Курс теоретической физики в задачах и упражнениях

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

№ 326 
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 

Технологический университет 

МИСиС 

Кафедра теоретической физики 

Курс теоретической физики 
в задачах и упражнениях 

Под редакцией доктора физико-математических наук, 
профессора Ю.Х. Векилова 

Допущено учебно-методическим объединением по 
образованию в области металлургии в качестве учебного 
пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по специальностям «Физика металлов» и 
«Металловедение и термическая обработка металлов» 

Москва Издательство «УЧЕБА» 2 0 0 5 

УДК 53 
К93 

Р е ц е н з е н т 
д-р физ.-мат. наук, нроф. Е.К. Найми 

Курс теоретической физики 

К93 в задачах и упражнениях / Ю.Х. Векилов, Ю.М. Кузьмин, СИ. 
Мухин, Я.М. Муковский; Под ред. Ю.Х. Векилова. - М.: МИСиС, 2005. - 285 с. 

Учебное пособие содержит задачи с решениями но курсам теоретической 
физики, читаемым на физико-химическом факультете: механике, электродинамике, квантовой механике и статистической физике. Задачи но каждому из 
разделов предваряет краткое описание необходимых принципов и сведений, 
а также приводятся примеры решения задач данного типа. 

Объем и содержание пособия соответствуют программе курса. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 
«Физика металлов» и «Физика полупроводников», а также может быть использовано преподавателями при составлении домашних заданий. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2005 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Общие принципы механики 
6 

1.1. Уравнения движения 
7 

1.1.1. Уравнение Лагранжа. Принцип относительности 
Галилея. Интегралы движения 
7 

1.1.2. Интегрирование уравнений движения Лагранжа 
11 

1.1.2.1. Движение частицы в одномерном 
потенциальном поле 
11 

1.1.2.2. Движение частицы в центральном поле. Задача 
Кеплера 
15 

1.1.2.3. Рассеяние частиц. Формула Резерфорда 
20 

1.2. Малые колебания 
22 

1.2.1. Свободные одномерные колебания. Колебания 
систем со многими степенями свободы. Вынужденные 
колебания. Резонанс 
22 

1.2.2. Затухающие колебания 
41 

1.3. Метод Гамильтона в классической механике 
44 

1.3.1. Уравнения движения Гамильтона. Канонические 
преобразования. Скобки Пуассона 
44 

1.3.2. Уравнение движения Гамильтона-Якоби 
47 

1.3.3. Адиабатические инварианты 
48 

2. Теория электромагнитного поля 
51 

2.1. Общие сведения 
51 

2.1.1. Уравнения электромагнитного поля 
51 

2.1.2. Уравнения электромагнитного поля в материальных 
средах 
53 

2.1.2.1. Основные уравнения (уравнения 
макроскопической электродинамики) 
53 

2.1.2.2. Граничные уравнения на поверхности раздела 
54 

2.2. Электростатика 
55 

2.2.1. Электростатическое поле 
55 

2.2.1.1. Поле в вакууме 
55 

2.2.1.2. Поле в веществе 
56 

2.2.2. Электростатическая энергия зарядов 
57 

2.2.3. Электростатическое поле системы зарядов на 
больших расстояниях 
65 

2.2.3.1. Дипольный момент 
65 

2.2.3.2. Мультипольные моменты 
66 

3 

2.2.4. Энергия системы зарядов во внешнем поле 
69 

2.3. Магнитостатика 
74 

2.4. Квазистационарное электромагнитное поле 
88 

2.5. Переменное электромагнитное поле, специальная теория 
относительности 
95 

2.5.1. Потенциалы электромагнитного поля 
95 

2.5.2. Поле системы зарядов на больших расстояниях 
97 

2.5.3. Дипольное излучение 
98 

2.5.3.1. Электромагнитное поле дипольного излучателя 
99 

2.5.3.2. Магнитно-дипольное излучение 
101 

2.5.4. Плоские электромагнитные волны 
101 

2.5.5. Взаимодействие заряженных частиц с излучением 
102 

2.5.5.1. Рассеяние электромагнитных волн 
102 

2.5.5.2. Дисперсия света 
102 

2.5.5.3. Электромагнитное поле в плазме 
103 

2.6. Специальная теория относительности 
116 

2.6.1. Постулаты 
116 

2.6.2. Преобразования Лоренца 
116 

2.6.3. Инварианты теории относительности 
118 

2.6.4. Четырехмерные векторы и тензоры. Ковариантная 
система уравнений 
118 

2.6.5. Релятивистская механика. Энергия и импульс 
120 

2.6.6. Электродинамика теории относительности 
120 

3. Квантовая механика 
131 

3.1. Волны де Бройля. Волновые пакеты 
131 

3.2. Волновое уравнение. Стационарные состояния. 
Одномерное движение. Спектр энергии и волновые функции.... 137 
3.3. Операторы. Теория представлений. Матрицы 
168 

3.3.1. Операторы 
168 

3.3.2. Вычисление вероятностей и средних, переход к 
другим представлениям 
174 

3.3.3. Теория представлений, матрицы 
179 

3.4. Движение в центральном поле с аксиальной симметрией .... 195 

3.4.1. Разделение переменных 
195 

3.4.2. Движение в магнитном поле 
197 

3.5. Теория возмущений 
201 

3.5.1. Стационарные возмущения в невырожденных 
системах 
203 

3.5.2. Теория возмущений для вырожденных систем 
209 

3.5.3. Нестационарные возмущения 
212 

4 

3.6. Вариационный метод 
216 

3.7. Тождественность частиц 
222 

3.7.1. Волновая функция системы тождественных частиц 
222 

3.7.2. Многоэлектронный атом, молекулы 
225 

3.8. Теория рассеяния. Борновское приближение 
230 

4. Статистическая физика 
235 

4.1. Основные положения термодинамики 
235 

4.1.1. Основные соотношения равновесной 
термодинамики 
237 

4.1.2. Свободная энергия 
237 

4.1.3. Термодинамический потенциал (свободная энергия 
Гиббса) 
237 

4.2. Необходимые понятия теории вероятностей 
241 

4.3. Классическая статистическая механика 
246 

4.4. Метод ансамблей Гиббса 
251 

4.4.1. Микроканоническое распределение (ансамбль) 
Гиббса 
252 

4.4.2. Каноническое распределение (ансамбль) Гиббса 
253 

4.4.3. Большое каноническое распределение (ансамбль) 
Гиббса 
255 

4.5. Флуктуации 
266 

4.6. Квантовая статистика 
269 

4.6.1. Общие положения 
269 

4.6.2. Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна 
270 

4.6.2.1. Высокие температуры 
272 

4.6.2.2. Низкие температуры 
272 

Библиографический список 
284 

5 

1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ 

Траектории частиц механической системы описываются набором 
обобщенных координат z1(t),..., zN ( t). Лагранжиан механической системы L(zi(t),zi(t),t) зависит от координат z 1(t),..., zN (t) и связанных с 
ними скоростей z 1 (t),...,zN(t) и определяет динамику системы. Точки 
над символами, как всегда, обозначают производную по времени 
d/dt. Лагранжиан L(zi(t), z i(t),t) является функцией от скоростей z i (t) 
не выше второй степени. Интеграл по времени от лагранжиана вдоль 
произвольной траектории системы, определяемой некоторой совокупностью функций координат частиц z1(t),..., zN (t), задает функционал S[zil называемый действием, на заданной траектории системы 
между моментами времени taUtb: 

S [ zi ] = b L zi (t),z i(t),t 
d t . 
(1.1) 

Согласно принципу наименьшего действия Гамильтона механичеекая система реально движется по траектории z1(t),..., zN (t), на которой 
действие S[zi] минимально. Непосредственная (прямая) минимизация 
действия производится на определенном классе пробных траекторий, 
согласно способу, описанному в задаче 1.1. Непрямая минимизация 
действия производится методом Эйлера, который приводит в данном 
случае к дифференциальным уравнениям Лагранжа, как описано в 1.2. 

Задача 1.1. Частица в поле U(z) = — Fz за время т перемещается из 
точки z = О в точку z = a. Найти закон движения частицы, предполагая, что он имеет вид z(t) = At 2 + Bt + C,и подбирая коэффициенты A, 
B и C так, чтобы действие имело наименьшее значение. 

Решение. 
Полагая z = О при t^ О, находим C = О, и из условия z = a при t = x 
находим B = a/х - Aх. Используя функцию z(t) = At 2 + (a/т - Ax)t, вычисляем действие 

т 
т 

S = \ L(z, z )dt =\ [ 
U(z)]dt = mА\^/6 + ma 2 /(2т) 
0
0 

- FAx^/6 + Fax/2. 
(1.2) 

Из условия bS/ЬA = О, определяющего минимум действия, находим A = F/(2m). Очевидно, закон движения: 

6 

z(t) = Ft 2/(2m) + [a/x - Fx/(2m)]t 
(1.3) 

в данном случае является точным. Однако приведенное решение задачи позволяет утверждать лишь то, что при найденном законе движения действие принимает наименьшее значение среди значений, 
принимаемых при движении по любому другому закону из законов 
предложенного вида. 

1.1. Уравнения движения 

1.1.1. Уравнение Лагранжа. 

Принцип относительности 
Галилея. 

Интегралы 
движения. 

Действие S[zi] экстремально на траектории реального движения 
zi(t) в сравнении со всеми другими траекториями близкими к данной: 
z/(t ) = zi(t)+ 6zi(0, которые имеют такие же концевые точки: 
z'i(ta) = zi(ta) И z'i(tb) = zi(tb). Это СВОЙСТВО дсйствия выражастся равенством нулю вариации действия 61 S[zi] в линейном приближении по 
вариации траектории bzi(t): 

d1S[zi] = {S[zi + dzi] — S[zi]} |лин = 0 
(1.4) 

с граничным условием 

bzi(ta) = 0, 6zi(tb) = 0. 
(1.5) 

Траектория zi(t), зануляющая первую вариацию действия, удовлетворяет уравнению Лагранжа, являющемуся, по сути, уравнением 
Эйлера для экстремума функционала S[zi]: 

(d/dt)(dL/dz i) = dL/dzi; i = 1,...,N. 
(1.6) 

Количество уравнений Лагранжа определяется 
количеством 
обобщенных координат, описывающих движение механической системы z1,..., zN. Система отсчёта, по отношению к которой время является однородным, а пространство - однородным и изотропным, называется инерциалъной. Если какая-либо система отсчёта движется 
прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы, 
то она также инерциальна. Во всех инерциальных системах одинаковы свойства пространства и времени, а также одинаковы и законы 
механики. Это утверждение называется принципом относительности Галилея. 

7 

Координаты г и г ' одной и той же точки, а также время t и t в 
двух различных системах отсчёта K и K связаны преобразованием 
Галилея: 

t = t. 
(1.8) 

Здесь V - это скорость движения системы fC относительно системы K. 
Лагранжиан замкнутой системы материальных точек, т.е. системы, на 
которую не действуют никакие внешние тела, имеет общий вид 

L =2_i 
[mava
 2/2] - U(Г1,1^2,... ) , 
(1.9) 

a 

где Гa - радиус-вектор a-й точки, а Уa- ее скорость. 

Первый член в (1.9) называют кинетической энергией, а функцию 
U - потенциальной энергией системы материальных точек. Декартовы координаты могут быть менее удобными для описания системы 
со связями, т.е. с дополнительными условиями, налагающими определенные ограничения на совместное изменение различных декартовых координат. Для учета связей вводят обобщенные координаты. 
Их количество N^Q = N - NCB, где N - количество декартовых координат, NCB - количество налагаемых ограничений (связей). Если движепне описывается не декартовыми координатами точек, а некоторыми 
обобщенными координатами z„ то для получения лагранжиана производят соответствующее преобразование: 

xa = fa(z1,..., zNоб), dxa /dt = / ^ (dfa /dzk) z k . 
(1.10) 

k 

Подстановка выражений (2.7) в общее выражение для лагранжиана (1.9) приводит к лагранжиану, выраженному через обобщенные 
координаты и скорости: 

L = 2_, 
[aik(z)^ 
i.zk ] - U ( z 1 , . . . , zNos) 
(1.11) 

где aik - функции только от координат*. Лагранжиан двух невзаимодействующих систем частиц A и B равен сумме лагранжианов каждой из систем: LAB = LA + LB. Потенциальная энергия механической 

aik = mikJl, тензор mik иногда называют «тензором обобщённых масс». 

8 

системы во внешнем поле, вообще говоря, явно зависит от времени: 
U(z1,..., zN, t). Сила, действующая на а-ю частицу равна: 

Fa = -dU/ дr a. 
(112) 

функции координат и скоростей частиц системы, которые сохраняют постоянные значения при движении частиц, зависящие лишь от 
начальных условий, называются интегралами (инвариантами) двиэкения. При движении замкнутой механической системы с N степенями свободы число независимых интегралов движения равно 2N - 1. 
Это следует из того, что общее решение N уравнений второго порядка (1.6), т.е. уравнений Лагранжа, содержит 2N произвольных постоянных. Поскольку система замкнута, вид решения не зависит от выбора начала отсчета времени t 0. Следовательно, константа t 0 входит в 
решения аддитивно со временем t: t + t0. Исключая t + t0 из 2N функций координат zi и скоростей z i (i = 1,..., N), выражаем оставшиеся 
2N- 1 постоянные Q, (i = 1,..., 2N- 1) в виде функций от координат и 
скоростей: zi nzi (i = 1,..., N). Полученные таким образом 2N - 1 
функций и являются интегралами движения замкнутой системы с N 
степенями свободы. 

Аддитивными интегралами движения механической системы называются сохраняющиеся величины, значения которых для всей сиетемы равны сумме значений для каждой из невзаимодействующих ее 
частей в отдельности. Существуют следующие аддитивные интегралы движения: энергия E, импульс P, и момент импульса M системы: 

E = V 
[zi(dL/dzi) ] - L = \^ 
[mava
 2/2] + U(r1,r2,...); 
(113) 

i 
a 

P = y_i [dL/dva ]= / , 
[ma v a]; 
(114) 

a 
a 

M = V 
[ r a
 . p a ], 
(115) 

a 

где pa = дL/дv a - импульс a-й частицы. 

Сохранение энергии E связано с однородностью времени, в силу 
чего лагранжиан замкнутой системы или системы в постоянном 
внешнем поле не зависит явно от времени: dL/dt=0. Сохранение импульса P связано с однородностью пространства, в силу чего вариация лагранжиана при любом параллельном переносе е замкнутой 

9 

системы как целого в пространстве равна нулю: ОеL = 0. Сохранение 
момента импульса M связано с изотропией пространства, в силу чего 
вариация лагранжиана при повороте на любой угол ф замкнутой системы в пространстве как целого равна нулю: 6(pL = 0. 

В общем случае обобщенную координату Zi, не входящую явным 
образом в лагранжиан, называют циклической. Из уравнения Лагранжа (1.6) следует сохранение соответствующего обобщенного импульсаpi: 

d/dt[dL/d zi ] = dL/dzi = 0; -^ pi = дL /д zi = const. 
(116) 

Задача 1.2. Найти интегралы движения, если вид действия не меняется при: а) пространственном сдвиге; б) повороте; в) сдвиге начала отсчёта времени; г) винтовом сдвиге вдоль оси z. 

Ответ: а) импульс; б) момент импульса; в) энергия; г) Мz + 
+ hpz /(2Tz) = const (h - шаг винта). 

Задача 1.3. Найти интегралы движения для частицы, движущейся: 
1) в однородном поле U(r) = - Fr; 
2) в поле U(r), где U(r) - однородная функция: U (аr) = аn U ( r ). 
(Уточнить, при каком n преобразование подобия не меняет вид действия.); 

3) в поле бегущей волны U(r,t) = U (r - V t, где V - постоянный 
вектор; 

4) в магнитном поле, заданном векторным потенциалом A(r), где 
A(r) - однородная функция; 

5) в электромагнитном поле, вращающемся с постоянной угловой 
скоростью D. вокруг оси z. 

Решение 
1. Потенциальная энергия U ( r) = - Fr, а с ней вместе и действие, 
не изменяются при сдвигах в направлении, перпендикулярном к F, и 
при поворотах относительно оси, параллельной F. Поэтому интеграламп движения являются компоненты импульса, перпендикулярные 
к F, и компонента момента импульса, параллельная F. Так как функция Лагранжа не зависит от времени, интегралом движения является 
энергия. Утверждение, что различные точки в некоторой области 
«равноправны», означает, что во всех этих точках равны значения 
потенциальной энергии (а не силы!). Пространство, в котором имеется однородное поле, отнюдь не однородно. 

2. Преобразование подобия не меняет вида действия при n = 2. В 
этом случае pr - 2Et = const. Например, для центрального поля U = a/r2 

10 

этот интеграл, переписанный в виде mr . r - 2Et = const, с учётом со
отношения r=(2/m)(E-a/t2-M2/(2mr2)), 
определяет зависимость 

r(t), где М- момент импульса относительно центра поля (проекция). 

3. E - Vp = const. 
4. pr - 2Et = const, где p = mv + (e/c)A, если A(r) = a-^A(r). 
5. E - pifD. = const. 
Задача 1.4. Найти интегралы движения для частицы в однородном магнитном поле Н, если векторный потенциал А задан в виде: 

1. А = (1/2) [ H .r ]; 
2. А^ = Аz = 0, Ay = xH, или А = (0, хН, 0). 
Решение 
1. Пусть ось z параллельна полю Н. Сдвиг вдоль оси z и поворот 
вокруг неё не изменяют вида А, а следовательно, и вида действия. 
Поэтому интегралами движения являются 

pz = ЭL/Эz = mz иMz = xpy - ypx = m(xy - yx) + [(eH)/ (2c)] (x 2 + y 2). 
Кроме того, интегралом движения является энергия E = (m/2)( x 2 +y 2 +z2). 

2. E = (m/2)(x2 +y2 +z2), py = my + (e/c)Hx, pz = mz . 
Соображения симметрии позволяют определить различные инте
гралы движения в зависимости от выбора векторного потенциала 
данного поля Н. По все величины: E, pz = pz, Mz, p y - являются интегралами движения независимо от выбора А. 

1.1.2. Интегрирование уравнений 
движения Лагранжа 

1.1.2.1. Движение частицы 
в одномерном потенциальном поле 

Одномерным называют движение механической системы с одной 
степенью свободы, которую назовем x. Если потенциальная энергия 
U ( x) не зависит от времени явно, то уравнения Лагранжа интегрируются в общем виде: 

t = J(m/2) 
dx/J\ E - U (xЦ + const, 
(1.17) 

где две произвольные постоянные в решении (1.17) имеют смысл 
полной энергии E и начала отсчёта времени t0 = const. 

11 

в силу положительности кинетической энергии движение происходит только в тех областях пространства, где U(x) < E. Точки xa, ограничивающие области движения, находятся из уравнения: U ( xa) = E и 
называются точками остановки (поворота). Если область движения 
ограничена двумя такими точками, то движение называется финитным. Если же область движения не ограничена хотя бы с одной стороны, то такое движение называется инфинитным. Период колебаний T 
между двумя точками поворота xa и xb определяется по формуле 

T(E) =J(2m) 
dx/ JE-U(^x) 
(1.18) 

xb 

где пределы являются корнями уравнения U(xa , b) = E при данном 
значении E. 

Задача 1.5. Определить закон движения частицы в поле U ( x): 
а) U ( x) = A[exp(-2α x) - 2exp(-α x)] - потенциал Морса, рис. 1.1; 

U /\ 

Рис. 1.1 

б) U ( x) = - U 0/[ch2(αx)] (рис. 1.2); 

U/\ 

•
> 

Рис. 1.2 

12 

x 

x 

в) U(x) = U 0tg (сx) (рис. 1.3). 

U/\ 

- > 

0 

Рис. 1.3 

Ответы: 

а) x ( t ) = ( 1/a) Arch|[(|E| + f 0) /|E|]sinrat^( 2|E|/m ) + Cl| при£< 0, 

б) x(t) = ±(1/a)Arsh<UE + U0)/E~\sh\atJ(2E/m) 
+ C > при£'> 0; 

в) x ( t ) = ± ( 1/a) Arsh\atJ( 2U0/m ) + C\ 
при E = 0, {Arsh(x) = 

= ln[x + (x 2 + 1)]}. 

Задача 1.6. Найти закон движения частицы в поле U(x) = - Ax 4, 
если энергия её равна нулю. 

Ответ. x(t) =- 
mr\ 
V 2A 

Задача 1.7. Найти изменение закона движения частицы, вызванное добавлением к полю U(x) малой добавки 6U(x): 

а) U(x) = ma^2x2/2, ЬU ( x) = mоx 3/3; 

R\ 
["x2 
при x<« C. 

б) U(x) = к 
, oU(x) = Fx 

[ °° при x > а 

а. Невозмущённое движение x 0(t ) = asin((ot ), E = ma 2а?. 
(1.19) 

13 

x