Теоретическая физика. Том 2. Теория поля

УДК 530.1(075.8)
Л 22
ББК 22.31

Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля / Под ред. Л.П. Питаевского. — 9-е изд., стереотип. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 508 с. —
ISBN 978-5-9221-1568-1 (Т. II).

Второй том курса теоретической физики, заслужившего широкую известность в нашей стране и за рубежом, посвящен классической теории
электромагнитных и гравитационных полей. Излагаются основы специальной
теории относительности, вывод уравнений электродинамики из принципа наименьшего действия, вопросы распространения и излучения электромагнитных
волн. Последние главы книги посвящены общей теории относительности.
Параллельно с развитием этой теории излагаются основы тензорного анализа.
Для студентов университетов, студентов физических специальностей вузов,
а также для аспирантов соответствующих специальностей.

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов физических
специальностей университетов

Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик РАН,
доктор физико-математических наук Л.П. Питаевский

ISBN 978-5-9221-1568-1 (Т. II)
ISBN 978-5-9221-1508-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2016, 2017, 2018

c⃝ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 2016,
2017, 2018

Учебное издание

ЛАНДАУ Лев Давидович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович

ТЕОРИЯ ПОЛЯ

(Серия: «Теоретическая физика», том II)

Редактор Д.А. Миртова
Корректор В.Р. Игнатова
Оригинал-макет: Д.П. Вакуленко

Подписано в печать 25.06.2018. Формат 6090/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная.
Усл. печ. л. 31,75.
Уч.-изд. л. 35.
Тираж 500 экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в АO «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpd.ru. E-mail: sales@chpd.ru, тел.: 8 (499) 270-73-59

ISBN 978-5-9221-1568-1

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора к седьмому изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8
Предисловие к шестому изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
9
Из предисловий к первому и второму изданиям . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
10
Некоторые обозначения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
11

Г л а в а 1. Принцип относительности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
12
§ 1. Скорость распространения взаимодействий. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
12
§ 2. Интервал . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
§ 3. Собственное время. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
20
§ 4. Преобразование Лоренца. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
22
§ 5. Преобразование скорости . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
26
§ 6. Четырехмерные векторы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
28
§ 7. Четырехмерная скорость . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
39

Г л а в а 2. Релятивистская механика. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
41
§ 8. Принцип наименьшего действия . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
41
§ 9. Энергия и импульс. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
43
§ 10. Преобразование функции распределения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
47
§ 11. Распад частиц . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
49
§ 12. Инвариантное сечение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
54
§ 13. Упругие столкновения частиц . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
56
§ 14. Момент импульса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61

Г л а в а 3. Заряд в электромагнитном поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65
§ 15. Элементарные частицы в теории относительности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
65
§ 16. Четырехмерный потенциал поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
67
§ 17. Уравнения движения заряда в поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
69
§ 18. Калибровочная инвариантность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
72
§ 19. Постоянное электромагнитное поле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
74

Оглавление

§ 20. Движение в постоянном однородном электрическом поле . .. .. .. .. .. .
76
§ 21. Движение в постоянном однородном магнитном поле. .. .. .. .. .. .. .. .. .
77
§ 22. Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
80
§ 23. Тензор электромагнитного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
85
§ 24. Преобразование Лоренца для поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
87
§ 25. Инварианты поля. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
89

Г л а в а 4. Уравнения электромагнитного поля. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
92
§ 26. Первая пара уравнений Максвелла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
92
§ 27. Действие для электромагнитного поля. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
94
§ 28. Четырехмерный вектор тока . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
96
§ 29. Уравнение непрерывности . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
99
§ 30. Вторая пара уравнений Максвелла . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
101
§ 31. Плотность и поток энергии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
104
§ 32. Тензор энергии-импульса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
105
§ 33. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
110
§ 34. Теорема вириала . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
115
§ 35. Тензор энергии-импульса макроскопических тел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
117

Г л а в а 5. Постоянное электромагнитное поле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120
§ 36. Закон Кулона . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
120
§ 37. Электростатическая энергия зарядов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
121
§ 38. Поле равномерно движущегося заряда. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124
§ 39. Движение в кулоновом поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
126
§ 40. Дипольный момент. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
129
§ 41. Мультипольные моменты. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
131
§ 42. Система зарядов во внешнем поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
135
§ 43. Постоянное магнитное поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
137
§ 44. Магнитный момент . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
139
§ 45. Теорема Лармора . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
141

Г л а в а 6. Электромагнитные волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
144
§ 46. Волновое уравнение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
144
§ 47. Плоские волны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
146
§ 48. Монохроматическая плоская волна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
151
§ 49. Спектральное разложение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
157
§ 50. Частично поляризованный свет . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
158
§ 51. Разложение электростатического поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
165
§ 52. Собственные колебания поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
166

Оглавление
5

Г л а в а 7. Распространение света . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
171
§ 53. Геометрическая оптика . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
171
§ 54. Интенсивность . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
175
§ 55. Угловой эйконал . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
177
§ 56. Тонкие пучки лучей . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
180
§ 57. Отображение широкими пучками лучей. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
186
§ 58. Пределы геометрической оптики. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
188
§ 59. Дифракция . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
191
§ 60. Дифракция Френеля. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
197
§ 61. Дифракция Фраунгофера . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
201

Г л а в а 8. Поле движущихся зарядов . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207

§ 62. Запаздывающие потенциалы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
207
§ 63. Потенциалы Лиенара–Вихерта . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
210
§ 64. Спектральное разложение запаздывающих потенциалов . .. .. .. .. .. .. .
213
§ 65. Функция Лагранжа с точностью до членов второго порядка . .. .. .. .
215

Г л а в а 9. Излучение электромагнитных волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
221
§ 66. Поле системы зарядов на далеких расстояниях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
221
§ 67. Дипольное излучение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
225
§ 68. Дипольное излучение при столкновениях. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
229
§ 69. Тормозное излучение малых частот. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
232
§ 70. Излучение при кулоновом взаимодействии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
234
§ 71. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
243
§ 72. Поле излучения на близких расстояниях . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
246
§ 73. Излучение быстро движущегося заряда. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
250
§ 74. Магнито-тормозное излучение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
255
§ 75. Торможение излучением . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
262
§ 76. Торможение излучением в релятивистском случае . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
268
§ 77. Спектральное
разложение
излучения
в
ультрарелятивистском
случае . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
272
§ 78. Рассеяние свободными зарядами. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
276
§ 79. Рассеяние волн с малыми частотами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
282
§ 80. Рассеяние волн с большими частотами . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
283

Г л а в а 10. Частица в гравитационном поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
287

§ 81. Гравитационное поле в нерелятивистской механике . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
287
§ 82. Гравитационное поле в релятивистской механике . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
289
§ 83. Криволинейные координаты . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
292

Оглавление

§ 84. Расстояния и промежутки времени . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
297
§ 85. Ковариантное дифференцирование . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
302
§ 86. Связь символов Кристоффеля с метрическим тензором. .. .. .. .. .. .. .. .
308
§ 87. Движение частицы в гравитационном поле. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
311
§ 88. Постоянное гравитационное поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
315
§ 89. Вращение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
323
§ 90. Уравнения электродинамики при наличии гравитационного поля . .
325

Г л а в а 11. Уравнения гравитационного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
329

§ 91. Тензор кривизны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
329
§ 92. Свойства тензора кривизны . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
333
§ 93. Действие для гравитационного поля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
340
§ 94. Тензор энергии-импульса . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
344
§ 95. Уравнения Эйнштейна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
350
§ 96. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. .. .. .. .. .. .. .. .
357
§ 97. Синхронная система отсчета . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
365
§ 98. Тетрадное представление уравнений Эйнштейна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
372

Г л а в а 12. Поле тяготеющих тел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
376

§ 99. Закон Ньютона . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
376
§ 100. Центрально-симметричное гравитационное поле . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
380
§ 101. Движение в центрально-симметричном гравитационном поле . .. .. .
389
§ 102. Гравитационный коллапс сферического тела . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
393
§ 103. Гравитационный коллапс пылевидной сферы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
401
§ 104. Гравитационный коллапс несферических и вращающихся тел . .. .. .
408
§ 105. Гравитационное поле вдали от тел . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
419
§ 106. Уравнения движения системы тел во втором приближении . .. .. .. .. .
427

Г л а в а 13. Гравитационные волны. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
437

§ 107. Слабые гравитационные волны. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
437
§ 108. Гравитационные волны в искривленном пространстве–времени . .. .
440
§ 109. Сильная гравитационная волна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
443
§ 110. Излучение гравитационных волн . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
447

Г л а в а 14. Релятивистская космология . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
453

§ 111. Изотропное пространство . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
453
§ 112. Закрытая изотропная модель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
458
§ 113. Открытая изотропная модель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
463
§ 114. Красное смещение . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
467

Оглавление
7

§ 115. Гравитационная устойчивость изотропного мира . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
475
§ 116. Однородные пространства . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
482
§ 117. Плоская анизотропная модель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
489
§ 118. Колебательный режим приближения к особой точке . .. .. .. .. .. .. .. .. .
493
§ 119. Особенность по времени в общем космологическом решении уравнений Эйнштейна . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
498

Предметный указатель . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
502

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ

Е. М. Лифшиц
начал
готовить
новое
издание
«Теории
поля»
в 1985 году и продолжал работу над ним даже в больнице, во время
своей последней болезни. Изменения, которые он предполагал сделать,
учтены в настоящем издании. Из них следует отметить некоторую
переработку доказательства закона сохранения момента импульса
в релятивистской механике, а также более подробное обсуждение
вопроса о симметрии символов Кристоффеля в теории гравитации.
Изменен знак в определении тензора напряжений электромагнитного
поля. (В предыдущем издании этот тензор был определен иначе, чем
в остальных томах курса.)
Я благодарен В. Д. Шафранову за обсуждение ряда вопросов, возникших при подготовке книги к печати.

Июнь 1987 г.
Л. П. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ

Первое издание этой книги появилось более тридцати лет тому
назад. При ряде переизданий за эти десятилетия книга перерабатывалась и дополнялась; к настоящему времени ее объем увеличился по
сравнению с первоначальным почти вдвое. Но никогда не возникало
необходимости в изменении предложенного Ландау способа построения теории и вдохновленного им стиля изложения, главная черта которого — стремление к ясности и простоте. Всеми силами я стремился
сохранить этот стиль и при тех переработках, которые мне пришлось
производить уже одному.
По сравнению с предыдущим, пятым, изданием первые девять глав
книги, посвященные электродинамике, остались почти без изменений.
Главы же, посвященные теории гравитационного поля, переработаны
и дополнены. От издания к изданию материал этих глав существенно
дополнялся, и в конце концов возникла необходимость в некотором
перераспределении и упорядочении его расположения.
Я хотел бы выразить здесь глубокую признательность всем своим
товарищам по работе — слишком многочисленным, чтобы я мог их
перечислить, — которые своими замечаниями и советами помогли
устранить имевшиеся в книге недочеты и внести в нее ряд улучшений.
Без этих советов, без той готовности помочь, с которой неизменно
встречаются мои вопросы, работа над продолжением изданий этого
Курса была бы намного труднее.
Особой благодарностью я обязан Л. П. Питаевскому, с которым
я постоянно обсуждал возникавшие вопросы, а также В. А. Белинскому
за его помощь в проверке формул и чтении корректуры.

Декабрь, 1972 г.
Е. М. Лифшиц

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ К ПЕРВОМУ
И ВТОРОМУ ИЗДАНИЯМ

Предлагаемая книга посвящена изложению теории электромагнитного и гравитационного полей, т. е. электродинамике и общей теории
относительности. Полная, логически связная теория электромагнитного поля включает в себя специальную теорию относительности.
Поэтому мы взяли последнюю в качестве основы изложения. За исходный пункт для вывода основных соотношений берутся вариационные
принципы, дающие возможность достигнуть наибольшей общности,
единства и, по существу, простоты изложения.
Соответственно общему плану нашего Курса теоретической физики
(частью которого является эта книга) мы не касались в этом томе вовсе
вопросов электродинамики сплошных сред, ограничиваясь изложением «микроскопической» электродинамики — электродинамики вакуума
и точечных зарядов.
Для чтения книги необходимо знакомство с электромагнитными
явлениями в объеме общих курсов физики. Необходимо также хорошее
знание векторного анализа. Не предполагается предварительного знания читателями тензорного анализа, который излагается параллельно
с развитием теории гравитационных полей.

Москва, декабрь 1939 г.
Москва, июнь 1947 г.
Л. Ландау, Е. Лифшиц

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Трехмерные величины

Трехмерные тензорные индексы обозначаются греческими буквами
Элементы объема, площади и длины dV , df, dl
Импульс и энергия частицы p и E
Функция Гамильтона H
Скалярный и векторный потенциалы электромагнитного поля ϕ и A
Напряженности электрического и магнитного полей E и H
Плотности зарядов и тока ρ и j
Электрический дипольный момент d
Магнитный дипольный момент m

Четырехмерные величины

Четырехмерные тензорные индексы обозначаются латинскими буквами i, k, l, ... и пробегают значения 0, 1, 2, 3
Принята метрика с сигнатурой (+ − −−)
Правило поднятия и опускания индексов — на стр. 29
Компоненты 4-векторов перечисляются в виде Ai = (A0, A)
Антисимметричный единичный тензор 4-го ранга eiklm, причем e0123 =
= 1 (определение — на стр. 33)
Элемент 4-объема dΩ = dx0 dx1 dx2 dx3

Элемент гиперповерхности dSi (определение на стр. 37)
4-радиус-вектор xi = (ct, r)
4-скорость ui = dxi/ds
4-импульс pi = (E /c, p)
4-вектор тока ji = (cρ, ρv)
4-потенциал электромагнитного поля Ai = (ϕ, A)

4-тензор электромагнитного поля Fik = ∂Ak

∂xi − ∂Ai

∂xk
(связь компонент Fik с компонентами E и H — на стр. 87)
4-тензор энергии-импульса T ik (определение его компонент — на
стр. 110)

Ссылки типа I § 18 относятся к тому I, «Механика»

Г л а в а 1

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 1. Скорость распространения взаимодействий

Для описания процессов, происходящих в природе, необходимо
иметь, как говорят, систему отсчета. Под системой отсчета понимают
систему координат, служащую для указания положения частиц в пространстве, вместе со связанными с этой системой часами, служащими
для указания времени.
Существуют системы отсчета, в которых свободное движение тел,
т. е. движение тел, не находящихся под действием внешних сил, происходит с постоянной скоростью. Такие системы отсчета носят название
инерциальных.
Если две системы отсчета движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно и если одна из них инерциальная, то очевидно, что и другая тоже является инерциальной (всякое свободное
движение и в этой системе будет прямолинейным и равномерным).
Таким образом, имеется сколько угодно инерциальных систем отсчета,
движущихся друг относительно друга равномерно-поступательно.
Опыт показывает, что справедлив так называемый принцип относительности. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы
во всех инерциальных системах отсчета. Другими словами, уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы
к другой. Это значит, что уравнение, описывающее некоторый закон
природы, будучи выражено через координаты и время в различных
инерциальных системах отсчета, имеет один и тот же вид.
Взаимодействие материальных частиц описывается в обычной механике посредством потенциальной энергии взаимодействия, являющейся
функцией от координат взаимодействующих частиц. Легко видеть,
что этот способ описания взаимодействий включает в себя предположение о мгновенности распространения взаимодействий. Действительно, силы, действующие на каждую из частиц со стороны остальных
частиц, в каждый момент зависят, при таком описании, только от положения частиц в этот же момент времени. Изменение положения
какой-либо из взаимодействующих частиц отражается на остальных
частицах в тот же момент.

§ 1. Скорость распространения взаимодействий
13

Опыт, однако, показывает, что мгновенных взаимодействий в природе не существует. Поэтому и механика, исходящая из представления
о мгновенности распространения взаимодействий, заключает в себе
некоторую неточность. В действительности, если с одним из взаимодействующих тел происходит какое-нибудь изменение, то на другом
теле это отразится лишь по истечении некоторого промежутка времени. Только после этого промежутка времени со вторым телом начнут
происходить процессы, вызванные данным изменением. Разделив расстояние между обоими телами на этот промежуток времени, мы найдем
«скорость распространения взаимодействий».
Заметим, что эту скорость можно было бы, собственно говоря,
называть максимальной скоростью распространения взаимодействий.
Она определяет лишь тот промежуток времени, после которого изменение, происходящее с одним телом, начинает проявляться на другом.
Очевидно, что наличие максимальной скорости распространения взаимодействий означает в то же время, что в природе вообще невозможно
движение тел со скоростью, большей этой. Действительно, если бы такое движение могло происходить, то посредством него можно было бы
осуществить взаимодействие со скоростью, превышающей наибольшую
возможную скорость распространения взаимодействий.
О взаимодействии, распространяющемся от одной частицы к другой, часто говорят как о «сигнале», отправляющемся от первой частицы
и «дающем знать» второй об изменении, которое испытала первая.
О скорости распространения взаимодействий говорят тогда как о «скорости сигнала».
Из принципа относительности вытекает, в частности, что скорость
распространения взаимодействий одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Таким образом, скорость распространения взаимодействий является универсальной постоянной.
Эта постоянная скорость одновременно является, как будет показано в дальнейшем, скоростью распространения света в пустоте; поэтому
ее называют скоростью света. Она обозначается обычно буквой c,
а ее численное значение

c = 2,998 · 1010 см/с.
(1.1)

Большой величиной этой скорости объясняется тот факт, что на
практике в большинстве случаев достаточно точной оказывается классическая механика. Большинство скоростей, с которыми нам приходится иметь дело, настолько малы по сравнению со скоростью света,
что предположение о бесконечности последней практически не влияет
на точность результатов.
Объединение принципа относительности с конечностью скорости
распространения взаимодействий называется принципом относительности Эйнштейна (он был сформулирован А. Эйнштейном в 1905 г.)
в отличие от принципа относительности Галилея, исходящего из бесконечной скорости распространения взаимодействий.

Гл. 1. Принцип относительности

Механика, основанная на эйнштейновском принципе относительности (мы будем обычно называть его просто принципом относительности), называется релятивистской. В предельном случае, когда скорости движущихся тел малы по сравнению со скоростью света, можно пренебречь влиянием конечности скорости распространения взаимодействий на движение. Тогда релятивистская механика переходит
в обычную механику, основанную на предположении о мгновенности
распространения взаимодействий; эту механику называют ньютоновской или классической. Предельный переход от релятивистской механики к классической может быть формально произведен как переход
к пределу c → ∞ в формулах релятивистской механики.
Уже в классической механике пространство относительно, т. е. пространственные соотношения между различными событиями зависят от
того, в какой системе отсчета они описываются. Утверждение, что
два разновременных события происходят в одном и том же месте
пространства или, вообще, на определенном расстоянии друг от друга,
приобретает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это утверждение относится.
Напротив, время является в классической механике абсолютным;
другими словами, свойства времени считаются не зависящими от системы отсчета — время одно для всех систем отсчета. Это значит, что
если какие-нибудь два явления происходят одновременно для какогонибудь наблюдателя, то они являются одновременными и для всякого
другого. Вообще, промежуток времени между двумя данными событиями должен быть одинаков во всех системах отсчета.
Легко, однако, убедиться в том, что понятие абсолютного времени
находится в глубоком противоречии с эйнштейновским принципом
относительности. Для этого достаточно уже вспомнить, что в классической механике, основанной на понятии об абсолютном времени,
имеет место общеизвестный закон сложения скоростей, согласно которому скорость сложного движения равна просто сумме (векторной)
скоростей, составляющих это движение. Этот закон, будучи универсальным, должен был бы быть применим и к распространению взаимодействий. Отсюда следовало бы, что скорость этого распространения
должна быть различной в различных инерциальных системах отсчета,
в противоречии с принципом относительности. Опыт, однако, вполне
подтверждает в этом отношении принцип относительности. Измерения,
произведенные впервые Майкельсоном (в 1881 г.), обнаружили полную
независимость скорости света от направления его распространения;
между тем согласно классической механике скорость света в направлении движения Земли должна была бы быть отличной от скорости
в противоположном направлении.
Таким образом, принцип относительности приводит к результату,
что время не является абсолютным. Время течет по-разному в разных
системах отсчета. Следовательно, утверждение, что между двумя данными событиями прошел определенный промежуток времени, приобре

§ 2. Интервал
15

тает смысл только тогда, когда указано, к какой системе отсчета это
утверждение относится. В частности, события, одновременные в некоторой системе отсчета, будут не одновременными в другой системе.

Рис. 1

Для уяснения этого полезно
рассмотреть следующий простой
пример.
Рассмотрим две инерциальные
системы отсчета K и K′ с осями координат соответственно xyz
и x′y′z′, причем система K′ движется
относительно
K
вправо
вдоль осей x и x′ (рис. 1).
Пусть из некоторой точки A
на оси x′ отправляются сигналы
в двух взаимно противоположных
направлениях. Поскольку скорость распространения сигнала в системе K′, как и во всякой инерциальной системе, равна (в обоих направлениях) c, то сигналы достигнут равноудаленных от A точек B и C
в один и тот же момент времени (в системе K′).
Легко, однако, видеть, что те же самые два события (приход сигнала в B и C) будут отнюдь не одновременными для наблюдателя в системе K. Действительно, скорость сигналов относительно системы K
согласно принципу относительности равна тому же c, и поскольку
точка B движется (относительно системы K) навстречу посланному
в нее сигналу, а точка C — по направлению от сигнала (посланному
из A в C), то в системе K сигнал придет в точку B раньше, чем
в точку C.
Таким образом, принцип относительности Эйнштейна вносит фундаментальные изменения в основные физические понятия. Заимствованные нами из повседневного опыта представления о пространстве
и времени оказываются лишь приближенными, связанными с тем, что
в повседневной жизни нам приходится иметь дело только со скоростями, очень малыми по сравнению со скоростью света.

§ 2. Интервал

В дальнейшем мы будем часто пользоваться понятием события.
Событие определяется местом, где оно произошло, и временем, когда
оно произошло. Таким образом, событие, происходящее с некоторой
материальной частицей, определяется тремя координатами этой частицы и моментом времени, когда происходит событие.
Часто полезно из соображений наглядности пользоваться воображаемым четырехмерным пространством, на осях которого откладываются
три пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изображается точкой. Эти точки называются мировыми точками.
Всякой частице соответствует некоторая линия (мировая линия) в этом

Гл. 1. Принцип относительности

четырехмерном пространстве. Точки этой линии определяют координаты частицы во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной частице соответствует прямая мировая
линия.
Выразим теперь принцип инвариантности скорости света математически. Для этого рассмотрим две системы отсчета K и K′, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью. Координатные
оси выберем при этом таким образом, чтобы оси x и x′ совпадали,
а оси y и z были параллельны осям y′ и z′; время в системах K и K′
обозначим через t и t′.
Пусть первое событие состоит в том, что отправляется сигнал,
распространяющийся со скоростью света, из точки, имеющей координаты x1, y1, z1 в системе K в момент времени t1 в этой же системе. Будем
наблюдать из системы K распространение этого сигнала. Пусть второе
событие состоит в том, что сигнал приходит в точку x2, y2, z2 в момент
времени t2. Сигнал распространяется со скоростью c; пройденное им
расстояние равно поэтому c(t2 − t1). С другой стороны, это же расстояние равно [(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2]
1/2. Таким образом, мы
можем написать следующую зависимость между координатами обоих
событий в системе K:

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 = 0.
(2.1)

Те же два события, т. е. распространение сигнала, можно наблюдать
из системы K′. Пусть координаты первого события в системе K′: x′
1, y′
1,
z′
1, t′
1, а второго: x′
2, y′
2, z′
2, t′
2. Поскольку скорость света в системах K
и K′ одинакова, то, аналогично (2.1), имеем:

(x′
2 − x′
1)2 + (y′
2 − y′
1)2 + (z′
2 − z′
1)2 − c2(t′
2 − t′
1)2 = 0.
(2.2)

Если x1, y1, z1, t1 и x2, y2, z2, t2 — координаты каких-либо двух
событий, то величина

s12 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)21/2
(2.3)

называется интервалом между этими двумя событиями.
Таким образом, из инвариантности скорости света следует, что если
интервал между двумя событиями равен нулю в одной системе отсчета,
то он равен нулю и во всякой другой системе.
Если два события бесконечно близки друг к другу, то для интервала ds между ними имеем:

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2.
(2.4)

Форма выражения (2.3) или (2.4) позволяет рассматривать интервал, с формальной математической точки зрения, как расстояние
между двумя точками в воображаемом четырехмерном пространстве
(на осях которого откладываем x, y, z и произведение ct). Имеется,
однако, существенное отличие в правиле составления этой величины