Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теоретическая физика : классическая механика

Покупка
Артикул: 751931.01.99
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину
В пособии изложены основные положения классической механики и методы решения типовых задач. Пособие должно помочь студентам в усвоении лекционной программы и в приобретении навыков решения задач. Предназначено для изучения курса «Теоретическая физика», раздел «Классическая механика» студентами физико-химического факультета специальностей 110500 и 070900. Пособие будет также полезно студентам факультета полупроводниковых материалов и приборов и вечернего факультета при изучении курса «Классическая механика»
Векилов, Ю. Х. Теоретическая физика : классическая механика : учебное пособие / Ю. Х. Векилов, С. И. Мухин, Ю. М. Кузьмин. - Москва : ИД МИСиС, 2002. - 59 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1226990 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
№ 831 

Кафедра теоретической физики 

Ю.Х. Векилов, С.И. Мухин, Ю.М. Кузьмин 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА 

Классическая механика 

Учебное пособие 

для студентов специальностей 110500, 070900 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом института

МОСКВА 2002 

УДК 531.01 
 
В26 

В26 
Векилов Ю.Х., Мухин С.И., Кузьмин Ю.М. Теоретическая физика: Классическая механика: Учеб. пособие – М.: МИСиС, 
2002. – 59 с. 

В пособии изложены основные положения классической механики 
и методы решения типовых задач. Пособие должно помочь студентам в 
усвоении лекционной программы и в приобретении навыков решения задач. 

Предназначено для изучения курса «Теоретическая физика», раздел 
«Классическая механика» студентами физико-химического факультета специальностей 110500 и 070900. Пособие будет также полезно студентам 
факультета полупроводниковых материалов и приборов и вечернего факультета при изучении курса «Классическая механика». 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2002 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Общие принципы классической механики ........................................4 
2. Уравнение Лагранжа. Принцип относительности Галилея. 
Интегралы движения...........................................................................6 
Задачи ...................................................................................................9 

3. Интегрирование уравнений движения лагранжа.............................11 

3.1. Движение частицы в одномерном потенциальном поле ........11 
3.2. Движение частицы в центральном поле. Задача Кеплера ......15 
Задачи..............................................................................................................16 
3.3. Рассеяние частиц. Формула Резерфорда. .................................20 
Задачи..............................................................................................................22 

4. Малые колебания................................................................................24 

4.1. Свободные одномерные  колебания. Колебания систем  
cо многими степенями свободы. Вынужденные колебания.  
Резонанс..............................................................................................24 
Задачи..............................................................................................................27 
4.2. Затухающие колебания ..............................................................46 
Задачи..............................................................................................................48 

5. Метод гамильтона в классической механике...................................50 

5.1. Уравнения движения Гамильтона. Скобки Пуассона.............50 
5.2. Канонические преобразования..................................................51 
Задачи..............................................................................................................52 
5.3. Уравнение движения Гамильтона – Якоби..............................53 
Задачи..............................................................................................................54 
5.4. Адиабатические инварианты.....................................................54 
Задачи..............................................................................................................55 

Библиографический список...................................................................58 

 
3 

1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ 
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ 

Траектории частиц механической системы описываются набором обобщенных координат z1(t), ..., zN(t). 

Лагранжиан механической системы L(zi(t), &z i(t), t) зависит от 
координат z1(t), ..., zN(t) и связанных с ними скоростей z& 1(t), ..., z& N(t) 
и определяет динамику системы. Точки над символами обозначают 

производную по времени, d/dt. Лагранжиан L(zi(t), z& i(t), t) является 
функцией от скоростей 
(t), степень которой не выше второй. 
iz&

Интеграл по времени от лагранжиана вдоль произвольной 
траектории системы, определяемой некоторой совокупностью функций координат частиц z1(t), ..., zN(t), задает функционал S[zi], называемый действием на заданной траектории системы между моментами времени ta и tb: 

 
S [zi] =
L(z
∫

b

a

t

t

i(t), z& i(t), t)dt 
(1.1) 

Согласно принципу наименьшего действия Гамильтона механическая система реально движется по траектории c координатами  
z1(t), ..., zN(t), на которой действие S[zi] минимально. 

Непосредственная (прямая) минимизация действия производится на определенном классе пробных траекторий, согласно описанному ниже способу в задаче 1.1. Непрямая минимизация действия производится методом Эйлера, с помощью которого получаем в 
данном случае дифференциальные уравнения Лагранжа, как описано 
в разде. 2.1.  

Задача 1.1. Частица в поле U(z)= −Fz за время τ перемещается из точки z = 0 в точку z = а. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид  
z(t) = At2 + Bt + C, и подбирая коэффициенты A, B, и C такие, чтобы 
действие имело наименьшее значение. 

 
4 

Решение 
Полагая z = 0 при t = 0, находим C = 0, и из условия z = A при 
t = τ находим  
B = A/τ – Aτ. 

Используя функцию z(t)=At2 + (a/τ – Aτ)t, вычисляем действие: 

 
S =∫ L(z, 
)dt =

τ

0

z&
∫

τ

0

dt
z
U
z
m
⎥
⎦

⎤
⎢
⎣

⎡
−
)
(
2

2&
 = mΑ2τ3/6 + ma2 / (2τ) − 
 

  
– FAτ3/6 + Faτ/ 2. 
(1.2) 

Из условия δS / δA = 0, определяющего минимум действия, 
находим A = F /
m
2
. Очевидно, что закон движения:  

 
z(t) = Ft2/
m
2
 + (a/τ – Fτ/
m
2
)t 
(1.3) 

в данном случае является точным. Однако приведенное решение задачи позволяет утверждать лишь то, что при найденном законе движения действие принимает наименьшее значение по сравнению с 
таковым при движении по любой другой траектории предложенного 
вида. 

 
5 

2. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА. 
ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 
ГАЛИЛЕЯ. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 

Действие S[zi] экстремально на траектории реального движения 
zi(t) 
в 
сравнении 
со 
всеми 
другими 
траекториями  
zi′(t) = zi(t) + δzi(t) близкими к данной, которые имеют одинаковые 
концевые точки: z′i(ta) = zi(ta) и z′i(tb) = zi(tb). Это свойство действия 
выражается равенством нулю вариации действия δ1S[zi] в линейном 
приближении по вариации траектории δzi(t): 

  
 δ1S[zi] = {S[zi + δzi] − S[zi]}|лин = 0 
(2.1) 

с граничным условием: 

 
δzi(ta) = 0,   δzi(tb) = 0. 
(2.2) 

Траектория zi(t), зануляющая первую вариацию действия, удовлетворяет i-му уравнению Лагранжа, являющемуся, по сути, уравнением 
Эйлера для экстремума функционала S[ zi]: 

 
(d/dt)(дL/д z& i) = дL/дzi  ;   i = 1, ..., N 
(2.3) 

Количество уравнений Лагранжа определяется количеством обобщенных координат,  описывающих движение механической системы, 
z1, ..., zN. 

Система отсчета, по отношению к которой время является 
однородным, а пространство – однородным и изотропным, называется инерциальной. Если какая-либо система отсчёта движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, то она 
также инерциальна. Во всех инерциальных системах одинаковы 
свойства пространства и времени, а также одинаковы и законы механики. Это утверждение называется принципом относительности Галилея. 

Координаты r и r′ одной и той же точки, а также время t и t′ в 
двух различных системах отсчёта K и K′ связаны преобразованиями 
Галилея: 

 
r′= r + Vt  
(2.4) 

 
6 

 
t = t′ 
(2.5) 

Здесь V – это скорость движения системы K′ относительно системы K. 
Лагранжиан замкнутой системы материальных точек, т.е. системы, 
на которую не действуют никакие внешние тела, имеет общий вид:  

 
L =∑

a

[mava

2/2] – U(r1, r2, ... ra, …), 
(2.6) 

где ra – радиус-вектор a-й точки, va – ее скорость, ma – масса. Первый 
член в (2.6) называют кинетической энергией, а функцию U – потенциальной энергией системы материальных точек. Декартовы координаты могут быть менее удобными для описания системы со связями, т.е. с дополнительными условиями, налагающими определенные 
ограничения на совместное изменение различных декартовых координат. Для учета связей вводят обобщенные координаты. Их количество равняется Nоб = N – Nсв, где N есть количество декартовых координат, а Nсв – количество налагаемых ограничений (связей). Если 
движение описывается не декартовыми координатами точек, а некоторыми обобщенными координатами zi, то для получения лагранжиана производят соответствующее преобразование:  

 
xa = fa( z1, ..., zNоб),    dxa/dt =∑

k

(дfa/дzk) z& k. 
(2.7) 

После подстановки выражений (2.7) в общее выражение для лагранжиана (2.6) получаем лагранжиан, выраженный через обобщенные 
координаты и скорости: 

 
L =∑

k
i,

[aik(z) z& i z k
& ] – U(z1, ..., zNоб), 
(2.8) 

где aik – mik/2 коэффициенты; тензор mik иногда называют “тензором 
обобщённых масс”. 

Лагранжиан двух невзаимодействующих систем частиц A и B 
равен сумме лагранжианов каждой из систем: LAB = LA + LB. Потенциальная энергия механической системы во внешнем поле, вообще говоря, явно зависит от времени:  

B

U(z1, ..., zN, t). Сила, действующая на a-ю частицу 

 
Fa = −дU/дra 
(2.9)

Функции координат и скоростей частиц системы, которые 
сохраняют постоянные значения при движении частиц, и зависящие 

 
7 

лишь от начальных условий, называются интегралами (инвариантами) движения. При движении замкнутой механической системы с N 
степенями свободы число независимых интегралов движения равно 
2N − 1. Это следует из того, что общее решение N уравнений второго 
порядка (2.3), т.е. уравнений Лагранжа, содержит 2N произвольных 
постоянных. Поскольку система замкнута, вид решения не зависит от 
выбора начала отсчета времени to. Следовательно, константа to входит в решения аддитивно со временем t: t + to. Исключая t + to из 2N 
функций координат zi и скоростей 
 (i = 1, ..., N), выражаем оставшиеся 2N – 1 постоянные С

iz&

i (i = 1, ..., 2N – 1) в виде функций от координат и скоростей zi и
 (i = 1, ..., N). Полученные таким образом 
2N – 1 функций и являются интегралами движения замкнутой системы с N степенями свободы. 

iz&

Аддитивными интегралами движения механической системы 
называются сохраняющиеся величины, значения которых для всей 
системы равны сумме значений для каждой из невзаимодействующих ее частей в отдельности. Существуют следующие аддитивные 
интегралы движения: энергия E, импульс P, и момент импульса M 
системы: 

 E =∑ [

i

z& i(дL/д z& i) ]– L =∑

a

[mava

2/2] + U(r1, r2, ...); 
(2.10) 

P =∑ [дL/дv

a

a ] =∑

a

mava; 
(2.11) 

M =
[r
∑
a

apa], 
 
(2.12) 

где pa = дL/дva  – импульс a-й частицы.  

Сохранение энергии E следует из однородности времени, в 
силу которой лагранжиан замкнутой системы или системы в постоянном внешнем поле не зависит явно от времени: дL/дt = 0. Сохранение импульса P следует из однородности пространства, в силу которой вариация лагранжиана при любом параллельном переносе ε 
замкнутой системы как целого в пространстве равна нулю: δεL = 0. 
Сохранение момента импульса M, следует из изотропии пространства, в силу которой вариация лагранжиана при повороте на любой 
угол ϕ замкнутой системы в пространстве как целого равна нулю: 
δϕL = 0. 

 
8 

В общем случае обобщенную координату zi, не входящую явным образом в лагранжиан, называют циклической. Из уравнения Лагранжа (2.3) в этом случае получаем d/dt[дL/д
] = дL/дz
iz&
i = 0 откуда 
следует сохранение соответствующего обобщенного импульса pi: 

 
 p
→
i ≡ дL/д
iz& = const. 
(2.13) 

Задачи 

Задача 2.1. Найти интегралы движения, если вид действия не 
меняется при: а) пространственном сдвиге; б) повороте; в) сдвиге 
начала отсчёта времени; г) винтовом сдвиге вдоль оси z. 

Ответ: 
а) 
импульс; 
б) 
момент 
импульса; 
в) 
энергия;  
г) Мz + hpz/(2π) = const, h – шаг винта. 

Задача 2.2. Найти интегралы движения частицы, движущейся в:  

а) однородном поле U(r) = −Fr ;  
б) U(αr) = αnU(r); уточнить, при каком n преобразование подобия не 
меняет вид действия; 
в) поле бегущей волны U(r, t) = U(r −  Vt), где V – постоянный вектор; 
г) магнитном поле, заданном векторным потенциалом A(r), где A(r) – 
однородная функция; 
д) электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси z. 

Решение 
а) Потенциальная энергия U(r) = −Fr, а вместе с ней и действие, не изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к 
F, и при поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интегралами движения являются компоненты импульса, перпендикулярные к F, и компонента момента импульса, параллельная F. Так 
как функция Лагранжа не зависит от времени, интегралом движения 
является энергия. Утверждение, что различные точки в некоторой 
области “равноправны”, означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энергии (а не силы !). Пространство, в котором 
имеется однородное поле, отнюдь не однородно. 

б) Преобразование подобия не меняет вида действия при  
n = 2. В этом случае интеграл движения pr − 2Et = const. Например, 

 
9 

для центрального поля U = α/r 2 этот интеграл, переписанный в виде 

m r& r − 2Et = const с учётом соотношения r& =
2

2
2

2
2
mr
M
r
E
m
−
α
−
, 

определяет зависимость r(t), где М – момент импульса относительно 
центра поля (проекция). 

Ответы: 

в) E − Vp = const.  
г) pr − 2Et = const, где p = mv + (eo/c)A, если A(αr) = α−1A(r), 
где eo – заряд частицы, с – скорость света. 

д) E − pϕΩ = const. 

Задача 2.3. Найти интегралы движения частицы в однородном магнитном поле Н, если векторный потенциал А задан в виде:  

а) А = (1/2) [Hr];  
б) Ах = Аz = 0, Ay = xH , или А = (0, хН, 0).  

Решение 
а) Пусть ось z параллельна Н. Сдвиг вдоль оси z и поворот 
вокруг неё не изменяют вида А, а, следовательно, и вида действия. 
Поэтому интегралами движения являются  
pz = дL/д  = m   и  M
z&
z&
z = xpy − ypx = m(x
− y ) + [(e H)/(2c)]
y&
x&
.(x2 + y2). 
Кроме 
того, 
интегралом 
движения 
является 
энергия  
E = (m/2)( x& 2 + y& 2 + z& 2). 

Ответ: 

б) E = (m/2).( &x 2 + &y 2 + &z 2),  p′

y = m &y  + (e0/C)Hx,  p′

z = m
. 
M

&z

z такое же, как в п. а). 

Примечание к п. а) и б). 
Соображения симметрии позволяют определить различные интегралы движения в зависимости от выбора векторного потенциала данного поля Н. Но 
все величины: E, pz = p′

z, Mz, p′

y – являются интегралами движения независимо от выбора А. 

 
10 

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 
ДВИЖЕНИЯ ЛАГРАНЖА 

3.1. Движение частицы 
в одномерном потенциальном поле 

Одномерным называют движение механической системы с 
одной степенью свободы, которую назовем x. Если потенциальная 
энергия U(x) не зависит от времени явно, то уравнения Лагранжа интегрируются в общем виде: 

 
t = 
/2
m ∫
)
(x
U
E
dx
−

 + const, 
(3.1) 

где две произвольные постоянные в решении (3.1) имеют смысл полной энергии E и начала отсчёта времени tο = const. 

В силу положительности кинетической энергии движение 
происходит только в тех областях пространства, где U(x) < E. Точки 
xa, ограничивающие области движения, находятся из уравнения  
U(xa) = E и называются точками остановки (поворота). Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение называется финитным. Если же область движения не ограничена хотя 
бы с одной стороны, то такое движение называется инфинитным. 
Период колебаний T между двумя точками поворота xa  и xb определяется по формуле 

 
T(E) =
m
2

xb

xa
∫
)
x
U
E
dx
(
−

 + const, 
(3.2) 

где пределы являются корнями уравнения U(xa, b) = E при данном 
значении E. 

Задача 3.1. Определить закон движения частицы в поле U(x): 
а) U(x) = A[exp(−2αx) − 2exp(−αx)] – потенциал Морcа, рис. 3.1; 

 11 

Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину