Кристаллофизика : симметрия кристаллических многогранников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 282 

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков

И.С. Диденко 
В.В. Гераськин 
 

Кристаллофизика

Симметрия кристаллических многогранников 

Лабораторный практикум 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 548.12 
 
Д44 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.В. Осипов 

Диденко, И.С. 
Д44  
Кристаллофизика: симметрия кристаллических многогранников : лаб. практикум / И.С. Диденко, В.В. Гераськин. – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2011. – 76 с. 
 

Лабораторный практикум содержит материал, необходимый для подготовки и проведения лабораторных работ по курсу «Кристаллофизика». Подробно изложен материал, связанный с проектированием и индицированием 
кристаллических многогранников, который вызывает наибольшие трудности 
у студентов. В процессе выполнения лабораторных работ студенты приобретают навыки определения элементов симметрии, построения стереографических и гномостереографических проекций и индицирования граней и ребер 
кристаллических многогранников. 
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям 210100 
«Электроника и наноэлектроника», 150100 «Материаловедение и технологии 
материалов». 

 

 
© И.С. Диденко, 
В.В. Гераськин, 2011 

СОДЕРЖАНИЕ 

Лабораторная работа 1. Определение элементов 
симметрии кристаллических многогранников ..................................4 
Лабораторная работа 2. Проектирование моделей 
кристаллических многогранников низшей и средней 
категорий.............................................................................................15 
Лабораторная работа 3. Проектирование моделей 
кристаллических многогранников кубической сингонии ..............34 
Лабораторная работа 4. Индицирование кристаллов 
кубической сингонии .........................................................................45 
Лабораторная работа 5. Индицирование кристаллов 
средней и низшей категорий .............................................................61 
 

Лабораторная работа 1 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ 
КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МНОГОГРАННИКОВ 

1.1. Цель работы 

Приобретение навыков определения элементов симметрии на моделях кристаллических многогранников. 

1.2. Теоретическое введение 

Кристаллический многогранник называют симметричным, если 
он состоит из закономерно повторяющихся частей (граней, ребер, 
вершин). Симметрия кристаллических многогранников выявляется с 
помощью элементов симметрии – вспомогательных геометрических 
образов: точек, прямых, плоскостей. 
Элементами симметрии называются воображаемые плоскости, 
прямые линии и точки, с помощью которых можно осуществлять 
отражения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с 
самим собой. Заметим, что элементы симметрии – это воображаемые 
точки, прямые, плоскости, т.е. невидимые наблюдателю, в отличие 
от вершин, ребер и граней многогранника. 
Фигура обладает элементом симметрии, если после его воздействия она занимает в пространстве то же положение, что и до него, но 
на место одних частей фигуры становятся другие, равные им части. 
При этом мы говорим, что фигура совмещается сама с собой. Отражения и вращения, приводящие многогранник в совмещение с самим 
собой, называются преобразованиями симметрии. 
При описании симметрии кристаллических многогранников используются следующие элементы симметрии: центр симметрии, 
плоскость симметрии, оси симметрии. Все элементы симметрии пересекаются в одной точке – центре тяжести многогранника. Такая 
симметрия называется точечной. Рассмотрим действие различных 
элементов симметрии. 

1.2.1. Центр симметрии 

Центром симметрии называется воображаемая точка внутри объекта, по обе стороны от которой на равных расстояниях находятся 

равные точки. В многогранниках, обладающих центром симметрии, 
каждой грани обязательно соответствует антипараллельная грань, 
т.е. параллельная исходной грани, равная ей по форме и величине и 
развернутая на 180° относительно исходной (рис. 1.1, а). Если хотя 
бы для одной грани нельзя найти соответствующую eй антипараллельную грань, то центра симметрии в таком многограннике нет. 
В интернациональной символике центр симметрии обозначают 1 , 
в учебной – буквой С. Центр симметрии встречается лишь в единственном числе и совпадает с центром тяжести многогранника. 

 

Рис. 1.1. Действие центра симметрии: многогранник, обладающий 
центром симметрии (а), треугольники, связанные центром симметрии (б) 

При отражении в центре симметрии (рис. 1.1, б), каждую точку 
треугольника АВD следует соединить прямой линией с центром симметрии и продолжить эти прямые по другую сторону от центра симметрии на равные расстояния, т.е. AС = СA', ВС = СВ', DС = СD', и 
тогда получится равный АВD и антипараллельный треугольник 
А'B'D'. На рис. 1.1, а показан многогранник, обладающий центром 
симметрии. Практически обнаружить наличие центра симметрии довольно просто. Для этого надо положить многогранник на стол поочередно каждой гранью и отыскивать наверху грани, равные нижним, параллельные плоскости стола и антипараллельные нижним 
граням. 

1.2.2. Зеркальная плоскость симметрии 

Зеркальной плоскостью симметрии называется такая воображаемая плоскость, которая делит рассматриваемый объект на две зеркально-равные части, соотносящиеся как предмет и его зеркальное 

изображение. Далее термин «зеркальная» опускается (в точечной 
симметрии других плоскостей симметрии не рассматривается). 
При отражении в плоскости симметрии из каждой точки фигуры 
(рис. 1.2) опускают перпендикуляр на плоскость симметрии, а затем 
продолжают его по другую сторону от плоскости симметрии и на 
равном расстоянии находят идентичную точку (АА', ВВ'). Части фигуры, находящиеся по обе стороны от плоскости, связаны друг с другом как предмет и его зеркальное изображение. 

 

Рис. 1.2. Действие зеркальной плоскости симметрии, 
которая перпендикулярна плоскости чертежа 

Для нахождения плоскостей симметрии в кристаллических многогранниках их мысленно делят плоскостями на зеркально-равные части. На чертеже плоскость симметрии обозначается двойной линией. 
Условные обозначения зеркальной плоскости симметрии приведены 
в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Обозначение зеркальной плоскости симметрии 

Изображение на чертеже (стереографическая проекция), положение относительно плоскости чертежа

Международный символ 
Учебный 
символ 
вертикально 
горизонтально
наклонно 

m 
P 

1.2.3. Поворотные оси симметрии 

Поворотной осью симметрии называется такая воображаемая 
прямая, при повороте вокруг которой на некоторый угол поворота α 
внешний вид рассматриваемого объекта не меняется, т.е. объект как 
бы совмещается при повороте на угол α сам с собой. 
Элементарный угол поворота α – минимальный угол, при повороте на который вокруг оси симметрии фигура совмещается сама с собой. Число таких самосовмещений при полном повороте на 360° определяет порядок оси n, т.е.  

 
n = 360° / α. 
(1.1) 

Следует отметить, что в различных узорах, орнаментах, геометрических фигурах, растениях возможны оси симметрии любых порядков. Кристаллические же многогранники обладают только поворотными осями, порядок которых равен 1, 2, 3, 4, 6. 
Для обозначения осей симметрии в учебной символике используется буква L в сочетании с соответствующим цифровым индексом, 
указывающим порядок оси. В интернациональной символике поворотные оси симметрии обозначаются той арабской цифрой, которая 
равна порядку оси. Например, ось третьего порядка в учебной символике записывается как L3, а в интернациональной 3. Условные обозначения поворотных осей симметрии приведены в табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

Поворотные оси симметрии кристаллических 
многогранников и их обозначения 

Условные обозначения 

На чертеже* 

Порядок оси 
n 

Элементарный 
угол поворота

α = 360°/n 
Учебный 
символ 
Международный символ 
вертикальная
горизонтальная

1 
360° 
L1 
1 
– 
– 

2 
180° 
L2 
2 

3 
120° 
L3 
3 

4 
90° 
L4 
4 

6 
60° 
L6 
6 

_________ 
* Если ось симметрии наклонена к плоскости чертежа, то на стереографической 
проекции отображается ее выход только с верхней полусферы. 

Приведенные на рис. 1.3 пирамиды имеют столько сходящихся в вершинах граней, каков порядок оси, проходящей через вершину пирамиды 
и основание, поскольку при повороте на углы соответственно 120°, 90°, 
60° многогранники самосовместятся соответственно 3, 4 и 6 раз. 

 

Рис. 1.3. Многогранники, обладающие 
осями симметрии L2 (а), L3 (б), L4 (в) и L6 (г) 

1.2.4. Инверсионные оси симметрии 

Инверсионной осью симметрии называется такая воображаемая 
прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол α с последующим (или предварительным) отражением в 
центральной точке фигуры, как в центре симметрии, фигура совмещается сама с собой. В зависимости от величины угла α различают 
инверсионные оси различных порядков. Инверсионные оси в интернациональной символике обозначаются n , а в учебной 
n
L , где n – 

цифра, соответствующая порядку оси. Инверсионная ось первого 
порядка осуществляет поворот на 360° и отражение в центральной 
точке фигуры, что фактически равнозначно действию центра симметрии. Действие инверсионной оси второго порядка равнозначно 
действию плоскости симметрии, перпендикулярной этой оси, поэтому 
2
L  как самостоятельный элемент симметрии обычно не рассмат
ривают. Под действием оси 
3
L  (рис. 1.4, а) все части многогранника 
после поворота на 120° и отражения в центральной точке кристаллического многогранника совмещаются сами с собой. При этом в мно

гограннике можно обнаружить поворотную ось L3 и центр симметрии, поэтому 
3
L  соответствует совокупности оси третьего порядка и 

центра симметрии С (
3
3
L
L
C
=
+
). 

 

Рис. 1.4. Многогранники, обладающие инверсионными 
осями симметрии 
3
L  (а), 
4
L  (б) и 
6
L  (в) 

Особый интерес вызывает ось 
4
L , которая совмещает все части 
многогранника после поворота на 90° и отражения в центральной 
точке, как в центре симметрии (рис. 1.4, б), но при этом ни поворотной оси L4, ни центра симметрии, как самостоятельных элементов 
симметрии, у данного многогранника нет. Инверсионная ось 
4
L  всегда включает в себя поворотную ось L2, поэтому ось L2, как самостоятельный элемент симметрии, совпадающий с 
4
L , при записи симметрии 

не учитывается. Ось 
6
L  совмещает многогранник (рис. 1.4, в) путем 
поворотов на 60° и отражения как в центре симметрии, что аналогично повороту на 120° и отражению в плоскости симметрии, перпендикулярной оси 
6
L . Следовательно, ось 
6
L  можно заменить осью 
L3 и перпендикулярной ей плоскостью Р. Итак: 

1L
С
≡
; 

2
L
P⊥
≡
; 

3
3L
L
C
≡
+
; 

4
L  – включает в себя ось L2; 

3
6
L
L
P⊥
≡
+
. 

Условные обозначения инверсионных осей симметрии приведены 
в табл. 1.3. 

Таблица 1.3 
Инверсионные оси симметрии и их обозначения 

Условные обозначения 

На чертеже 
Порядок 
оси n 
Аналог 
Учебный 
символ 
Международный символ 
вертикальная
горизонтальная 

1 
С 
Самостоятельных обозначений не имеет 

2 
P ┴ 
Самостоятельных обозначений не имеет 

3 
L3 + C 
3
L
3

4 
– 
4
L
4

6 
L3 + P ┴ 
6
L
6

1.2.5. Единичные и полярные направления 

Повторяющиеся в кристалле направления, связанные элементами 
симметрии, называются симметрично-равными. 
Наряду с ними в кристалле можно выделить не повторяющиеся 
(единичные) направления. Единичное направление – это такое направление, которое нельзя размножить, действуя на него элементами 
симметрии, присущими данному кристаллическому многограннику. 
Особо отметим, что единичное направление не означает «единственное». Единичных направлений у кристалла может быть много, а может и не быть вовсе. 
При исследовании многих физических свойств кристаллов важно 
понятие полярного направления. Полярное направление – направление, концы которого не являются эквивалентными, т.е. их нельзя совместить никакими элементами симметрии, присущими данному 
кристаллическому многограннику. 
Центр симметрии сохраняет единичные направления, но «уничтожает» полярные, т.е. при наличии в кристалле центра симметрии 
полярные направления отсутствуют. 
Если направление расположено косо по отношению к плоскости 
симметрии, то плоскость, зеркально отражая это направление, дает 
симметрично равное, таким образом, это направление не является 

единичным. Если направление перпендикулярно плоскости Р, то оно 
при отражении в плоскости симметрии совмещается само с собой и 
это направление может быть единичным. Если направление лежит в 
плоскости Р, то оно также может быть единичным. 
Полярное направление может располагаться косо по отношению к 
плоскости симметрии, может лежать в плоскости симметрии. Перпендикулярное к плоскости симметрии направление полярным не является. 
Рассмотрим, как может располагаться единичное направление относительно оси симметрии. Если направление лежит косо к оси симметрии, то оно не будет единичным, поскольку ось симметрии Ln «размножит» это направление n раз. Если направление перпендикулярно к оси, 
то оно также повторится n раз, т.е. не будет единичным, кроме частного 
случая, когда направление перпендикулярно оси L2. Если направление 
совпадает с осью симметрии, то оно может быть единичным. 

1.3. Методика определения элементов симметрии 
кристаллического многогранника 

При нахождении элементов симметрии кристаллических многогранников следует руководствоваться правилами, приведенными ниже 
1. Плоскость симметрии следует искать либо перпендикулярно 
граням многогранника (плоскость симметрии должна делить их пополам), либо вдоль ребер, либо перпендикулярно ребрам по их серединам. Плоскости симметрии образуют равные углы с одинаковыми 
гранями и ребрами. 
2. Оси симметрии могут проходить через вершины многогранника, центры граней или середины ребер (перпендикулярно им). Зачастую форма грани подсказывает порядок оси, расположенной перпендикулярно этой грани. 
3. При описании симметрии многогранника для подсчета числа 
плоскостей и осей симметрии следует установить многогранник в 
одном положении, чтобы одну и ту же плоскость или ось не сосчитать несколько раз. 
4. При работе с кристаллическим многогранником следует иметь 
в виду, что элементы симметрии, сочетаясь друг с другом, образуют 
замкнутую математическую группу. Поэтому набор элементов симметрии не случаен, число таких наборов ограничено (32 класса симметрии). Все элементы симметрии пересекаются в одной точке, а 
весь набор элементов симметрии называется точечной группой 
(классом) симметрии.