природного кварца (рис. 2.1). 

3. Сопоставьте полярные координаты нормалей граней гексагональной дипирамиды друг с другом (по рис. 2.2). 

Тема 3. Закон угловых констант кристалла 
(закон Стенона) 

Если формы самоогранки кристаллов одного состава, определяющие их внешний вид, весьма изменчивы и не могут служить надежным определяющим признаком кристаллов данного состава, то проявлением и подтверждением идентичности внутреннего атомного 
строения этих кристаллов служит постоянство углов между соответствующими их гранями. Действительно, если кристаллы одного состава, существенно различающиеся по своей (само)огранке, совместить (мысленно) таким образом, чтобы сходные грани заняли параллельные положения, то окажется, что углы между соответствующими смежными гранями этих кристаллов равны друг другу. 

Этот закон относится к так называемым эмпирическим, установленным Стеноном в 1669 г. опытным путем, поскольку тогда еще не 
знали, что грани кристалла – атомные плоскости, а угол между двумя 
гранями – это угол между конкретной парой атомных плоскостей, 
который характерен для данного вещества и не может зависеть ни от 
каких технологических параметров (от условий образования). Действительно, несмотря на существенные различия в количестве ребер и 

12