Теоретическая физика : классическая механика
Покупка
Тематика:
Теоретическая физика
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 2002
Кол-во страниц: 59
Дополнительно
Доступ онлайн
В корзину
В пособии изложены основные положения классической механики и методы решения типовых задач. Пособие должно помочь студентам в усвоении лекционной программы и в приобретении навыков решения задач. Предназначено для изучения курса «Теоретическая физика», раздел «Классическая механика» студентами физико-химического факультета специальностей 110500 и 070900. Пособие будет также полезно студентам факультета полупроводниковых материалов и приборов и вечернего факультета при изучении курса «Классическая механика»
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
- 14.03.01: Ядерная энергетика и теплофизика
- 16.03.01: Техническая физика
- ВО - Магистратура
- 03.04.02: Физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
№ 831 Кафедра теоретической физики Ю.Х. Векилов, С.И. Мухин, Ю.М. Кузьмин ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Классическая механика Учебное пособие для студентов специальностей 110500, 070900 Рекомендовано редакционно-издательским советом института МОСКВА 2002
УДК 531.01 В26 В26 Векилов Ю.Х., Мухин С.И., Кузьмин Ю.М. Теоретическая физика: Классическая механика: Учеб. пособие – М.: МИСиС, 2002. – 59 с. В пособии изложены основные положения классической механики и методы решения типовых задач. Пособие должно помочь студентам в усвоении лекционной программы и в приобретении навыков решения задач. Предназначено для изучения курса «Теоретическая физика», раздел «Классическая механика» студентами физико-химического факультета специальностей 110500 и 070900. Пособие будет также полезно студентам факультета полупроводниковых материалов и приборов и вечернего факультета при изучении курса «Классическая механика». © Московский государственный институт стали и сплавов (Технологический университет) (МИСиС), 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Общие принципы классической механики ........................................4 2. Уравнение Лагранжа. Принцип относительности Галилея. Интегралы движения...........................................................................6 Задачи ...................................................................................................9 3. Интегрирование уравнений движения лагранжа.............................11 3.1. Движение частицы в одномерном потенциальном поле ........11 3.2. Движение частицы в центральном поле. Задача Кеплера ......15 Задачи..............................................................................................................16 3.3. Рассеяние частиц. Формула Резерфорда. .................................20 Задачи..............................................................................................................22 4. Малые колебания................................................................................24 4.1. Свободные одномерные колебания. Колебания систем cо многими степенями свободы. Вынужденные колебания. Резонанс..............................................................................................24 Задачи..............................................................................................................27 4.2. Затухающие колебания ..............................................................46 Задачи..............................................................................................................48 5. Метод гамильтона в классической механике...................................50 5.1. Уравнения движения Гамильтона. Скобки Пуассона.............50 5.2. Канонические преобразования..................................................51 Задачи..............................................................................................................52 5.3. Уравнение движения Гамильтона – Якоби..............................53 Задачи..............................................................................................................54 5.4. Адиабатические инварианты.....................................................54 Задачи..............................................................................................................55 Библиографический список...................................................................58 3
1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Траектории частиц механической системы описываются набором обобщенных координат z1(t), ..., zN(t). Лагранжиан механической системы L(zi(t), &z i(t), t) зависит от координат z1(t), ..., zN(t) и связанных с ними скоростей z& 1(t), ..., z& N(t) и определяет динамику системы. Точки над символами обозначают производную по времени, d/dt. Лагранжиан L(zi(t), z& i(t), t) является функцией от скоростей (t), степень которой не выше второй. iz& Интеграл по времени от лагранжиана вдоль произвольной траектории системы, определяемой некоторой совокупностью функций координат частиц z1(t), ..., zN(t), задает функционал S[zi], называемый действием на заданной траектории системы между моментами времени ta и tb: S [zi] = L(z ∫ b a t t i(t), z& i(t), t)dt (1.1) Согласно принципу наименьшего действия Гамильтона механическая система реально движется по траектории c координатами z1(t), ..., zN(t), на которой действие S[zi] минимально. Непосредственная (прямая) минимизация действия производится на определенном классе пробных траекторий, согласно описанному ниже способу в задаче 1.1. Непрямая минимизация действия производится методом Эйлера, с помощью которого получаем в данном случае дифференциальные уравнения Лагранжа, как описано в разде. 2.1. Задача 1.1. Частица в поле U(z)= −Fz за время τ перемещается из точки z = 0 в точку z = а. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид z(t) = At2 + Bt + C, и подбирая коэффициенты A, B, и C такие, чтобы действие имело наименьшее значение. 4
Решение Полагая z = 0 при t = 0, находим C = 0, и из условия z = A при t = τ находим B = A/τ – Aτ. Используя функцию z(t)=At2 + (a/τ – Aτ)t, вычисляем действие: S =∫ L(z, )dt = τ 0 z& ∫ τ 0 dt z U z m ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ) ( 2 2& = mΑ2τ3/6 + ma2 / (2τ) − – FAτ3/6 + Faτ/ 2. (1.2) Из условия δS / δA = 0, определяющего минимум действия, находим A = F / m 2 . Очевидно, что закон движения: z(t) = Ft2/ m 2 + (a/τ – Fτ/ m 2 )t (1.3) в данном случае является точным. Однако приведенное решение задачи позволяет утверждать лишь то, что при найденном законе движения действие принимает наименьшее значение по сравнению с таковым при движении по любой другой траектории предложенного вида. 5
2. УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ Действие S[zi] экстремально на траектории реального движения zi(t) в сравнении со всеми другими траекториями zi′(t) = zi(t) + δzi(t) близкими к данной, которые имеют одинаковые концевые точки: z′i(ta) = zi(ta) и z′i(tb) = zi(tb). Это свойство действия выражается равенством нулю вариации действия δ1S[zi] в линейном приближении по вариации траектории δzi(t): δ1S[zi] = {S[zi + δzi] − S[zi]}|лин = 0 (2.1) с граничным условием: δzi(ta) = 0, δzi(tb) = 0. (2.2) Траектория zi(t), зануляющая первую вариацию действия, удовлетворяет i-му уравнению Лагранжа, являющемуся, по сути, уравнением Эйлера для экстремума функционала S[ zi]: (d/dt)(дL/д z& i) = дL/дzi ; i = 1, ..., N (2.3) Количество уравнений Лагранжа определяется количеством обобщенных координат, описывающих движение механической системы, z1, ..., zN. Система отсчета, по отношению к которой время является однородным, а пространство – однородным и изотропным, называется инерциальной. Если какая-либо система отсчёта движется прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, то она также инерциальна. Во всех инерциальных системах одинаковы свойства пространства и времени, а также одинаковы и законы механики. Это утверждение называется принципом относительности Галилея. Координаты r и r′ одной и той же точки, а также время t и t′ в двух различных системах отсчёта K и K′ связаны преобразованиями Галилея: r′= r + Vt (2.4) 6
t = t′ (2.5) Здесь V – это скорость движения системы K′ относительно системы K. Лагранжиан замкнутой системы материальных точек, т.е. системы, на которую не действуют никакие внешние тела, имеет общий вид: L =∑ a [mava 2/2] – U(r1, r2, ... ra, …), (2.6) где ra – радиус-вектор a-й точки, va – ее скорость, ma – масса. Первый член в (2.6) называют кинетической энергией, а функцию U – потенциальной энергией системы материальных точек. Декартовы координаты могут быть менее удобными для описания системы со связями, т.е. с дополнительными условиями, налагающими определенные ограничения на совместное изменение различных декартовых координат. Для учета связей вводят обобщенные координаты. Их количество равняется Nоб = N – Nсв, где N есть количество декартовых координат, а Nсв – количество налагаемых ограничений (связей). Если движение описывается не декартовыми координатами точек, а некоторыми обобщенными координатами zi, то для получения лагранжиана производят соответствующее преобразование: xa = fa( z1, ..., zNоб), dxa/dt =∑ k (дfa/дzk) z& k. (2.7) После подстановки выражений (2.7) в общее выражение для лагранжиана (2.6) получаем лагранжиан, выраженный через обобщенные координаты и скорости: L =∑ k i, [aik(z) z& i z k & ] – U(z1, ..., zNоб), (2.8) где aik – mik/2 коэффициенты; тензор mik иногда называют “тензором обобщённых масс”. Лагранжиан двух невзаимодействующих систем частиц A и B равен сумме лагранжианов каждой из систем: LAB = LA + LB. Потенциальная энергия механической системы во внешнем поле, вообще говоря, явно зависит от времени: B U(z1, ..., zN, t). Сила, действующая на a-ю частицу Fa = −дU/дra (2.9) Функции координат и скоростей частиц системы, которые сохраняют постоянные значения при движении частиц, и зависящие 7
лишь от начальных условий, называются интегралами (инвариантами) движения. При движении замкнутой механической системы с N степенями свободы число независимых интегралов движения равно 2N − 1. Это следует из того, что общее решение N уравнений второго порядка (2.3), т.е. уравнений Лагранжа, содержит 2N произвольных постоянных. Поскольку система замкнута, вид решения не зависит от выбора начала отсчета времени to. Следовательно, константа to входит в решения аддитивно со временем t: t + to. Исключая t + to из 2N функций координат zi и скоростей (i = 1, ..., N), выражаем оставшиеся 2N – 1 постоянные С iz& i (i = 1, ..., 2N – 1) в виде функций от координат и скоростей zi и (i = 1, ..., N). Полученные таким образом 2N – 1 функций и являются интегралами движения замкнутой системы с N степенями свободы. iz& Аддитивными интегралами движения механической системы называются сохраняющиеся величины, значения которых для всей системы равны сумме значений для каждой из невзаимодействующих ее частей в отдельности. Существуют следующие аддитивные интегралы движения: энергия E, импульс P, и момент импульса M системы: E =∑ [ i z& i(дL/д z& i) ]– L =∑ a [mava 2/2] + U(r1, r2, ...); (2.10) P =∑ [дL/дv a a ] =∑ a mava; (2.11) M = [r ∑ a apa], (2.12) где pa = дL/дva – импульс a-й частицы. Сохранение энергии E следует из однородности времени, в силу которой лагранжиан замкнутой системы или системы в постоянном внешнем поле не зависит явно от времени: дL/дt = 0. Сохранение импульса P следует из однородности пространства, в силу которой вариация лагранжиана при любом параллельном переносе ε замкнутой системы как целого в пространстве равна нулю: δεL = 0. Сохранение момента импульса M, следует из изотропии пространства, в силу которой вариация лагранжиана при повороте на любой угол ϕ замкнутой системы в пространстве как целого равна нулю: δϕL = 0. 8
В общем случае обобщенную координату zi, не входящую явным образом в лагранжиан, называют циклической. Из уравнения Лагранжа (2.3) в этом случае получаем d/dt[дL/д ] = дL/дz iz& i = 0 откуда следует сохранение соответствующего обобщенного импульса pi: p → i ≡ дL/д iz& = const. (2.13) Задачи Задача 2.1. Найти интегралы движения, если вид действия не меняется при: а) пространственном сдвиге; б) повороте; в) сдвиге начала отсчёта времени; г) винтовом сдвиге вдоль оси z. Ответ: а) импульс; б) момент импульса; в) энергия; г) Мz + hpz/(2π) = const, h – шаг винта. Задача 2.2. Найти интегралы движения частицы, движущейся в: а) однородном поле U(r) = −Fr ; б) U(αr) = αnU(r); уточнить, при каком n преобразование подобия не меняет вид действия; в) поле бегущей волны U(r, t) = U(r − Vt), где V – постоянный вектор; г) магнитном поле, заданном векторным потенциалом A(r), где A(r) – однородная функция; д) электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой скоростью Ω вокруг оси z. Решение а) Потенциальная энергия U(r) = −Fr, а вместе с ней и действие, не изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к F, и при поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интегралами движения являются компоненты импульса, перпендикулярные к F, и компонента момента импульса, параллельная F. Так как функция Лагранжа не зависит от времени, интегралом движения является энергия. Утверждение, что различные точки в некоторой области “равноправны”, означает, что во всех этих точках равны значения потенциальной энергии (а не силы !). Пространство, в котором имеется однородное поле, отнюдь не однородно. б) Преобразование подобия не меняет вида действия при n = 2. В этом случае интеграл движения pr − 2Et = const. Например, 9
для центрального поля U = α/r 2 этот интеграл, переписанный в виде m r& r − 2Et = const с учётом соотношения r& = 2 2 2 2 2 mr M r E m − α − , определяет зависимость r(t), где М – момент импульса относительно центра поля (проекция). Ответы: в) E − Vp = const. г) pr − 2Et = const, где p = mv + (eo/c)A, если A(αr) = α−1A(r), где eo – заряд частицы, с – скорость света. д) E − pϕΩ = const. Задача 2.3. Найти интегралы движения частицы в однородном магнитном поле Н, если векторный потенциал А задан в виде: а) А = (1/2) [Hr]; б) Ах = Аz = 0, Ay = xH , или А = (0, хН, 0). Решение а) Пусть ось z параллельна Н. Сдвиг вдоль оси z и поворот вокруг неё не изменяют вида А, а, следовательно, и вида действия. Поэтому интегралами движения являются pz = дL/д = m и M z& z& z = xpy − ypx = m(x − y ) + [(e H)/(2c)] y& x& .(x2 + y2). Кроме того, интегралом движения является энергия E = (m/2)( x& 2 + y& 2 + z& 2). Ответ: б) E = (m/2).( &x 2 + &y 2 + &z 2), p′ y = m &y + (e0/C)Hx, p′ z = m . M &z z такое же, как в п. а). Примечание к п. а) и б). Соображения симметрии позволяют определить различные интегралы движения в зависимости от выбора векторного потенциала данного поля Н. Но все величины: E, pz = p′ z, Mz, p′ y – являются интегралами движения независимо от выбора А. 10
3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ЛАГРАНЖА 3.1. Движение частицы в одномерном потенциальном поле Одномерным называют движение механической системы с одной степенью свободы, которую назовем x. Если потенциальная энергия U(x) не зависит от времени явно, то уравнения Лагранжа интегрируются в общем виде: t = /2 m ∫ ) (x U E dx − + const, (3.1) где две произвольные постоянные в решении (3.1) имеют смысл полной энергии E и начала отсчёта времени tο = const. В силу положительности кинетической энергии движение происходит только в тех областях пространства, где U(x) < E. Точки xa, ограничивающие области движения, находятся из уравнения U(xa) = E и называются точками остановки (поворота). Если область движения ограничена двумя такими точками, то движение называется финитным. Если же область движения не ограничена хотя бы с одной стороны, то такое движение называется инфинитным. Период колебаний T между двумя точками поворота xa и xb определяется по формуле T(E) = m 2 xb xa ∫ ) x U E dx ( − + const, (3.2) где пределы являются корнями уравнения U(xa, b) = E при данном значении E. Задача 3.1. Определить закон движения частицы в поле U(x): а) U(x) = A[exp(−2αx) − 2exp(−αx)] – потенциал Морcа, рис. 3.1; 11
Доступ онлайн
В корзину