Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3

УДК 517.2
ББК 22.161
Ф 65

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 3.
/ Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 10-е изд., —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 728 с. — ISBN 978-5-9221-1804-0.

Третий, заключительный том содержит подробное изложение таких разделов дифференциального и интегрального исчисления, как теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, элементы векторного анализа, теория
функций ограниченной вариации и интеграл Стилтьеса, ряды и интегралы
Фурье. Использование простого геометрического языка значительно облегчает
восприятие текста; вместе с тем многие сложные теоретические вопросы изложены полнее, чем в любом другом учебном издании. Особое внимание уделено
приложениям общей теории: большое количество конкретных формул и фактов,
примеров и задач как чисто математического, так и прикладного характера
превращает «Курс. . . » в уникальное учебное пособие, полезное студентам
негуманитарных вузов, которым оно непосредственно предназначено, а также
математикам, физикам, инженерам и другим специалистам, использующим
математику в своей работе.
Первое издание вышло в 1949 г.
Р е д а к т о р: доцент матем.-механич. ф-та Санкт-Петербургского гос. ун-та
А.А. Флоринский

ISBN 978-5-9221-1804-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2018

c⃝ Г. М. Фихтенгольц, 2001, 2003, 2018

Учебное издание

ФИХТЕНГОЛЬЦ Григорий Михайлович

КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

Том 3

Редактор Автор
Оригинал-макет: Автор
Оформление переплета: А.В. Андросов

Подписано в печать 17.04.18. Формат 6090/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 48. Уч.-изд. л. 43,17. Тираж экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru

Неизвестная типография
...
...
...
...

ISBN 978-5-9221-1804-0

9+HifJ
C-LLSKOK+

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а п я т н а д ц а т а я
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

§ 1. Криволинейные интегралы первого типа

543.
Определение криволинейного интеграла первого типа . . . . . . .
11
544.
Свед´ение к обыкновенному определенному интегралу . . . . . . .
14
545.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

§ 2. Криволинейные интегралы второго типа

546.
Определение криволинейных интегралов второго типа . . . . . . .
21
547.
Существование и вычисление криволинейного интеграла
второго типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
548.
Случай замкнутого контура. Ориентация плоскости
. . . . . . . .
27
549.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
550.
Приближение с помощью интеграла, взятого по ломаной . . . . .
33
551.
Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов
. .
35
552.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
553.
Связь между криволинейными интегралами обоих типов
. . . . .
42
554.
Физические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§ 3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути

555.
Постановка задачи, связь с вопросом о точном дифференциале . .
50
556.
Дифференцирование интеграла, не зависящего от пути
. . . . . .
52
557.
Вычисление криволинейного интеграла через первообразную . . .
54
558.
Признак точного дифференциала и нахождение первообразной
в случае прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
559.
Обобщение на случай произвольной области . . . . . . . . . . . .
58
560.
Окончательные результаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
561.
Интегралы по замкнутому контуру . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
562.
Случай неодносвязной области или наличия особых точек . . . . .
65
563.
Интеграл Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
564.
Трехмерный случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
565.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
566.
Приложение к физическим задачам
. . . . . . . . . . . . . . . . .
80

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 4. Функции с ограниченным изменением

567.
Определение функции с ограниченным изменением
. . . . . . . .
83
568.
Классы функций с ограниченным изменением . . . . . . . . . . . .
86
569.
Свойства функций с ограниченным изменением . . . . . . . . . . .
89
570.
Критерии для функций с ограниченным изменением . . . . . . . .
92
571.
Непрерывные функции с ограниченным изменением . . . . . . . .
94
572.
Спрямляемые кривые
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

§ 5. Интеграл Стилтьеса

573.
Определение интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
574.
Общие условия существования интеграла Стилтьеса . . . . . . . . 101
575.
Классы случаев существования интеграла Стилтьеса . . . . . . . . 102
576.
Свойства интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
577.
Интегрирование по частям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
578.
Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана . . . . . . . 109
579.
Вычисление интегралов Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
580.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
581.
Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса . . . . . . . . . 123
582.
Теорема о среднем, оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
583.
Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса . . . . . . . 126
584.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
585.
Свед´ение криволинейного интеграла второго типа к интегралу
Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Г л а в а ш е с т н а д ц а т а я
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Определение и простейшие свойства двойного интеграла

586.
Задача об объеме цилиндрического бруса . . . . . . . . . . . . . . 136
587.
Свед´ение двойного интеграла к повторному . . . . . . . . . . . . . 138
588.
Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
589.
Условия существования двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . 142
590.
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
591.
Нижний и верхний интегралы как пределы
. . . . . . . . . . . . . 146
592.
Свойства интегрируемых функций и двойных интегралов
. . . . . 147
593.
Интеграл как аддитивная функция области; дифференцирование
по области
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

§ 2. Вычисление двойного интеграла

594.
Приведение двойного интеграла к повторному в случае
прямоугольной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
595.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
596.
Приведение двойного интеграла к повторному в случае
криволинейной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
597.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
598.
Механические приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
599.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

§ 3. Формула Грина

600.
Вывод формулы Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
601.
Приложение формулы Грина к исследованию криволинейных
интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
602.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

§ 4. Замена переменных в двойном интеграле

603.
Преобразование плоских областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
604.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
605.
Выражение площади в криволинейных координатах
. . . . . . . . 213
606.
Дополнительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
607.
Геометрический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
608.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
609.
Замена переменных в двойных интегралах
. . . . . . . . . . . . . 230
610.
Аналогия с простым интегралом. Интеграл по ориентированной
области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
611.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

§ 5. Несобственные двойные интегралы

612.
Интегралы, распространенные на неограниченную область
. . . . 241
613.
Теорема об абсолютной сходимости несобственного двойного
интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
614.
Приведение двойного интеграла к повторному
. . . . . . . . . . . 247
615.
Интегралы от неограниченных функций . . . . . . . . . . . . . . . 249
616.
Замена переменных в несобственных интегралах . . . . . . . . . . 252
617.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Г л а в а с е м н а д ц а т а я
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Двусторонние поверхности

618.
Сторона поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
619.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
620.
Ориентация поверхностей и пространства . . . . . . . . . . . . . . 275
621.
Выбор знака в формулах для направляющих косинусов нормали
. 278
622.
Случай кусочно-гладкой поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . 280

§ 2. Площадь кривой поверхности

623.
Пример Шварца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
624.
Определение площади кривой поверхности . . . . . . . . . . . . . 284
625.
Замечание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
626.
Существование площади поверхности и ее вычисление
. . . . . . 287
627.
Подход через вписанные многогранные поверхности . . . . . . . . 292
628.
Особые случаи определения площади
. . . . . . . . . . . . . . . . 294
629.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Поверхностные интегралы первого типа

630.
Определение поверхностного интеграла первого типа . . . . . . . 310
631.
Свед´ение к обыкновенному двойному интегралу
. . . . . . . . . . 310
632.
Механические приложения поверхностных интегралов
первого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
633.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

§ 4. Поверхностные интегралы второго типа

634.
Определение поверхностного интеграла второго типа
. . . . . . . 322
635.
Простейшие частные случаи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
636.
Общий случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
637.
Деталь доказательства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
638.
Выражение объема тела поверхностным интегралом . . . . . . . . 331
639.
Формула Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
640.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
641.
Приложение формулы Стокса к исследованию криволинейных
интегралов в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Г л а в а в о с е м н а д ц а т а я
ТРОЙНЫЕ И МНОГОКРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Тройной интеграл и его вычисление

642.
Задача о вычислении массы тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
643.
Тройной интеграл и условия его существования
. . . . . . . . . . 349
644.
Свойства интегрируемых функций и тройных интегралов
. . . . . 351
645.
Вычисление тройного интеграла, распространенного
на параллелепипед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
646.
Вычисление тройного интеграла по любой области . . . . . . . . . 355
647.
Несобственные тройные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . 357
648.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
649.
Механические приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
650.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

§ 2. Формула Гаусса–Остроградского

651.
Формула Остроградского
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
652.
Приложение формулы Остроградского к исследованию
поверхностных интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
653.
Интеграл Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
654.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

§ 3. Замена переменных в тройных интегралах

655.
Преобразование пространств и криволинейные координаты . . . . 387
656.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

657.
Выражение объема в криволинейных координатах
. . . . . . . . . 391
658.
Дополнительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
659.
Геометрический вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
660.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
661.
Замена переменных в тройных интегралах
. . . . . . . . . . . . . 406
662.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
663.
Притяжение со стороны тела и потенциал на внутреннюю точку . 412

§ 4. Элементы векторного анализа

664.
Скаляры и векторы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
665.
Скалярное и векторное поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
666.
Градиент
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
667.
Поток вектора через поверхность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
668.
Формула Остроградского. Дивергенция
. . . . . . . . . . . . . . . 420
669.
Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь . . . . . . . . . . . . 422
670.
Специальные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
671.
Обратная задача векторного анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
672.
Приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

§ 5. Многократные интегралы

673.
Задача о притяжении и потенциале двух тел
. . . . . . . . . . . . 435
674.
Объем n-мерного тела, n-кратный интеграл . . . . . . . . . . . . . 438
675.
Замена переменных в n-кратном интеграле
. . . . . . . . . . . . . 440
676.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

Г л а в а д е в я т н а д ц а т а я
РЯДЫ ФУРЬЕ

§ 1. Введение

677.
Периодические величины и гармонический анализ . . . . . . . . . 466
678.
Определение коэффициента по методу Эйлера–Фурье . . . . . . . 469
679.
Ортогональные системы функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
680.
Тригонометрическое интерполирование . . . . . . . . . . . . . . . 477

§ 2. Разложение функций в ряд Фурье

681.
Постановка вопроса. Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . 480
682.
Первая основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
683.
Принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
684.
Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье . . . . . . . . 486
685.
Вторая основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
686.
Признак Дирихле–Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
687.
Случай непериодической функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
688.
Случай произвольного промежутка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
689.
Разложение только по косинусам или только по синусам
. . . . . 497
690.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
691.
Разложение ln Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 3. Дополнения

692.
Ряды с убывающими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . 517
693.
Суммирование тригонометрических рядов с помощью
аналитических функций комплексной переменной
. . . . . . . . . 524
694.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
695.
Комплексная форма рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
696.
Сопряженный ряд
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
697.
Кратные ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

§ 4. Характер сходимости рядов Фурье

698.
Некоторые дополнения к основным леммам . . . . . . . . . . . . . 540
699.
Признаки равномерной сходимости рядов Фурье . . . . . . . . . . 543
700.
Проведение ряда Фурье вблизи точки разрыва; частный случай . . 547
701.
Случай произвольной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
702.
Особенности рядов Фурье; предварительные замечания
. . . . . . 554
703.
Построение особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557

§ 5. Оценка остатка в зависимости от дифференциальных свойств функции

704.
Связь между коэффициентами Фурье функции и ее производных . 559
705.
Оценка частичной суммы в случае ограниченной функции . . . . . 561
706.
Оценка остатка в случае функции с ограниченной
k-й производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
707.
Случай функции, имеющей k-ю производную с ограниченным
изменением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
708.
Влияние разрывов функции и ее производных на порядок малости
коэффициентов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
709.
Случай функции, заданной в промежутке [0, π] . . . . . . . . . . . 572
710.
Метод выделения особенностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

§ 6. Интеграл Фурье

711.
Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье . . . . . . . . 582
712.
Предварительные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
713.
Достаточные признаки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
714.
Видоизменение основного предположения . . . . . . . . . . . . . . 588
715.
Различные виды формулы Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
716.
Преобразование Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
717.
Некоторые свойства преобразований Фурье . . . . . . . . . . . . . 596
718.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
719.
Случай функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

§ 7. Приложения

720.
Выражение эксцентрической аномалии планеты через ее среднюю
аномалию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
721.
Задача о колебании струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
722.
Задача о распространении тепла в конечном стержне
. . . . . . . 614
723.
Случай бесконечного стержня
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

724.
Видоизменение предельных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
725.
Распространение тепла в круглой пластине . . . . . . . . . . . . . 621
726.
Практический гармонический анализ. Схема для двенадцати
ординат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
727.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
728.
Схема для двадцати четырех ординат
. . . . . . . . . . . . . . . . 630
729.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
730.
Сопоставление приближенных и точных значений коэффициентов
Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Г л а в а д в а д ц а т а я
РЯДЫ ФУРЬЕ (продолжение)

§ 1. Операции над рядами Фурье. Полнота и замкнутость

731.
Почленное интегрирование ряда Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . 635
732.
Почленное дифференцирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . 638
733.
Полнота тригонометрической системы . . . . . . . . . . . . . . . . 639
734.
Равномерная аппроксимация функций. Теоремы Вейерштрасса
. . 641
735.
Аппроксимация функций в среднем. Экстремальные свойства
отрезков ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
736.
Замкнутость тригонометрической системы. Теорема Ляпунова
. . 648
737.
Обобщенное уравнение замкнутости . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
738.
Умножение рядов Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
739.
Некоторые приложения уравнения замкнутости . . . . . . . . . . . 656

§ 2. Применение методов обобщенного суммирования к рядам Фурье

740.
Основная лемма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
741.
Суммирование рядов Фурье по методу Пуассона–Абеля . . . . . . 665
742.
Решение задачи Дирихле для круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
743.
Суммирование рядов Фурье по методу Чезаро–Фейера
. . . . . . 671
744.
Некоторые приложения обобщенного суммирования
рядов Фурье
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
745.
Почленное дифференцирование рядов Фурье . . . . . . . . . . . . 676

§ 3. Единственность тригонометрического разложения функции

746.
Вспомогательные предложения об обобщенных производных . . . 678
747.
Риманов метод суммирования тригонометрических рядов . . . . . 682
748.
Лемма о коэффициентах сходящегося ряда
. . . . . . . . . . . . . 686
749.
Единственность тригонометрического разложения
. . . . . . . . . 687
750.
Заключительные теоремы о рядах Фурье
. . . . . . . . . . . . . . 690
751.
Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693

ОГЛАВЛЕНИЕ

Д о п о л н е н и е
ОБЩАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ НА ПРЕДЕЛ

752.
Различные виды пределов, встречающиеся в анализе . . . . . . . . 698
753.
Упорядоченные множества (в собственном смысле) . . . . . . . . 699
754.
Упорядоченные множества (в обобщенном смысле)
. . . . . . . . 700
755.
Упорядоченная переменная и ее предел . . . . . . . . . . . . . . . 704
756.
Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
757.
Замечание о пределе функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708
758.
Распространение теории пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 709
759.
Одинаково упорядоченные переменные
. . . . . . . . . . . . . . . 712
760.
Упорядочение с помощью числового параметра
. . . . . . . . . . 714
761.
Свед´ение к варианте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
762.
Наибольший и наименьший пределы упорядоченной переменной . 718

Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721

Г Л А В А П Я Т Н А Д Ц А Т А Я

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА

§ 1. Криволинейные интегралы первого типа

543. Определение криволинейного интеграла первого типа. Для
того чтобы естественным путем прийти к этому новому понятию,
рассмотрим одну механическую задачу, которая к нему приводит.
Пусть на плоскости дана непрерывная простая ∗) спрямляемая
кривая (K) 75) (рис. 1), вдоль которой расположены массы, причем известна их линейная плотность ρ(M) во всех точках M кривой. Требуется определить массу m всей кривой (K).
С этой целью между концами A и B кривой вставим произвольно ряд точек A1, A2, . . . , An−1
(A0 и An для симметрии обозначений отождествляются с A и B).
Мы считаем, что точки эти перенумерованы в направлении от A к B [см. 246], хотя ничто не мешало
бы нам нумеровать их и в обратном направлении.
Взяв какую-нибудь точку Mi на дуге AiAi+1 кривой, вычислим
плотность ρ(Mi) в этой точке. П р и б л и ж е н н о
с ч и т а я,
ч т о
т а к о в а ж е п л о т н о с т ь в о в с е х т о ч к а х э т о г о у ч а с т к а,
и обозначая длину дуги AiAi+1 через σi, для массы mi этой дуги
будем иметь приближенное выражение

mi = ρ(Mi)σi,

∗) Ограничимся для определенности случаем н е з а м к н у т о й кривой. (Здесь
и далее звездочкой обозначены примечания автора.)
75) Понятия п р о с т о й н е п р е р ы в н о й кривой и с п р я м л я е м о й кривой
вводятся и обсуждаются в nn◦ 245–247. (Здесь и далее номером обозначены
примечания редактора.)

ГЛ. XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[543

а для всей искомой массы — выражение

m =

n−1
i=0
ρ(Mi)σi.

Погрешность этого последнего, связанная со сделанным выше
приближенным допущением, будет стремиться к нулю, если длины σi всех участков стремятся к нулю. Таким образом, обозначая
через λ наибольшую из длин σi, для получения точной формулы
остается лишь перейти к пределу:

m = lim
λ→0

n−1
i=0
ρ(Mi)σi.

Станем же изучать вообще пределы этого рода и, отвлекаясь
от рассмотренной задачи, возьмем произвольную «функцию точки» f(M) = f(x, y), заданную вдоль непрерывной простой спрямляемой кривой (K) ∗), и повторим указанный процесс: разбив кривую (K) на элементарные дуги AiAi+1
76) и выбрав на них произвольно по точке Mi(ξi, ηi), вычислим значения f(Mi) = f(ξi, ηi)
в них и составим сумму

n−1
i=0
f(Mi)σi =

n−1
i=0
f(ξi, ηi)σi;

она представляет собой также своего рода «интегральную сумму».
Аналогичный процесс может быть применен и в случае
з а м к н у т о й кривой, если за точку A0(An) выбрать любую ее точку, а остальные точки Ai расположить в соответствии с тем или
другим направлением на кривой [246].

∗) При этом предполагается, что в основу положена некоторая прямоугольная
система координат.
76) Операция «разбиения на элементарные дуги» будет часто применяться
в дальнейшем как по отношению к простым незамкнутым, так и по отношению
к замкнутым и самопересекающимся кривым (K), имеющим параметрическое задание вида x = ϕ(t), y = ψ(t). Во всех случаях говорят, что точки A0, A1, . . . , An
разбивают (параметрическую) кривую (K) на элементарные дуги (или образуют
«разложение кривой на простейшие части»), если они отвечают строго возрастающей или строго убывающей последовательности t0, t1, . . . , tn значений параметра t (иначе говоря, нумеруются в соответствии с выбранным направлением
на кривой) и, кроме того, точки A0 и An совпадают с концами кривой (K).

543]
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
13

Если при стремлении
λ = max σi
к нулю интегральная
сумма имеет определенный конечный предел I, не зависящий
ни от способа дробления кривой (K), ни от выбора точек Mi
на участках AiAi+1, то он называется к р и в о л и н е й н ы м
и н т е г р а л о м (первого типа ∗)) от функции f(M) = f(x, y),
взятым по кривой или п о п у т и (K), и обозначается символом

I =
(K)
f(M) ds =
(K)
f(x, y) ds
(1)

(где s есть длина дуги кривой и ds напоминает об элементарных
длинах σi). Точную характеристику предельного процесса можно
предоставить читателю.
Таким образом, полученное выше выражение для массы материальной кривой может быть переписано так:

m =
(K)
ρ(M) ds.
(2)

Отметим особо, что в приведенном определении не играет
никакой роли н а п р а в л е н и е, которое может быть придано
пути (K). Если, например, эта кривая не замкнута и под (AB)
и (BA) разуметь разнонаправленные кривые, то
(AB)
f(M) ds =
(BA)
f(M) ds.

Аналогично рассмотренному, мы могли бы ввести понятие
интеграла, распространенного на
п р о с т р а н с т в е н н у ю
кривую (K):
(K)
f(M) ds =
(K)
f(x, y, z) ds ∗∗).

Ввиду отсутствия новых принципиальных моментов нет надобности вдаваться здесь в подробности.

∗) В отличие от криволинейных интегралов
в т о р о г о
т и п а, рассматриваемых ниже [546].
∗∗) В основу кладется некоторая прямоугольная система координат. Функция f
определена лишь в точках кривой (K).

ГЛ. XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[544

544. Свед´ение к обыкновенному определенному интегралу.
Предположим, что на кривой (K) произвольно установлено направление (одно из двух возможных), так что положение точки M на

кривой может быть определено длиной дуги s = ⌣
AM, отсчитываемой от начальной точки A. Тогда кривая (K) параметрически выразится уравнениями вида:

x = x(s),
y = y(s)
(0 ⩽ s ⩽ S),

а функция f(x, y), заданная в точках кривой, сведется к сложной
функции f(x(s), y(s)) от переменной s.
Если через si(i = 0, 1, . . . , n) обозначить значения дуги, отвечающие выбранным на кривой точкам деления Ai, то, очевидно,
σi = si+1 − si = ∆si. Обозначив через si значения s, определяющие точки Mi (причем, очевидно, si ⩽ si ⩽ si+1), видим, что интегральная сумма для криволинейного интеграла

n−1
i=0
f(Mi)σi =

n−1
i=0
f(x(si), y(si))∆si

является в то же время интегральной суммой для обыкновенного
определенного интеграла, так что сразу имеем:

(K)
f(M) ds = (R)

S
0
f(x(s), y(s)) ds ∗),
(3)

причем существование одного из интегралов влечет за собой существование другого.
Эта н е п о с р е д с т в е н н о с т ь свед´ения криволинейного интеграла первого типа к обыкновенному интегралу, разумеется, понижает его теоретическое значение, но методическое значение он
все же сохраняет.
Интеграл, очевидно, существует, например в случае непрерывности функции f(M) ∗∗), что мы будем впредь предполагать.

∗) Значок (R) указывает, что интеграл понимается здесь в согласии с обыкновенным, р и м а н о в ы м определением.
∗∗) Мы имеем в виду непрерывность в точках кривой (K) в д о л ь н е е. «На языке ε-δ» это означает, что по ε > 0 найдется такое δ > 0, что |f(M′) − f(M)| < ε
при MM′ < δ (M и M′ — точки кривой). При этом предположении и сложная
функция f(x(s), y(s)), поскольку x(s) и y(s) непрерывны, есть также непрерывная функция от s.

544]
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
15

Пусть теперь простая кривая (K) задана произвольными параметрическими уравнениями

x = ϕ(t),
y = ψ(t)
(t0 ⩽ t ⩽ T),

где функции ϕ и ψ непрерывны со своими производными ϕ′ и ψ′.
Тогда кривая заведомо спрямляема, и е с л и в о з р а с т а н и е д у 
г и s = ⌣
AM= s(t) о т в е ч а е т в о з р а с т а н и ю п а р а м е т р а t, то

s′
t =
[ϕ′(t)]2 + [ψ′(t)]2

[248, (10)]. Заменяя переменную в интеграле (3) справа, сразу получим:

(K)
f(M) ds =

T
t0
f(ϕ(t), ψ(t))
[ϕ′(t)]2 + [ψ′(t)]2 dt.
(4)

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого типа надлежит заменить в подинтегральной
функции переменные x
и y
выражениями
координат через параметр, а множитель ds
— дифференциалом дуги
как функции параметра. Подчеркнем, что н и ж н и й п р е д е л
о п р е д е л е н н о г о и н т е г р а л а (4) д о л ж е н б ы т ь м е н ь ш е
в е р х н е г о.
В случае кривой, заданной явным уравнением

y = y(x)
(a ⩽ x ⩽ b),

формула (4) принимает вид:

(K)
f(M) ds =

b
a
f(x, y(x))
1 + [y′(x)]2 dx.
(5)

Этому соотношению можно придать и другую форму. В предположении непрерывности функции y(x) вместе с ее производной y′(x), кривая (K) в каждой
точке будет иметь определенную касательную, не параллельную оси y. Обозначив
через α угол касательной с осью x, получим:

tg α = y′(x),
| cos α| =
1
1 + [y′(x)]2 .

ГЛ. XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[545

Поэтому
(K)

f(M) ds =

b
a

f(x, y(x))

| cos α|
dx.
(6)

В частности, так как, очевидно,(K)

ds = S,

где через S обозначена длина всей кривой (AB), то

S =

b
a

dx

| cos α|.
(7)

З а м е ч а н и е. Формула (7) получена нами в результате формальных преобразований. Если бы мы определили длину дуги кривой как предел периметра
о п и с а н н о й (а не вписанной) ломаной, то это определение — в случае я в н о г о
задания кривой — непосредственно привело бы к формуле (7). Предлагаем читателю самому убедиться в этом.

545. Примеры.
1) Вычислить интеграл I = (K)
xy ds,
если (K) есть четверть эллипса

x2

a2 + y2

b2 = 1, лежащая в первом квадранте.

Р е ш е н и е. (а) Имеем

y = b

a

a2 − x2,
y′ = −
bx

a
a2 − x2 ,

1 + y′2 = 1

a

a4 − (a2 − b2)x2

a2 − x2
,

так что по формуле (5)

I =

a
0

x b

a

a2 − x2 · 1

a

a4 − (a2 − b2)x2

a2 − x2
dx =

= b

a2

a
0

a4 − (a2 − b2)x2 · x dx.

Выполняя интегрирование, найдем:

I =
−b

2a2(a2 − b2) · 2

3

a4 − (a2 − b2)x23

2
a

0
= ab

3 · a2 + ab + b2

a + b
.

Следует заметить, что проведенная выкладка на деле требует еще некоторых
оговорок, поскольку при x = a угловой коэффициент касательной о б р а щ а е т с я
в б е с к о н е ч н о с т ь. От этого недостатка свободно следующее решение.

545]
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
17

(б) Если перейти к параметрическому представлению эллипса: x = a cos t,
y = b sin t, так что

x′
t = −a sin t,
y′
y = b cos t,
x′2
t
+ y′2
t
=
a2 sin2 t + b2 cos2 t,

то вычисление можно произвести по формуле (4):

I =

π
2
0

a cos t · b sin t ·
a2 sin2 t + b2 cos2 t dt =

= ab

2

π
2
0

sin 2t ·

a2 · 1 − cos 2t

2
+ b2 · 1 + cos 2t

2
dt.

Положим здесь cos 2t = z, тогда sin 2t dt = − 1

2 dz и

I = ab

4

1
−1

a2 + b2

2
+ b2 − a2

2
z dz =

= ab

4 ·
2

b2 − a2 · 2

3

a2 + b2

2
+ b2 − a2

2
z
3

2 1

−1
= ab

3 · a2 + ab + b2

a + b
.

2) Вычислить интеграл I = (K)
y ds, где (K) есть участок параболы y2 = 2px

от начала координат до точки (x0, y0).
Р е ш е н и е. Из уравнения кривой имеем yy′ = p, так что

y ds = y
1 + y′2 dx =
y2 + y2y′2 dx =
p2 + 2px dx

и

I =

x0
0

p2 + 2px dx = 1

3p
(p2 + y2
0)
3
2 − p3.

3) Вычислить интеграл L = (A)
(x2 + y2) ds, где (A) есть прямолинейный

отрезок, соединяющий точки (a, a) и (b, b) (b > a).
У к а з а н и е. Уравнение прямой: y = x. Ответ:
2
√

2

3 (b3 − a3).
4) Вычислить интеграл K = (C)
ye−x dx, где (C) есть участок кривой

x = ln(1 + t2),
y = 2arctg t − t + 3

между точками t = 0 и t = 1.

У к а з а н и е.
x′2
t
+ y′2
t
= 1.

K =

1
0

2arctg t − t + 3

1 + t2
dt = π2

16 − 1

2 ln 2 + 3π

4 .

ГЛ. XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА
[545

5) Для большинства постоянно встречающихся кривых (эллипс, гипербола,
синусоида, лемниската и пр.) длина дуги не может быть выражена в элементарных функциях, так как ds не интегрируется в конечном виде. Тем не менее
интеграл (K)
f(x, y) ds и для таких кривых часто может быть вычислен в эле
ментарных функциях [см., например, упр. 1)], так как присоединение множителя
f(x, y) меняет всю структуру подинтегрального дифференциала. Предлагаем читателю построить примеры интегралов (K)
f(x, y) ds, распространенных на сину
соиду y = sin x или гиперболу xy = 1 и выражающихся через элементарные
функции.
6) Вычислить интеграл I = (C)
xyz ds, где (C) есть дуга кривой

x = t,
y = 1

3

8t3,
z = 1

2 t2
между точками
t = 0
и
t = 1.

Р е ш е н и е. ds =
x′2
t
+ y′2
t
+ z′2
t dt = (1 + t) dt,

I =

√

2
3

1
0

t
9
2 (1 + t) dt = 16
√

2

143 .

7) Дать формулу для вычисления интеграла I = (K)
f(x, y) ds в случае, когда

кривая (K) задана уравнением r = r(θ) (θ1 ⩽ θ ⩽ θ2) в полярных координатах.

Ответ: I =

θ2θ1
f(r cos θ, r sin θ)
r2 + r′2 dθ.

8) Вычислить интеграл H = (K)

ds

(x2+y2)
3
2
, если (K) есть отрезок гиперболи
ческой спирали rθ = 1 от θ =
√

3 до θ = 2
√

2.
Ответ: 19

3 .
9) Найти м а с с у участка кривой y = ln x между точками с абсциссами x1
и x2, если (линейная) плотность кривой в каждой точке равна квадрату абсциссы
точки.
Р е ш е н и е. По формуле (2), так как в нашем случае ρ = x2, имеем:

m =

x2
x1

x2 ds.
Но
ds =

1 + x2

x
dx,

так что

m =

x2
x1

1 + x2 · x dx = 1

3

(1 + x2
2)
3
2 − (1 + x2
1)
3
2
.

10) Найти м а с с у участка цепной линии y = a ch x

a между точками x = 0

и x = a, если плотность кривой в каждой ее точке обратно пропорциональна
ординате точки.