Основы теории электричества

ÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ

ÒÎÌ 3

ÈÇÄÀÍÈÅ ÒÐÅÒÜÅ

2018

ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ

УДК 517
ББК 22.161
С 23

Куд р я в це в Л. Д., Ку т а с о в А. Д., Ч е х л о в В. И., Ш а бу н и н М. И.
Сборник задач по математическому анализу. В 3 т. Т. 3. Функции нескольких переменных:
Учеб. пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. — 3-е изд. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. — 472 с. — ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3).

Книга является третьей частью трехтомного сборника задач, созданного
на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа
в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал по
следующим разделам курса математического анализа: дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, векторный анализ; интегралы, зависящие от параметра;
элементы функционального анализа.
Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров
с решениями и задачи для самостоятельной работы с ответами.
Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.

Р е ц е н з е н т ы :

заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова
академик В.А. Ильин;

профессор МФТИ академик С.М. Никольский

ISBN 978-5-9221-1706-7 (Т. 3)
ISBN 978-5-9221-1705-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2016, 2018

c⃝ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов,
В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2016, 2018

!x
/?%77
5<
n
$55
,

x
#&663657!73
8
6$

2
63657A<
##

x
*7%78
8
8
6636$

578
8
57<
-+

x
+7%78
8
7
7=6&$

5(2(20
x
-C6557
8
62
//)

x
D@
56<

/#.

x
,E%5575<
/+
x
072
1?512/-0

x
.@
568%6<
671#**

x
/)2717
#-
x
//!717
#,0

x
/#F6767#.
x
/*F717%95*#+

x
/+?553
71%95**+

x
x
x
!"#$%&#$! 

x
'()!*

x
*+x
, -$x
,.)/01!

!
n
"
"
#"
"
!
$%"
&!
'(!
"
"
%
)*"
"
%!!
+"
,"
)#%--(&"
"
!
.!%)*("
!!/
"
*%0
*0
!"
!
****!!
!!
"!
!
# !!
$$!
!
%&
'
#
(
#
)

x
!"#
$%
%
n
&!'"!
 '
"
$'
$%
'
"
$'
$%
R

n

*%n
!R

n

(
R

n

%+%x
,
-x

i

.
x

.
.
x

n

/
y
,
-y

i

.
y

.
.
y

n

/x

i

y

i

R
i
,
)0n-x.
y
/
1
!

-x.
y
/
,

s

n

X

i-x

i

y

i

/

-)/

*R

n

R

n

n
R

n

2
x
,
-x

i

.
x

.
.
x

n

/
R

n

R

n

x

i

i
,
)0ni
%!
3x
,

,
-4.
4.
.
x

i

.
.
4/
n
R

n

i
3O
,
-4.
4.
.
4/
5x
,
-x

i

/
y
,
-y

i

/
R

-R
/

1
-)/
-x.
y
/
,
jx

i

y

i

j%R

!
!R

6R

R

%%!
!
5%R

n

%%!7
x
,
-x

.
x

.
.
x

n

/y
,
-y

i

.
y

.
.
y

n

/R
x
8
y
,
-x

8
y

.
x

8
y

.
.
x

n

8
y

n

/x
,
-x

.
x

.
.
x

n

/-0/

R

n

x
 

 
x

i

!
x

!
!
x

n

R

n

"##xx

i

i
 
$n#e

i

 
$!
%!
!
%e

n

 
%!
%!
!
$&%!
%!
!
%#&
R

n

xy
x
 
x

i

!
x

!
!
x

n

y
 
y

!
y

!
!
y

n

xy
n

X

ix

i

y

i

'(R

n

)

'#n
)*
+p

xx#x
#jxj&x
y
#xy
%,x
y
#.%!
/
cos
xy
jxjjy
j

R

n

0a
 
a

!
a

!
a

n

R

n

%12
x
 

 
x

!
x

!
x

n

R

n

2

jx

i

a

i

j
i
 
$n3#n
)4a
a
R

n

"4a"4a0a
R

n

%12
x
)

R

n

2
x!
a#n
)4a
)a
R

n

#U

n

a!
U

n

a!
fx
R

n

5
x!
ag6U

a!
fx
R
5
jx
aj
g

4a
R
!
U

a!
fx
R

5

p

x

a

7
x

a

g

4a
 
a

!
a

R

n
1E
R

n

#8n
)98"*
0)

m
x

m)

R

n

:
x

x

x

m#R

n

)

#x

mm
N
fx

mg0fy

k
g
)

#fx

mg)

8#8m

k

N
x

m

k

y

k
k
N
0fx

mg
#
x

mm
N
*

a
R

n

#fx

mg)

x

m!
a%
m
&
"9lim

mx

ma

x

m2
a0)

2
#*
,2
8)

#*

0x

mR

n

2
a
#
%
8m

2
m
m

#x

mU

n

a!
;4<&9*
R

n

0fx

mg
R

n

#9lim

mx

mx

m!
O
7m
O
*

E
R

n

#"R

n

R

n

8)"8E
=x
)

E
R

n

89U

n

x!
U

n

x!
E
1)

R

n

#R

n

0R

n

#*

(#
R

n

8#
#"R

n

&
)#
"*

x
R

n

#E
R

n

#
"2
E
x
E
R

n

E
xE
xx
R

n

E
x
E
xx
R

n

E
R

n

E
E
E
E
E
E
E
E
E

E
E

!
E
E

E
E

"#n
E

n$d
E

E

R

n

%
d
!
d&E

'
E

(
!
inf

xE

y
E

&x'
y
()
d
x
R

n

E
R

n

d
!
d&x'
E
(
!
inf

y
E

&x'
y
(D
&E
(
E
R

n

sup

xx

E

&x'
x

(*
x
!
&x

'
x

'
'
x

n

(
R

n

x

!
x

&t(x

!
x

&t(x

n

!
x

n

&t(t
+'
,&-.(

%
#x

i

&t(i
!
-/n+'
,R

n

0
&-.(
*t
1&-.(
x

!
a

2
b

tx

!
a

2
b

tx

n

!
a

n

2
b

n

tn
n

X

ib

i

.*
R

n

t
R
R

n

t
+'
,E
R

n

3E
R

n

R

n

E
4
R

n

1E
4
E
E

R

n

E

R

n

E
R

n

5E
R

n

3"E
R

n

E
"
- 
)
R
E
!
&.'
-,
f/g0
E
R
E
N
)&.'
-(4
+.'
-,
x
!
/E
x
!
/"+.'
-,4
x
!
.x
!
-x
!
/N

"
/ 
6*

R

*

R

x

!
2
/tx

!
/tx

!
/
2
/tx

!
/t

x

!
-x

!
tx

!
2
/tx

!
tt
R
0
x

*

y

*

&x

'
y

(
!
d&*

'
*

(N
67

&x'
y
(
!

p

8t

t
t
t
p

t

tt
xy
p

t
q

t
p

p

!"d#

#

inf

xy
xy
p

$%&&!t
p

p

't
&!"x

((y

)N

*!"!&&!+xy
!&!&!,

R

n

'
!
&'&!.

xy
xy
!/
!"!/
/
x
y
xy
y
x+
0
1
xy
R

n

xz
xy
y
z
+
0
1
xy
z
R

n



2

*!"!&+&!,

&!R

n

'
!
&'&!xy
z
R

n

R
.

xxxx!/
!"!/
/
x
3

'
!xy
y
xxy
xy
x
y
zxzy
z*!".

+
!x
x

x

x

n

&!&!,

R

n

jxj
s

n

X

ix

i

+
&+/+
!xy
R

n

&&!jxy
j
jxj
jy
j4'!R
!!a
a
b
!/".

a
b
a
nb
nn
n
n
n
5
n
,&!&!&
a4'!.

d

n

/lim

nd

n

/n

/"0
/k
,'
/"0k
nlim

nn

&%6&/'
!/"1
'
/2

&!"
a
a

a

a

n

R

n

i

i
n7&!&1
!x
x

x

x

n

&!&!R

n

+
!1

jx

i

a

i

j
i

i
n0!
n
,&
i

&
8!!a*!"!.

+
0
/n
,/%&
8!!a
&9&!!

n
,'
+/"'
&
8!!a&,

9'&+
%!
+
0
/n
,/+/"/&
8!!a
&9&!!
n
,'
%&

8!!a&9'&+
!
/n
,/+/"/,

&!/1
+91
'
%
2

*!"!+
&1
&!&!"&!x

mx

mx

mx

mn

R

n

!a
a

a

a

n

R

n

1
,

&!!!lim

mx

mi

a

i

i
n4'!lim

mx

m&.

x

mp

m
p

mm
m

m

m

m

m

x

mm

m

m

x

mcos
n

n

sin
n

n

/
.
n

3
&"%+
,

&!"&!"n

3
&+
&!"&!"n

x

mr

m

cos
mr

m

sin
mr
R
x

mm

m

p

r
cos

m

m

m

p

r
sin

m

r
R
r
&!"&!"
x

mR

n

0!
&,

!+!
.
+
/&9&!!

!!"&N
!+
0
/m
N
0
/k
N

&!x

mx

k
*!"!+
&1
&!&!"&!!&!,

&!R

n

1
&!!!&!"&!"
,

fx

mg
R

n

x

mam
!
a
"
#
R

n

$%
&x

mi

i
nlim

mx

mi

'
#&%
#((R

n

(n
()$(n
(*(n
(!(+,)n
(
-a%
E
'
fx
R

n

xag.((R

n

n
%
/
!E
'
fx
R

n

x

x

x

i

'
0i
'
*ng1

2f
xx
R
"
(-y

"
%
)f
xy

((R
2G

i

i
N
"
(((R

n

%
R

n

%
m

T

iG

i

S

iG

i

#((2((/
%
(/
((!(
a
R

n

(%
E
R

n

/
(
&x

mE
/
&a3%
E
'
fx
R

x

'

'
sin
x

g%&E
2%
!(%
!(/
%
(/
!%
4(
%!%
!$#
!%
%)5!%
%
(#!1

n
2%
E
#&#&E
($(/
%
E
*inf

xy
E

xy
'
0#&%
#(R

n

$(n
(()%
/

x
R

n

/xa*n
0
-a%
/
x
R

n

/xa'
(
n
(a
n
(()a
$$$6-)2/
/
n
%)1

#&/
!%
%
((%$(*!(!%
!((!%
%
G
R

n

(a
F
R

n

G
n
F
(a
F
n
G
2F

i

R

n

i
N
"
((%
%
iF

i

m

iF

i

#(2(/
%
7(/
(2f
xx
R
"
(-y

"
%
)f
xy

(2f
xx
809
"
(-E

n

"
%
)n
f
xn
 
n
N
%
k
E

k
2-f
xx
8ab9b
a%
(/
f
xy
f
xy
#
y
(f
x(8ab9%
(-f
xx
8ab9%
F
8ab9
R

n

n
k

!"#

R

n

$n
k

!

"#E
$#%E
R

n

"#%&E
$#%E
R

n

'$%F
%(
F
'$%R

G%%G"E
R

n

$#()*

E
E
+
E
,
E
+
E
E
+
-E
E
,
+

.E
,
E
+
/E
E
+
0E
,
E
+

1x

mE
lim

mx

m,
aa
E
!

"#$#E

i

R

n

i
N
*

m

S

iE

i

,

m

S

iE

i

+
S

iE

i

S

iE

i

'#
$##
(
2"#3%
#%
%
"#$(
%'#
E

%$E

$$E

$"#(
%E
(E

E

E

k
%
E

k
4
$$k
'#
E
4
x
$553(2*
x

$20
0
$&0
(%
n
x)"'
E
"&
74"E
"E

R
C
,-"&
8"
"9: 
;
$( 
!(<4
"
""$= 
!=$2= 
3=64
"
&
"**>*"C
"9: 
;",&

)"'
C
"!'
C
"9: 
; 

(C
-&

+C

5
C
$&
"/2"9:;)"'
S
.
$9: 
;
9: 
;n
$C

C

"'
&

)"'
x
9: 
;4
,
,%/
0&

)"'
F

i

F

'
""
*'
-,x
F

y
F

d$F

F

.
$x 
y
)"'
F

F

'
"'

,-"
*'
d$F

F

:74",-*4

F

.
fx
R

x

x

.
g

4

F

.
fx
R

x

.
:g)"'
,
**E
R

n

,*:
x
R

n

d$x 
E
R

n

)"'
,
E

R

n

E

R

n

d$E

E

.
d$E

E

.
d$E



 
E

.
d$E

E

x
R

n

L

k

fx
R

n

x

i

i
k
gk
ndE

E

E

fx
R

x

x

gE

fx
R

x

x

gE

fx
R

x

x

gE

fx
R

x

p

x

gE

i

fx
R

x

x

x

gE

fx
R

x

x

x

g!
E

fx
R

x

x

g
E

fx
R

x

x

g"#!$
dE

E

%&'

R

'

R

#(

&%x

tx

tx

tx

tx

tx

tt
R
)
#!
x
'

y
'

$
xy
d'

'

%&'

R

n

'

R

n

#(

&
%x

tx

tx

tx

n

tx

tx

tx

x

n

t
R
)
#!
x
'

y
'

$
xy
d'

'

"#!$
E
R

n

**
!*
$
*
*+
D
E
%R

(

+,+x

x

j
x

x

x

x

x

x

x

x

x

sinx

jx

j
%R

(

+,+x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n
(*.
.a"#!$
./#&
$
+(

,., +
$
#&0

"#!$
E
R
#$
E

%0

"#!$
#%&*%R

n

%(

*12*0

!
.!$
#&n
#&0

"#!$
#E
R

n

(

#&0

!
E
R

+,#&$
#&0

"#!$
#&R

n

(

#&0

"#!$
E
R

n

3
#$
*#(

&E
3
#0
%#*$
#&*#0

4#&%$
 
(

&-.&
1!.
&
1!&5

6&!$
E
%R

#&.#&&&*.!+E
fx

x

gE
fx

x

gE
fx

x

gE
fx

x

g7E
fx

x

g
fx

x

g8E
fx

x

g
fx

x

g9E
fx

x

gE
fx

x

g:E
fx

x

gE
n

x

x

sin

x

o

E
fx

sinx

g
fx

jx

j
gE
f7x

x

x

x

x

:g6&!$
E
%R

.(

!+E
fx

x

x

gE
fx

x



x

gE
fx

x

x

gE
fx

x

x

g7E
fx

x

x

g8E
fx

x

x

g9E
fx

x

x

gE
fx

x

g:E
fx

x

gE
fx

x

x

x

x

x

x

x

x

g"#!$
+
.&%#!.!
&#!$
1%,0

6&!$
#
$
#&#99$

+&% &0

E
E
fgE
fgE
fx
R

x

x

gE
fx
R

x

x

x

gE
fx
R

x

x

g!E
fx
R

x

x

g"E
R
fg#E
fx
R

x

x

x

g$E
%
&
&
R

n

'()
*)+,
&
'''
.

/

&
&
R

n

&0i
n
)x
nX

ii

a

i

i

nX

ii

*)+,
%
/

*)+,
'
&
)+1&1R

n

&R

n

*)+,
'
&
)+1)11&
1)/

2&
+
&
&
R

),
.

'
&
1)/

*)+,
)&
)+11&
131).

'/

n
n
a

p

narccos

p

k
n
n

!n
k
C

k
k
n
k
e&
3(&
3(jr
j
r
k
k
Z
+.

'&
3(ln
r
4+&
&
R

x
x

x

56&&/

n
x

mm

X

k
k

n
k

k

k

E
 
!"E
 
#$%E
 
#&E
 
#'E
 
#$E
E
P
P
 
!(
$
)
*+
&
,P
E
E

E
n
P

P

-+
.p

n
k
&

p

'p

/
/p

%p

%""
x
,'0""/"""
"y
,'""'%""""
p

,n
,nx
,nnnny
,..p

/
1/1

p

,p

1
p

./11a

p

n22/a22"2%a2&2'a202.222/"%&'0.#
#&/
'#
#&3#4(2#$+5(
E
#$!)
$6(2#$+5(

E
/R

,."fx
R

7
x

1
x

g%R

&28!
.
x

,.'R

0,#$
&06(2#$+5(

F
x
n
E
R

n

x
E
u
R
E
f
u
!
f
"x#x
E
u
!
f
"x

x

x

n

#"x

x

x

n

#
E
$E
%&

x
'
%

x

x

x

n

'
u
!
f
"x

x

x

n

#
'
n
(n
)%*u

x

!
"x

x

x

n

#%x

f
"x

#
f
"x

x

x



n

#+f
"x

x

x

n

#%,
-&

%,
".)x
/01#
&

%,
x

x

x

n

%-n
%,%,

-%&

2%%,
%,
%&

x
y
,
%,
'
xy
z
,
%,

u
!
f
"xy
#"xy
#
E
R

%,
"xy
f
"xy
##"xy
#
E
&

R

2&

u
!
3x

4
y

"xy
#
R

-5,
%,(,
%,
u
!
f
"xy
#

,
%
%,
&

%x
!
my
!
nmn
N
u
%!
6"mn#
&

%u

mn

&

fu

mn

g"
c
&c
R
#
f
"x#x
E
R

n

%&

x
E
,
f
"x#
!
c7
,
%,
%,

%,
'
+f
"x#G
R

n

%G%,
x
G
R
,x
Gf
"x#
!
f
"x#")#

(,
,
f
"x#
!
jj

f
"x#"0#

%2f
"x#
!
xx
R
&

)f
"x#
!
jxjx
R
'
&

)f
"xy
#
!
y
x'
8+%GG9-":;#"<
#f
"x#
&

U

n

"x

#
x

R

n

%x

*a
%f
"x#
x

x

mU

n

"x

#x

m!
x

,
&

x

f
"x

m#
,
a=%
f
"x#
x

>
x

mU

n

"x

#
y

mU

n

"x

#x

m!
x

y

m!
x

,
x

lim

mf
"x

m#
!
lim

mf
"y

m#?
"@
#*a
%f
"x#
x

R

n

8
8,
x,
8
"xx

#
%&

jf
"x#
aj
A@<
%(a
f
"x#
x

lim

xx

f
xa
lim

xx

f
xa!

"
#
!
$a
%&'f
xx
E
R

n

X
E
x

'(

X
'
(

x

mX
x

mx

)
x

f
x

m)
a*&
%f
xx
E
R

n

X
x

%(

x

mX
y

mX
x

mx

y

mx

)
x

lim

mf
x

mlim

mf
y

m"
+
!
$a
%&'f
xx
E
R

n

X
E
x

,
,)
x
X
(

')
'
,
xx

&jf
xaj
.a
f
xx
E
R

n

X
E
x

lim

xx

xE

f
xa/0
)
)%
&(

 
%x
X
'lim

xx

f
xa. 
X
x

&x

f
xX
x

&&f
x1!

.X
%
&(

2
x
33,)
%
x

lim

xx

xX

f
x%&'f
xx
E
R

n

2
x

u
f
xy
)
&)
x

y

&%'lim

xx

y
y

f
xy
lim

xx

y
y

u4'
!
53x
6!
/7)
&)
f
xx
R

n

n
3x
!

!
*)
&)
&
&
(

&
%%(

&'!
53x
6!
87!

*n
3
&)
n9
(

%&&)
&)
!
0
)

&)
u
f
xy
&)
x

y

lim

xx

lim

y
y

f
xy
lim

y
y

lim

xx

f
xy
:u
x
y
x
;
y
lim

xlim

y
x
y

x
y

3
lim

y
lim

xx
y

x
y

3"'%&)
(

)
%&&%!

<%&'
'%=>6!

?(

'
f
x'

x

R

n

%&'x

lim

xx

f
xf
x

@
+
!
?&%&1!

A
%!
f
xx
E
R

n

x
E
%&'f
X
sup

xx

xx

X

f
xf
x

0
)
)X
f

&f
X
%'B&f
X
f
xx
E
R

n

D
D
A
X
E
%&'f
X
%'f
X
C%

1f
X
sup

xx

X

f
xf
x

=.f
xg
x&&
x

R

n

(

cf
xc
A
f
x;
f
xf
xg
xg
x

,f
xg
x&&
x

?'
f
x%&'G
R

n

&Gf
xx

R

n

x

x

f
x!
!"

#f
xx

$

%f
xx

"

lim

xx

f
x$

lim

xx

f
xf
x

&lim

xx

f
xf
xx

lim

xx

f
x'
f
x

x

(

)

*
(

+f
xE
R

n

x
E
x

E
lim

xx

xX

f
x'
f
x

,
*
X
'
E
*(

-!
!

f
x$
y
'

y
sin#xx

.
y

'
//x

.
y

'
//$
/0(

E
x

)

f
xx
E
R

n

x

1
E
,0n
!
(
(
#)

(

+f
xx
E
R

n

X
E
X
*(

+f
xx
E
R

n

X
E
*/
/!
xx

X
!
x$
x

jf
xf
x

j
E
R

n

)

x
E
u
R

m

$
*
*)

E
R

m

!
f
2f
"
E
R

m

E
R

n

u
'
f
xx
E
R

n

u
R

m

3,
m
'
#(
(
*
u
R
f
)

n
!(
,
u
'
f
xx
E
R

n

u
R

m

4m
n
!

u

i

'
f

i

x

$
x

$
$
x

n

i
'
#%m#/+#/)

f
2f
'
f
f

$
f

$
$
f

m

&f
)

x
R

n

u
R

m

)

x
f
f
x5!
f
xx
E
)

E
f
E
&u
R

m

f
!
x
E
R

n

!f
x'
uu
f

u6f

U
7!
)

U
f
E
8f
xx
E
R

n

x

E
*/
/!
x
E
!
x$
x

f
x$
f
x

8f
xx
E
R

n

X
E
X
8f
xx
E
R

n

X
E
*/
/!
xx

X
!
)

x$
x

f
x$
f
x

##8f
"
E
R

m

E
R

n


E
0R

m

(
(
)

f
x'
f
x

xx

E
x
'
x

,
0)

*E
f
E
&E
f
E
f
E
f

"
f
E
E
u
f
E
x
E
f
x'
u&f
"
E
R

m

E
R

n

E
f

)

f
E
f
(

E
R

n

E

R

m

E
E

E
E

c
!"u
#

p

$%y
x

y

N
xy
y
x

y

!
y
x

y

y
x

y

"#
!$
y
$!
%
&#
!$'y
$
!
%
(%
%)*
+,#%

-$c
*
$)
.c
R
#!$
xy
p

y
x

y

/
c0c
c
!
*
!$
!
*
)
!$
x+!
')*
%
&
c
)+!

y

x

y

/
c

x

y

c

y
/
x

y
c

/
c

1c
!
*
c
$p

c

!
c

+!
2#
$$')*
%
(%
%c
*
c
/
3443N

!
%lim

xy
x

y

x

y

N
0*,
,
$#
&
!*)
*!
$x+
y
&)
p

x

'
y

*)
*!x

y

x

y

,

#

x

x

y

jy
j
jy
j
p

x

'
y

1lim

xy
x

y

x

y

#
,N

3!"f
$x+
y
&
#
y
cos

y
x

*!$,+
,&
 !!"N
5*!"*!)
 y
#
x2**!$,+
,&
.
E
#
f$x+
y
&
R

6
x
#
y
g!!"*
jy
cos$$y
x
&&j
jy
j)
*!
$x+
y
&
E
N

4!"f
$x+
y
&
#

x

y

y

x

*!$,+
,&

 x
#
ty
#
t'
#
,+
!*lim

xy
x

y

y

x

N
(!")
*!)
 !!*!$,+
,&7!
!!

f
$t+
t&
#

t

t

,
 t
,

$#
,f
$t+
,&
#
,&!"*!$,+
,&
 !)
**!8!*lim

xy
x

y

y

x

*!!)
**!!!"*!$,+
,&
7!!y
#
x

.
f
$x+
x

&
#
%!"*!$,+
,&
 y
#
x

%N

!"s
#
f
$x+
y
&s
9
 x
9
y
9
.*f
$+
%&!"v
#
f
$x+
y
&v
9
:!!x
9
y
6

&
!+
%&
!v
f
xy
v
x
!"#$

y
"#
##%
"!
&'

s
f
xy
z
s
"#
xy
(
z
(

'
)(#*
af
+,+f
,-,s
f
xy
z
s
"#
#xy
z
(
'

Q
f
xy
z
Q
"#
$

%#&#(xy
(
z
(('

v
f
x

x

x

x

v
$

. x

i

i
,+/-"((""#x

(
'

)(#
f
,,,,%
(%!$

*

,u
p

x
0
y
0

p

x
y
+u
p

,
x

y

/u
p

x

y

-u
lnx

0
y

,1u
ln
y

-x
0
23u
ln
x

0
-y

+x
/4u
p

x

y

2u
ln

x

y

x

x
x

y

5u
p

,
jxj
jy
j
,6u
x

xy
y

x
y
,,u
ln
x
ln
y

p

x
y

,+u
p

-x

x

-x,/u
p

log

a

+
x

y

,-u
p

x

0
y

a+a
x

y

,1u
ln/x
0
y
/0

lnxp

x
y
,3u
p

x
,
0

p

y
,
0

p

x
0
y
/
0

p

-+
3x
4y
,4u
p

y
sin
x
,2u
ln
x
ln
sin
y
,5u
ln
sin
x

0
y

+6u
p

x
ln
tg

y

x

+,u
arccos
y
++u
arccos
x
0
y
+/u
arcsin

x

x
y

+-u
x

y

7u
uxy
*

!(((!(#!#((8

!
9uxy
!*

,u
x

y

+u
p

x
sin
y
/u
ln
,
+x
x

y

0
ln,
0
+x
x

y

-u
arcsin
y
x1u
p

xy
0
arcsin
x3u
arccos
xy

4u
arccos
+y
0
+y
x

,!!*

,u
x

+xy
0
y

0
+x
+y
/+u
p

+
0
x
0
y
x

+xy
y

/u
ln
-x

0
+y

-xy
0
,+x
,+y
0
+,-u
log

y

x
0
log

x

y
1u
e

xy

e

xy

0
+3u
/
siny
x0
2
sin

y
+x4u
/
sinx
y
0
3
sinx
0
y
0
cos
x
y
0
2x
0
y
2u
arccos

x

y

xy

!u
f
x
y
xy
E
*

,u
x
+y
/E
fxy
*
x
0
y
,x
6y
6g+u
x

xy
0
y

E
fxy
*
jxj
0
jy
j
,g/u
x

0
y

,+x
0
,3y
0
+1E
fxy
*
x

0
y

+1g-u
ln
+x

0
/y

E
fxy
*
x
0
y
+x
6y
6g1u
p

x

0
y

E
fxy
*
x
0
y
+g%
(%!$

*

,u
ln
,
x
y
z
+u
p

,
jxj
jy
j
jz
j
/u
p

x

0

p

z

-u
p

x

y

z

1u
p

,3
x

z

3u
p

5
y

z

y

0
z

-4u
ln
/3
/3x

5y

-z

2u
p

z
x

y

5u
ln
+z

3x

/y

3,6u
p

x

0
+y

0
+y
z
0
z

+y
0
,
,,u
p

,3
x

y

z

ln
x

0
y

0
z

-,+u
p

+x

0
y

0
z

x

0
y

0
z

,
,/u
ln
x
ln
z

p

y
0
ln1
x
y
z
,-u
p

x
0

p

y
0

p

z
0

p

,
x
y
0

p

/x
0
y
/z
,1u
lnz

x

y

p

x

y

z

,3u
lnx

y

z

p

x

y

u
lnz
z

x

y

p

z
x

y

u
p

z
xy
q

z
p

x

y

u
arccos
x

y

z

u
arcsin

p

x

y

z
u
arccos
x

y

z

arccos

p

x

y

!"#
 
$

%!
#

u
arcsin
x
arcsin
x
y
arcsin
x
y
z
&%!'#
#(&
)'*

+&%,
&
%
!"uxy
z
%!'%''%&#&'%(%!#
&'!'%.

/!"u
%!
#
u
x

y

z

u
p

x
p

y
p

z
u
ln
xy
z
0u
p

z

x

y

1y
p

z

x

y

2u
ln
z

x

y

3u
lny
lnz
y
u
arccos

x

y

z

u
xy
z

u
z

xy

4#%,
&
#
 
!"##
 
%!
#
u
x

y

1z

xy
0y
z
z
u
x

y

z

0xy
xz
y
z
u
p

x

y

x
1
p

x

z

0x
0u
p

0x

y

z

xy
0z
1
1u
lnjxj
jy
j
jz
jln
jxy
z
j4#%,
&
#
 
!"#
u
f
xy
z
xy
z
E

u
x

y

z

E
fxy
z
x
y
z
2gu
x

y

z

x
E
fxy
z
x
y
z
gu
p

x

y

z

y
z
E
fxy
z
x

y

z

g0u
arctg

p

xy
lnxz
E
fxy
z
x
y
z
g4#%,
&
#
 
!"'5
%'5#
 
%!
#
u
x

x

x

x

u
p

x

p

0
x

p

x

p

2
x

u
p

3
x

x

x

x

x

x

0u
ln
00x

2x

2x

x

!
4$!
"#$
n
&(5$

!
&"
$.

u
n

X

ip

jx

i

ju
s

n

X

ix

i

n

X

ip

x

i



u
ln

n

X

ix

i

i1u
ln

n

X

ix

i

n

X

ij
x

i

x

j

2u
s

log

a

n

X

ix

i

3u
n

X

iarcsin
x

i

i4$c
%"'
!
"#'
"5
&(5.

u
y
xu
p

y
x
u
x

y

1u
lnx

y

2u
p

3
1x

y

3u
p

x

y

u
p

xy
u
p

x
y
p

x
y
u
x
y

x
y

u
ln

p

x
y

x
y

u
x

y

u
e

xx

y

u
p

y
sin
x
1u
ln
x
ln
sin
y
2u
arcsin
y
x3u
arctg
y
x

y

u
p

jxj
jy
j
u
jxj
jy
j
jx
y
ju
minxy
u
maxjxjjy
jy
min
x

y
u
p

sign
sin
x
sin
y
4$c
%"'
!
"#5
&(5.

u
x
y
z
u
e

xy
z

u
x

y

1z

1u
x

y

z

x2u
ln
x

y

z

3u
x

y

z

u
ln
z

x

y

u
x
y
z

u
x
z
u
z
x
y
z

u
z
x

y

z

u
z
x

y

u
lnp

x

y

z

p

x

y

z

1u
p

x

y

z

x

y

z

2u
p

x
y

z

p

x
y

z

3u
lnjxj
jy
j
jz
ju
p

sign
sinx

y

z

u
arcsin

p

x

y

z

4$c
%"'
!
"#n
&(5.

u
x

n

u
s

n

n

X

ix

i

u
x

n

X

ix

i

1u
x

n

X

ix

i

x

n

X

ix

i

6( '
'
'
.

f
xy
z
f
y
xz
f
xy
z
f
z
xy
f
xy
z
xe

y
z

y
e

z
x

z
e

xy

f
xy
f
x
y
x
y
y
x
y
f
xy
y
xx

y

f
xy
p

y
p

x
f
xxf
xy
xy
xf
y
p

y

f
xy
xy
p

xy
y
xf
y
f
xxxf
xy
xy
y
xf
xsinx
f
xxf
xy
x
p

y
x
p

y
x
f
xsin
xf
xx

cos
x
f
xy
xy
e

x

f
y
y

f
xe

x

x

u
f
xz
y
z
xu
x
y
xu
f
x

z
y

z
z

u
z

x

y
xx
z
u
f

xz
xy
x

y

u
x

z
y
xy
u
f

z
x

xz

z

e

y

z

u
z

x

y
ln
xz
!u
p

x

y

xx
u
p

x

y

"u
x

p

sin

y

x

y

p

cos

x

y

u
p

x

z

x

y

z
xy

z

#u
p

x

y

z

t

$u
xy
z
t

xy
z
y
z
t

%u
nX

ix

i

x

i&u
n

X

ij
x

i

x

j

n

X

ix

i

'u
nX

ix

i

ln
x

iln
x

i

u
Q

n

ix

i

R
()*
++
+
+

f
x

x

x

n

x

n

*!*
*f
x

x

x

n

x

n

F

x

x

n

x

x

n

x

nx

n

,G
.+/+
*
0
)1))x
y
()+

u
y

xx
y
y

*
20
)0
.G

+*++
*
.G()*
*2.*
++
+

+
+*++
3

4
)0
"%5&
lim

xx

f
x+
*
+
u
f
x!
lim

xlim

y
u.lim

y
lim

xu*lim

xy
u!

u
x

y

x

y

u
xy

x

y

"u
y

x

y

x

u
x

y
xy

x

xy
y

#u
x

y

x

y

x
y
$u
x

x

x

y

y

y

x

y

%u
x
y
sin

x

&u
x
sin

y

y
sin

x

'u
y

x

tg

x

x
y

u
log

x

x
y
,1
u
f
xy
1
*
+
!

lim

xlim

y
f
xy
lim

y
lim

xf
xy
lim

xy
f
xy
/*
lim

xf
xy
*22
lim

xlim

y
f
xy
lim

y
lim

xf
xy
/*
13

,+
f
*
E
/)x

y

!
jx
x

j
jy
y

j
.2)+ 20
x
x

y
y

()lim

xx

y
y

f
A
1
.
y
y

y

y
y

/*
lim

xx

f
lim

y
y

lim

xx

f
A!
lim

xlim

y
u.lim

y
lim

xu*lim

xy
u!

u
x

y

x

y

u
x

xy

x

y

"u
sin

y

x

y

u
x

y

e

x

y

R
(+
u
x

y

x

y

!

alim

xlim

y
u.lim

y
lim

xu*lim

xlim

y
ulim

y
lim

xulim

xy
u
u

mn

xcos

m

nxcos

m

nxmn
N
x
R
x
lim

nlim

mu

mn

xlim

mlim

nu

mn

x!"
#u
f
x$
y
%$
%&!

x
ty
t'
%$
lim

xy
f
x$
y
(

)u
y
x

y
x

$
u
x

sin
y
y

sin
x

x

y

!"
#u
xy
z

x

y

z

%$
%$
%&!
x
ty
tz
t'
'
%$


"
#%$
%$
%!"
#u
x

e

y
x

x
t
cos
y
t
sin
*%$
t
'$

lim

xy
f
x$
y
!"
#u
f
x$
y
x
t
cos
y
t
sin
*%$
t
'(

)u
e

xy

x

y

$
u
ln
jx
'
y
je

xy

$

+u
e

x

y

sin
xy
$
,u
xy

p

x

y

ln

x

'
e

y

!"
#u
y
e

x

y

e

x

x
%%x
%%$
%!

x
t

m

y
t

n

'
%mn
N
t
%$

"
#u
%$
%!%$
%"
#u
f
x$
y
(

)u
xy

p

xy

$
y
x

y

p

x

y
$
+u
sin
y
x

y
x

$

,u
xy

x

y

cos
x

y

$
.u
p

p

cos
x

y

tg

x

y

$

/u
p

sin

x
cos

y

p

x

y

$
0u
p

x

'
y

lnx

'
y

$

1u
x

'
y

x

y

$
2u
)
'
xy

x

y

$

!
)%u
)
'
xy
x

y

$
))u
)
'
xy
jxjjy
j$

)u
cos

p

x

'
y

x

y

!(

)lim

xy
x

y

x

x
xy
y

$
lim

xy
sin
xy

x

$
+lim

xy
)
'
xxx

y
$

,lim

xy
xy
sin

xy

$
.lim

xy
p

x

y

p

x

y

p

x

y

x

y

p

x

y

$

/lim

xy
p

,x

'
y

'
)+x

'
y

'
1x

y

0
x

'
y

!"
#f

i

xx
R

n

n
)i
)n3!

4x
5
lim

xn

X

if

i

x'64"
#u
xy
x

'
y

x

'
y

%%x

'
y

%%$
%(

)4!
x$
4!
y
$
+4!!a&
"
#u
x

y

x

'
y

x

'
y

%a
x

'
y

%%$
%(

)4!
x$
4!
y
$

+4!
!
y
p

x%$
,4!!a&
"
#u
x

xy

x

'
y

x

'
y

%ax

'
y

%%$
%(

)4!
&!
x
ty
t'
%$

4!!a&
"
#u
x

y
x

'
y

x

'
y

%ax

'
y

%%$
%(

)4!
&!
x
ty
t'
%$

4!
!
y
x

$
+4!7"
#u
x
'
y

x
y

4!
!
58

au
x
y

e

jxy
j

x
y
ax
y
R

a
bu
ax

y

p

x

y

p

x

y

x

y

bx

y

R

a
bu
ax

y

p

x

y

x

y

x

y

bx

y

!"

a
bu
an

X

ix

i

n

X

ix

i

ln

n

X

ix

i

n

X

ix

i

bn

X

ix

i

R

n

#$%
&

f

i

x

'
x

'
'
x

n

x

i

i
(nR

n

'

(g
xx
R
%
f

i

x

'
x

'
'
x

n

g
x

i

i
(nR

n

'

)f
x

'
x

'
'
x

n

n

X

k
jx

k

j
*

R

n

'

f
x

'
x

'
'
x

n

max

k

jx

k

j
*

R

n

#$%
f
xx'
E
x
R

n

+
!E
R

n

,

$-.
%
R

n

%
$
-+!-&

!
u
x

x

y

(
)u
x

x

y

(
*u
xy
x
y
x

y

x
y
(

u
xp

x

y

x

y

x

y

(

u
x

y

x
y
x
y
*x
y
(

/u
sin

x
sin

y

(
0u
x
siny
y
y
(

1u
sin

x
sin
y

sin

x
sin

y

(
u
x
sin

y

x

y

(

 u
x

y

sin

x

y

x

y

x

y

(

  u


e

jxy
j

y
xx

x
/y
x(

 )u
ln
jx

y

j

(

 *u
sign
jxj
)jy
j(
 u
2

p

x

y

3(

 u
2y
x3"%
2t3
%
t(

 /u
x

y

x

y

%&

x

y

%'

 u
x

y
y

z

y

z

y

z

(

)u
x

y
x

z

x

z

x

z

(

*u
x

y

z

x
z
(

u
x

z

y

y
z
y
(
u
sin

x

y
z

(

/u
x

siny
z
(
0u
sinxy
z
z
z
x

z
(

1u
arccos
x

x

z

x

z

)x

z

(

u
x

y

z

z

e

z

z
x

y

z

)z
z
x

y

z

)z
(

 u
ln
jx

y

z

j!%
""u
arccos

x

y

%&
4!"#

u
arctg
x

y

x
y
x
y
!"f
x"x

R

n

c
R
f
x

c#"x

$
"f
xc!"c
%R

n

!&&'
(f
xR

n

c
R
!"&'
"x$
f
xcR

n

&'
"x$
f
xc!&(F
R

n

)
!&&'
f
x%

F
c
R
!"&'
"x
F
$
f
xc!&!"f
x*
y
G

x
&x
y
f
x*
y
G!"f
x*
y
G
xy
jf
x*
y

f
x*
y

j
Ljy

y

jL
)
const
f
x*
y
G!"f
x*
y
x*
y
E
xy
&f
x*
y
x*
y
E
%

(u

f

x

*
x

*
*
x

n

u

m

f

m

x

*
x

*
*
x

n

m
n"x

*
x

*
*
x

n

F
u

*
u

*
*
u

m

%

"f

x

*
x

*
*
x

n

*
*
f

m

x

*
x

*
*
x

n

!"&!u
F
f

x

*
x

*
*
x

n

*
*
f

m

x

*
x

*
*
x

n

"x

*
x

*
*
x

n

(f
x!&
&%

'
E
x
f
aAf
bB
A
B
ab
E
!"+
,"C
-A*
B
.
#"c
E

"f
cC
f
xx

x

x

k

x

k
x

n

k
n!
!"x

x

x

n

#"c"f
c(f
&'%

!"&
&'
E
R

n

/&'
"x
E
$
f
x0

&
R

n

&'
&*
+1

2&+
+
f
x*
y
&'
X
0

f
x
3y
4X
R

*

f
lnx

y

X
fx

y

g*

3f
sin

x

y

X
fx

y

g*

4f
arcsin
y
xX
fjy
j
xg!"f
G
R

n

lim

f
Gf
)
!"&f
xx
E
R

n

&'
X
E
$
&""%

lim

*
f
*
X
5&&+

+
f
0

f
ax
by
c*
f
p

x

y

*

3f
sin

p

x

y

*
4f
x

y

5f
&'
X
0

f
x
y
3X
fjxj
jy
j
g*

f
x

y

x
4y
X
fx

y

g*

3f
x

y

X
R

X
fx

y

g*

4f
x

xy
y

x
y
X
R

*

6f
x
jx
y
jX
fjxj
jy
j
g*

7f
x
y
e

xy

X
fx
y
g*

8f
p

x

p

4
y

p

9
z


X
)
*

:f
p

44x

37x

7x

9x

X
)
%

!"f
R

n

+
&
&
&'
E
fx
R

n

0
f
*
R

n

g
!&5!
'x

y

'
0

u
xv
3y
*
u
ax
a

v
by
b

x
a
u
y
v
xy
u
x
cos
y
v
x
sin
y
x
y
u
x
xy
v
xy
G
R

xy
xy
y
x
y
x
u
xy
v
x
y
x

y

x
u
x

x

y

v
y

x

y


x

y

u
x

y

x
y

v
y

x
y

!

"x
ay
b#x

y

"x
$y
$u
x

y

v
xy
!

"!
x

y

"x

y

"x

y

y
jxjy
$u
x

"
x

y

v
y

"
x

y

!

"x
ax
ajy
j
#y
bjbj
y
ax
ba
$u
e

x

cos
y
v
e

x

sin
y
!

"x
ay
b#$
x
y
$$
x
u
cos
x
c
h
y
v
sin
x
sh
y

R
!

"u
sin
x
v
cos
xu
ax
a

v
bx
b

w
cx
c

%

R

!

"u
y
v
#x
y
&w
'x
(y
)u
cos
x
cos
y
v
cos
x
sin
y
w
sin
x#u
*cos
y
cos
xv
*cos
y
sin
xw
sin
y
!
x
a
u
x
cos
y
v
x
sin
y
w
y
R

u
x

x

y

v
y

x

y

w
x

y

x

y

,!"&

x
y
z
u
x+y
v
xy
+z
w
xy
z
,!f
E
R

m

E
R

n

$!x

E
.
U
+u

!u

f
+x

/U
+x

!x

!f
+U
+x

U
+x

,!f
+f

f

f

m

E
R

m

$!x
+x

x

x

n

E
R

n

-"!$$
$0
1f

f

f

m

2f
3
R

n

R

m

,!$f
4
!!$
$---$-R

m

$R

n

,!f
R

n

R

m

-$-5$$R

n

f
$&

,!f
$-!$"&

2f
3
!+xy
.
y
,!f
$.
E
E
3
$f
+E
3
$y
%E
3
f
+E
&

,!$--!---!--f
E
R

n

R

m

X
E
U
f
E
!f

f
X
"
X
#
$f
f

U
"
U
%

&'
(f
(E
f
E
)
X

k

E
k
N
!f

S

k
X

k

"

S

k
f
X

k

#
$f

T

k
X

k

"

T

k
f
X

k

*'
f
(%

f
(E
R

n

U
R

m

)+!E
,
('
U
,
(#

$U
,
('
E
,
(%

(f
&'
(f
((F
R

n

U
R

m

f

Uf
-&'
(n
!n

X

ix

i

"
!
.(-R

n/
x
!
/
x
!/
y
!/
x
!
/
x
!/
y
!
&'
(+(/
x
!
/
x
!/
y
!(-s
"
0y

x

!1!2!1!v
"
y
x

y

#
$v
"
y

$0p

0x

y

v
"
3y

p

y
p

tg
x
cos

x$!
s
"

x
y

p

0z

x
y
p

+s
"

p

x
4
y
4
z
x
4
y
z
y
4
z
xz
4
x
y
Q
"

x
4
y
p

0z

4
x
y
v
"

p

x

x

4
x

4
x

x

r

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

r

!5'
((y
"
xx
/
y
"

"
xx
/#

$6(/#
/'
!#

'
0.6(/#
/'

!#

2..($#
/(#
/#

1.*6(!#
/'
x'
$
!#

76(/#
/x0!#

3'
(6(,
!$#
/!#
/'
!$
!#

8.(,
!#
//#
!!#
//#
!#

!/R

#

!!.(,
/#
/!#
//#
!#

!$9x
/
x
"
$#

!a
!6(/#
/'
!#
/
a
!6(66(/#
/(!

p

$
(.,
+6'
.,
#

!0a
/6(66(/#
/
p

a
p

$a
#

a
"
/(/#
/#
a
/#

!2.(,
/#
#
!2$#
1#

!1(,.(,
!#
$$#
!21#
!!#
17#

!79,
,
$k
x
$k
4
!y
/
$k
!x
$k
y
/k
Z
#