Кристаллография и кристаллохимия : описание кристаллических структур с помощью Международных кристалло-графических таблиц

№ 27 

Кафедра физики кристаллов 

К.М. Розин 

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ И КРИСТАЛЛОХИМИЯ 

Описание кристаллических структур с помощью 
Международных Кристаллографических Таблиц 

Учебное пособие 
для студентов специальностей 1105.02 и 1108.00 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия 

МОСКВА 2001 

УДК 548.71 

Р64 

Розин К.М. Кристаллография и кристаллохимия: Описание 
кристаллических структур с помощью Международных кристаллографических таблиц: Учеб. пособие – М.: МИСиС, 2001. 88 с. 

В учебном пособии рассмотрены основные современные методы 
описания любых кристаллических структур, объединенные в Международные Кристаллографические Таблицы (МКТ) и отвечающие требованиям 
действующего Международного Стандарта. 

Пособие содержит многочисленные примеры применения МКТ для 
описания различных кристаллических структур, а также домашние задания 
и упражнения, которые могут быть использованы в курсах: кристаллофизики, кристаллографии и кристаллохимии, физики твердого тела, физики полупроводников и др. 

Пособие предназначено студентам всех специальностей факультета 
полупроводниковых материалов и приборов, а также для специальностей 
1105.02 и 1108.00. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС) 2001 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение...................................................................................................5 
1. Симметрия кристаллических структур..............................................7 

1.1. Пространственные решетки.....................................................7 
1.2. Элементы симметрии кристаллических структур ...............12 
1.3. Взаимодействие элементов симметрии кристаллических 
структур ..........................................................................................16 

Т
1.3.1. Взаимодействие трансляции «
» с 
перпендикулярной зеркальной плоскостью 
симметрии “m”..........................................................................17 
1.3.2. Взаимодействие трансляции «T » с наклонной 
зеркальной плоскостью симметрии ........................................19 
1.3.3. Взаимодействие взаимно-перпендикулярных 
плоскостей симметрии, имеющих горизонтальные 
компоненты скольжения..........................................................20 
1.3.4. Взаимодействие взаимно-перпендикулярных 
плоскостей симметрии, содержащих вертикальные 
компоненты скольжения..........................................................22 

1.4. Определение символа пространственной группы 
симметрии кристаллической структуры......................................23 
1.5. Принцип вывода пространственных групп симметрии ......26 
1.6. Состав пространственных групп симметрии (ПГС)............30 
1.7. Структура Международных Кристаллографических 
Таблиц .............................................................................................32 
1.8. Выбор начала координат и определение координат 
атомов .............................................................................................33 
1.9. Вывод правильных систем точек (ПСТ)...............................37 

1.9.1. Кратность ПСТ................................................................37 
1.9.2. Определение атомного рисунка по символу ПСТ.......40 
1.9.3. Особенности описания правильных систем точек 
гексагональных кристаллических структур...........................43 

2. Примеры описания кристаллических структур с помощью 
Международных Кристаллографических Таблиц..............................46 

2.1. Структурный тип меди...........................................................46 
2.2. Структурный тип α-Fe............................................................46 
2.3. Описание структурного типа магния....................................47 
2.4. Описание структурного типа сфалерита (кубическая 
структура).......................................................................................48 
2.5. Описание структурного типа арсенида никеля....................50 

 
3 

2.6. Описание структурного типа алмаза.....................................52 
2.7. Описание структурного типа вюрцита .................................54 

3. Домашние задания и упражнения....................................................58 

3.1. Тема: Расчет рентгеновских и ретикулярных 
плотностей в кристаллических структурах различных 
структурных типов.........................................................................58 

Домашние задания....................................................................59 

3.2. Тема: Пространственные группы симметрии 
кристаллических структур ............................................................67 

Домашние задания....................................................................67 
Упражнения...............................................................................69 

3.3. Тема: Международные кристаллографические таблицы....77 

Домашние задания....................................................................77 
Упражнения...............................................................................79 

3.4. Тема: Определение символов атомных плоскостей и 
рядов в кристаллических структурах...........................................84 

Упражнения 
………………………………………………...84 

Рекомендуемый библиографический список......................................87 

4 

ВВЕДЕНИЕ 

Идея математически точного описания пространственного 
расположения атомов в кристалле возникла задолго до одного из величайших достижений нашего времени – экспериментального доказательства периодического атомного строения кристаллов. Но логическое завершение математическое описание естественной огранки 
кристаллов (граней и ребер) получило лишь в работах профессора 
Михайловской артиллерийской академии А.В. Гадолина (1869 г.). 
Принципы описания атомной структуры кристаллов окончательно 
были сформулированы Е.С. Федоровым* и до настоящего времени 
служат основой современного Международного Стандарта – Международных (или Интернациональных) Кристаллографических Таблиц 
(МКТ). И это говорит о научном предвидении Е.С. Федорова, так как 
Федоровские Таблицы были созданы еще до экспериментального 
доказательства периодического атомного строения кристаллов 
(1912 г.) 

МКТ позволяют с математической точностью описать пространственный рисунок закономерного, периодического атомного 
строения кристаллов с помощью специального симметрийного метода. Важнейшими инструментами этого метода служат стандартные 
правила определения пространственной группы симметрии, выбора 
координатной системы и начала координат в соответствии с симметрией кристалла, определения правильных систем точек, позволяющих до предела упростить описание координат элементов атомного 
ансамбля. 

В соответствии с указанным Международным Стандартом 
описание любой кристаллической структуры содержит следующие 
обязательные этапы. 

1. Определение 
пространственной 
группы 
симметрии 
(ПГС); символ ПГС состоит из характерных элементов симметрии 
кристаллической структуры, записанных в определенном порядке. 

*

 
5 

 
Федоров Е.С. 
(1853–1919 гг.) 
в 
1890 г. 
окончил 
СанктПетербургский Горный институт, его именем часто называют пространственные группы симметрии. 

2. Определение количества правильных систем точек 
(ПСТ) – групп атомов, связанных элементами симметрии, их кратностей – числа атомов в каждой ПСТ, приходящихся на каждую элементарную ячейку данной кристаллической структуры. 

3. Выбор начала координат и сопоставление координат атомов с табличными значениями, указанными в МКТ, для каждой ПСТ. 

6 

1. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ 
СТРУКТУР 

1.1. Пространственные решетки 

Опираясь на открытый Гаюи (1784 г.) закон рациональных 
отношений параметров, послуживший основой для современных 
представлений об атомном строении кристаллов, Волластон ввел понятие пространственной решетки (1813 г.), которое затем было развито Браве (1852 г.). 

а
б

Рис. 1.1. Закономерное, периодическое расположение атомов в 
кристалле (а) и соответствующая узловая сетка пространственной 
решетки (б) 

Периодическое расположение материальных частиц в кристалле (рис. 1.1, а) описывается с помощью математической модели 
(рис. 1.1, б), состоящей из математических точек – узлов. Размеры 
узловой сетки точно соответствуют параметрам атомной сетки, между двумя сетками существует геометрическое и размерное соответствие. Любой атомный ряд в кристалле [uvw] имеет соответствующий 
параллельный ему узловой ряд. Любая атомная плоскость (hkl) имеет 
соответствующую параллельную узловую плоскость. 

Период повторяемости (или период идентичности) можно 
рассматривать как особый элемент симметрии бесконечной кристаллической структуры, называемый трансляцией. Действительно, 

 
7 

трансляция описывает параллельный перенос всей кристаллической 
структуры в целом и каждого ее атома в отдельности из исходного 
положения в конечное, эквивалентное положение, в котором каждый 
атом замещает совершенно аналогичный атом. Например, под действием трансляции 

8 

a  каждый атом переместился бы на одно межатомное расстояние вдоль оси ОХ, под действием трансляции b – на одно 
межатомное расстояние вдоль оси ОY; а под действием трансляции 
c – на одно межатомное расстояние вдоль оси OZ. 

Базисные трансляции 
c
b
a
,
,
, параллельные координатным 
осям ОХ, ОY и OZ, соответственно и, следовательно, параллельные 
наиболее плотно заселенным атомным рядам, являются ребрами элементарной ячейки в форме параллелепипеда. 

Форма элементарной ячейки кристаллической структуры определяется соотношениями между длиной ребер элементарной ячейки (
0
0
0
,
,
c
c
b
b
a
=
=
=
a
) и углами между ними (α, β, γ) и одно
значно связана с симметрией кристалла (табл. 1.1). Например, для 
кубических кристаллов (а0 = b0 = с0; α = β = γ = 90°) элементарная 
ячейка 
имеет 
форму 
куба; 
для 
гексагональных 
кристаллов 
(а0 = b0 ≠ с0; α = β = 900; γ = 120°) элементарная ячейка имеет форму 
прямой призмы с основанием в форме ромба. 

Таблица 1.1 

14 пространственных решеток Браве 

Тип пространственной решетки Браве 
Сингония, 
геометрия 
решетки 

Примитивная 
Базоцентрированная 
С 

Объемноцентрированная 
I 

Гранецентрированная 
F 
Р 

1 
2 
3 
4 
5 

Триклинная, 
α ≠ β ≠ γ ≠ 90°; 

a0 ≠ b0 ≠ c0

– 
– 
– 

Моноклинная, 

– 
– 
α = γ = 90° ≠ β; 

a0 ≠ b0 ≠ c0

Ромбическая, 
α = β = γ = 90°; 

a0 ≠ b0 ≠ c0

– 

– 

5 

Окончание таблицы 1.1 

1 
2 
3 
4 

Тригональная, 
α = β = γ ≠ 90°; 

a0 = b0 = c0

Ромбоэдрическая 

– 
– 

Тетрагональная, 
α = β = γ = 90°; 

a0 = b0 ≠ c0

– 
– 

Гексагональная, 

α = β = 90°; 

γ = 120°; 
a0 = b0 ≠ c0

– 
– 

– 

Кубическая, 

α = β = γ = 90°; 

a0 = b0 = c0

По предложению Браве, при выборе элементарной ячейки в 
кристаллической структуре, следует придерживаться следующих 
правил в строго указанной очередности. 

Во-первых, симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла. 

Во-вторых, элементарная ячейка должна иметь после выполнения первого условия наибольшее количество прямых углов между 
ребрами. 

В-третьих, при выполнении первого и второго условий выбирается элементарная ячейка минимального объема. 

Пример. В соответствии с этими правилами в ромбическом 
кристалле (рис. 1.2): элементарные ячейки 2 и 6 не соответствуют 
симметрии кристалла (нет плоскостей симметрии). Остальные ячейки 
отвечают 
симметрии 
кристалла 
(имеют 
две 
взаимноперпендикулярные вертикальные плоскости симметрии), но лишь 
ячейки 3 и 4 имеют прямые углы. Ясно, что из двух последних ячеек 
нужно выбрать ячейку 3, которая удовлетворяет всем требованиям. 

Рис. 1.2. К выбору элементарной ячейки в ромбическом кристалле: 

------ – атомная сетка; 
––––– – возможные варианты элементарных ячеек 

По Браве элементарные ячейки могут характеризоваться помимо основных (базисных) трансляций 
c
b
a
,
,
, которым соответствуют примитивные (P) пространственные решетки, также дополнительными трансляциями: 

2
/)
(
b
a +
− 
± 
– для базоцентрированной С пространственной решетки; 

2
/)
(
c
b
a
+
+
− 
± 
– для объемно-центрированной I пространственной решетки; 

2
/)
(
,2
/)
(
,2
/)
(
c
a
c
b
b
a
+
±
+
±
+
±
– для гранецентрированной F пространственной решетки. 

− 

По Браве существует 14 типов пространственных решеток 
(см. табл. 1.1). Так, в триклинных кристаллах всегда можно выбрать 

 
11

примитивную элементарную ячейку, удовлетворяющую всем трем 
правилам (см. выше). В ромбических кристаллических структурах 
(элементарная ячейка – прямоугольный параллелепипед) встречаются все четыре типа пространственных решеток. В кубических кристаллических структурах отсутствуют базоцентрированные пространственные решетки; так как благодаря наличию наклонных осей 
симметрии третьего порядка L3, центры всех шести граней куба всегда связаны элементами симметрии, и появление одного атома в центре одной из граней неизбежно влечет за собой появление таких же 
атомов в центрах других граней куба. 

1.2. Элементы симметрии 
кристаллических структур 

Все элементы симметрии, используемые для описания кристаллических многогранников можно использовать и для описания 
структур: 

– 
центр симметрии C; 

– 
плоскость симметрии m; 

– 
простые поворотные оси симметрии 1, 2, 3, 4, 6; 

– 
инверсионные оси симметрии
. 
6
,4
,3

Кроме того, для описания кристаллических структур используются также особые элементы симметрии: трансляции, винтовые 
оси симметрии и плоскости скользящего отражения (называемые 
также плоскостями симметричности). 

Трансляция соединяет друг с другом: идентичные атомы, параллельные атомные ряды, параллельные атомные плоскости, ось 
симметрии, с идентичной осью симметрии, зеркальную плоскость 
симметрии с параллельной зеркальной плоскостью симметрии и т. д. 

С помощью винтовых осей симметрии Nt описывают поворот 
атома на элементарный угол α = 360°/N и его скольжение вдоль винтовой оси симметрии на долю трансляции t/N (компонента скольжения). Например, винтовая ось симметрии 41 связывает атомы, которые можно совместить поворотом вокруг этой оси на элементарный 
угол 90° (360°/4 = 90°) и скольжением вдоль этой оси на одну четверть трансляции 1/4. 

Полный перечень возможных винтовых осей симметрии и их 
обозначений приведен в табл. 1.2. 

 
12