Теоретическая физика. Раздел : теория электромагнитного поля

№329 
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕВОНОЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 
(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 
Кафедра теоретической физики 
Векилов Ю.Х., Кузьмин Ю,М. 
Одобрено методическим 
советом института 
Теоретическая физика 
Раздел: Теория электромагнитного поля 
Учебное пособие 
для практических занятий 
для студентов специальности 07.09 
Москва 1998 

Вежидов Ю.Х., Кузьмин Ю.М. 
СОДЕРЖАНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 
5 
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 
11 
1.1. Электрическое поле 
И 
1.2. Электростатическая энергия зарядов 
15 
Задачи 
16 
1.3. Электростатическое поле системы зарядов на расстояниях, 
больших размеров системы 
27 
1.3.1. Дипольный момент 
27 
1.3.2. Мультипольные моменты 
28 
Задачи 
30 
1.4. Энергия системы зарядов во внешнем поле 
33 
2. МАГНИТОСТАТИКА 
42 
Задачи 
47 
3. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ 
62 
Задачи 
65 
4. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. 
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 
73 
4.1. Потенциалы электромагнитного поля 
73 
4.2. Поле системы зарядов на больших расстояниях 
75 
4.3. Дипольное излучение 
76 
4.3.1. Электромагнитное поде дипольного излучения 
77 
4.3.2. Магнитное дипольное излучение 
81 
4.4. Плоские электромагнитные волны 
82 
4.5. Взаимодействие заряженных частиц с излучением 
83 
4.5.1. Рассеяние электромагнитных води 
83 
4.5.2. Дисперсия света 
83 
4.5.3. Электромагнитное поле в плазме 
85 
Задачи 
86 
5. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 
107 
5.1. Постулаты 
107 
5.2. Преобразование Лоренца 
107 
5.3. Инварианты теории относительности 
109 
5.4. Четырехмерные eeKrqpH и тензоры. 
Ковариан1ная форма уравнений 
110 

Учебное пособие 
5 5 Релятивистская механика Энергия и импульс 
112 
5 6 Электродинамика теории относительности 
ИЗ 
Задачи 
117 
ЛИТЕРАТУРА 
132 

Векилов Ю.Х., Кузьмин Ю.М 
ВВЕДЕНИЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА 
[1,4. 4, §1-4,5,8] 
Уравнения электромагнитного поля 
в вакууме 
При наличии электрических зарядов в пространстве устанавливается возбужденное состояние, которое называется электромагнитным полем Его силовыми характеристиками являются напряженности электрического поля Е и магнитного Н полей Пространственные и временные производные ЕкН 
связаны уравнением Максвелла 
Уравнение Максвелла не вытекает из каких-либо общих теоретических положений, а является обобщенной записью наблюдающихся на 
опыте закономерностей. 
Дифференциальная форма 
Интегральная форма 
уравнений поля 
уравнений поля 
С dt 
с dt 
rotH = — J - ^ - ^ 7 
^ 
с 
сд t^ 
с 
с dt 
divH = О 
divE = 4np 
iEdS = 4Ke 
Здесь плотность заряда 
и соответственно 
р= 1
Ш
1 
AV-»o AV 
= JpdV. 

Учебное 1Юсобие 
Связь между математическим определением дис*5>етного распределения точечных зарядов и непрерывной функщюй р(г) можно 
установить с помощью 5-функции: 
р(г) = е5(г -PQ) 
ИЛИ 
а 
(суммирование по всем згфядам), 
где 8-функция определяется соотношениями 
4 . 
5(х) = О при х = 0; 
5(х) = оо npHX?tO; 
J 5(x)dr = 1; j/(x)5(x)dx 
= /(0); 
a<0<b. 
—00 
a 
Соответственно плотность тока у = pv = Z_,ea^(^a)^('' ~^a)-
a 
Непосредственно из системы уравнений Максвелла следует уравнение непрерывности 
divj + ^P=0, 
dt 
выражающее закон сохранения заряда. 
Одним из важных следствий, вытекаюпрсс из системы уравнений Максвелла, является существование энергии электромагнитного поля. В интегральной форме закон сохранения энергии имеет следующий вид: 
dt 
^•
' 
J 
a^J 
87Г 
— с 
- — 
где S - —[Е,Н] - плотность потока энергии (вектор Пойнтинга); 
4я 

Векияов Ю.Х., Кузьмин Ю.М. 
— — 
плотность энергии электромагнитного поля. 
Дифференциальная форма записи закона сохранения энергии 
j9 
dt 
87t 
J = 
-jE-divS, 
т. е. изменение энергии поля единицы объема равно работе, произведенной над зарядами в этом объеме и дивергенции плотности потока 
энергии. 
Вопросы 
1. Показать, что система уравнений Максвелла в дифференциальной форме непосредственно следует из опытных законов Кулона, Био-Савара, Ф^адея. 
2. Дать физическую интерпретацию уравнениям Максвелла 
в дифференциальной и интегральной форме. 
3. Дать математическую характеристику системы уравнений 
Максвелла. Является ли система уравнений полной? 
4. Удовлетворяют ли уравнения поля требованию суперпозиции? 
5. Получил, уравнение непрерывности из уравнений Максвелла. 
6. Представить уравнение непрерывности в интегральной 
форме. 
7. Ввести ток смещения 
, исходя из уравнения непре-
с dt 
рывности. 

Уче&ое пособие 
Уравнения электромагнитного поля 
в материальных средах 
Основные уравнения (уравнения мазфоскопической электродинамики). 
Характер электромагнитных процессов в веществе зависит от 
его свойств, В веществе поле быстро меняется от точки к точке и в 
данном месте - во времени. Поэтому физическое значение имеют 
лишь средние значения соответсягвуюйщх величин. Характеристики 
поля в веществе определяют как среднее по физически 6есй>Нечно 
малому объему: 
(/)41^''^-
Система уравнений поля в средах имеет следуюпщй вид. 
Дифференциальная форма 
Интегральная форма 
уравнений коля 
уравнений поля 
С & 
^ ^ 
' 
с 
с dt 
с 
^5/ 
divD = 4пр; 
f ^ ^ = ^71 
j pdV - 47ш, 
где En В- средние значения напряженностей электрического и магнитного полей в среде; 
D = Е + ЛпР - вектор элекфической индукции (Р - поляризуемость среды); 
Н -В-^пт 
- напряженность магнитного поля {in- намагниченность); 
j - плотность тока проводимости; 

Векииов Ю.Х., Кузьмин Ю.М 
р - плотность свободных зарядов. 
Уравнения 
связьгаают 
пять 
основных 
величин 
Е, В, Н, D и у . Чтобы при заданном распределении зарядов и токов уравнения допускали единственное решение для векторов поля, к 
этим уравнениям добавляются соотношения, описывающие поведение веществ под влиянием поля - ^фавнения связи или материальные 
уравнения: 
j = csE, 
Tfsfi Е, ^- диэлектрическая и магнитная проницаемость среды; 
а - удельная проводимость среды. 
Последнее соотношение выражает закон Ома в дифференциальной 
форме. 
Уравнения электромагнитного поля в веществе в отличии от 
уравнений поля в вакууме имеют ограниченную область применимости вследствие ограниченной применимости уравнений связи только 
для слабых полей. 
Граничные уравнения на поверхности 
раздела 
На границе раздела двух сред, характеризуемых проницаемостями 
Е], 6
2 и Ць М
-
2 поведсние векторов Е, В, Н, D определяется 
следующим образом: 
1. Нормальные составляющие вектора D испытывают скачок 
D^n' D\n = 4яст, 
где а - поверхностная плотность заряда. 

Учебное пособие 
2. Тангенциальные составляющие вектора Ё непрерывны: 
Ей = Еу. 
3. Нормальные составляющие вектора В непрфывны . 
4. Тангенциальные составляющие вектора Н претерпевают 
разрыв непрерывности, определяемый соотношением 
471 -: 
С 
h'^2-^ih~~Js> 
где Js - поверхностная плотность тока. 
Если jg = О, to H\t = ff^t, , 
Вопросы 
1. Почему нельзя пользоваться уравнениями поля в дифференциальной форме на границе раздела двух сред? 
2. Получить граничные условия для векторов Е, В, Н, D . 

Векидов Ю.Х., Кузьмин Ю М 
1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 
1.1. Электростатическое поле 
[1,4.1, §14] 
Поле в вакууме 
Электростатическое поле - поле неподвижных зарядов. В 
этом случае все производные по времени и токи равны нулю, и уравнения Максвелла имеют следующий вид: 
Дифференциальная форма 
Интегральная форма 
уравнений поля 
уравнений поля 
го(Ё = 0; 
f£d/-0; 
divH = 0; 
^HdS = 0; 
rotH = 0. 
f M = 0. 
Система уравнений распадается на систему независимых 
уравнений для электрического и магнитных полей. Для Н 
получается тривиальное решение Н = 0 , так как неподвижные заряды не 
окружены магнитным полем. Полагая Е = —gradfp, получим уравнение Пуассона: 
Аф = -4пр. 
Таким образом, уравнения электростатики полностью эквивалентны 
уравнению Пуассона. 
11 

Учебное пособие 
Если заряды расположены в конечной области пространства, 
окружающего точку, выбранную за начало координат, то при г -> оо 
напряженность поля должна убывать не медленнее, чем 1/г^. Поэтому 
решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованию 
(р -^0 при /* -> оо. 
При р = О потенциал удовлетвфяет уравнению Лапласа 
Уравнение Пуассона для точечного заряда имеет вид 
д 1 = -4теб(Л). 
R 
Потенциал и плотность точечного заряда: 
ф = -1;р = вб(Л). 
R 
Общее решение уравнения Пуассона имеег следующий вид: 
где f - радиус-вектор точки поля; 
г' - радиус-вектор точки источника поля. 
12