Физика : электричество и магнетизм : сборник тестов и задач. Темы 1-4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2521 

Кафедра физики

Л.Н. Экономова 
 
 

Физика

Электричество и магнетизм 

Сборник тестов и задач 

Темы 1–4 

Под редакцией профессора Е.Б. Черепецкой 

Рекомендовано учебно-методической комиссией в качестве 
учебного пособия для студентов направления подготовки 
(специальности) «Физические процессы горного 
или нефтегазового производства»

Москва 2015 

УДК 537 
 
Э40 

Р е ц е н з е н т ы  
д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.К. Фетисов (МГТУ МИРЭА); 
д-р техн. наук, проф. А.С. Вознесенский 

Экономова Л.Н. 
Э40  
Физика : электричество и магнетизм : сб. тестов и задач. 
Темы 1–4 / Л.Н. Экономова; под ред. Е.Б. Черепецкой. – М. : 
Изд. Дом МИСиС, 2015. – 132 с. 
ISBN 978-5-87623-877-1 

Сборник тестов и задач (темы 1–4) включает материал практических занятий по темам электростатики и магнитостатики и ставит целью освоения 
студентами общего алгоритма действий, используемого при решении больших комплексов задач, в основу которых положено несколько законов физики и некоторое количество понятий и формул. Задачи для самостоятельной 
индивидуальной работы (~30 вариантов) по каждой теме расположены в порядке возрастания их трудности. Кроме того, имеется банк дополнительных 
задач с ответами для расширенного и более углубленного изучения данного 
раздела курса общей физики. 
Предназначен для студентов НИТУ «МИСиС» всех направлений подготовки, обучающихся на кафедре физики. 

УДК 537 

ISBN 978-5-87623-877-1 
© Л.Н. Экономова, 2015 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие..............................................................................................4 
Математическое введение........................................................................5 
Тема 1. Принцип суперпозиции в электростатике ..............................26 
Тесты для самоконтроля теоретических знаний..............................27 
Алгоритм и примеры решения задач с использованием принципа 
суперпозиции ......................................................................................31 
Задачи для самостоятельной работы ................................................42 
Тема 2. Теорема Гаусса в электростатике ............................................50 
Тесты для самоконтроля теоретических знаний..............................50 
Алгоритм и примеры решения задач с использованием 
теоремы Гаусса ...................................................................................53 
Задачи для самостоятельной работы ................................................63 
Тема 3. Принцип суперпозиции в магнитостатике..............................70 
Тесты для самоконтроля теоретических знаний..............................71 
Алгоритм и примеры решения задач с использованием принципа 
суперпозиции ......................................................................................76 
Задачи для самостоятельной работы ................................................84 
Тема 4. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции...........92 
Тесты для самоконтроля теоретических знаний..............................92 
Алгоритм и примеры решения задач магнитостатики 
с использованием теоремы о циркуляции........................................96 
Задачи для самостоятельной работы ..............................................102 
Дополнительные задачи по электростатике (темы 1–2) ...................108 
Дополнительные задачи по магнитостатике (темы 3–4)...................118 
Библиографический список.................................................................131 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Целью сборника задач является обучение студентов самостоятельно выбирать и применять необходимый метод решения для комплексов однотипных задач по разделу «электричество и магнетизм». 
Данный сборник задач включает математическое введение и материал четырех практических занятий, относящихся к электростатике 
и магнитостатике.  
План каждого семинара определенной физической тематики 
включает: 
1) перечень программных теоретических вопросов, который объединен в таблице с основными физическими параметрами и законами, 
используемыми в данной теме; 
2) тесты для контроля теоретических знаний и примеры заданий 
из интернет-тестирования студентов, проводимого на едином портале интернет-тестирования в сфере образования: www.i-exam.ru; 
3) алгоритм решения задач с поэтапным изложением основ конкретной методики; 
4) два примера решения задач, снабженных подробными пояснениями и анализом; 
5) по 30 вариантов однотипных задач для самостоятельной, индивидуальной работы, расположенные в порядке возрастания трудности. 
Предлагается также набор задач, снабженных ответами для дополнительного расширенного изучения материала, рассматриваемого 
на семинарах. 
Такой системный подход к решению задач позволяет студентам 
самостоятельно научиться выбирать и применять необходимый метод решения. 
Данный сборник задач может быть использован не только для 
практических занятиях, но и при защите лабораторных работ, для 
контрольных работ, зачетов, индивидуальных домашних и семестровых заданий, экзаменов и углубленного изучения физики. 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 

Элементы векторной алгебры 

Вектор – направленный отрезок прямой, имеющий начало А и конец В (рис. В.1). Ориентацию вектора указывают стрелкой, помещенной в конец вектора. Вектор обозначают a, или а. 

 

Рис. В.1 

Модулем (абсолютной величиной) вектора называют длину этого 
отрезка. Модуль обозначают a, или а. 
Вектора можно приводить к общему началу О (рис. В.2). 

 

Рис. В.2 

Проекция вектора на ось 

Чтобы найти проекцию вектора а( а
AB
=
) на ось ОХ, необходимо опустить перпендикуляры на эту ось из начала (точка А) и 
конца (точка В) этого вектора (рис. В.3, а, б). 
Проекция А В
′ ′(рис. В.3, а) или AB′  (рис. В.3, б) вектора ана ось 
Х есть число 
х
а , которое равно 
cos
cos
х
а
a
a
=
⋅
ϕ =
ϕ
, где ϕ – угол 
между осью 0Х и вектором а(рис. В.3, а, б). 

a6 

 

Рис. В.3 

В декартовой системе координат вектор aопределяется алгебраическими значениями его проекций (
;
;
)
x
y
z
a
a
a
на оси Х, Y, Z (рис. В.4) и 

может быть представлен в виде 

 
х
y
z
а
iа
ja
ka
=
+
+
, 

где ,
,
i
j k

(орты осей) – единичные вектора (
)
1
i
j
k
=
=
=

, на
правленные из начала координат вдоль осей Х, Y, Z. 

 

Рис. В.4 

Из рис. В.4 видно, что модуль вектора aравен 

 
2
2
2

x
y
z
a
a
a
a
=
+
+
. 

Проекции вектора также называют компонентами. 

AB
a
=
ak
jai7 

Умножить вектор (
,
,
)
х
y
z
a а а
a
на положительное число m означа
ет построить вектор (
,
,
)
x
y
z
b b b b
, равный b
ma
=
с теми же началом и 

ориентацией, но с величиной равной 

 
b
m
a
=
⋅

. 

Умножение вектора на число эквивалентно умножению проекций 
данного вектора на это число: 
,
,
x
x
y
y
z
z
b
ma
b
ma
b
ma
=
=
=
. 

Сложение векторов  

Складывать вектора a
b
c
+
=

можно двумя способами: 
1) по правилу треугольника: при этом надо конец вектора aсовместить с началом вектора b

и, соединив начало aс концом b

, 
получить вектор c(рис. В.5); 

 

Рис. В.5 

2) по правилу параллелограмма: надо соединить 
начала aи 

b
, построить параллелограмм со сторонами a и b – его диагональ 
даст вектор c(рис. В.6). 

 

Рис. В.6 

Вычитание векторов 

Чтобы вычесть один вектор из другого а
b
c
−
=

и получить их 
разность, надо привести вектора aи b

к одному началу в точке 0. 
При этом вектор cсоединяет их концы (рис. В.7). 

Рис. В.7 

Скалярное произведение векторов 

Скалярным произведением двух векторов 
(
;
;
)
х
y
z
а а
а
a
и 

(
;
;
)
х
y
z
b b
b
b

является число с, равное 

 
cos
c
a
b
=
⋅
⋅
α

, 

где α − угол между направлениями векторов aи b

. 
Скалярное произведение обозначают так: (
)
ab
c
=

. Часто скаляр
ное произведение обозначают без круглых скобок (
)
ab
ab
≡

. 

Из определения скалярного произведения вытекают следствия: 

1) (
) (
)
ab
ba
=

2) при α = 90° – (
)
0
ab =

3) 
(
)
2
2
a
aa
a
=
=
4) 
(
) (
)
((
) )
a
b d
ad
bd
±
=
±

5) (
)
(
)
ab
ab
β
= β

, где β − число 

Для ортов осей 
,
,
X Y Z  выполняются следующие соотношения: 

 
2
2
2
1
i
j
k
=
=
=

⇒ ( )
(
)
(
)
0
ij
ik
kj
=
=
=
. 

Скалярное произведение двух векторов через их составляющие (проекции на оси: (
;
;
)
x
y
z
a
a
a
и (
;
;
)
x
y
z
b
b
b
) получают с ис
пользованием свойств ортов:  

 
(
)
x
x
y
y
z
z
ab
a b
a b
a b
=
+
+

. 

В частности, 

 
2
2
2
(
)
x
y
z
aa
a
a
a
=
+
+
. 

Поэтому для радиус-вектора ( , , )
r x y z
ix
jy
kz
=
+
+

имеем 

 
2
2
2
2
r
x
y
z
=
+
+
, 

т.е. абсолютная величина радиус-вектора равна 

 
2
2
2
r
x
y
z
=
+
+
. 

Векторное произведение векторов 

Два вектора (
;
;
)
х
y
z
а а
а
a
и (
;
;
)
х
y
z
b b
b
b

можно перемножить век
торно. Обозначается это так: 

 
ab
c
⎡
⎤ =
⎣
⎦
или a
b
c
⎡
⎤
×
=
⎣
⎦
. 

В результате векторного произведения получают вектор с, компоненты которого (
;
;
)
х
y
z
с
с
с
, а модуль (длина) c
c
= равен  

 
sin
с
a
b
=
⋅
⋅
α

, 

где α − угол между векторами aи b

(рис. В.8). 

 

Рис. В.8 

Вектор cперпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора aи b

так, что три вектора ,
,
a b c

составляют правовинтовую 
систему (правую тройку векторов). 

Для определения направления (вниз или вверх) вектора cможно 
использовать правило правого винта (буравчика): винт помещают в 
начало векторов aи b

перпендикулярно к плоскости, в которой они 
расположены, и вращают его от первого вектора aко второму b

по 
меньшему углу; при этом поступательное движение винта совпадает 
с направлением вектора c.  
В случае, когда начала векторов не совпадают, необходимо мысленно их совместить, а затем применить правило буравчика.  
При перестановке векторов меняется знак векторного произведения 

 
ba
ab
c
⎡
⎤
⎡
⎤
= −
= −
⎣
⎦
⎣
⎦

. 

Если векторы направлены вдоль одной прямой (α = 0° или 
α= 180°), то sin
0
α =
 и 
0
ab
⎡
⎤ =
⎣
⎦
. 

Векторное произведение можно записать в виде определителя и с его 
помощью найти составляющие 
,
,
x
y
z
c
c
c  вектора 
x
y
z
c
c i
c j
c k
=
+
+

: 

 
x
y
z

x
y
z

i
j
k

ab
a
a
a

b
b
b

⎡
⎤ =
⎣
⎦

.

 
При этом 
(
)
(
)
(
)
y
z
z
y
x
z
z
x
x
y
y
x
c
a b
a b i
a b
a b
j
a b
a b k
=
−
−
−
+
−

, 

где 
(
)
x
y
z
z
y
c
a b
a b
=
−
; 

(
)
y
x
z
z
x
c
a b
a b
= −
−
; 

(
)
z
x
y
y
x
c
a b
a b
=
−
.
 

Двойное векторное произведение трех векторов , ,
a b c

равно 

 
(
)
(
)
a bc
b ac
c ab
⎡
⎤
⎡
⎤ =
−
⎣
⎦
⎣
⎦

, 

где в скобках – скалярные произведения соответствующих векторов.  
Для лучшего запоминания это правило формулируют так: двойное 
векторное произведение векторов «абц» ( , ,
a b c

) равно «бац» (bac ) 
минус «цаб» ( cab ). 

Уравнение второй степени 

Уравнение 
2
0
ax
bx
c
+
+
=
, имеет корни 

2

1,2
4
2

b
b
ac
x
a
− ±
−
=
. Ес
ли а = 1, то приведенное квадратное уравнение 
2
0
x
px
q
+
+
=
 имеет 
решения 

 

2

1,2
2
4
p
p
x
q
= −
±
−
. 

Тригонометрические функции произвольного угла 

Если радиус-вектор rточки М образует угол α с осью ОХ 
(рис. В.9), то синусом угла α называют отношение противолежащего 
катета к гипотенузе: 

 
sin
y
r
α =
. 

 

Рис. В.9 

Косинусом угла α называют отношение прилежащего катета к 
гипотенузе: 

 
cos
x
r
α =
. 

Тангенсом угла α называют отношение противолежащего катета 
к прилежащему: 

r12 

 

y
x
α =
tg
 или 
sin
cos
α
α =
α
tg
. 

Котангенсом угла α называют отношение прилежащего катета к 
противолежащему:  

 

x
y
α =
ctg
 или 
cos
sin
α
α =
α
ctg
. 

Преобразования тригонометрических выражений 

sin(
)
sin cos
sin
cos
x
y
x
y
y
x
±
=
±
cos(
)
cos cos
sin
sin
x
y
x
y
y
x
±
=
∓

2
1
cos2
cos
2

x
x
+
=
 
2
1
cos2
sin
2

x
x
−
=
 

sin 2
2sin cos
x
x
x
=
 
2
2
cos2
cos
sin
x
x
x
=
−
 

2
2
cos
sin
1
x
x
+
=  

Натуральный логарифм 

Натуральным логарифмом числа N называется показатель степени 
n, в которую надо возвести число e~2,72 (основание натурального 
логарифма), чтобы получить N: если 
,
ne
N
=
то ln
.
N
n
=
 

Свойства логарифмов 

1. ln1
0
=
. 
2. ln 2
0,69
=
. 
3. ln(
)
N = const , где N – положительная константа. 
4. ln
1
e = . 
5. ln10
2,3
=
. 
6. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов: 
1
2
3
1
2
3
ln(
)
ln
ln
ln
N
N
N
N
N
N
⋅
⋅
=
+
+
. 
7. Логарифм частного от деления положительных чисел равен раз
ности логарифмов делимого и делителя: 
1
1
2
2
ln
ln
ln
N
N
N
N =
−
. 

8. Логарифм степени положительного числа равен логарифму этого числа, умноженному на показатель степени: ln
ln
n
N
n
N
=
⋅
. 
9. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму 

подкоренного числа, деленному на показатель корня: 
1
ln
ln
n N
N
n
=
. 

10. Операция, обратная логарифмированию, называется потенцированием – это действие, с помощью которого по данному логарифму числа находят само число. Оно сводится к возведению основания 
в степень, равную логарифму числа. Например, потенцирование выражения 
ln
n
N
=
 дает 
n
N
e
=
, а с учетом пп. 5–8 потенцирование 
выражения 
1
2
ln
ln
( )ln
N
N
n
N
=
+
 дает 
1
2
n
N
N
N
=
⋅
. 

Производная функции 

Производная функции 
( )
y
f x
=
 по аргументу х определяется как 
предел отношения приращения функции 
y
Δ  к приращению независимой переменной x
Δ  при стремлении x
Δ  к нулю:  

 

0
lim
x

dy
y

dx
x
Δ →
Δ
=
Δ . 

Существуют три эквивалентных обозначения производной: 

dy
y
y
dx
′
≡
≡
. 

Геометрический смысл производной следует из рис. В.10. Здесь 
представлена произвольная зависимость y от х. 

 

Рис. В.10 

Так как 

 
y
x
Δ
′
=
α
Δ
tg
, 

то в пределе при 
0
х
Δ →
 секущая 1–2 переходит в касательную к 
кривой в точке 1 и 

 

0
lim
х
y
dy
x
dx
Δ →
Δ
=
=
α
Δ
tg . 

Таким образом, на графике производная численно равна тангенсу 
угла наклона касательной в соответствующей точке к кривой зависимости ( )
y x .  
Чем быстрее изменяется y при изменении х, тем больше 
α
tg
.  
Заметим, что дифференциальное исчисление возникло из потребности физики получить определение мгновенной скорости 

 

0
( )
lim
t

r
dr
t
t
dt
Δ →
Δ
=
=
Δ

υ
, 

где r
Δ– перемещение частицы за время t
Δ . 

Отсюда следует физический смысл производной: dy

dx  
характе
ризует быстроту (скорость) изменения функции 
( )
y
f x
=
 с изменением переменной (аргумента) х.  

Основные правила дифференцирования 

1. Для линейной комбинации функций: (
)
f
g
f
g
′
′
′
+
=
+
. 

2. Для степенной функции: (
)
1
n
n
f
nf
f
−
′
′
=
.  

3. Для произведения функций: (
)
fg
f g
fg
′
′
′
=
+
.  

4. Для частного функций: 
2

f
gf
fg

g
g

′
′
′
⎛
⎞
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
.  

Производные простейших функций 

(
)
0
d
dx
=
const
 
(sin )
cos
d
x
x
dx
=
 

1
(
)
n
n
d
x
nx
dx

−
=
 
(cos )
sin
d
x
x
dx
= −