Теоретическая физика. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)

МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2016

Èçäàíèå øåñòîå, èñïðàâëåííîå

УДК 530.1(075.8)
ББК 22.31
Л 22

Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Курс теоретической физики:
Учеб. пособие для вузов. В 10 т. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Под ред. Л.П. Питаевского. — 6-е изд., испр. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — 800 с. — ISBN 978-5-9221-0530-9 (Т. III).

Шестое издание третьего тома курса теоретической физики, заслужившего широкую известность в нашей стране и за рубежом.
Книга содержит систематическое изложение основ нерелятивистской
квантовой механики и наиболее существенные приложения теории
к разнообразным физическим задачам.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников, специализирующихся в области теоретической физики.

Учебное издание

ЛАНДАУ Лев Давидович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович

КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Том III

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА (НЕРЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ)

Редактор Д.А. Миртова; корректор В.Р. Игнатова
Оригинал-макет: А.С. Переверзева

Подписано в печать 17.07.2008. Формат 60
90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 50. Уч.-изд. л. 55. Тираж 500 экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, Москва, ул. Бутлерова, дом 17 Б
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в OАO «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская обл., г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpk.ru. E-mail: marketing@chpk.ru
Факс: 8 (496) 726-54-10, тел.: 8 (495) 988-63-87

ISBN 978-5-9221-0530-9

ISBN 978-5-9221-0530-9 (Т. III)
ISBN 978-5-9221-1508-7
c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2008, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора к четвертому изданию . . . . . . . . . . . . .
9
Предисловие к третьему изданию
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Некоторые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Г л а в а I. Основные понятия квантовой механики
1. Принцип неопределенности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2. Принцип суперпозиции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3. Операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4. Сложение и умножение операторов
. . . . . . . . . . . . . . .
28
5. Непрерывный спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6. Предельный переход
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
7. Волновая функция и измерения
. . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Г л а в а II. Энергия и импульс
8. Гамильтониан
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
9. Дифференцирование операторов по времени
. . . . . . . . . .
45
10. Стационарные состояния
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
11. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
12. Преобразование матриц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
13. Гейзенберговское представление операторов
. . . . . . . . . .
60
14. Матрица плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
15. Импульс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
16. Соотношения неопределенности
. . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Г л а в а III. Уравнение Шредингера
17. Уравнение Шредингера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
18. Основные свойства уравнения Шредингера . . . . . . . . . . .
77
19. Плотность потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
20. Вариационный принцип
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
21. Общие свойства одномерного движения
. . . . . . . . . . . . .
87
22. Потенциальная яма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
23. Линейный осциллятор
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
24. Движение в однородном поле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
25. Коэффициент прохождения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Г л а в а IV. Момент импульса
26. Момент импульса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
27. Собственные значения момента . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
28. Собственные функции момента . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
29. Матричные элементы векторов
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
30. Четность состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
31. Сложение моментов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
Г л а в а V. Движение в центрально-симметричном поле
32. Движение в центрально-симметричном поле
. . . . . . . . . .
136
33. Сферические волны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
34. Разложение плоской волны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147

ОГЛАВЛЕНИЕ

35. Падение частицы на центр
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
36. Движение в кулоновом поле (сферические координаты)
. . .
154
37. Движение в кулоновом поле (параболические координаты)
.
166
Г л а в а VI. Теория возмущений
38. Возмущения, не зависящие от времени
. . . . . . . . . . . . .
171
39. Секулярное уравнение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
40. Возмущения, зависящие от времени
. . . . . . . . . . . . . . .
182
41. Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение
конечного времени
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
42. Переходы под влиянием периодического возмущения
. . . . .
193
43. Переходы в непрерывном спектре
. . . . . . . . . . . . . . . .
196
44. Соотношение неопределенности для энергии
. . . . . . . . . .
199
45. Потенциальная энергия как возмущение
. . . . . . . . . . . .
203
Г л а в а VII. Квазиклассический случай
46. Волновая функция в квазиклассическом случае
. . . . . . . .
208
47. Граничные условия в квазиклассическом случае . . . . . . . .
212
48. Правило квантования Бора–Зоммерфельда . . . . . . . . . . .
215
49. Квазиклассическое
движение
в
центрально-симметричном
поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
50. Прохождение через потенциальный барьер
. . . . . . . . . . .
226
51. Вычисление квазиклассических матричных элементов
. . . .
232
52. Вероятность перехода в квазиклассическом случае
. . . . . .
239
53. Переходы под влиянием адиабатических возмущений . . . . .
244
Г л а в а VIII. Спин
54. Спин
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
55. Оператор спина
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
56. Спиноры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
57. Волновые функции частиц с произвольным спином
. . . . . .
262
58. Оператор конечных вращений
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
59. Частичная поляризация частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
60. Обращение времени и теорема Крамерса
. . . . . . . . . . . .
277
Г л а в а IX. Тождественность частиц
61. Принцип неразличимости одинаковых частиц
. . . . . . . . .
281
62. Обменное взаимодействие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
63. Симметрия по отношению к перестановкам . . . . . . . . . . .
290
64. Вторичное квантование. Случай статистики Бозе
. . . . . . .
298
65. Вторичное квантование. Случай статистики Ферми
. . . . . .
305
Г л а в а X. Атом
66. Атомные уровни энергий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
67. Состояния электронов в атоме
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
68. Водородоподобные уровни энергии . . . . . . . . . . . . . . . .
315
69. Самосогласованное поле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
317
70. Уравнение Томаса–Ферми
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
321
71. Волновые функции внешних электронов вблизи ядра . . . . .
328
72. Тонкая структура атомных уровней
. . . . . . . . . . . . . . .
329
73. Периодическая система элементов Менделеева . . . . . . . . .
334
74. Рентгеновские термы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
75. Мультипольные моменты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
76. Атом в электрическом поле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350
77. Атом водорода в электрическом поле
. . . . . . . . . . . . . .
355

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

Г л а в а XI. Двухатомная молекула
78. Электронные термы двухатомной молекулы
. . . . . . . . . .
367
79. Пересечение электронных термов
. . . . . . . . . . . . . . . .
370
80. Связь молекулярных термов с атомными
. . . . . . . . . . . .
374
81. Валентность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
82. Колебательная и вращательная структуры синглетных термов
двухатомной молекулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
83. Мультиплетные термы. Случай a
. . . . . . . . . . . . . . . .
392
84. Мультиплетные термы. Случай b . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
85. Мультиплетные термы. Случаи с и d
. . . . . . . . . . . . . .
401
86. Симметрия молекулярных термов
. . . . . . . . . . . . . . . .
404
87. Матричные элементы для двухатомной молекулы
. . . . . . .
408
88. Λ-удвоение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
412
89. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях . . . . . . . .
416
90. Предиссоциация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
420
Г л а в а XII. Теория симметрии
91. Преобразования симметрии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
92. Группы преобразований
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
93. Точечные группы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
94. Представления групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
449
95. Неприводимые представления точечных групп . . . . . . . . .
459
96. Неприводимые представления и классификация термов
. . .
463
97. Правила отбора для матричных элементов
. . . . . . . . . . .
466
98. Непрерывные группы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
471
99. Двузначные представления конечных точечных групп
. . . .
476
Г л а в а XIII. Многоатомные молекулы
100. Классификация молекулярных колебаний
. . . . . . . . . . .
481
101. Колебательные уровни энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . .
488
102. Устойчивость симметричных конфигураций молекулы
. . . .
491
103. Квантование вращения волчка
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
498
104. Взаимодействие колебаний и вращения молекулы
. . . . . . .
508
105. Классификация молекулярных термов
. . . . . . . . . . . . .
514
Г л а в а XIV. Сложение моментов
106. 3j-символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
523
107. Матричные элементы тензоров
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
532
108. 6j-символы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
536
109. Матричные элементы при сложении моментов
. . . . . . . . .
543
110. Матричные элементы для аксиально-симметричных систем
.
546
Г л а в а XV. Движение в магнитном поле
111. Уравнение Шредингера в магнитном поле
. . . . . . . . . . .
550
112. Движение в однородном магнитном поле
. . . . . . . . . . . .
554
113. Атом в магнитном поле
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
559
114. Спин в переменном магнитном поле
. . . . . . . . . . . . . . .
568
115. Плотность тока в магнитном поле
. . . . . . . . . . . . . . . .
570
Г л а в а XVI. Структура атомного ядра
116. Изотопическая инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . .
572
117. Ядерные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
578
118. Модель оболочек
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
583
119. Несферические ядра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
593
120. Изотопическое смещение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
600

ОГЛАВЛЕНИЕ

121. Сверхтонкая структура атомных уровней . . . . . . . . . . . .
602
122. Сверхтонкая структура молекулярных уровней
. . . . . . . .
606
Г л а в а XVII. Упругие столкновения
123. Общая теория рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
609
124. Исследование общей формулы
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
614
125. Условие унитарности для рассеяния
. . . . . . . . . . . . . . .
617
126. Формула Борна
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
622
127. Квазиклассический случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
630
128. Аналитические свойства амплитуды рассеяния . . . . . . . . .
635
129. Дисперсионное соотношение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
642
130. Амплитуда рассеяния в импульсном представлении
. . . . . .
645
131. Рассеяние при больших энергиях . . . . . . . . . . . . . . . . .
649
132. Рассеяние медленных частиц
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
657
133. Резонансное рассеяние при малых энергиях
. . . . . . . . . .
666
134. Резонанс на квазидискретном уровне
. . . . . . . . . . . . . .
674
135. Формула Резерфорда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
680
136. Система волновых функций непрерывного спектра
. . . . . .
684
137. Столкновения одинаковых частиц
. . . . . . . . . . . . . . . .
689
138. Резонансное рассеяние заряженных частиц
. . . . . . . . . . .
692
139. Упругие столкновения быстрых электронов с атомами
. . . .
697
140. Рассеяние при спин-орбитальном взаимодействии
. . . . . . .
702
141. Полюсы Редже
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
708
Г л а в а XVIII. Неупругие столкновения
142. Упругое рассеяние при наличии неупругих процессов . . . . .
716
143. Неупругое рассеяние медленных частиц . . . . . . . . . . . . .
723
144. Матрица рассеяния при наличии реакций . . . . . . . . . . . .
726
145. Формулы Брейта и Вигнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
730
146. Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях
. . . . .
739
147. Поведение сечений вблизи порога реакции
. . . . . . . . . . .
742
148. Неупругие столкновения быстрых электронов с атомами . . .
749
149. Эффективное торможение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
759
150. Неупругие столкновения тяжелых частиц с атомами
. . . . .
764
151. Рассеяние нейтронов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
767
152. Неупругое рассеяние при больших энергиях
. . . . . . . . . .
772
Математические дополнения
a. Полиномы Эрмита
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
779
b. Функция Эйри
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
781
c. Полиномы Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
784
d. Вырожденная гипергеометрическая функция
. . . . . . . . .
787
e. Гипергеометрическая функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
792
f. Вычисление интегралов с вырожденными гипергеометрическими функциями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
794
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
799

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА К ЧЕТВЕРТОМУ
ИЗДАНИЮ

В настоящем издании «Квантовой механики» исправлены
опечатки и неточности, замеченные с момента выхода третьего издания. Внесены также небольшие уточнения и добавлено
несколько задач.
Я благодарен всем читателям книги, сообщившим мне свои
замечания.

Май 1988 г.
Л. Л. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Предыдущее издание этого тома было последней книгой,
над которой мне довелось работать совместно с моим учителем
Л. Д. Ландау. Произведенная в то время переработка и дополнение книги были весьма значительными и коснулись всех ее
глав.
Естественно, что для этого нового издания потребовалась существенно меньшая переработка. Тем не менее добавлено (в том
числе в виде задач) заметное количество нового материала: он
относится как к результатам последних лет, так и к тем из более старых результатов, которые в последнее время привлекли
к себе повышенное внимание.
Феноменальное владение Львом Давидовичем аппаратом теоретической физики позволяло ему сплошь и рядом обходиться
без обращения к оригинальным работам для воспроизведения
тех или иных результатов своим путем. Это могло стать причиной отсутствия в книге некоторых необходимых ссылок; я постарался в этом издании по возможности добавить их. В то же
время я добавил ссылки на самого Льва Давидовича в тех местах, где излагаются результаты или методы, принадлежащие
ему лично и не публиковавшиеся в самостоятельном виде.
Как и в работе над переизданием других томов этого Курса,
я имел помощь со стороны своих многочисленных товарищей,

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

указывавших мне как на допущенные ранее дефекты изложения,
так и на желательность тех или иных добавлений. Ряд полезных
указаний, учтенных в этой книге, я получил от А. М. Бродского, Г. Ф. Друкарева, И. Г. Каплана, В. П. Крайнова, И. Б. Левинсона, П. Э. Немировского, В. Л. Покровского, И. И. Собельмана,
И. С. Шапиро; всем им я хотел бы выразить свою искреннюю
благодарность.
Вся работа над новым изданием этого тома произведена мной
при близком участии Л. П. Питаевского. В его лице мне посчастливилось найти товарища по работе, прошедшего ту же школу
Ландау и воодушевленного теми же научными идеалами.

Институт физических проблем АН СССР
Москва, ноябрь 1973 г.
Е. М. Лифшиц

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Предлагаемый том Курса теоретической физики посвящен
изложению квантовой механики. Ввиду очень большого объема относящегося сюда материала представилось целесообразным
разделить его на две части. Публикуемая первая часть содержит
нерелятивистскую теорию, а релятивистская теория составит содержание второй части.
Под релятивистской теорией мы подразумеваем, в самом широком смысле, теорию всех квантовых явлений, существенно зависящих от скорости света. Соответственно этому в нее будет
включена не только релятивистская теория Дирака и связанные
с нею вопросы, но и вся квантовая теория излучения.
Наряду с основами квантовой механики в книге изложены
также и многочисленные ее применения — в значительно большей степени, чем это обычно делается в общих курсах квантовой механики. Мы исключали из рассмотрения, только такие
вопросы, исследование которых требовало бы существенным образом одновременного подробного анализа экспериментальных
данных, что неизбежно вышло бы за рамки книги.
Изложение конкретных вопросов мы стремились вести с наибольшей полнотой. В связи с этим мы считали излишними ссылки на оригинальные работы, ограничиваясь указанием их авторов.
Как и в предыдущих томах, изложение общих вопросов мы
старались вести таким образом, чтобы по возможности ясно
выявить физическую сущность теории и на ее основе строить
математический аппарат. Это в особенности сказалось на первых параграфах книги, посвященных выяснению общих свойств

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
11

квантовомеханическмх операторов. В противоположность обычно принятой схеме изложения, исходящей из математических
теорем о линейных операторах, мы, наоборот, выводим математические требования, предъявляемые к операторам и собственным функциям, исходя из физической постановки вопроса.
Нельзя не отметить, что во многих курсах квантовой механики изложение существенно усложнилось по сравнению с оригинальными работами. Хотя такое изложение обычно аргументируется общностью и строгостью, но при внимательном рассмотрении легко заметить, что и та и другая в действительности
часто иллюзорны до такой степени, что заметная часть «строгих» теорем является ошибочной. Поскольку такое усложнение
изложения представляется нам совершенно неоправданным, мы,
наоборот, стремились к возможной простоте и во многом вернулись к оригинальным работам.
Некоторые чисто математические сведения вынесены нами
в конец книги в виде «Математических дополнений», чтобы,
по возможности, не прерывать изложения в тексте отвлечением
в вычислительную сторону. Эти дополнения преследуют также
и справочные цели.

Москва, май 1947 г.
Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Операторы обозначаются буквами со шляпкой: f
Элемент объема: пространства — dV , конфигурационного
пространства — dq, импульсного пространства — d3p
Матричные элементы величины f (см. определение на с. 51) —
fnm или ⟨n|f|m⟩
Частота переходов ωnm = (En − Em)/ℏ
Коммутатор двух операторов { f, g} = fg − g f
Гамильтониан — H
Фазовые сдвиги волновых функций — δl
Атомные и кулоновы единицы —см. определение на с. 154, 155
Векторные и тензорные индексы обозначаются латинскими
буквами i, k, l
Антисимметричный единичный тензор — eikl (см. определение на с. 114)
Ссылки на номера параграфов и формул в других томах этого Курса снабжены римскими цифрами: I — том I, «Механика»,
1988; II — том II, «Теория поля», 1989; IV — том IV, «Квантовая
электродинамика», 1989.

Г Л А В А
I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 1. Принцип неопределенности

Классические механика и электродинамика при попытке
применить их к объяснению атомных явлений приводят к результатам, находящимся в резком противоречии с опытом. Наиболее ясно это видно уже из противоречия, получающегося при
применении обычной электродинамики к модели атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам.
При таком движении, как и при всяком ускоренном движении
зарядов, электроны должны были бы непрерывно излучать электромагнитные волны. Излучая, электроны теряли бы свою энергию, что должно было бы привести в конце концов к их падению
на ядро. Таким образом, согласно классической электродинамике, атом был бы неустойчивым, что ни в какой степени не
соответствует действительности.
Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свидетельствует о том, что построение теории, применимой к атомным
явлениям — явлениям, происходящим с частицами очень малой
массы в очень малых участках пространства, — требует фундаментального изменения в основных классических представлениях и законах.
В качестве отправной точки для выяснения этих изменений
удобно исходить из наблюдаемого на опыте явления так называемой дифракции электронов 1) . Оказывается, что при пропускании однородного пучка электронов через кристалл в прошедшем пучке обнаруживается картина чередующихся максимумов
и минимумов интенсивности, вполне аналогичная дифракционной картине, наблюдающейся при дифракции электромагнитных
волн. Таким образом, в некоторых условиях поведение материальных частиц — электронов — обнаруживает черты, свойственные волновым процессам.

1) Явление дифракции электронов было в действительности открыто после
создания квантовой механики. В нашем изложении, однако, мы не придерживаемся исторической последовательности развития теории, а пытаемся
построить его таким образом, чтобы наиболее ясно показать, каким образом
основные принципы квантовой механики связаны с наблюдаемыми на опыте
явлениями.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ГЛ. I

Насколько глубоко противоречит это явление обычным представлениям о движении, лучше всего видно из следующего мысленного эксперимента, представляющего собой идеализацию
опыта с электронной дифракцией от кристалла. Представим себе непроницаемый для электронов экран, в котором прорезаны
две щели. Наблюдая прохождение пучка электронов 1) через одну из щелей, в то время как другая щель закрыта, мы получим
на поставленном за щелью сплошном экране некоторую картину распределения интенсивности, таким же образом получим
другую картину, открывая вторую щель и закрывая первую.
Наблюдая же прохождение пучка одновременно через обе щели, мы должны были бы, на основании обычных представлений, ожидать картину, являющуюся простым наложением обеих
предыдущих, —каждый электрон, двигаясь по своей траектории,
проходит через одну из щелей, не оказывая никакого влияния на
электроны, проходящие через другую щель. Явление электронной дифракции показывает, однако, что в действительности мы
получим дифракционную картину, которая благодаря интерференции отнюдь не сводится к сумме картин, даваемых каждой
из щелей в отдельности. Ясно, что этот результат никаким образом не может быть совмещен с представлением о движении
электронов по траектории.
Таким образом, механика, которой подчиняются атомные
явления, — так называемая квантовая или волновая механика, — должна быть основана на представлениях о движении,
принципиально отличных от представлений классической механики. В квантовой механике не существует понятия траектории частиц. Это обстоятельство составляет содержание так
называемого принципа неопределенности — одного из основных принципов квантовой механики, открытого Гейзенбергом
(W. Heisenberg, 1927) 2) . Отвергая обычные представления классической механики, принцип неопределенности обладает, можно
сказать, отрицательным содержанием. Естественно, что сам по
себе он совершенно недостаточен для построения на его основе
новой механики частиц. В основе такой теории должны лежать,
конечно, какие-то положительные утверждения, которые будут
рассмотрены ниже (§ 2). Однако для того чтобы сформулировать эти утверждения, необходимо предварительно выяснить характер постановки задач, стоящих перед квантовой механикой.

1) Пучок предполагается настолько разреженным, что взаимодействие частиц в нем не играет никакой роли.
2) Интересно отметить, что полный математический аппарат квантовой
механики был создан В. Гейзенбергом и Э. Шредингером в 1925–1926 гг.,
до открытия принципа неопределенности, раскрывающего физическое содержание этого аппарата.

§ 1
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
15

Для этого прежде всего остановимся на особом характере взаимоотношения, в котором находятся квантовая и классическая
механики.
Обычно более общая теория может быть сформулирована
логически замкнутым образом независимо от менее общей теории, являющейся ее предельным случаем. Так, релятивистская
механика может быть построена на основании своих основных
принципов без всяких ссылок на ньютоновскую механику. Формулировка же основных положений квантовой механики принципиально невозможна без привлечения механики классической.
Отсутствие у электрона 1) определенной траектории лишает
его самого по себе также и каких-либо других динамических характеристик 2) . Ясно поэтому, что для системы из одних только
квантовых объектов вообще нельзя было бы построить никакой
логически замкнутой механики. Возможность количественного
описания движения электрона требует наличия также и физических объектов, которые с достаточной точностью подчиняются классической механике. Если электрон приходит во взаимодействие с «классическим объектом», то состояние последнего,
вообще говоря, меняется. Характер и величина этого изменения
зависят от состояния электрона и поэтому могут служить его
количественной характеристикой.
В этой связи «классический объект» обычно называют «прибором», а о его процессе взаимодействия с электроном говорят,
как об «измерении». Необходимо, однако, подчеркнуть, что при
этом отнюдь не имеется в виду процесс «измерения», в котором участвует физик-наблюдатель. Под измерением в квантовой
механике подразумевается всякий процесс взаимодействия между классическим и квантовым объектами, происходящий помимо
и независимо от какого-либо наблюдателя. Выяснение глубокой
роли понятия измерения в квантовой механике принадлежит Бору (N. Bohr).
Мы определили прибор как физический объект, с достаточной точностью подчиняющийся классической механике. Таковым является, например, тело достаточно большой массы. Однако не следует думать, что макроскопичность является обязательным свойством прибора. В известных условиях роль прибора может играть также и заведомо микроскопический объект,

1) В этом и следующем параграфах мы говорим для краткости об электроне, имея в виду вообще любой квантовый объект, т. е. частицу или систему частиц, подчиняющихся квантовой и не подчиняющихся классической
механике.
2) Речь идет о величинах, характеризующих движение электрона, а не о величинах, характеризующих электрон как частицу (заряд, масса) и являющихся параметрами.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ГЛ. I

поскольку понятие «с достаточной точностью» зависит от конкретно поставленной задачи. Так, движение электрона в камере Вильсона наблюдается по оставляемому им туманному следу,
толщина которого велика по сравнению с атомными размерами;
при такой степени точности определения траектории электрон
является вполне классическим объектом.
Таким образом, квантовая механика занимает очень своеобразное положение в ряду физических теорий — она содержит
классическую механику как свой предельный случай и в то же
время нуждается в этом предельном случае для самого своего
обоснования.
Мы можем теперь сформулировать постановку задачи квантовой механики. Типичная постановка задачи заключается
в предсказании результата повторного измерения по известному результату предыдущих измерений. Кроме того, мы увидим
в дальнейшем, что квантовая механика, вообще говоря, ограничивает, по сравнению с классической механикой, набор значений,
которые могут принимать различные физические величины (например, энергия) т. е. значений, которые могут быть обнаружены
в результате измерения данной величины. Аппарат квантовой
механики должен дать возможность определения этих дозволенных значений.
Процесс измерения обладает в квантовой механике очень существенной особенностью — он всегда оказывает воздействие на
подвергаемый измерению электрон, и это воздействие при данной точности измерения принципиально не может быть сделано
сколь угодно слабым. Чем точнее измерение, тем сильнее оказываемое им воздействие, и лишь при измерениях очень малой
точности воздействие на объект измерения может быть слабым.
Это свойство измерений логически связано с тем, что динамические характеристики электрона появляются лишь в результате
самого измерения; ясно, что если бы воздействие процесса измерения на объект могло быть сделано сколь угодно слабым, то
это значило бы, что измеряемая величина имеет определенное
значение сама по себе, независимо от измерения.
Среди различного рода измерений основную роль играет измерение координат электрона. Над электроном, в пределах применимости квантовой механики, всегда может быть произведено 1) измерение его координат с любой точностью.
Предположим, что через определенные интервалы времени Δt производятся последовательные измерения координат

1) Еще раз подчеркнем, что, говоря о «произведенном измерении», мы имеем в виду взаимодействие электрона с классическим «прибором», отнюдь не
предполагающее наличия постороннего наблюдателя.