Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

 

Кафедра математики

И.Е. Журавлева 
Н.Е. Цапенко 
 

Уравнения Максвелла
и преобразования Лоренца 

 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2015 

УДК 517.926 
 
 

 
 

Журавлева И.Е. 
 
 
Уравнения Максвелла и преобразования Лоренца : учебное 
пособие / И.Е. Журавлева, Н.Е Цапенко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2015. – 29 с. 
 

Показана инвариантность полной системы уравнений Максвелла преобразованиям Лоренца. Получены электромагнитные инварианты преобразований. Приведён алгебраический вывод преобразований Лоренца как следствие однородности и изотропности пространства-времени. Дано решение 
начальной задачи на бегущие по длинной линии волны методом интеграла 
Фурье. В случае среды с переменной скоростью распространения рассмотрено движение волнового фронта и выведено уравнение луча. 

УДК 517.926 

 
© И.Е. Журавлева, 
Н.Е Цапенко, 2015 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Уравнения Максвелла ..........................................................................4 
2. Инвариантность уравнений Максвелла..............................................7 
3. Алгебраический вывод преобразований Лоренца...........................13 
4. Распространение волны по длинной линии .....................................16 
5. Волновой фронт и уравнение луча ...................................................20 
6. Блуждающая волна в неоднородной среде ......................................26 
Библиографический список................................................................ 28 
 

1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 

Изучаемые в электродинамике электромагнитные явления описываются определенного вида силовыми векторными полями. Векторы 
напряженностей этих полей связаны системой дифференциальных 
уравнений в частных производных Максвелла: 

 
,
t
∂
=
+
∂
rot
D
H
j  
(1) 

 
,
t

∂
= − ∂
rot
B
E
 
(2) 

 
.
= ρ
div D
 
(3) 

Как следствие уравнения (2), 

 
0.
=
div B
 
(4) 

Как следствие уравнений (1), (3), плотность электрического заряда ρ и вектор плотности тока проводимости j связаны соотношением 

 
,
t

∂ρ
= − ∂
div j
 
(5) 

получившим название уравнения непрерывности. 
Векторы электрической и магнитной индукций D и B выражаются 
через векторы напряженностей электрического и магнитного полей Е и 
Н посредством электромагнитных характеристик материальной среды: 

 
,
a
= ε
D
E  
(6) 

 
,
a
= μ
B
H  
(7) 

где εа и μа – в общем случае тензоры электрической и магнитной 
проницаемости. 
Ток проводимости обычно разделяют на сумму собственно тока 
проводимости, связанного с напряженностью электрического поля 
по закону Ома, и так называемого стороннего тока от внешнего источника, никак не зависящего от возбуждаемого им электромагнитного поля. Следовательно, 

 
ст,
= σ
+
j
E
j
 

где σ – удельная объемная проводимость среды. 

Равенства (2) и (4) позволяют представить индукцию магнитного 
поля в виде 

 
,
= rot
Β
A  
(8) 

а напряженность электрического поля – в виде 

 
.
t

∂
= −
ϕ − ∂
grad
A
E
 
(9) 

Скалярное поле ϕ и векторное поле А называются соответственно 
скалярным и векторным потенциалами. 
Для того чтобы записать уравнения для этих потенциалов, необходимо привлечь материальные соотношения (6) и (7). Достаточно 
просто это проделать в случае однородной изотропной среды, т.е. 
когда проницаемость εа и μа суть постоянные скаляры. Действительно, внося представления (8) и (9) в уравнения (1) и (3), с учетом (6) и 
(7) получим 

 
,
a
a
a
t
t
∂
∂
⎛
⎞
= −ε μ
ϕ +
+ μ
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
rotrot
grad
A
A
j

.

a
t
∂
ρ
⎛
⎞
ϕ +
= −
⎜
⎟
∂
ε
⎝
⎠
div grad
A
 

Или, принимая во внимание тождества 

 
,
= −Δ
+
rotrot
graddiv
A
A
A * 
 
,
ϕ = Δϕ
divgrad
 

можем записать 

 

2

2
2
2
1
1
,
a
c
t
c
t
∂
∂ϕ
⎛
⎞
Δ
−
=
+
− μ
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
grad div
A
A
A
j  
(10) 

 

2

2
2
2
1
1
,

a
с
t
t
c
t
∂ ϕ
∂
∂ϕ
ρ
⎛
⎞
Δϕ −
= −
+
−
⎜
⎟
∂
∂
∂
ε
⎝
⎠
divA
 
(11) 

где 
1

a
a
c =
ε μ  имеет размерность скорости движения. 

________ 

*

2
2
2

2
2
2
x
y
z

∂
∂
∂
Δ =
+
+
∂
∂
∂
 – оператор Лапласа. 

Так как векторный потенциал вводился посредством лишь одного 
равенства (8), то тем самым допускался произвол в определении его 
дивергенции. Поэтому можно потребовать обращения в нуль выражения в круглых скобках в правых частях уравнений (10), (11). Тогда 

 
2
1
c
t

∂ϕ
= −
∂
divA
, 

и для векторного и скалярного потенциалов получаются независимые волновые уравнения: 

 

2

2
2
1

a
c
t
∂
Δ
−
= −μ
∂
A
A
j , 

 

2

2
2
1

a
c
t
∂ ϕ
ρ
Δϕ −
= −
∂
ε . 

2. ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЙ 
МАКСВЕЛЛА 

Рассмотрим систему уравнений Максвелла в свободном пространстве 

 
0
t
∂
= ε
+
∂
rot
E
H
j , 
(12) 

 
0
t

∂
= −μ
∂
rot
H
E
,  
(13) 

 

0

ρ
= ε
div E
, 
(14) 

где 
9
0
10
36
−
ε =
π  = 8,854 ⋅ 10–12 Ф/м; μ0 = 4π ⋅ 10–7 = 1,257 ⋅ 10–6 Г/м – 
размерные постоянные, найденные экспериментально и называемые 
соответственно электрической и магнитной постоянными вакуума. 
Выпишем уравнения (12) и (13) в прямоугольной системе координат: 

0
y
x
z

x

H
E
H
j
y
z
t

∂
∂
∂
−
= ε
+
∂
∂
∂
, 

0
y
x
z

y

E
H
H
j
z
x
t

∂
∂
∂
−
= ε
+
∂
∂
∂
, 

0
y
x
z

z

H
H
E
j
x
y
t

∂
∂
∂
−
= ε
+
∂
∂
∂
, 

0
y
x
z
E
H
E
y
z
t

∂
∂
∂
−
= −μ
∂
∂
∂
, 

0

y
x
z
H
E
E

z
x
t

∂
∂
∂
−
= −μ
∂
∂
∂
, 

0
y
x
z
E
E
H

x
y
t

∂
∂
∂
−
= −μ
∂
∂
∂
. 

Перейдем в этих уравнениях с помощью общего линейного преобразования от системы отсчета (x, y, z, t) к новой системе отсчета 
(x′, y′, z′, t′): 

,
,
,
.

x
x
t y
y z
z

t
x
t

′
′
′
= α +β
=
=
′ = γ + δ
 

Постоянные коэффициенты α, β, γ, δ определим исходя из требования инвариантности уравнений Максвелла этим преобразованиям. 
Частные производные преобразуются по правилам 

,
x
x
t
t
x
t

∂
∂
∂
∂
∂
∂
= α
+ γ
= β
+ δ
′
′
′
′
∂
∂
∂
∂
∂
∂
. 

Соответственно, в новых координатах покомпонентная запись 
уравнений Максвелла будет выглядеть так: 

0
0
y
x
x
z

x

H
E
E
H
j
y
z
t
x

∂
∂
∂
∂
−
= ε δ
+ ε β
+
′
′
′
∂
∂ ′
∂
∂
, 

(
)
0
0
0

x

z
y
y
z
y

H
H
E
E
H
j
z
x
t
⎛
⎞
∂
∂
∂
γ
−
α
+ ε β
= ε
δ
+
+
⎜
⎟
′
′
∂ ′
∂
∂
ε
⎝
⎠
, 

(
)
0
0
0

x

y
z
z
y
z

H
H
E
E
H
j
x
y
t
⎛
⎞
∂
∂
∂
γ
α
− ε β
−
= ε
δ
−
+
⎜
⎟
′
′
′
∂
∂
∂
ε
⎝
⎠
, 

0
0
y
x
x
z
E
H
H
E
y
z
t
x

∂
∂
∂
∂
−
= −μ δ
− μ β
′
′
′
′
∂
∂
∂
∂
, 

(
)
0
0
0

x

z
y
y
z

E
E
H
H
E
z
x
t
⎛
⎞
∂
∂
∂
γ
−
α
− μ β
= −μ
δ
−
⎜
⎟
′
′
′
∂
∂
∂
μ
⎝
⎠
, 

(
)
0
0
0

x

y
z
z
y

E
E
H
H
E
x
y
t
⎛
⎞
∂
∂
∂
γ
α
+ μ β
−
= −μ
δ
+
⎜
⎟
′
′
′
∂
∂
∂
μ
⎝
⎠
. 

Полагаем 

0
0

z
z
y
z
y
H
H
E
H
E
γ
′ = α
+ ε β
= δ
+ μ
, 

0
0

y
y
z
y
z
E
E
H
E
H
γ
′ = α
+ μ β
= δ
+ ε
, 

0
0

y
y
z
y
z
H
H
E
H
E
γ
′ = α
− ε β
= δ
− μ
, 

0
0

z
z
y
z
y
E
E
H
E
H
γ
′ = α
− μ β
= δ
− ε
. 

Отсюда для коэффициентов преобразования необходимо следуют 
такие два равенства: 

 
2
,
c
α = δ β =
γ , 

где 

0
0

1
c =
ε μ

= 2,998 ⋅ 108 м/с. 

Выразим с помощью обратного преобразования первоначальные 
компоненты электромагнитного поля через его новые компоненты: 

(
)
0
1

z
z
y
H
H
E
′
′
=
α
− ε β
Δ
, 

(
)
0
1

y
y
z
E
E
H
′
′
=
α
− μ β
Δ
, 

(
)
0
1

y
y
z
H
H
E
′
′
=
α
+ ε β
Δ
, 

(
)
0
1

z
z
y
E
E
H
′
′
=
α
+ μ β
Δ
, 

где 
2
2
2
c
Δ = α −
γ . 

Для того чтобы получить в штрихованных переменных систему 
уравнений, в точности по виду совпадающую с исходной системой 
Максвелла, нужно еще положить 
1,
,
x
x
x
x
E
E
H
H
′
′
Δ =
=
=
. 
Теперь можем записать 

(
)
0
0
1
,
x
y
z
j
j
j
t
′
∂
′
′
′ ′
= ε
+
ε β
+
+
+
∂
α
rot
div
E
H
E
i
j
k

0
0
1
.
t
′
∂
′ ′
′
′
= −μ
−
μ β
′
∂
α
rot
div
H
E
H i  

Учитывая вышеприведенные соотношения, нетрудно получить 
формулы преобразования дивергенций при переходе от новых координат к старым. Они выглядят так: 

0

y
x
z
H
E
H

t
y
z

∂
⎛
⎞
∂
∂
′ ′ = α
− γ
+ μ β
−
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
div
div
E
E
, 

0

y
x
z
E
H
E

t
y
z

∂
⎛
⎞
∂
∂
′
′ = α
− γ
− ε β
−
⎜
⎟
∂
∂
∂
⎝
⎠
div
div
H
H
. 

Принимая во внимание соответствующие уравнения исходной 
системы, получим 

2
0

1

x

v j
c
⎛
⎞
′ ′ =
α ρ −
⎜
⎟
ε
⎝
⎠
div E
, 

0
′
′ =
div H
. 

Здесь использовано обозначение 

v
β
= − α . 

Наконец, полагая 
(
),
,
x
x
y
y
z
z
j
j
v
j
j
j
j
′
′
′
= α
− ρ
=
=
, 

2
x
v j
c
⎛
⎞
′ρ = α −
+ ρ
⎜
⎟
⎝
⎠
, 

приводим уравнения в штрихованных переменных к стандартной 
форме записи максвелловской системы для свободного пространства, 
а именно 

0

0

0

,

,

.

t

t

′
∂
′
′
′
= ε
+
′
∂
′
∂
′ ′ = −μ
′
∂
′ρ
′ ′ = ε

rot

rot

div

E
H
j

H
E

E

 

Выпишем теперь окончательные выражения для коэффициентов 
преобразования. Во-первых, из условия 
2
2
2
1,
c
Δ = α −
γ =
 
находим 

2

2

1
(
).

1

v
c

v
c

α =
<

−

 

Остальные коэффициенты выражаются через α как 

2
,
,
.
v
v
c
δ = α β = −α
γ = −α
 

Произвольный параметр v имеет смысл относительной скорости 
движения систем отсчета. 
Таким образом, преобразования пространственных координат и 
времени, относительно которых система уравнений Максвелла оказалась инвариантной, таковы: 

2

(
),
,
,

,

x
x
vt
y
y z
z

v
t
x
t
c

′
′
′
= α
−
=
=

⎛
⎞
′ = α −
+
⎜
⎟
⎝
⎠

 

а обратные им – 

2

(
),
,
,

.

x
x
vt
y
y z
z

v
t
x
t
c

′
′
′
′
= α
+
=
=

⎛
⎞
′
′
= α
+
⎜
⎟
⎝
⎠

 

Эти преобразования впервые были представлены голландским 
физиком Хенриком Лоренцем и носят его имя. 
Отметим, что х-компонента объемной плотности тока и объемная 
плотность заряда преобразуются точно так же, как х-координата и 
время. Выражения 
2
2 2
2
2
2,
c t
c t
′
′
−
=
−
r
r
* 

2
2
2
2
2
2.
c
c
′
′
−
ρ =
−
ρ
j
j
 
образуют инварианты этих преобразований. 
Формулы преобразования компонент электромагнитного поля можно представить следующим образом. Введем поперечные векторы 
,
.
y
z
y
z
H
H
E
E
τ
τ
=
+
=
+
Η
j
k E
j
k  

Тогда 
,
,
x
x
x
x
H
H
E
E
′
′
=
=
 
(
)
0
,
v
τ′ = α
− ε
×
τ
τ
H
H
i
E
 
(
)
0
,
v
τ′ = α
+ μ
×
τ
τ
E
E
i
H
 

(
)
0
,
v
τ
′
′
= α
+ ε
×
τ
τ
H
H
i
E
 

(
)
0
.
v
τ
′
′
= α
− μ
×
τ
τ
E
E
i
H
 
Нетрудно убедиться, что эти преобразования имеют такие инварианты: 

2
2
2
2
2
2
0
0

,

,
Z
Z

′
′
=

′
′
−
=
−

EH
E H

E
H
E
H
 

где 

0
0
0
120
Z
μ
=
=
π
ε
 

называется волновым сопротивлением вакуума. 
Следствием этих же преобразований является и такое соотношение: 

2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
П
П ,
2
2
2
2
х
х
v
v
c
c
′
′
ε
μ
ε
μ
′
+
−
=
+
+
E
H
E
H
 

________ 
* r обозначает радиус-вектор точки в трехмерном пространстве.