Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2

Фихтенгольц Г.М.

Курс

дифференциального и

интегрального

исчисления

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.2
ББК 22.161
Ф 65

Ф и х т е н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. Т. 2.
/ Пред. и прим. А.А. Флоринского. — 10-е изд., —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 864 с. — ISBN 978-5-9221-1803-3.

Второй том «Курса...» посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов и предназначен, прежде всего, для студентов первых двух курсов негуманитарных вузов. Исключительно подробное,
полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие
классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые
и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др. Подробно
излагаются и некоторые мало представленные или совсем не представленные
в элементарных учебниках темы: бесконечные произведения, формула суммирования Эйлера–Маклорена и ее приложения, асимптотические разложения,
теория суммирования и приближенные вычисления с помощью расходящихся
рядов и др. Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных
фактов, связанных с рядами и интегралами, данная книга, безусловно, будет
полезна как учащимся, так и преподавателям высшей математики, а также
специалистам различных профилей, использующим математику в своей работе,
в том числе, математикам, физикам и инженерам. Р е д а к т о р: доцент матем.механич. ф-та Санкт-Петербургского гос. ун-та А.А. Флоринский

ISBN 978-5-9221-1803-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2001, 2003, 2018

c⃝ Г. М. Фихтенгольц, 2001, 2003, 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а в о с ь м а я
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263.
Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) .
11
264.
Интеграл и задача об определении площади . . . . . . . . . . . . .
15
265.
Таблица основных интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
266.
Простейшие правила интегрирования
. . . . . . . . . . . . . . . .
20
267.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
268.
Интегрирование путем замены переменной . . . . . . . . . . . . .
25
269.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
270.
Интегрирование по частям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
271.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272.
Постановка задачи интегрирования в конечном виде . . . . . . . .
39
273.
Простые дроби и их интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
274.
Разложение правильных дробей на простые . . . . . . . . . . . . .
42
275.
Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей
46
276.
Выделение рациональной части интеграла . . . . . . . . . . . . . .
48
277.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52

§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

278.
Интегрирование выражений вида R
x,
mαx+β
γx+δ
. Примеры
. . .
55

279.
Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры . . . .
57
280.
Формулы приведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
281.
Интегрирование выражений вида R(x,
ax2 + bx + c).
Подстановки Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
282.
Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок . . . . . . . . .
65
283.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
284.
Другие приемы вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
285.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
и показательную функции
286.
Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x)dx . . . . . . . . .
81
287.
Интегрирование выражений sinν x · cosµ x . . . . . . . . . . . . . .
84
288.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
289.
Обзор других случаев . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 5. Эллиптические интегралы
290.
Общие замечания и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
291.
Вспомогательные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
292.
Приведение к канонической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
293.
Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода
. . . . . . . . . .
99

Г л а в а д е в я т а я
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
294.
Другой подход к задаче о площади . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
295.
Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
296.
Суммы Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
297.
Условия существования интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
298.
Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
299.
Свойства интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
300.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
301.
Нижний и верхний интегралы как пределы
. . . . . . . . . . . . . 118

§ 2. Свойства определенных интегралов
302.
Интеграл по ориентированному промежутку
. . . . . . . . . . . . 120
303.
Свойства, выражаемые равенствами
. . . . . . . . . . . . . . . . . 121
304.
Свойства, выражаемые неравенствами . . . . . . . . . . . . . . . . 123
305.
Определенный интеграл как функция верхнего предела
. . . . . . 127
306.
Вторая теорема о среднем значении . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
307.
Вычисление с помощью интегральных сумм
. . . . . . . . . . . . 133
308.
Основная формула интегрального исчисления . . . . . . . . . . . . 136
309.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
310.
Другой вывод основной формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
311.
Формулы приведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
312.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
313.
Формула замены переменной в определенном интеграле . . . . . . 148
314.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
315.
Формула Гаусса. Преобразование Ландена . . . . . . . . . . . . . . 155
316.
Другой вывод формулы замены переменной . . . . . . . . . . . . . 157

§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317.
Формула Валлиса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
318.
Формула Тейлора с дополнительным членом
. . . . . . . . . . . . 160
319.
Трансцендентность числа e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
320.
Многочлены Лежандра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
321.
Интегральные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322.
Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций
. . . . 169
323.
Параболическое интерполирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
324.
Дробление промежутка интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 174
325.
Дополнительный член формулы прямоугольников
. . . . . . . . . 175

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

326.
Дополнительный член формулы трапеций . . . . . . . . . . . . . . 178
327.
Дополнительный член формулы Симпсона
. . . . . . . . . . . . . 178
328.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Г л а в а д е с я т а я
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ,
МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

§ 1. Длина кривой
329.
Вычисление длины кривой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
330.
Другой подход к определению понятия длины кривой
и ее вычислению . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
331.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
332.
Натуральное уравнение плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . 198
333.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
334.
Длина дуги пространственной кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 204

§ 2. Площади и объемы
335.
Определение понятия площади. Свойство аддитивности . . . . . . 205
336.
Площадь как предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
337.
Классы квадрируемых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
338.
Выражение площади интегралом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
339.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
340.
Определение понятия объема. Его свойства . . . . . . . . . . . . . 223
341.
Классы тел, имеющих объемы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
342.
Выражение объема интегралом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
343.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
344.
Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
345.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
346.
Площадь цилиндрической поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . 243
347.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

§ 3. Вычисление механических и физических величин
348.
Схема применения определенного интеграла
. . . . . . . . . . . . 248
349.
Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой . . . 251
350.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
351.
Нахождение статических моментов и центра тяжести
плоской фигуры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
352.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
353.
Механическая работа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
354.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
355.
Работа силы трения в плоской пяте
. . . . . . . . . . . . . . . . . 262
356.
Задачи на суммирование бесконечно малых элементов . . . . . . . 264

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357.
Основные понятия. Уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . 270
358.
Уравнения первой степени относительно производной.
Отделение переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
359.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
360.
Замечания о составлении дифференциальных уравнений . . . . . . 279
361.
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

ОГЛАВЛЕНИЕ

Г л а в а о д и н н а д ц а т а я
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Введение
362.
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
363.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
364.
Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

§ 2. Сходимость положительных рядов
365.
Условие сходимости положительного ряда . . . . . . . . . . . . . . 289
366.
Теоремы сравнения рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
367.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
368.
Признаки Коши и Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
369.
Признак Раабе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
370.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
371.
Признак Куммера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
372.
Признак Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
373.
Интегральный признак Маклорена–Коши . . . . . . . . . . . . . . 309
374.
Признак Ермакова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
375.
Дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

§ 3. Сходимость произвольных рядов
376.
Общее условие сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
377.
Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
378.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
379.
Степенной ряд, его промежуток сходимости
. . . . . . . . . . . . 327
380.
Выражение радиуса сходимости через коэффициенты
. . . . . . . 329
381.
Знакопеременные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
382.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
383.
Преобразование Абеля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
384.
Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
385.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

§ 4. Свойства сходящихся рядов
386.
Сочетательное свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
387.
Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов . . . . . 344
388.
Случай неабсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . 346
389.
Умножение рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
390.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
391.
Общая теорема из теории пределов
. . . . . . . . . . . . . . . . . 355
392.
Дальнейшие теоремы об умножении рядов
. . . . . . . . . . . . . 357

§ 5. Повторные и двойные ряды
393.
Повторные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
394.
Двойные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
395.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
396.
Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости
. . . . 377
397.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
398.
Кратные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

§ 6. Бесконечные произведения
399.
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
400.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
401.
Основные теоремы. Связь с рядами
. . . . . . . . . . . . . . . . . 385
402.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

§ 7. Разложения элементарных функций
403.
Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора . . . . . . . . . 396
404.
Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических
функций и др . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
405.
Логарифмический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
406.
Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
407.
Биномиальный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
408.
Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения . . . . 407

§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
409.
Общие замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
410.
Вычисление числа π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
411.
Вычисление логарифмов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
412.
Вычисление корней
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
413.
Преобразование рядов по Эйлеру
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
414.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
415.
Преобразование Куммера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
416.
Преобразование Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417.
Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
418.
Метод степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
419.
Теорема Таубера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
420.
Метод средних арифметических
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
421.
Взаимоотношение между методами Пуассона–Абеля и Чезаро
. . 436
422.
Теорема Харди–Ландау
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
423.
Применение обобщенного суммирования к умножению рядов . . . 441
424.
Другие методы обобщенного суммирования рядов . . . . . . . . . 442
425.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
426.
Общий класс линейных регулярных методов суммирования . . . . 450

Г л а в а д в е н а д ц а т а я
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
427.
Вводные замечения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
428.
Равномерная и неравномерная сходимости
. . . . . . . . . . . . . 456
429.
Условие равномерной сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
430.
Признаки равномерной сходимости рядов . . . . . . . . . . . . . . 463

§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431.
Непрерывность суммы ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
432.
Замечание о квазиравномерной сходимости . . . . . . . . . . . . . 469
433.
Почленный переход к пределу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
434.
Почленное интегрирование рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
435.
Почленное дифференцирование рядов . . . . . . . . . . . . . . . . 476

ОГЛАВЛЕНИЕ

436.
Точка зрения последовательности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
437.
Непрерывность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . 482
438.
Интегрирование и дифференцирование степенных рядов . . . . . . 486

§ 3. Приложения
439.
Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход
к пределу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
440.
Примеры на почленное интегрирование рядов
. . . . . . . . . . . 496
441.
Примеры на почленное дифференцирование рядов . . . . . . . . . 507
442.
Метод последовательных приближений в теории неявных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
443.
Аналитическое определение тригонометрических функций
. . . . 515
444.
Пример непрерывной функции без производной
. . . . . . . . . . 518

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445.
Действия над степенными рядами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
446.
Подстановка ряда в ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
447.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
448.
Деление степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
449.
Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются . . . . 534
450.
Решение уравнений рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
451.
Обращение степенного ряда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
452.
Ряд Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453.
Комплексные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
454.
Комплексная варианта и ее предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
455.
Функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
456.
Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
457.
Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
458.
Логарифмическая функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
459.
Тригонометрические функции и им обратные . . . . . . . . . . . . 564
460.
Степенная функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
461.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера–Маклорена
462.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
463.
Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
464.
Основные свойства асимптотических разложений . . . . . . . . . . 579
465.
Вывод формулы Эйлера–Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
466.
Исследование дополнительного члена . . . . . . . . . . . . . . . . 586
467.
Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера–Маклорена . . 588
468.
Другой вид формулы Эйлера–Маклорена
. . . . . . . . . . . . . . 592
469.
Формула и ряд Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

Г л а в а т р и н а д ц а т а я
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470. Определение интегралов с бесконечными пределами . . . . . . . . 597
471.
Применение основной формулы интегрального исчисления . . . . 599
472.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

473.
Аналогия с рядами. Простейшие теоремы . . . . . . . . . . . . . . 603
474.
Сходимость интеграла в случае положительной функции
. . . . . 605
475.
Сходимость интеграла в общем случае
. . . . . . . . . . . . . . . 607
476.
Признаки Абеля и Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
477.
Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду
. . . 612
478.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
479.
Определение интегралов от неограниченных функций . . . . . . . 623
480.
Замечание относительно особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . 627
481.
Применение основной формулы интегрального исчисления.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
482.
Условия и признаки существования интеграла
. . . . . . . . . . . 630
483.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
484.
Главные значения несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . 637
485.
Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов . . 642

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
486.
Простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
487.
Теоремы о среднем значении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
488.
Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов . . 649
489.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
490.
Замена переменных в несобственных интегралах . . . . . . . . . . 653
491.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492.
Некоторые замечательные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . 659
493.
Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных
сумм. Случай интегралов с конечными пределами
. . . . . . . . . 663
494.
Случай интегралов с бесконечным пределом
. . . . . . . . . . . . 666
495.
Интегралы Фруллани
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
496.
Интегралы от рациональных функций между бесконечными
пределами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
497.
Смешанные примеры и упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . 678

§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
498.
Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей . . . 691
499.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692
500.
Замечание по поводу приближенного вычисления собственных
интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
501.
Приближенное вычисление несобственных интегралов
с бесконечным пределом
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
502.
Использование асимптотических разложений . . . . . . . . . . . . 700

Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
503.
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704
504.
Равномерное стремление к предельной функции
. . . . . . . . . . 705
505.
Перестановка двух предельных переходов . . . . . . . . . . . . . . 708
506.
Предельный переход под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 710

ОГЛАВЛЕНИЕ

507.
Дифференцирование под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 712
508.
Интегрирование под знаком интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 715
509.
Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра
. . . . . 717
510.
Введение множителя, зависящего лишь от x
. . . . . . . . . . . . 720
511.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722
512.
Гауссово доказательство основной теоремы алгебры . . . . . . . . 733

§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513.
Определение равномерной сходимости интегралов . . . . . . . . . 735
514.
Условие равномерной сходимости. Связь с рядами . . . . . . . . . 736
515.
Достаточные признаки равномерной сходимости . . . . . . . . . . 737
516.
Другой случай равномерной сходимости . . . . . . . . . . . . . . . 740
517.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
518.
Предельный переход под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 747
519.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
520.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру
. 765
521.
Интегрирование интеграла по параметру
. . . . . . . . . . . . . . 769
522.
Применение к вычислению некоторых интегралов
. . . . . . . . . 772
523.
Примеры на дифференцирование под знаком интеграла
. . . . . . 779
524.
Примеры на интегрирование под знаком интеграла . . . . . . . . . 789

§ 4. Дополнения
525.
Лемма Арцела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800
526.
Предельный переход под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 802
527.
Дифференцирование под знаком интеграла
. . . . . . . . . . . . . 806
528.
Интегрирование под знаком интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . 806

§ 5. Эйлеровы интегралы
529.
Эйлеров интеграл первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808
530.
Эйлеров интеграл второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
531.
Простейшие свойства функции Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
532.
Однозначное определение функции Γ ее свойствами . . . . . . . . 819
533.
Другая функциональная характеристика функции Γ
. . . . . . . . 821
534.
Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
535.
Логарифмическая производная функции Γ . . . . . . . . . . . . . . 830
536.
Теорема умножения для функции Γ
. . . . . . . . . . . . . . . . . 832
537.
Некоторые разложения в ряды и произведения . . . . . . . . . . . 834
538.
Примеры и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835
539.
Вычисление некоторых определенных интегралов
. . . . . . . . . 842
540.
Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
541.
Вычисление эйлеровой постоянной . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853
542.
Составление таблицы десятичных логарифмов функции Γ . . . . . 854

Алфавитный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856

Г Л А В А В О С Ь М А Я

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
(НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие
приемы его вычисления

263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла). Во многих вопросах науки и техники приходится не по
заданной функции искать ее производную, а наоборот — восстанавливать функцию по известной ее производной. В 91, предполагая
известным уравнение движения s = s(t), т. е. закон изменения пути
с течением времени, мы путем дифференцирования нашли сначала скорость v = ds

dt , а затем и ускорение a = dv

dt . На деле, однако, часто приходится решать обратную задачу:
у с к о р е н и е
a
з а д а н о в ф у н к ц и и о т в р е м е н и t: a = a(t), т р е б у е т с я
о п р е д е л и т ь с к о р о с т ь v и п р о й д е н н ы й п у т ь s в з а в и с и м о с т и о т t. Таким образом, здесь оказывается нужным по
функции a = a(t) восстановить ту функцию v = v(t), для которой a является производной, а затем, зная функцию v, найти ту
функцию s = s(t), для которой производной будет v.
Дадим следующее о п р е д е л е н и е:
Функция F(x) в данном промежутке называется п е р в о о б р а з н о й
ф ун к ц и е й для функции f(x) или интегралом
от f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной для функции F(x) или, что то же, f(x) dx служит
для F(x) дифференциалом

F′(x) = f(x)
или
dF(x) = f(x) dx. ∗)

∗) В этом случае говорят также, что функция F(x) является первообразной
(или интегралом) для дифференциального выражения f(x) dx. (Здесь и далее
звездочкой обозначены примечания автора.)

ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[263

Разыскание для функции всех ее первообразных, называемое
интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального
исчисления; как видим, эта задача является обратной основной задаче дифференциального исчисления. 35)

Теорема. Если в некотором (конечном или бесконечном,
замкнутом или нет) промежутке X функция F(x) есть первообразная для функции f(x), то и функция F(x) + C, где
C — любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, к а ж д а я функция, первообразная для f(x) в промежутке X, может быть представлена в этой форме.
Д о к а з а т е л ь с т в о. То обстоятельство, что наряду с F(x)
и F(x) + C является первообразной для f(x), вполне очевидно,
ибо [F(x) + C]′ = F′(x) = f(x).
Пусть теперь Φ(x) будет
л ю б а я
первообразная для f(x)
функция, так что в промежутке X

Φ′(x) = f(x).

Так как функции F(x) и Φ(x) в рассматриваемом промежутке имеют одну и ту же производную, то они разнятся на постоянную [131,
следствие]:

Φ(x) = F(x) + C,

что и требовалось доказать.
Из теоремы следует, что достаточно найти для данной функции f(x) только одну первообразную функцию F(x), чтобы знать
в с е первообразные, так как они отличаются друг от друга постоянными слагаемыми.
В силу этого выражение F(x) + C, где C — произвольная
постоянная, представляет собой о б щ и й в и д функции, которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x) dx. Это
выражение называется н е о п р е д е л е н н ы м и н т е г р а л о м f(x)

35) Относительно происхождения слова «интеграл» см. сноску на с. 105. В интегральном исчислении систематически употребляются несколько терминов, имеющих слово «интеграл» в своем составе: «неопределенный интеграл», «определенный интеграл», «несобственный интеграл» и др. Отвечающие этим терминам
математические понятия, как и задачи, послужившие источником их происхождения, будут подробно рассматриваться в дальнейшем. (Здесь и далее номером
обозначены примечания редактора.)

263]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
13

и обозначается символом f(x) dx, 36)

в котором неявным образом уже заключена произвольная постоянная. Произведение f(x) dx называется
п о д и н т е г р а л ь н ы м
в ы р а ж е н и е м, а функция f(x) — п о д и н т е г р а л ь н о й ф у н к ц и е й.
П р и м е р. Пусть f(x) = x2; тогда, как нетрудно видеть, неопределенный интеграл этой функции будет
x2dx = x3

3 + C.

Это легко проверить обратным действием — дифференцированием.
Обращаем внимание читателя на то, что под знаком «интеграла»
пишут д и ф ф е р е н ц и а л искомой первообразной функции,
а не п р о и з в о д н у ю (в нашем примере: x2dx, а не x2). Такой
способ записи, как будет выяснено ниже [294], создался исторически; к тому же он предоставляет ряд преимуществ и его сохранение
вполне целесообразно.
Из определения неопределенного интеграла непосредственно
вытекают следующие свойства:

1. d
f(x) dx = f(x) dx,

т. е. знаки d и
, когда первый помещен перед вторым, взаимно
сокращаются.
2. Так как F(x) есть первообразная функция для F′(x), то имеем
F′(x) dx = F(x) + C,

36) Можно сказать, таким образом, что символ f(x) dx будет служить обозначением т и п о в о й п е р в о о б р а з н о й функции f(x) на некотором промежутке.
Возможна и несколько иная трактовка (также весьма распространенная) понятия
неопределенного интеграла; она состоит в том, что знак f(x) dx рассматривается как обозначение м н о ж е с т в а всех первообразных функции f(x). Соответственно, равенство f(x) dx = F(x) + C понимается в этом случае как краткая
форма более громоздкой записи f(x) dx = {F(x) + C : C ∈ R}; основные
же формулы, связанные с неопределенными интегралами, трактуются при этом
как равенства множеств. Поскольку все установленные в тексте соотношения, относящиеся к неопределенным интегралам, сохраняют свою справедливость как
при одной, так и при другой интерпретации символа f(x) dx, читатель может,
в принципе, придерживаться любой из них.

ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[263

что может быть переписано так:
dF(x) = F(x) + C.

Отсюда видим, что знаки d и
, стоящие перед F(x), сокращаются и тогда, когда d стоит после
, но только к F(x)
нужно прибавить произвольную постоянную.
Возвращаясь к той механической задаче, которую мы поставили
вначале, мы можем теперь написать, что

v =
a(t) dt
и

s =

v(t) dt.

Предположим для определенности, что мы имеем дело с равноускоренным движением, например под действием силы тяжести;
тогда a = g (если направление по вертикали вниз считать положительным) и — как нетрудно сообразить —

v =
g dt = gt + C.

Мы имеем выражение для скорости v, в которое кроме времени t входит еще и произвольная постоянная C. При различных
значениях C мы будем получать и различные значения для скорости
в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся у нас
данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить
вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину
скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть
нам известно, что в момент t = t0 скорость v = v0; подставим эти
значения в выражение для скорости

v0 = gt0 + C,
откуда
C = v0 − gt0,
и теперь наше решение принимает уже вполне определенный вид

v = g(t − t0) + v0.

Найдем далее выражение для пути s. Имеем

s =
[g(t − t0) + v0] dt = 1

2 g(t − t0)2 + v0(t − t0) + C′

[дифференцированием легко проверить, что первообразная функция может быть взята в такой форме]. Неизвестную нам новую

264]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
15

постоянную C′ можно определить, если, например, дано, что путь
s = s0 в момент t = t0; найдя, что C′ = s0, перепишем решение
в окончательном виде:

s = 1

2 g(t − t0)2 + v0(t − t0) + s0.

Значения t0, s0, v0 условно называются н а ч а л ь н ы м и з н а ч е н и я м и величин t, s и v.
Мы знаем, что производная функции y = F(x) дает угловой
коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому
задачу разыскания первообразной F(x) для заданной функции f(x)
можно истолковать так: требуется найти кривую
y = F(x),
для которой имел бы место заданный закон изменения углового коэффициента касательной:

tg α = f(x).

Если y = F(x) есть одна из
таких
кривых,
то
все остальные могут быть
получены из нее простым
сдвигом (на произвольный
отрезок C) параллельно оси y (рис. 1). Для того чтобы индивидуализировать кривую в этом множестве кривых, достаточно, например, задать точку (x0, y0), через которую кривая должна пройти;
н а ч а л ь н о е у с л о в и е y0 = F(x0) + C даст C = y0 − F(x0).

264. Интеграл и задача об определении площади. Гораздо важнее истолкование первообразной функции как площади криволинейной фигуры. Так как исторически понятие первообразной функции было теснейшим образом связано с задачей об определении
площади, то мы остановимся на этой же задаче уже здесь (пользуясь интуитивным представлением о площади плоской фигуры и откладывая точную постановку этого вопроса до главы X).
Пусть дана в промежутке [a, b] непрерывная функция y = f(x),
принимающая лишь положительные (неотрицательные) значения.
Рассмотрим фигуру ABCD (рис. 2), ограниченную кривой y = f(x),
двумя ординатами x = a и x = b и отрезком оси x; подобную
фигуру будем называть
к р и в о л и н е й н о й
т р а п е ц и е й. Желая определить величину площади P этой фигуры, мы изучим

ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[264

поведение площади
п е р е м е н н о й
фигуры AMND, заключенной между начальной ординатой x = a и ординатой, отвечающей
произвольно выбранному в промежутке [a, b] значению x.
При

изменении x эта последняя площадь будет соответственно изменяться, причем каждому x отвечает вполне определенное ее значение, так что площадь криволинейной трапеции AMND является
некоторой функцией от x; обозначим ее через P(x).
Поставим себе сначала задачей
н а й т и
п р о и з в о д н у ю
э т о й
ф у н к ц и и. С этой целью придадим x некоторое (скажем,
положительное) приращение ∆x; тогда площадь P(x) получит приращение ∆P.
Обозначим через m и M, соответственно, наименьшее и наибольшее значения функции f(x) в промежутке [x, x + ∆x] [85]
и сравним площадь ∆P с площадями прямоугольников, построенных на основании ∆x и имеющих высоты m и M. Очевидно,

m∆x < ∆P < M∆x,

откуда

m < ∆P

∆x < M.

Если ∆x → 0, то, вследствие непрерывности, m и M будут стремиться к f(x), а тогда и

P′(x) = lim
∆x→0
∆P
∆x = f(x).

Таким
образом,
мы
приходим
к
замечательной
теореме
(обычно называемой теоремой Н ь ю т о н а и Л е й б н и ц а ∗)):
производная от переменной площади P(x) по конечной абсциссе x равна конечной ординате y = f(x).
Иными словами, переменная
площадь
P(x)
представляет собой п е р в о о б р а з н у ю ф у н к ц и ю для данной функции y = f(x). В ряду других первообразных эта первообразная
выделяется по тому признаку, что она обращается в 0 при x = a.

∗) В действительности это предложение — хотя и в другой форме — опубликовал еще Б а р р о у (Is. Barrow), учитель Н ь ю т о н а.

264]
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
17

Поэтому если известна
к а к а я - л и б о
первообразная F(x) для
функции f(x) и по теореме предыдущего n◦

P(x) = F(x) + C,

то постоянную C легко определить, положив здесь x = a:

0 = F(a) + C,
так что
C = −F(a).

Окончательно
P(x) = F(x) − F(a).
В частности, для получения площади P всей криволинейной
трапеции ABCD нужно взять x = b:

P = F(b) − F(a).

В виде примера найдем площадь P(x) фигуры, ограниченной
п а р а б о л о й y = ax2, ординатой, отвечающей данной абсциссе x,
и отрезком оси x (рис. 3); так как парабола пересекает ось x в начале координат, то начальное значение x здесь 0.
Для функции f(x) = ax2 легко найти
первообразную: F(x) = ax3

3 . Эта функция как раз и обращается в 0 при x = 0,
так что

P(x) = F(x) = ax3

3
= xy

3
[ср. 32, 4)].
Ввиду той связи, которая существует
между вычислением интегралов и нахождением площадей плоских фигур, т. е. квадратурой их, стало обычным и самое вычисление интегралов называть к в а д р а т у р о й.
Для распространения всего сказанного выше на случай функции, принимающей и отрицательные значения, достаточно условиться считать
о т р и ц а т е л ь н ы м и
площади частей фигуры,
расположенных п о д осью x.
Таким образом, какова бы ни была непрерывная в промежутке [a, b] функция f(x), читатель всегда может представить себе
первообразную для нее функцию в виде переменной площади фигуры, ограниченной графиком данной функции. Однако считать эту
геометрическую
и л л ю с т р а ц и ю
доказательством существования первообразной, разумеется, нельзя, поскольку самое понятие
площади еще не обосновано.

ГЛ. VIII. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ
[265

В следующей главе [305] мы сможем дать строгое и притом чисто аналитическое доказательство того важного факта, что каждая
непрерывная в данном промежутке функция f(x) имеет в нем
первообразную. Это утверждение мы принимаем уже сейчас.
В настоящей главе мы будем говорить о первообразных лишь
для непрерывных функций. Если функция задана конкретно и имеет точки разрыва, то рассматривать ее будем лишь в промежутках ее непрерывности. Поэтому, допустив сформулированное выше
утверждение, мы освобождаемся от необходимости всякий раз оговаривать существование интегралов: р а с с м а т р и в а е м ы е н а м и
и н т е г р а л ы в с е с у щ е с т в у ю т.

265. Таблица основных интегралов.
Каждая формула дифференциального исчисления, устанавливающая, что для некоторой
функции F(x) производной будет f(x), непосредственно приводит
к соответствующей формуле интегрального исчисления
f(x) dx = F(x) + C. 37)

Перебрав формулы n◦ 95, по которым вычислялись производные
элементарных функций, а также некоторые формулы, выведенные
дальше (для гиперболических функций), мы можем теперь составить следующую т а б л и ц у и н т е г р а л о в:

1.
0 · dx = C.

2.
1 · dx =
dx = x + C.

3.
xµdx = xµ+1

µ + 1 + C
(µ ̸= −1).

4.
1

x dx =
dx

x = ln |x| + C.

5.
1

1 + x2 dx =
dx

1 + x2 = arctg x + C.

6.
1
1 − x2 dx =
dx
1 − x2 = arcsin x + C.

37) Подобная запись всегда предполагает, что функция f(x) рассматривается на
некотором (лежащем в ее области определения) промежутке.