Физика : колебания и волны. Ч. 4

№ 1923

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра физики

Ю.А. Рахштадт

Физика

Колебания и волны

Учебное пособие
Часть 4

Москва   Издательский Дом МИСиС
2009

УДК 534+535 
 
Р27 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. К.Л. Косырев 
(председатель НМСН Металлургия) 

Рахштадт Ю.А. 
Р27  
Физика. Колебания и волны: Учеб. пособие. Ч. 4. – М.: Изд. 
Дом МИСиС, 2009. – 180 с. 

Учебное пособие состоит из пяти частей, соответствующих пяти разделам курса физики. В четвертой части «Колебания и волны» рассматриваются 
закономерности колебательных и волновых процессов различной природы. 
Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения по направлению «Металлургия». 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Глава 20. Колебания .................................................................................4 
20.1. Линейный гармонический осциллятор......................................4 
20.2. Энергетика ЛГО...........................................................................4 
20.3. Динамика ЛГО ...........................................................................12 
20.4. Графическое представление колебаний. 
Плоские диаграммы............................................................................17 
20.5. Векторное представление колебаний. 
Векторная диаграмма .........................................................................21 
20.6. Сложение колебаний.................................................................22 
20.7. Затухающие колебания .............................................................27 
20.8. Вынужденные колебания..........................................................33 
Контрольные вопросы........................................................................41 
Примеры решения задач ....................................................................42 
Глава 21. Волны......................................................................................53 
21.1. Общие понятия. Уравнения волновых процессов..................53 
21.2. Упругие волны...........................................................................56 
21.3. Электромагнитные волны.........................................................67 
Контрольные вопросы........................................................................90 
Примеры решения задач ....................................................................91 
Глава 22. Волновые явления................................................................101 
22.1. Интерференция волн ...............................................................101 
22.2. Стоячие волны .........................................................................112 
22.3. Дифракция волн.......................................................................117 
Контрольные вопросы......................................................................140 
Примеры решения задач ..................................................................140 
Домашние задания................................................................................148 
Приложение...........................................................................................177 
Библиографический список.................................................................179 
 

Глава 20. КОЛЕБАНИЯ 

Колебательное движение (колебание) – это изменение состояния 
вещества или поля, характеризующееся повторяемостью во времени 
определенной физической величины ξ. 
■ Виды колебаний: 
■ Периодические (гармонические и негармонические) и непериодические. 
■ Собственные, затухающие, вынужденные, параметрические и 
автоколебания. 
■ Механические, электромагнитные и др. 

20.1. Линейный гармонический осциллятор 

Колебательная система, совершающая собственные колебания 
по гармоническому закону  

 
( )
(
)
0
cos
,
t
A
t
ξ
=
ω
+ ϕ
 
(20.1) 

называется линейным гармоническим осциллятором (ЛГО). 

Примеры ЛГО 

1. Пружинный маятник – материальная точка массой m, подвешенная на пружине жесткостью k. 
2. Физический маятник – абсолютно твердое тело, способное 
совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с 
его центром инерции. 
3. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити длиной ℓ . 
4. Электрический колебательный контур – электрическая 
цепь, содержащая конденсатор емкостью С и катушку индуктивностью L. 

20.2. Энергетика ЛГО 

Движение в любой потенциальной яме 
( )
U
U
=
ξ  есть колебательное движение (рис. 20.1). 

0

U

gradU
gradU

ξ
dU
0
d
<
ξ

dU
0
d
>
ξ

F
F
f
f
Рис. 20.1. Колебательное движение в потенциальной яме 

Если на механическую систему (например, пружинный маятник), 
находящуюся в состоянии устойчивого равновесия, действует внешняя сила f

, то возникает градиент потенциальной энергии и, как 

следствие, – внутренняя сила F

: 

 
grad
F
U
= −

, 
(20.2) 

которая возвращает систему в положение устойчивого равновесия. 
Таким образом, в системе возникают колебания. 
Движение в любой потенциальной яме может быть аппроксимировано движением в параболической потенциальной яме, если рассматривать лишь малые отклонения (смещения) от положения равновесия. 
Движение в параболической потенциальной яме (U ~ ξ2) приводит 
к гармоническим колебаниям. 

20.2.1. Пружинный маятник 

Закон сохранения и превращения энергии колебаний пружинного 
маятника (рис. 20.2): 

 
Um = U + K = Km, 
(20.3) 

где Um и Km – амплитудные значения потенциальной и кинетической 
энергий соответственно. 
При малых отклонениях от положения равновесия изменением 
потенциальной энергии материальной точки в однородном поле тяготения можно пренебречь. 

U

m
U

К

U

m
K

X

+ xm

 - xm

E=const

m
υ0

 

Рис. 20.2. Энергетика колебаний пружинного маятника 

Рассмотрим превращение энергии за половину периода колебания: 

 
2
2
2
2
1
1
1
1
v
v
2
2
2
2

m
m
kx
kx
m
m
=
+
=
, 
(20.4) 

где v – линейная скорость, 
d
v
d
x
t
=
; 

x – мгновенное значение отклонение маятника от положения 
равновесия; 
xm – максимальное значение этого отклонения. 

Отсюда 

 
(
)

2

2
2
d
d

m

k
x
x
x
m
t

⎛
⎞
−
= ⎜
⎟
⎝
⎠
. 

После разделения переменных и интегрирования получаем: 

 

2
2
d

m
x
x

dx
k
t
m ⋅
−
=
∫
∫
, 

откуда 

arcsin

m

x
k
c
t
x
m ⋅
+
=
. 
(20.5) 

Если в начальный момент времени t = 0 смещение x0 = 
m
x , то 

2
c
π
= −
 и решение интегрального уравнения имеет вид: 

 
( )
0
2
sin
m
x t
x
t
π
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
=
ω
. 
(20.6) 

Амплитуда xm есть наибольшее значение колеблющейся величины. Амплитуда – положительная величина. Амплитуда определяется 
начальным запасом энергии и не зависит от параметров колебательной системы.  

Собственная циклическая (круговая) частота 
0
0

0

2
2
T

π
ω =
πν =
 

зависит от параметров колебательной системы: 

 
0

k
m
ω =
. 
(20.7) 

Период собственных колебаний: T0. 
Линейная частота: ν0. 
Фаза колебания: Ф = ω0t определяет значение смещения х в данный момент времени. 
Если в момент времени t = 0 смещение 
0
m
x
х
<
, то фаза колебания 

 
Ф = ω0t + ϕ, 
(20.8) 

где ϕ – начальная фаза колебания. 
Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника: 

 
( )
cos
m
k
x t
х
t
m

⎛
⎞
=
⋅ + ϕ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
. 
(20.9) 

20.2.2. Физический маятник 

Закон сохранения и превращения энергии колебаний физического 
маятника (рис. 20.3): 

h

 C

 O

 C

θ
ф
ℓ

 

Рис. 20.3. Физический маятник: 
О – точка подвеса, С – центр инерции 

Рассмотрим превращение энергии за половину периода колебания:  

 
Um = U + K = Km. 

 
2
2
1
1
2
2

m
m
mgh
mgh
=
+
ℑΩ =
ℑΩ , 
(20.10) 

где Ω – угловая скорость, 
d
dt
θ
Ω =
; 

ℑ – момент инерции маятника относительно т. О, 
h – высота, на которую поднимается центр инерции (т. С), определена по формуле 

 
(
)
ф 1
cos
h =
−
θ
ℓ
, 
(20.11) 

здесь 
ф
OC
=
ℓ
 – длина физического маятника; 

hm – максимальная высота подъема центра инерции. 

При малых θ sinθ ≈ θ (в радианах) и тогда 

 

2

2
2
cos
1
sin
1
1
2
θ
θ =
−
θ ≈
− θ ≈ −
. 

Поэтому 

 
2

2

ф
m
m
h
θ
= ℓ
 и 
2

2

ф
θ
= ℓ
h
, 
(20.12) 

где θ – мгновенное значение угла отклонения маятника от положения 
равновесия; 
θm – максимальное значение этого угла (амплитуда). 

Тогда закон сохранения и превращения энергии может быть записан в виде 

 

2
2
2

ф
ф
1
d
2
2
2
d

m
mg
mg
t

θ
θ
θ
⎛
⎞
=
+
ℑ⎜
⎟
⎝
⎠
ℓ
ℓ
. 
(20.13) 

После разделения переменных и интегрирования (по аналогии с 
выводом для пружинного маятника) получим уравнение гармонических колебаний физического маятника: 

 
( )
0
2
sin
m
t
t
π
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
θ
= θ
ω +
. 
(20.14) 

Амплитуда θm определяется начальным запасом энергии и не зависит от параметров колебательной системы. 

Собственная циклическая (круговая) частота 
0
0

0

2
2
T

π
ω =
πν =
 

зависит от параметров колебательной системы: 

 

ф
0

mg
ω =
ℑ

ℓ
. 
(20.15) 

Период собственных колебаний: T0. 
Линейная частота: ν0. 
Фаза колебания: Ф = ω0t определяет значение смещения θ в данный момент времени. 
Если в момент времени t = 0 смещение 
0
m
θ
< θ , то фаза колебания 

 
Ф = ω0t + ϕ, 

где ϕ – начальная фаза колебания. 
Уравнение гармонических колебаний физического маятника: 

 
( )

ф
cos
m
mg
t
t
⎛
⎞
⎜
⎟
θ
= θ
⋅ + ϕ
⎜
⎟
ℑ
⎝
⎠

ℓ
. 
(20.16) 

20.2.3. Математический маятник 

Математический маятник – это частный случай физического маятника: размерами тела массой m пренебрегаем по сравнению с длиной подвеса ℓ  (рис. 20.4). 

 

Рис. 20.4. Математический маятник 

Так как момент инерции материальной точки относительно т. О 
равен: 

 
2
m
ℑ =
ℓ , 
(20.17) 

то собственная частота колебаний математического маятника: 

 
0

g
ω =
ℓ . 
(20.18) 

20.2.4. Электрический колебательный контур 
(LC-контур) 

Закон сохранения и превращения энергии в электрическом колебательном контуре (рис. 20.5): 

 
m
m
W
W
W
W
М
М
Э
Э
=
+
=
, 
(20.19) 

где WЭ – энергия электрического поля в конденсаторе; 
WМ – энергия магнитного поля в соленоиде;  

Э
m
W
 и 
М
m
W
 – их амплитудные значения. 

Рис. 20.5. Электрический колебательный контур: 
L – индуктивность катушки, С – емкость конденсатора 

Рассмотрим превращение энергии за половину периода колебания: 

 
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2

m
m
q
q
Li
Li
C
C
=
+
=
, 
(20.20) 

где q и qm – мгновенное и максимальное значения заряда на обкладках конденсатора; 
i и im – соответственно мгновенное и максимальное значения тока 

в контуре, 
d
d
q
i
t
=
. 

После разделения переменных и интегрирования (по аналогии с 
выводом для пружинного маятника) получим уравнение гармонических колебаний в электрическом колебательном контуре: 

 
( )
0
sin
2

m
q t
q
t
π
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
=
ω +
. 
(20.21) 

Амплитуда qm определяется начальным запасом энергии и не зависит от параметров колебательной системы. 

Собственная циклическая (круговая) частота 
0
0

0

2
2
T

π
ω =
πν =
 

зависит от параметров колебательной системы: 

 
0

1
LC
ω =
. 
(20.22) 

Период собственных колебаний: T0.