Научное приборостроение, 2020, том 30, № 3

ISSN 0868–5886          
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3, c. 3–8

ФИЗИКА ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

3

УДК 541.182+537

 Б. П. Шарфарец, В. Е. Курочкин, 2020

К ВОПРОСУ О ЛИНЕЙНОМ ЭЛЕКТРОФОРЕЗЕ 

ИОНОВ В ЭЛЕКТРОЛИТЕ

По материалам классических источников изложены особенности линейного электрофореза ионов в электролите в постоянном электрическом поле для случаев тонкого и толстого двойного слоя в окрестностях ионов. 
На примере иона сферической формы показано, что ζ-потенциал иона не зависит от того, заряжен ли ион 
объемным зарядом, или его поверхность заряжена поверхностным зарядом при условии равенства совокупных зарядов объема или поверхности иона. Полученные результаты могут быть полезными в теории и практике секвенирования биополимеров.

Кл. сл.: постоянное электрическое поле, электрофорез ионов, электрический потенциал поверхности, 
дзета-потенциал иона, объемный заряд иона, поверхностный заряд иона, тонкий двойной слой, толстый двойной 
слой

ВВЕДЕНИЕ

При осуществлении капиллярного электрофо
реза используется система капилляров, заполненная электролитом, например водным буферным 
раствором. Электрохимия процесса при разделении ионов с различным зарядом близка к случаю 
электрофореза коллоидных частиц. Механизмы 
миграции в электрическом поле коллоидной частицы и иона во многом подобны. В обоих случаях 
действуют силы одной и той же природы [1, с. 41]. 
И вокруг иона, и вокруг коллоидной частицы 
в электролите даже в отсутствие постороннего 
электрического поля возникает двойной слой, вызываемый наличием отличного от нуля заряда поверхности иона либо коллоидной частицы, а также 
наличием фоновых ионов в буферном растворе.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. 

ИСХОДНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Настоящая работа посвящена систематическому 

изложению деталей линейного электрофореза ионов 
в электролите при приложении постоянного электрического поля, а также изучению особенностей 
электрофореза ионов при их моделировании шариками с объемным или поверхностным зарядами.

Скорость электроосмотического скольжения 

определяется 
выражением 
Смолуховского 
[1, 

с. 34] (далее выражения рассматриваются в системе СИ)

0

eo
.
U
E
 


 
(1)

Скорость электрофореза частицы совпадает с (1) 
с точностью до знака [1, с. 39]

0

ef
.
U
E
 



(2)

Здесь в (1) и (2) рассматривается действие постоянного вектора электрической напряженности 



0,0,E

E
, 
const;
E 
,

0

— соответственно 

диэлектрическая проницаемость и электрическая 
постоянная; 
— электрокинетический потенци
ал;  — динамическая вязкость жидкости.

Выражения (1), (2) получены, как известно [1, 

§§ 2.1–2.3], для плоской границы раздела жидкость—твердая граница и в общем случае справедливы при следующих ограничениях: радиус 
кривизны во всех точках поверхности движущегося иона (частицы), на форму которого не налагается других ограничений, должен существенно превышать толщину двойного слоя. Это означает, что 
поверхность частицы можно рассматривать как 
локально плоскую. 

В [1, § 2.3]; [2, с. 272] формула Смолуховского 

(2) скорости электрофореза  сопоставлена с формулой для стационарной скорости заряженной 
сферической частицы (иона) в вязкой среде под 
действием того же поля E без учета двойного 
слоя. Сила вязкого сопротивления частицы (иона) 
радиусом 
,a
двигающейся со стационарной ско
ростью 
,
Q
U
равна 
2
6
.
Q
a

 
F
U
Ее равнодейст
вующая сила Кулона, действующая на частицу 
(ион) зарядом 
,
Q
равна 
1
,
Q

F
E
что дает 

1
2
0,


F
F
или в терминах амплитуд векторов

Б. П. ШАРФАРЕЦ, В. Е. КУРОЧКИН

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

4

6
Q
aU
QE


. Отсюда

6

Q

QE
U
a


.
(3)

Замечание 1. Выражение (3) для скорости миграции 
Q
U
иона верно в случае, если в окрестности 

иона не образуется двойной электрический слой. 
В противном случае, как показывают приведенные 
ниже результаты, скорость миграции может отличаться от величины (3).
Замечание 2. В результате процессов сольватации 
и, в частности гидратации, при обсуждении вопросов миграции ионов под воздействием электрического поля обычно в качестве радиуса иона (частицы) рассматривается так называемый радиус
Стокса—Эйнштейна [3, с. 117]

B
,
6
k T
a
D



обычно превосходящий исходный радиус частицы 
(иона). Здесь D — коэффициент диффузии иона 
(частицы); 
B
k
— постоянная Больцмана; T — аб
солютная температура.

Отметим, что в работе [1, §§ 2.3, 2.4] и в спра
вочнике [2, с. 271–273] в статье "электрофорез"
рассматривается соотношение между скоростью 
электрофореза (2) и скоростью миграции (3), приводится библиография по этому вопросу. При 
этом в качестве Q при определении силы 
1
Q

F
E

фигурирует суммарный поверхностный заряд частицы, характеризуемый поверхностной плотностью заряда  [К/м2].

Далее рассмотрим связь электрического потен
циала на границе иона (частицы) для случаев частиц (ионов), характеризуемых их объемным и поверхностным зарядами.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ

НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАРЯЖЕННОЙ 
СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ (ИОНА)

Шарик с объемным зарядом

Будем рассматривать
вопрос о потенциале 

электрического поля
 
a

на поверхности сфери
ческого иона (частицы) радиусом 
,a
информация 

о котором  необходима для дальнейших рассуждений. Здесь возможно два варианта: частицу (ион) 
можно рассматривать как шарик, с распределенным внутри него постоянным удельным объемным 
электрическим зарядом  с суммарным зарядом 

3
4
,
3
Q
a



и как шарик, весь заряд которого со
средоточен на его поверхности также с совокупным 
электрическим 
зарядом 
,
Q
равным

2
4
,
Q
a



где 
— удельный поверхностный 

заряд. Оба варианта могут отражать случай электрофореза заряженного иона.

Начнем со случая объемного заряда. Потенциал 

поля в точке ,r созданного объемными зарядами,
равен [4, с. 355]

 
 

0

'
1
d
'
4
'
V

V







r
r
r
r
(СИ),
(4)

 
 '
1
d
'
'
V

V







r
r
r
r
(СГСЭ).
(5)

Здесь 
3
4
3
V
a


— объем частицы; d
'
V
— эле
мент объема сферы; 
 '
 r
— объемная плотность

заряда в точке 
'r
внутри сферы; r — текущая 

координата относительно центра шарика. При постоянной плотности заряда
const
 
вычисление 

выражений (4), (5) дает для электрического потенциала [5, с. 77]:

– вне шара ( r
a

)

 

0
4

Q
r
r



(СИ),
(6)

 
Q
r
r



(СГСЭ),
(7)

– внутри шара ( r
a

)

 



2
2

3

0

3
1

4
2

a
r

r
Q
a






(СИ),
(8)

 



2
2

3

3
1

2

a
r

r
Q
a






(СГСЭ),
(9)

– на поверхности шара ( r
a

) при сшивке 

выражения (6), (7) и (8), (9) дают одинаковый 
результат

 

0
4

Q
a
a



(СИ),
(10)

 
Q
a
a



(СГСЭ).
(11)

Шарик с поверхностным зарядом

Потенциал электрического поля шарика радиу
сом a с зарядом 
,
Q равномерно распределенным 

по его поверхности с поверхностной плотностью 

К  ВОПРОСУ  О  ЛИНЕЙНОМ  ЭЛЕКТРОФОРЕЗЕ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

5

заряда
,

определяется теми же выражениями (6), 

(7) вне шара и (10), (11) на поверхности шара, что 
и при объемном заряде [4, с. 356], только в качестве совокупного заряда Q
фигурирует величина 

полного поверхностного заряда 
2
4
,
Q
a



сов
падающего с совокупным объемным зарядом 
.
Q

Таким образом, электрический потенциал по
верхности 
 
a

рассматриваемого шарика сохра
няется неизменным независимо от того, заряжен 
ли он равномерно с объемной плотностью  или 
заряжена его поверхность равномерно с поверхностной плотностью  при условии равенства совокупных объемного и поверхностного зарядов 
.
Q

ЭЛЕКТРОФОРЕТИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ ИОНОВ

Случай тонкого двойного слоя

В дальнейшем будет использована связь между 

ζ-потенциалом, неизбежно возникающим у поверхности иона (частицы) в электролите, и зарядом Q в случае поверхностного заряда [1, с. 40];
[2, с. 272]; [3, с. 149]; [6, с. 219]. Для объемного 
заряда также можно воспользоваться зависимостью ζ-потенциала от заряда Q для поверхностного заряда, т.к. при равенстве совокупного заряда 
объема и заряда поверхности Q равны электрические потенциалы на границе частицы 
 
a

в обо
их рассматриваемых случаях. Следовательно,
в этих случаях сохраняется неизменным распределение потенциала в двойном слое вокруг иона 
(частицы), которое, как известно, при заданных 
свойствах окружающего электролита и потенциала 
поверхности  иона 
 
a

определяется однозначно 

(см., например, [1, выражение (1.14)], а также вывод электроосмотической скорости в [1, § 2.1]).
Тогда неизменным будет и ζ-потенциал как для 
объемного, так и для поверхностного зарядов
.
Q

Далее рассматриваем величины в СИ. В случае

слабо заряженной частицы, для которой выполняется условие Ze 
B
k T
(где Z — валентность 

противоионов, e — заряд протона), имеет место 
соотношение [1, с. 40]; [3, с. 149]; [6, с. 219]

D

0





(СИ).
(12)

Величина
D

— длина Дебая, — называемая так
же радиусом экранирования частицы, толщиной 
двойного слоя вокруг частицы (см., например, [1, 

с. 16]); 









1/2
2

D
0 B
0
2
k T
c Ze



в 
СИ 

и









1/2
2

D
B
0
8
k T
c Ze



в СГСЭ; 
0c
— равновес
ная концентрация ионов в жидкости.

Подставляя в (12) выражение для поверхност
ного заряда
2
4
,
Q
a



имеем

D
D

2

0
0
4

Q
a









. 
(13)

Отсюда выражается суммарный поверхностный 

заряд

2

0

D

4 a
Q





.
(14)

Таким образом, при сделанных предположени
ях о равенстве зарядов Q в случае поверхностного и объемного зарядов справедливы одни и те же 
соотношения между  и Q (13) или (14).

С учетом выражения (14) получается отноше
ние величин 
ef
U
(2) и 
Q
U
(3) в случае слабозаря
женных частиц [1, с. 40]

ef
D
1
~

Q

U
U
a
a




.
(15)

Здесь 
1 ,

D




следовательно, при тонком двойном 

слое 

D

a
a



 1 скорость электрофореза 
ef
U

значительно (в 
a

раз) меньше скорости 
Q
U
(3).

Это объясняется тем, что электрофорез является 
результатом воздействия электрического поля на 
двойной слой в целом, а не только на его внутреннюю обкладку с зарядом 
.
Q
Сила, приложенная 

к диффузной обкладке двойного слоя, направлена 
в сторону, противоположную силе Кулона QE для 
чистого заряда 
.
Q
Хотя эта сила приложена не 

к частице, а к подвижным ионам диффузного слоя, 
она отчасти передается частице, снижая ее скорость, что не учтено в балансе сил 
1
2
0,


F
F
из 

которого следует (3). Воздействие внешнего электрического поля на ионы подвижной части диффузного слоя обуславливает электроосмотическое 
скольжение жидкости относительно поверхности 
частицы. Перепад скорости электроосмотического 
скольжения по сечению двойного слоя вызывает 
вязкие напряжения на поверхности частицы. Сила, 
обусловленная вязкими напряжениями на поверхности 
частицы, 
вызванными 
электро
осмотическим скольжением подвижной части 
двойного слоя, приводящей к снижению скорости 
электрофореза, обозначается здесь
через
3
F

Б. П. ШАРФАРЕЦ, В. Е. КУРОЧКИН

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

6

и именуется силой электрофоретического торможения [1, с. 40]. Очевидно, силы 
1F и 
3
F антикол
линеарны. Учет этой силы позволяет уже получить 
электрофоретическую скорость из следующего 
соотношения:

'

1
2
3
0.



F
F
F
(16)

Здесь в силе 
'
2
F уже учтено то, что частица после 

учета силы 
3
F
движется со скоростью 
ef :
U

'
2
ef 6
.
U
a

 
F
Из (16) для модулей получается1)

1
3

ef
6
F
F
U
a



. Деля обе части последнего выраже
ния на
,
Q
U
имеем
ef
1
3
1
3

1

.
6
Q
Q

U
F
F
F
F

U
U
a
F






Учи
тывая (15), можно записать 
1
3

1

1
~
.
F
F

F
a





Таким образом, при 
a

 1 (тонкий двойной 

слой)
сила электрофоретического торможения 

значительно компенсирует силу 
1
.
Q

F
E Согласно 

[1, с. 42], при больших 
a

электрофоретическое 

торможение 
3
F
очень 
значительно 

(
1
3

F
F 
1F ), но по мере уменьшения 
a

(тол
щина слоя растет) роль силы торможения падает. 
Это вызвано тем, что при уменьшении ширины 
слоя ( a

растет) средняя точка приложения силы 

3
F
приближается к поверхности частицы, что ве
дет ко все большему воздействию этой силы 
на саму частицу, а не на окружающий ее диффузный слой жидкости.

Случай толстого двойного слоя

В области малых значений
a

(толстый двой
ной слой) эта тенденция сохраняется, а при
1
a



силой 
электрофоретического 
торможения 
3
F

можно пренебречь [1, с. 42]. Тогда электрофоретическая скорость 
ef
U
практически равна скоро
сти 
Q
U , определяемой выражением (3)
ef
Q
U
U

. 

В связи с этим в [1, с. 42] приведена следующая 
цепочка равенств для электрофоретической скорости
ef
U
в приближении 
~1
a





0
0

ef

2
2
1
.
6
3
3

QE
U
a
E
E
a

 
 








(17)

Выражение (17) в пределе при
0
a


стре
мится к формуле Смолуховского (2) с точностью 
до коэффициента 2/3. Различия между выражени
1) Все рассматриваемые вектора коллинеарны или антиколлинеарны вектору E.

ем (17) и соответствующим выражением в [1, 
с. 42, выражение (2.34)] связано с тем, что в [1] 
принята система СГСЭ.

Равенство второго и третьего членов в (17) мо
жет быть обеспечено при условии справедливости 
следующих соотношений между зарядом Q и ζпотенциалом2)







0

0

4
1

.
4
1

Q
a
a

Q

a
a



 














(18)

Формальное преобразование левой части фор
мулы (17) с использованием соотношения (14), 
связывающего заряд Q и ζ-потенциал, использованное выше и цитируемое из [1, с. 40], дает отличный от (17) результат:

2

0
0

ef

4
2
,
6
6
3
D

a
QE
U
E
aE
a
a







 




(19)

который, впрочем, противоречит физическому 
смыслу, поскольку в этом случае при 
0
a


ско
рость 
ef
U
из (19) стремится к нулю 
ef
0,
U

в то 

время как, согласно приведенным выше рассуждениям, этого быть не должно.
Замечание 3. Конкретизируя предложение во Введении о сходстве механизмов миграции и сил, 
действующих на частицы и ионы в электрическом 
поле, отметим, что этими силами являются силы 
одной и той же природы 
1F , 
2
F и 
3
F [1, с. 41].

Замечание 4. Для тонкого двойного слоя ( a

 1)

характерна независимость электрофоретической 
скорости от размеров и формы частиц [1, с. 41]. 
Для толстого двойного слоя (
~1
a

) электрофоре
тическая скорость зависит от формы частицы, 
и эта зависимость обусловлена зависимостью гидродинамического сопротивления частицы от ее 
формы [1, с. 42].

Таким образом, когда в жидкости нет фоновых 

ионов, вокруг ионов, подвергаемых электрофорезу, не образуется двойной слой, т.е. при нулевой 
длине двойного слоя
D
0
 
электрофоретическая 

скорость 
ef
0
U

(по причине отсутствия двойного 

слоя в выражении (2) 
0
 
, а следовательно,

2) К сожалению, выражение (17) приведено в [1] без 
вывода, нет самих соотношений (19), а из сделанных 
там пояснений авторам не удалось проследить оригинальное изложение вывода выражения (17), которое 
принадлежит Дебаю и Гюккелю (библиографию см. 
в [1, с. 55]).

К  ВОПРОСУ  О  ЛИНЕЙНОМ  ЭЛЕКТРОФОРЕЗЕ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

7

ef
0
U

) и отношение 
ef
0.

Q

U
U

При тонком двой
ном слое 
a

>> 1 справедливо неравенство
Q
U



ef ,
U
которое по мере утолщения двойного слоя 

трансформируется к соотношению 
ef ~
Q
U
U , что 

наглядно видно из выражения (17).

ВЫВОДЫ

В работе по материалам классических источни
ков изложены особенности линейного электрофореза ионов в электролите в постоянном электрическом поле для случаев тонкого и толстого двойного слоя, возникающего в окрестностях ионов. На 
примере иона сферической формы показано, что ζпотенциал иона не зависит от того, заряжен ли ион 
объемным зарядом или его поверхность заряжена 
поверхностным зарядом при условии равенства 
совокупных зарядов объема или поверхности 
иона. Полученные результаты могут быть полезными в теории и практике секвенирования биополимеров.

Работа выполнена в ИАП РАН в рамках Государст
венного задания 075-00780-20-00 по теме № 0074-20190013 Министерства науки и высшего образования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Духин С.С., Дерягин Б.В. Электрофорез. М.: Наука,

1976. 328 с.

2. Девис С., Джеймс А. Электрохимический словарь. М.: 

Мир, 1979. 287 с.

3. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford University

Press, 2008. 346 p.

4. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. 

М.: Наука, 1968. 940 с.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. III. Электричест
во. М.: Физматлит, Изд-во МФТИ, 2004. 656 с.

6. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир,

1977. 464 с.

Институт аналитического приборостроения РАН,  
Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович,
sharb@mail.ru

Материал поступил в редакцию 29.05.2020

ISSN 0868–5886    
NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2020, Vol. 30, No. 3, pp. 3–8

8

ON THE ISSUE OF LINEAR ELECTROPHORESIS 

OF IONS IN AN ELECTROLYTE

B. P. Sharfarets, V. E. Kurochkin

Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint Petersburg, Russia

Based on materials from classical sources, the features of linear electrophoresis of ions in an electrolyte in a 

constant electric field for the cases of a thin and thick double layer in the vicinity of ions are described. It is 
shown by the example of a spherical ion that his  ζ-potential does not depend on whether the ion is charged with 
a space charge or its surface is charged with a surface charge provided that the total charges of the volume or 
surface of the ion are equal. The results can be useful in the theory and practice of biopolymer sequencing.

Keywords: constant electric field, electrophoresis, surface electric potential, zeta potential of the ion, ion space charge, 
surface charge of ion, thin double layer, thick double layer

REFERENСES

1. Duhin S.S., Deryagin B.V. Elektroforez [Electrophoresis]. 

Moscow, Nauka Publ., 1976. 328 p. (In Russ.).

2. James A.M., Davies C.W. A Dictionary of Electrochemi
stry. Palgrave Macmillan, UK, 1976. 246 p. (Russ. Ed.: 
Davis S., James A. Elektrohimicheskij slovar. Moscow, 
Mir Publ., 1979. 287 p.). DOI: 10.1007/978-1-349-02820-7

3. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford University 

Press, 2008. 346 p.

4. Yavorsky B.M., Detlaf A.A. Spravochnik po fizike [Refer
ence book on physics]. Moscow, Nauka Publ., 1968. 940 p.
(In Russ.).

5. Sivukhin D.V. Obshchij kurs fiziki. T. III. Elektrichestvo

[General course in physics, Vol. 3. Electricity]. Moscow,
Fizmatlit Publ., 2004. 656 p. (In Russ.).

6. Newman J. Electrochemical Systems. Wiley-Interscience, 

672 p. (Russ. Ed.: Nyumen Dzh. Elektrohimicheskie sistemy. Moscow, Mir Publ., 1977. 464 p.). 

Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich,
sharb@mail.ru
Article received by the editorial office on 29.05.2020

ISSN 0868–5886          
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3, c. 9–18

ФИЗИКА ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

9

УДК 541.182+537

 Б. П. Шарфарец, В. Е. Курочкин, 2020

ЭЛЕКТРОФОРЕЗ  НА  СУММАРНОМ  ПОСТОЯННОМ

И  ПЕРЕМЕННОМ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ.  
I.  ПЕРЕМЕННОЕ  ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ  ПОЛЕ,  

КРИТИЧЕСКИЙ  ОБЗОР  СОСТОЯНИЯ  ВОПРОСА

Проанализированы предложенные ранее механизмы создания переменным электрическим полем нелинейных стационарных течений вблизи дисперсных частиц: инерционный и поляризационный. Такое рассмотрение предпринято авторами в целях изучения в следующих работах эффекта совместного использования 
электрофореза на постоянном и переменном электрических полях. В процессе рассмотрения существующих 
моделей возникновения стационарных течений при воздействии переменного поля вследствие наличия поляризационных эффектов обнаружено, что, кроме стационарного течения и переменного течения на частоте 
задающего переменного поля, возникает еще и переменное течение на кратной частоте. Эти результаты могут оказаться полезными при возможном осуществлении электрофореза на суммарном постоянном и переменном электрическом поле.

Кл. сл.: электрофорез, электрическое поле, дисперсная частица, переменные течения, стационарные течения,  
уравнение Навье—Стокса, функции тока, течения с удвоенной частотой

ВВЕДЕНИЕ

Изучению возможности увеличения подвижно
сти ионов и дисперсных частиц при капиллярном 
электрофорезе в настоящее время уделяется повышенное внимание. Этому способствуют выявленные в последнее время эффекты, связанные
с нелинейной зависимостью между подвижностью 
ионов (дисперсных частиц) и приложенным электрическим полем (см., например, обзоры [1–3],
а также [4, гл. 10]). Причем в разных случаях возникает различная прямая степеннáя зависимость 
между скоростью частицы и напряженностью 
приложенного электрического поля. Обычно эти 
зависимости рассматриваются для случая постоянного электрического поля.

Кроме прямого влияния на подвижность частиц 

вследствие нелинейной зависимости между скоростью частиц и напряженностью приложенного постоянного электрического поля, следует отметить 
также сравнительно недавно открытый и исследованный эффект возникновения в окрестностях 
частиц при приложении переменного электрического поля целого спектра разнообразных течений 
различной интенсивности [5, 6] (см. также библиографию в них). Все эти течения имеют общую 
особенность: их скорость квадратично зависит от 
напряженности приложенного электрического поля [5, 6]. В работе [6] рассматриваются нелинейные течения, вызванные поляризацией двойного 

электрического слоя (ДЭС), в то время как в работе [5], кроме этого, рассмотрено еще два механизма, обуславливающих возникновение стационарных нелинейных течений: инерционного и электрокапиллярного.

В работе [5, с. 65] приведены данные о том, 

что скорости электрофореза в открытом объеме 
при постоянном электрическом поле более чем 
в 25 раз превосходят скорости стационарных течений при приложении переменного электрического 
поля при одинаковых величинах амплитуд напряженностей электрического поля. Однако в условиях капиллярного электрофореза заряженных частиц вполне может оказаться целесообразным 
совместное использование и постоянного, и переменного электрических полей. Для этого необходимо критически рассмотреть выбор математического формализма и физических моделей рассматриваемой проблемы.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Настоящая работа посвящена случаю, когда 

электрофорез 
осуществляется 
на 
переменном 

электрическом поле. Целью настоящей работы 
является критический обзор известных в настоящее время посвященных этому вопросу работ, 
оценка выбора физических и математических моделей, посвященных электрофорезу на перемен

Б. П. ШАРФАРЕЦ, В. Е. КУРОЧКИН

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

10

ном электрическом поле. Существует несколько 
механизмов образования стационарных течений 
жидкости в окрестностях частиц. Здесь будет рассмотрено два из них: инерционный и поляризационный механизмы образования стационарных течений в условиях приложения переменного поля.
Рассмотрение сопровождается
массированными

ссылками на работы [5, 6], в которых приведена 
обширная библиография по анализируемому вопросу.

ИНЕРЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ 

СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ 

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЕРЕМЕННОГО 

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Воздействие на дисперсные частицы перемен
ного электрического поля вызывает их колебательные движения. В этом случае причиной возникновения стационарных течений в окрестности 
частиц служат инерционные эффекты. Для этих 
течений, как упоминалось выше, характерна квадратичная зависимость скорости от амплитуды напряженности электрического поля. Данный эффект проявляется как для твердых частиц, так 
и для капель, совершающих колебательное движение относительно их сферической формы [5, 
с. 112].

В работе [5, гл. 4] для исследования заявленной 

тематики за основу берется неусеченная система 
гидродинамических уравнений Навье—Стокса для 
несжимаемой вязкой жидкости (см., напримр, [7, 
§ 16]; [8, с. 39, 44]):

p
t







   






v
v
v
v ,        
(1)

0


v
.
(2)

Здесь v — вектор скорости течения жидкости; 
и p — соответственно ее плотность и давление 
в ней;  — динамическая вязкость жидкости.

Отметим, что при рассмотрении этого меха
низма не принимается допущение о малости числа 
Рейнольдса, равного отношению инерционного 
члена 

v
v к вязкому члену 
,
v и тем самым не 

отбрасывается нелинейный инерционный член 
в уравнении (1), что привело бы к линеаризации 
уравнения движения (1) и соответственно к невозможности моделирования нелинейного течения, 
которое не может возникнуть в задаче, описываемой линейной моделью. Задача решается в терминах безразмерной функции тока для осесимметричных течений в свободном пространстве. Рассматривается сферическая частица. Тогда (размерные) компоненты вектора скорости 


,
,
R
V V t

v

можно представить через безразмерную функцию 
тока для сферических координат [5, с. 113] (см. 
также Приложение 1)

0

2 sin

R

U
V
r




 

, 
0

sin
U
V
r
r







. 
(3)

Здесь 
/
r
R a

— безразмерное расстояние от 

центра частицы, где a
— радиус сферической 

частицы; 
0
U
— амплитуда скорости колебатель
ного процесса;  — безразмерная функция тока, 

равная 
2

0
U a


 
, где 
— размерная функция 

тока, описанная в Приложении 1; 

, ,
R  
— ис
ходные сферические координаты, отсчитываемые 
из центра частицы.

После применения к (1) оператора ротор 

получается следующее общее выражение для вычисления функции тока  в сферических координатах [5, с. 113]:

2

4

2
2

2

2

sin
sin

2
0.

E
E
Re
r
r
r

a
E









 
 



 
















 

 


(4)

Здесь 
0
aU
Re


— число Рейнольдса процесса; 

/




—
кинематическая 
вязкость;
 

1/2
2




 




— глубина проникновения вязкой вол
ны; 
2
E
— оператор Стокса, равный в сферических 

координатах [8, с. 125]

2

2

2
2

sin
1

sin
E
R
R




 
















, 

а применительно к (4)

2

2

2
2

sin
1

sin
E
r
r






















[5, с. 113];

t



— безразмерное время;  — угловая час
тота переменного электрического поля.

Нелинейное по  уравнение (4) решается ите
рациями с помощью разложения 




2

0
1
2
...
Re
Re
   
 
 
.         (5)

Вначале 
получено 
из 
(4) 
решение 






i

0
0
, ,
,
t
r
t
F
r
e






при 
0.
Re 
Решения
n
 , 

2, 3, 4, ...
n 
могут быть получены итеративно по
сле подстановки разложения (5) в (4) и последовательного нахождения решений 
1
 , 
2
 ,… .

ЭЛЕКТРОФОРЕЗ. I.  ПЕРЕМЕННОЕ  ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ  ПОЛЕ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

11

Следующее 
решение 
ищется 
в 
виде 







1
, ,
,
, ,
a
t
r
t
r
r
t




 
 
, а стационарное 

течение подчиняется уравнению








4

2

0
0
0

2
2

sin

Re
Re
Re
,
sin

a
E

E

r
r
r







 





















(6)

где 
означает
усреднение 
по
времени, 

а 


0
Re 
— действительная часть 
0
 .

В [5, § 4.2] найдено решение (6) для стационар
ных течений в окрестности осциллирующих жидких капель, в [5, § 4.3] такое решение найдено для 
осциллирующих жестких сферических частиц.

В заключение данного пункта отметим, что при 

нахождении стационарных решений, вызванных 
инерционными свойствами
как жидкости, так 

и включений, нелинейность учитывалась только 
в уравнении движения Навье—Стокса (1). Краевые условия, принимавшиеся в задаче, оставались 
линейными.

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ МЕХАНИЗМ 

ОБРАЗОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ 

ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЕРЕМЕННОГО 

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

План изложения

Поляризационный механизм достаточно хоро
шо изучен (см., например, [4, гл. 6–8]; [5, 6]; [9, 
гл. 9]; [10, гл. 3, 4, 11]; [12]). 

Далее рассмотрим последовательно поляриза
цию незаряженных или слабо заряженных частиц, 
когда отсутствует необходимость учета механизмов концентрационной поляризации и поверхностной проводимости частиц [5, 6]. После чего коснемся более сложного механизма поляризации 
частиц, когда этими механизмами пренебречь 
нельзя [11, 12]. Остановимся и на случае сильно 
заряженных частиц, когда проявляется качественно новый эффект, связанный с наличием у них 
объемного заряда, квадратичного по напряженности электрического поля [13].

Поляризация слабо заряженных частиц

Общая постановка задачи [5, гл. 5]; [6]

Система уравнений, описывающая рассматри
ваемый процесс, состоит из гидродинамического 
блока, включающего модернизированное для малых чисел Рейнольдса уравнение движения (1) 
(называемое в этом случае уравнением Стокса) 
и уравнения непрерывности для жидкости (2) (будем далее рассматривать случай совместного дей
ствия постоянного
0
E
и гармонического
1
E
век
торов электрической напряженности), а также 
уравнения непрерывности потока катионов и анионов (см. Приложение 2) и уравнения Пуассона 
для потенциала электростатического поля (см. [10, 
§§ 3.1 и  3.2], а также [5, с. 157]; [6])

0
1
e
e
p
t





    


v
v
E
E ,1)
(7)

0


v
,
(8)

0
c
t




 



j
,
(9)

el
4



 
(в СГСЭ).
(10)

Здесь
рассматривается случай симметричного 

электролита с модулем зарядного числа ионов Z
и концентрацией зарядов положительного c

и отрицательного c ; 
e

— плотность электриче
ского заряда;  , 
'

— соответственно диэлектри
ческая проницаемость жидкости и частицы. В качестве вектора 
j
рассматривается плотность по
тока этих ионов (см. Приложение 2, (П6))

migr

,

c
D
c
c

c
D
c
c




















 




j
v
v

E
v
(11)

где  — подвижность ионов; D — коэффициент 
диффузии; E — вектор напряженности приложенного электрического поля.

Далее будем рассматривать стационарную и не
стационарную задачи отдельно.

Нестационарная задача. Диэлектрическая 
частица в проводящей жидкости [5, § 5.1.1]; [6]

Принимается, что в декартовых координатах 

поле 
1
E ориентировано вдоль оси Oz : E1 

1
0,0,
,
E

где 
i

1
1
.
t
E
E e



Электрическое поле
1
E
изменяет 

концентрации положительных
i t
c e



и отрица
тельных
i t
c e



ионов. Результирующая плотность 

заряда
el

в (10) определяется из выражения













i

el

i

, ,
,
,

,
.

t

t

R
t
Ze c
R
c
R
e

Ze c R
e
























(11)

1) Отметим, что в оригинальных работах [5, 6] автор 
рассматривает однородное уравнение движения (7). 
В качестве источника фигурирует только переменное 
поле 
1
E . Действие этого источника проявляется в [5, 6] 

в краевом условии  и в распределении поля в отсутствие поляризации.

Б. П. ШАРФАРЕЦ, В. Е. КУРОЧКИН

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2020, том 30, № 3

12

Здесь e — заряд протона; c
c
c





— разност
ная концентрация ионов.

Пусть 





i
i

0
,
,
t
t
c
R
e
c
R
e
c












—

невязки концентраций катионов и анионов относительно их равновесной концентрации 
0c .

Допущение 1
Принимается допущение о малости числа Пек
ле
/
Pe
Va D

 1, где V — характерная величина 

амплитуды скорости; a — радиус частицы; D —
коэффициент диффузии ионов (принимается одинаковым D
D
D




). Как показано в [10], это 

условие справедливо даже для заряженных частиц 
в случае слабой поляризации, т.е. при условии



,
c
R



 c0.
(12)

При Pe  1 в (11) можно пренебречь конвек
тивным членом cv . После этого система (7)–(10) 
распадается на две независимые подсистемы: гидродинамическую (7), (8) и электрическую (9), (10). 
Задача поляризации таким образом решается с помощью только электрической системы (9), (10).

Для упрощения выкладок принимается также 

допущение о равенстве коэффициентов диффузии 
D
D
D




и подвижности 






ионов. 

Тогда (9) сводится к одному выражению

0
i
2
.
c
D
c
c


 





(13)

Окончательно из (10) и (13) получено

2
,
c
c

 


(14)

где
2
2
i
/ D





; 
1

 

;  — длина Дебая.

Подставка 
решения 
(14) 
в 
выражение 
для

el
( , )
Ze c R




, а затем в уравнение Пуассона 

(10) и учет граничных условий на границах дает
окончательно для диэлектрических частиц










0

, ,

, ,
, ,
, ,
,
d
p

R
t

R
t
R
t
R
t
















(15)






2

, ,
, ,
4

p
c R
t
R
t
Ze








,
(16)

где 




i

1
0
, ,
cos
,
t
R
t
E R
e





 
(17)




3

1
2

cos
, ,
d R
t
a E
R

















2

2
2

2
2

i

2
2
2

2
1
1
1
'
3
1
,
2
2
1
1
1
'

t

a
a

e

a
a






 




















































(18)















1

2

i

2
2

3
1
, ,
1

cos
.
2
1
1
1
'

R a

p

t

aE e
R
t
R
R

a
e

a
a















































(19)

Здесь 
0

— потенциал, вызванный исходным по
лем 
1
E , определяемый из условия, что напряжен
ность, соответствующая потенциалу, равна 

i
( , , )
( , )
t
R
t
R
e





E
E
,

i

1
( , )
t

R
R
e




 
E
E ,

где 
1
E
определен 
выше: 


1
, , ,
x y z t 
E




i

1
0,0,
t
E e



,
const.
E 

Составляющая 
d

(19) суммарного потенциала, 

вызванная поляризацией частицы, представляет 
собой осциллирующий дипольный момент. Наконец еще одно следствие поляризации, вызванной 
внешним электрическим полем, —
появление 

скачка потенциала 
p
 .

Как видно из (15)–(19), пока все решения ис
ходной системы (9), (10) линейны, являются гармоническими функциями частоты 
исходного 

электрического поля (отсутствуют постоянная составляющая и кратные гармоники).

Допущение 2. Тонкий двойной слой
Выполняются 
условия 
тонкого 
двойного 

слоя a
  1, частота поля много меньше частоты 

максвелл-вагнеровской поляризации
ω

2.
D

В этом случае выражения (16), (18) и (19) упрощаются [5, 6]:




3

1
i

2

cos
, ,
,
2

t

d

a E
R
t
e
R






 
(20)






1
i
3
1
, ,
cos
2
1
'

R a
t

p

aE
R
t
e
e

a






 









, (21)





0

2
, ,
, ,
p

eZ
c R
t
c
R
t
kT






 





.
(22)