Физика : молекулярная физика и термодинамика : сборник задач

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2750 

Кафедра физики

Н.Ю. Обвинцева 
О.В. Рычкова 
 

Физика

Молекулярная физика и термодинамика 

Сборник задач 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2016 

УДК 536 
 
О-13 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. И.А. Васильева (МПГУ) 

Обвинцева Н.Ю. 
О-13  
Физика : молекулярная физика и термодинамика : сб. задач / 
Н.Ю. Обвинцева, О.В. Рычкова. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. – 
65 с. 
ISBN 978-5-87623-988-4 

Сборник задач предназначен для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов по основным темам раздела «Молекулярная 
физика и термодинамика». По каждой теме даны краткие теоретические сведения, которые используются при решении задач, примеры решения задач и 
качественные вопросы. Задачи для самостоятельной работы по каждой теме 
расположены в порядке возрастания их трудности. В приложении даны необходимые справочные данные. 
Предназначен для студентов НИТУ «МИСиС» всех направлений подготовки, обучающихся на кафедре физики. 

УДК 536 

© Н.Ю. Обвинцева, 
О.В. Рычкова, 2016 
 
 
ISBN 978-5-87623-988-4 
© НИТУ «МИСиС», 2016 

СОДЕРЖАНИЕ 

Тема 1. Основы молекулярно-кинетической теории газов...................4 
Тема 2. Статистические распределения ...............................................12 
Тема 3. Явления переноса в газах .........................................................20 
Тема 4. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия. 
Работа и теплота .....................................................................................27 
Тема 5. Термодинамические циклы. Цикл Карно ...............................36 
Тема 6. Энтропия. Второе и третье начала термодинамики...............43 
Тема 7. Термодинамические свойства реальных газов.......................50 
Ответы на задачи ....................................................................................54 
Приложение.............................................................................................59 
Библиографический список...................................................................64 
 

ТЕМА 1. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ 
ТЕОРИИ ГАЗОВ  

Основные понятия и определения молекулярной физики и термодинамики. 
Давление. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории. 
Температура и средняя кинетическая энергия теплового движения молекул. 
Законы идеальных газов.  
Уравнение состояния идеального газа. 

1.1. Основные законы и формулы  

Молярная масса газа 

 
M = m0NA, 

где m0 – масса одной молекулы; NA = 6,022 ⋅ 1023 моль–1 – число Авогадро. 
Масса газа 

 
т = m0N, 

где N – число молекул в объеме газа V. 
Количество вещества 

 
.

A

m
N

M
N
ν =
=
 

Зависимость давления газа от концентрации молекул n и температуры Т 

 
p = nkT, 

где k = 1,38 ⋅ 10–23 Дж
К – постоянная Больцмана (k = R/NA); 

здесь 
Дж
8,31 моль К
R =
⋅
 
– газовая постоянная. 

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов 

 

2

0
1
,
3
p
nm υ
=
 

или 

 

2
0
2
2

3
2
3

m
pV
N
E
υ
⎛
⎞⎟
⎜
⎟
⎜
=
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
⎜⎝
⎠
, 

или 

 

2
2

0
1
1
,
3
3
pV
Nm
m
υ
υ
=
=
 

где υ  – средняя квадратичная скорость молекул; Е – суммарная 
кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа. 
Средняя квадратичная скорость молекул 

 

2
кв

0

3
3
RT
kT

M
m
υ
υ
=
=
=
. 

Средняя кинетическая энергия:  
– приходящаяся на одну степень свободы: 

 
1
1 2kT
ε
=
; 

– поступательного движения молекулы идеального газа: 

 
п
3 2kT
ε
=
; 

– вращательного движения: 

 
вр
(
3) 2
i
kT
ε
=
−
;  

– колебательного движения: 

 
кол
kT
ε
=
. 

Полная энергия молекулы 

 
2
i
kT
ε =
, 

где i – число степеней свободы: 
п
вр
кол
2
i
i
i
i
=
+
+
.  

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической системы, находящейся в 
состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степень свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная 
2
kT
, а на каждую колебательную степень 
свободы – в среднем энергия, равная kT.  

Связь термодинамической температуры Т, К, и температуры t, °С: 

 
T = 273 + t.  

Законы идеальных газов:  
Изотермический процесс (закон Бойля–Мариотта)  

 
const
pV =
 при 
const,
const,
T
m
=
=
 

где p – давление; V – объём; Т – термодинамическая температура; m – 
масса газа. 
Изобарный процесс (закон Гей–Люссака)  

 
1
1

2
2

V
T

V
T
=
 при 
const
p =
, 
const
m =
. 

Изохорный процесс (закон Шарля)  

 
1
1

2
2

p
T

p
T
=
 при 
const,
const.
V
m
=
=
 

Адиабатический процесс: 

 
const
pV γ =
, 

где γ – показатель адиабаты.  

Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов 

 

1

n

i

i

p
p

=
=∑
, 

где 
ip  – парциальное давление i-го компонента смеси. 
Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева–
Клапейрона)  

 
m
pV
RT
M
=
, 

где 
Дж
8,31 моль К
R =
⋅
 
– газовая постоянная; M – молярная масса газа. 

1.2. Примеры решения задач 

1. Некоторая масса азота находится в сосуде объемом 2 л. Температура азота t = 27 °С, давление газа на стенки сосуда p = 1,3 мПа. 

Определить, сколько молекул находится в сосуде, массу газа в сосуде, внутреннюю энергию газа. 
Решение 
Используя связь между давлением газа, его температурой и концентрацией молекул, определим концентрацию молекул 

 
p
n
kT
=
.  

Получим общее число молекул в сосуде, умножив концентрацию 
молекул на объем, занимаемый газом, 

 
p
N
nV
V
kT
=
=
.  
(1.1) 

Массу газа находим из соотношения  

 

A

M N
m
N
=
.  
(1.2) 

Молекула азота имеет три поступательные степени свободы и две 
вращательные, поэтому число степеней свободы равно i = 5. Тогда 
энергия молекул газа, заключенного в сосуде, запишем как 

 
5
2
W
N
kTN
ε
=
=
.  

Подставим в последнее выражение для числа частиц (1.1), тогда 

 
5
2
W
pV
=
. 
 (1.3) 

Подставляя числовые данные в выражения (1.1), (1.2), (1.3) получаем 
следующие результаты: 
13
3
6,43 10
молекул м
n =
⋅
, 
12
3 10
кг
m
−
= ⋅
, 

7
6,65 10
Дж
W
−
=
⋅
.  
2. Определить молярную массу смеси газов кислорода и гелия. 
Какой объем занимает смесь 1 кг кислорода и 2 кг гелия при нормальных условиях (p = 
5
1,01 10
⋅
 Па, Т = 273 К)?  
Решение 
Обозначим через m1 и М1 массу и молярную массу кислорода, через m2 и М2 массу и молярную массу гелия. Молярную массу и объем 
смеси определим по уравнению состояния идеального газа 

см

см

m
pV
RT
М
=
 = 
1
2

1
2

m
m
RT
М
М

⎛
⎞⎟
⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
, 

отсюда  

 
см
см

1
2

1
2

m
М

m
m

М
М

= ⎛
⎞⎟
⎜
⎟
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠

, 
1
2

1
2

m
m
RT
V
М
М
p

⎛
⎞⎟
⎜
⎟
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
. 

Молярная масса молекулы кислорода М1 = 32 г/моль, атома гелия 
М2 = 4 г/моль. Подставляя в конечные выражения числовые значения, получим 

 
V = 12 м3, Мсм = 5,6 кг/кмоль. 

3. В баллон емкостью 110 л помещено m1 = 0,8 г водорода и 
m2 = 1,6 г кислорода. Определить давление смеси на стенки сосуда, 
если температура окружающей среды 27 °С.  
Решение 
Согласно закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений 

 
см
1
2
p
p
p
=
+
. 

Из уравнения Менделеева–Клапейрона найдем парциальное давление водорода 
1p  и кислорода 
2
p : 

 
1
1
1

m
p
RT
M V
=
, 
2
2
2

m
p
RT
M V
=
. 

Молярная масса водорода равна 
3
1
2 10
кг моль
М
−
= ⋅
, кислорода 

3
1
32 10
кг моль
М
−
=
⋅
. 
Тогда получаем выражение для 
см
p
: 

 
1
2

см

1
2

m
m
RT
p
V
M
M

⎛
⎞⎟
⎜
⎟
=
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝
⎠
. 

Подставляя данные, приведенные в условии задачи,  

 
4
см
1,02 10 Па
p
=
⋅
.  

1.3. Качественные вопросы 

1. Одинаковое ли количество вещества содержится в равных массах различных веществ?  
2. Объем воздушного пузырька удваивается при подъеме со дна 
озера на поверхность. Какова глубина озера? 
3. Как изменяется сила, выталкивающая из воды воздушный пузырек, во время его подъема со дна на поверхность? 
4. Почему электрическая лампочка заполняется инертным газом 
при давлении, значительно меньшим атмосферного? 

1.4. Задачи для самостоятельного решения 

1. Найти массу одной молекулы кислорода; 1 моля кислорода.  
2. Сколько молей содержится в 1л воды? Сколько молекул?  
3. В радоновых ваннах в воде объемом V = 10 л содержится 
N = 1,8 ⋅ 106 атомов радона. Определить, на сколько молекул воды 
приходится один атом радона.  
4. При нормальных условиях 1 л газа имеет массу 
3
1,429 10−
⋅
кг. 
Определить плотность газа; его молярную массу; число молекул газа.  
5. В сосуде объемом 3 л находится кислород при температуре 27 °С. 
Давление газа 1,33 Па. Определить, сколько молекул кислорода в 
сосуде и среднюю внутреннюю энергию газа.  
6. Кислород находится в сосуде, в котором поддерживается температура 30 °С. Определить кинетическую энергию одной молекулы 
и среднюю квадратичную скорость молекул.  
7. У некоторого газа, состоящего из четырехатомных объемных молекул, при температуре 1000 К возбуждаются все степени свободы (включая колебательные). Найти среднюю энергию молекулы такого газа. Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения?  
8. Определить молярную массу смеси кислорода массой m1 = 25 г 
и азота массой m2 = 75 г.  
9. Определить парциальное давление азота, если в смеси газов кислорода и азота, находящейся под давлением p = 100 кПа, массовая 
доля азота составляет 5 % массовой доли кислорода.  
10. Определить концентрацию молекул азота в смеси водорода и 
азота, если при температуре 87 °C и давлении 1,5 атм плотность смеси равна 0,4 кг/м3.  
11. Определить плотность смеси кислорода массой m1 = 64 г и углекислого газа массой m2 = 22 г при нормальных условиях.  

12. В сосуде вместимостью V = 5 л находится однородный газ в 
количестве ν = 0,2 моль. Определить, какой это газ, если его плотность ρ = 1,12 кг/м3.  
13. Объем газа при адиабатическом расширении увеличился в 2 раза, 
а температура уменьшалась в 1,32 раза. Найти число степеней свободы молекулы этого газа.  
14. Воздух первоначально занимает объем 120 л при температуре 
27 °С и давлении 203 кПа. Найдите температуру газа после нагрева, 
если он происходил: а) изохорно, при этом давление возросло до 
250 кПа; б) изобарно, при этом объем увеличился до 150 л. Определить массу газа.  
15. В баллоне емкостью 110 л находится 0,8 г водорода и 1,6 г кислорода. Определить давление смеси на стенки сосуда, если температура окружающей среды 27 °С.  
16. В закрытом сосуде емкостью 8,3 л находится воздух при нормальном давлении и температуре 300 К. В сосуд вводят 3,6 г воды. 
Определить давление в сосуде при 400 К, если вся вода при этой 
температуре превращается в пар.  
17. В сосуде объемом 1 м3 находится смесь 10 кг гелия и 5 кг водорода при температуре 300 К. Определить давление и молярную 
массу смеси газов.  
18. Идеальный газ массой 12 г занимает объем 
3
4 10−
⋅
 м3 при температуре 7 °С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равна 
4
3
6 10
г см .
−
⋅
До какой температуры нагрели газ?  
19. Азот находится под давлением р = 200 кПа при Т = 280 К. 
В результате изобарного расширения газа температура увеличивается в n = 2,5 раза. Найти плотность газа после расширения.  
20. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением 
р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 К. После того как из баллона 
был израсходован гелий массой т = 10 г, температура в баллоне понизилась до Т2 = 290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в 
баллоне.  
21. Горизонтально расположенный закрытый цилиндрический сосуд разделен на две половины легкоподвижным поршнем. Одна 
часть заполнена кислородом, вторая – водородом, массы газов одинаковы. При каком положении поршня давление в обеих частях сосуда будет одинаково? Длина сосуда 85 см. Температура в обеих частях сосуда одинакова.  

22. При нагревании 1 моля идеального газа на 1 К при постоянном 
объеме давление возрастает на 10 Па. Если при том же исходном состоянии нагреть газ на 1 К при постоянном давлении, объем увеличится на 1 дм3. Определить параметры газа в исходном состоянии.  
23. Начальная температура комнаты 10 °С. После того, как протопили печь, температура поднялась до 20 °С. Объем комнаты 30 м3, 
давление 100 кПа. Насколько изменилась масса воздуха, находящегося в комнате?  
24. В закрытом сосуде находится кислород. После того как в сосуде был осуществлен электрический разряд, половина молекул кислорода распалась на атомы, а температура газа повысилась в 2 раза. 
Как изменилось давление в сосуде?  
25. Два одинаковых баллона соединены между собой тонкой трубкой с краном. В одном баллоне находится водород массой m1 = 10 г под 
давлением p1 = 100 кПа, в другом – азот массой m2 = 6 г под давлением p2 = 120 кПа. Определить давление, которое установится в баллонах, если открыть кран. Температура остается постоянной.  
26. Определить, на сколько необходимо увеличить температуру 
газа, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла до 

кв3
υ
 = 600 м/c, если при повышении температуры на T = 50 K сред
няя квадратичная скорость его молекул возросла от 
кв1
υ
 = 300 м/с до 

кв2
υ
 = 400 м/с.  

27. В сосуде находится смесь газов, состоящая из аргона и гелия. 
Найти отношения средних квадратичных скоростей молекул этих 
газов.