Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды

Кудрявцев Л.Д.

Кутасов А.Д.
Чехлов В.И.

Шабунин М.И.

Сборник задач

по м атем атическом у

анализу

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517
ББК 22.161
К 88

Куд р я в це в Л. Д., Ку т а с о в А. Д., Ч е х л о в В. И., Ш а бу н и н М. И.
Сборник задач по математическому анализу. В 3 т. Т. 2. Интегралы. Ряды / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. — 2-е изд., перераб. и доп. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 504 с. — ISBN 978-5-9221-0307-7.

Книга является второй частью трехтомного сборника задач, созданного
на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа
в Московском физико-техническом институте. В нее включен материал, относящийся к следующим разделам математического анализа: неопределенные
интегралы, определенные интегралы, несобственные интегралы, числовые ряды, функциональные последовательности и ряды. Каждый параграф содержит
справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для
самостоятельной работы с ответами.
Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике.

Р е ц е н з е н т ы:

заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова,
академик В.А. Ильин;
профессор МФТИ, академик С.М. Никольский.
Табл. 1. Ил. 41. Библиогр. 20 назв.

ISBN 978-5-9221-0307-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2009

c⃝ Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов,
В. И. Чехлов, М. И. Шабунин, 2003, 2009

!"
#$%"

&'((#))*"
+),
"
ISBN
+$-##.$)*)/$+01
23
405%%0400654450$

%554
7%5$54
534815
384
%4
4$

450%606606606667
5262$

6961
07
961
46$

4:4%421
6
45%:1
$

0441
445(.,.;0#)
%<
%
6%381
57
1
81
445=44$

545
>

7
&(545
ISBN
ISBN
c

c

!"!!
"
#$%
&
!'(#
( !)*!+
"(,*
)-*
!
'( *
,!
**# 
'.
/0!
-1
/2
(-13&
!'
45
4 !"
!
*!%
&4!** (!!
+
( !)&
$6#'(#+
'-7
7
)( *

4 !&!
'-7
(!
8$-7+
!!
8$-7
!
8 ( -7
9
,8"5!
44!
 ( *,
!
,
2*!%4!
 ( "!
2*+
9
!*,
$%:

; "&8+
4!
(9
9
 !
 8!
!
4 !
 * -*!
7*
)*
4!
 ( *!!
+
9
!*,
'* 4 !
 * !!
4#*+
!
'#- 
* (8 4!&)
 -#!
<*,
( 4!)
 *
4!
 ( !
!
 6 %
* !# 
7

9'# 
7
'(#5
!
 $ "
!
*!%&
- 
!
-5
# !"
',#%#- 
!(-2*!%"7
(7
!(+
!!"
67
(*!(+
!(!8$-*#*<*,
( &
%&
%7
(*!(*=49
,8$-*
!(*>&
*,
( *
!
,
(-*
(,
4*+
!
* !!
* !7
(*$
9
,8$-7
4($"
!(x
2*!%!!!
* !"
7
(*+
4!'5 " !6!
+
!7?
&
 !
* !"
7
(*9
,8$-7
!(5
x
',#%"!
* !7
(7
4($"
!(+
x
.
4 - 
!(-+

x
.
!(
"!
+
x
.
!* !# 
!(@,!$ ?
*4# 
*,
4!
 (%
9
,8"
4x
x
A

!
*!%&
 
#- 
4!
'( 3&
!4!
 ('# (,
( +
&
,#%7
,'7
!
6!
 "
4!
!
**"
4**,!
7+
)
 

(4!
 4("$6"
&
!
'(#
!
'"
4 !
,
(('*)$
4!
 4(%
4$'$
&
!4!!
&
#
,
( *,
(!+
4!!
$-7
!
&
'(">*)
 '$4'-*
(8+
*$',#%7
**,
= !'(-65!
'(!(
'* "5
)(*
4!
!
9
 
#(4!
#-"
*!+
'*

4!( 4!* !!
 6 *'(#*&
'(#7
:?!-!
)%,&
,%
&(!$
,
9
 (!
-6 "
**<@0+
*4(!!
&
!
"
'#$"
4 4&
4%
C&
!D
;
?
5
?
x
!

"!
#$
#@,8F
x'-9
,8f
x!
*
4!
* )
,+
 
F
x4!
 !-C*
4!
* )
,(9
9
 !
 8!
,
 *)("
 ,!
 "
#+
4!# *
F

xE
f
x5
,!
7
**# 
'('-+
#()("

4!
 !-"
9
,84 !&!
',,
 FF

xF

x.
(4 !&!
'- 
9
,8f
x+
F

xE

E
F

xG
C
+
( 
C
.
!
4FF
x.
4 !&!
'9
,8f
x+
*)
 
fF
xG
C
C

R
g,4$
7
4 !&!
'-7
9
,8f
x+
'-9
,8f
x&
'#Z

f
xdx*
&!
'*+
44!
 ( %

Z

f
xdx
E
fF
xG
C
g( 
F
x.
&
4 !&!
'9
,8f
x+
C
.
4!
'$4@!*,
,
4!'4-$
&
 '
9,!-7
&
+
4,
&
'# *)
 
H

Z

f
xdx
E
F
xG
C
3*Z

'-+
f
x.
+
f
xdx
.
+
x
.
%$&## F9
,8f
x* 
 4 !&!
',%+
Z

f
xdx

E
f
xd

Z

f
xdx

E
f
xdxFf
x.
(9
9
 !
 8!
,
 *9
,8+
Z

f

xdx
E
f
xG
C
Z

d
f
xE
f
xG
C
#
,
( *,
(!+
4!!
$-7
!
&
'(">*)
 '$4'-*
(8+
*$',#%7
**,
= !'(-65!
'(!(
'* "5
)(*
4!
!
9
 
#(4!
#-"
*!+
'*

4!( 4!* !!
 6 *'(#*&
'(#7
:?!-!
)%,&
,%
&(!$
,
9
 (!
-6 "
**<@0+
*4(!!
&
!
"
'#$"
4 4&
4%
C&
!D
;
?
5
?
x
!

"!
#$
#@,8F
x'-9
,8f
x!
*
4!
* )
,+
 
F
x4!
 !-C*
4!
* )
,(9
9
 !
 8!
,
 *)("
 ,!
 "
#+
4!# *
F

xE
f
x5
,!
7
**# 
'('-+
#()("

4!
 !-"
9
,84 !&!
',,
 FF

xF

x.
(4 !&!
'- 
9
,8f
x+
F

xE

E
F

xG
C
+
( 
C
.
!
4FF
x.
4 !&!
'9
,8f
x+
*)
 
fF
xG
C
C
R
g,4$
7
4 !&!
'-7
9
,8f
x+
'-9
,8f
x&
'#Z

f
xdx*
&!
'*+
44!
 ( %

Z

f
xdx
E
fF
xG
C
g( 
F
x.
&
4 !&!
'9
,8f
x+
C
.
4!
'$4@!*,
,
4!'4-$
&
 '
9,!-7
&
+
4,
&
'# *)
 
H

Z

f
xdx
E
F
xG
C
3*Z

'-+
f
x.
+
f
xdx
.
+
x
.
%$&## F9
,8f
x* 
 4 !&!
',%+
Z

f
xdx

E
f
xd

Z

f
xdx

E
f
xdxFf
x.
(9
9
 !
 8!
,
 *9
,8+
Z

f

xdx
E
f
xG
C
Z

d
f
xE
f
xG
C
$
F9
,8f
x* 
 4 !&!
',%
a
R
+
9
,8af
x)
 
* 
 4 !&!
',%+
4!# *
4!a
E
!!
Z

af
xdx
E
a

Z

f
xdxAF9
,8f

xf

x* %4 !&!
'- 
!
*

4!
* )
,+
9
,8f

xG
f

x)
 
* 
 4 !&!
',%
C*
4!
* )
,+
4!# *

Z

f

xG
f

xdx
E

Z

f

xdx
G

Z

f

xdx'()
##!
&*
#*
#)('
)
 
(,%7
9
!*,
!)(*
4!
* )
,+

4!()*
&4!
 ( 4(-!
$"
9
,8Z

x

dx
E

x

G
C
+
E
Z

dx

x
a

E
ln
jx
G
aj
G
C
Z

a

x

dx
E

a

x

ln
a

G
C
+
a
+
a
E
J

Z

e

x

dx
E
e

x

G
C
AZ

sin
x
dx
E
cos
x
G
C
Z

cos
x
dx
E
sin
x
G
C
Z

dx

cos

x

E
tg
x
G
C
Z

dx

sin

x

E
ctg
x
G
C
Z

sh
x
dx
E
c
h
x
G
C
Z

c
h
x
dx
E
sh
x
G
C
Z

dx

c
h

x

E
th
x
G
C
Z

dx

sh

x

E
cth
x
G
C
Z

dx

x

a

E

a

arctg

x

a

G
C
E
a

arcctg

x

a

G
C
+
a
E
Z

dx

x

a

E

a

ln

x
a

x
a

G
C
+
a
E
AZ

dx

p

a

x

E
arcsin

x

a

G
C
E
arccos

x

a

G
C
+
jxj
a
+
a
E
Z

dx

p

x

a

E
ln
jx
G

p

x

G
a

j
G
C
+
a
E
Z

dx

p

x

a

E
ln
jx
G

p

x

a

j
G
C
+
a
E
jxj
jaj


+&,$
-" $
$.=,
$
!
*
4!
* )
,4!
 ( )9
,8f
x9
,8t
E
x4!
 !-C*
4!
* )
,(99
 !
 8!
,
 *7
 ,!
 7
#7J
(!
Z

f
tdt
,,
 +
!
Z

f
xxdx
)
 
,,+
4!# *

Z

f
xxdx
E

Z

f
tdt

txK,
9
!*,
,
'-%F(9
,8t
E
x!
*!**
4!
* )
,,,
 &!
x
E
t+
9
!*,
,
*)4 !
 4$
!
%

( 

Z

f
tdt
E

Z

f
xxdx

xt+
 
7
(,%
4 !
 * ,%
!!
&
'#$
&-## !
 '
x
+

Z

f
xdx
E

Z

f
ttdt

tx@!*,
,
&-#'-%L
*
 
#
=!4$'9
!*,
'4!
 6 '4(j

xt&-#4,
%/0 &!=,
$
9
,8uxv
x4!
 !-!
*
4!
* )
,(9
9
 !
 8!
,
 *7
 ,!
 7
#7(C*
4!
* )
,,,
 !
Z

v
u

dx
+
,,
 !
Z

uv

dx
+
4!# *

Z

uv

dx
E
uv
Z

v
u

dx
Z

udv
E
uv
Z

v
duA@!*,
A'-=!* 9
!*,
A8 &!
'7
,#7+
(4(-!
$-!
)
 f
xdx
,
(4!
 ($
( 
4!
'( (,7
*)"
u
dv
*
&!
'*+
#&!!
-!
)
 "
dv
v
du
$
'(# "
&
4!
"+
# *
!!
7
(-!
)
 ='*,
(9
9
 !
 8,
dv
9
,8v
4!
 ( ('#+
9
!*,
A# 
v
*)
 &-$
-&!
9
,8(-*
(9
9
 !
 8*
dv
0((-#!
9
!*,
,
!!
4#*
4!7
(4!* $
$!
'=
!
*
 
!
",%&
4 !&!
',%
F
x9
,8f
xE
p

x
+
x
J
G+
4!
 ( -"
!
N
p

xE
p

x
+
x
+
F
xE
p

xx
Z

f
xdx
E

Z

p

x

dx
E
p

x
G
C
x
J
GN

=
!
*
 
!
9
,8f
xE
x
+
x
J
+
"4 !&!
',%
F
x+
!
9!
"
4!
7
(# !
 '
#,
J
N
ln
jxjE
x
+
ln
jxj
.
('
4 !&!
'-7
9
,8f
xE
x
+
($+
*4 !&!
'F
x* 
 (
F
xE
ln
jxj
G
C
+
( 
C
.
!
4=,%
C

$
F9
,8f
x* 
 4 !&!
',%
a
R
+
9
,8af
x)
 
* 
 4 !&!
',%+
4!# *
4!a
E
!!
Z

af
xdx
E
a

Z

f
xdxAF9
,8f

xf

x* %4 !&!
'- 
!
*

4!
* )
,+
9
,8f

xG
f

x)
 
* 
 4 !&!
',%
C*
4!
* )
,+
4!# *

Z

f

xG
f

xdx
E

Z

f

xdx
G

Z

f

xdx'()
##!
&*
#*
#)('
)
 
(,%7
9
!*,
!)(*
4!
* )
,+

4!()*
&4!
 ( 4(-!
$"
9
,8Z

x

dx
E

x

G
C
+
E
Z

dx

x
a

E
ln
jx
G
aj
G
C
Z

a

x

dx
E

a

x

ln
a

G
C
+
a
+
a
E
J

Z

e

x

dx
E
e

x

G
C
AZ

sin
x
dx
E
cos
x
G
C
Z

cos
x
dx
E
sin
x
G
C
Z

dx

cos

x

E
tg
x
G
C
Z

dx

sin

x

E
ctg
x
G
C
Z

sh
x
dx
E
c
h
x
G
C
Z

c
h
x
dx
E
sh
x
G
C
Z

dx

c
h

x

E
th
x
G
C
Z

dx

sh

x

E
cth
x
G
C
Z

dx

x

a

E

a

arctg

x

a

G
C
E
a

arcctg

x

a

G
C
+
a
E
Z

dx

x

a

E

a

ln

x
a

x
a

G
C
+
a
E
AZ

dx

p

a

x

E
arcsin

x

a

G
C
E
arccos

x

a

G
C
+
jxj
a
+
a
E
Z

dx

p

x

a

E
ln
jx
G

p

x

G
a

j
G
C
+
a
E
Z

dx

p

x

a

E
ln
jx
G

p

x

a

j
G
C
+
a
E
jxj
jaj
+&,$
-" $
$.=,
$
!
*
4!
* )
,4!
 ( )9
,8f
x9
,8t
E
x4!
 !-C*
4!
* )
,(99
 !
 8!
,
 *7
 ,!
 7
#7J
(!
Z

f
tdt
,,
 +
!
Z

f
xxdx
)
 
,,+
4!# *

Z

f
xxdx
E

Z

f
tdt

txK,
9
!*,
,
'-%F(9
,8t
E
x!
*!**
4!
* )
,,,
 &!
x
E
t+
9
!*,
,
*)4 !
 4$
!
%

( 

Z

f
tdt
E

Z

f
xxdx

xt+
 
7
(,%
4 !
 * ,%
!!
&
'#$
&-## !
 '
x
+

Z

f
xdx
E

Z

f
ttdt

tx@!*,
,
&-#'-%L
*
 
#
=!4$'9
!*,
'4!
 6 '4(j

xt&-#4,
%/0 &!=,
$
9
,8uxv
x4!
 !-!
*
4!
* )
,(9
9
 !
 8!
,
 *7
 ,!
 7
#7(C*
4!
* )
,,,
 !
Z

v
u

dx
+
,,
 !
Z

uv

dx
+
4!# *

Z

uv

dx
E
uv
Z

v
u

dx
Z

udv
E
uv
Z

v
duA@!*,
A'-
=!* 9
!*,
A8 &!
'7
,#7+
(4(-!
$-!
)
 f
xdx
,
(4!
 ($
( 
4!
'( (,7
*)"
u
dv
*
&!
'*+
#&!!
-!
)
 "
dv
v
du
$
'(# "
&
4!
"+
# *
!!
7
(-!
)
 ='*,
(9
9
 !
 8,
dv
9
,8v
4!
 ( ('#+
9
!*,
A# 
v
*)
 &-$
-&!
9
,8(-*
(9
9
 !
 8*
dv
0((-#!
9
!*,
,
!!
4#*
4!7
(4!* $
$!
'=
!
*
 
!
",%&
4 !&!
',%
F
x9
,8f
xE
p

x
+
x
J
G+
4!
 ( -"
!
N
p

xE
p

x
+
x
+
F
xE
p

xx
Z

f
xdx
E

Z

p

x

dx
E
p

x
G
C
x
J
GN

=
!
*
 
!
9
,8f
xE
x
+
x
J
+
"4 !&!
',%
F
x+
!
9!
"
4!
7
(# !
 '
#,
J
N
ln
jxjE
x
+
ln
jxj
.
('
4 !&!
'-7
9
,8f
xE
x
+
($+
*4 !&!
'F
x* 
 (
F
xE
ln
jxj
G
C
+
( 
C
.
!
4=,%
C

&
7
(*
'
,
F
E
+
ln
G
C
E
+
,
(C
E
ln
*
&!
'*+

F
xE
ln
jxj
G
ln
E
ln
jxj
G
N

=
!
*
 
!
"Z

x
e

x

dx
N
04$',
"A
4!
 ( !
&#- 
!
4!E
+
4,#*

Z

x
e

x

dx
E

Z

x
dx
Z

e

x

dx
E

x

e

x

G
C
x
R
N

=
!
*
 
!
A"Z

p

x
p

x
x

dx
N

Z

p

x
p

x
x

dx
E

Z

dx
A

Z

x

dx
G
A

Z

x

dx
E

E
x
x

G
x

G
C
x
N

=
!
*
 
!
"Z

dx

x

x

N

Z

dx

x

x

E

Z

x

x

x

x

dx
E

Z

dx

x

Z

dx

x

E

E
x

arctg

x

G
C
x
E
N

=
!
*
 
!
"Z

p

x

p

x

p

x

dx
N

Z

p

x

p

x

p

x

dx
E

Z

dx

p

x

Z

dx

p

x

E

E
lnx
G

p

x

G
ln
jx
G

p

x

j
G
C
jxj
p

N

=
!
*
 
!
"Z

cos

x

dx
N

Z

cos

x

dx
E

Z

cos
x

dx
E

Z

dx
G

G

Z

cos
x
dx
E

x

G

sin
x

G
C
x
R
N

=
!
*
 
!
"Z

tg

x
dx
N
)(*
!+
( 
4!
 ( 4(-!
$9
,8+
4,#*

Z

tg

x
dx
E

Z

cos

x

dx
E
tg
x
x
G
C
N

=
!
*
 
!
"Z

x

x

dx
N

Z

x

x

dx
E

Z

x

dx
E

x

ln
G
C
x
R
N

!
'

=
!
*
 
!
"!
H

Z

x
dx
J
Z

x

p

x

G
dx
J
Z

tg
x
dx
J

AZ

dx

cos

x

jxj
J
Z

x

dx

p

x

J
Z

x

p

x

x

x

dx
N
"( *
!
4*$%
9
!*,
+
4!
 (!$4!
 
&!
'(,%*
&!
'*H

Z

x
dx
E

Z

x
x
dx=)9
!*,
t
E
xE
x
f
tE
t

+
4,#*

Z

x
x
dx
E

Z

t

dt

tx*
&!
'*+

Z

x
dx
E

t

G
C

txE

x
G
C
L
*
 
#
>&-#+
4$',
$
9
!*,
"
+
'4!
 6 (!

4,
%'4(j

tx4!* !+
-#(!
4!
(H

Z

x
dx
E

Z

x
dx
E

E

Z

t

dt
E

t

G
C
E

x
G
C
=9
!*,
+
4)"
t
E
xE
x

G
+
f
tE

p

t
+

4,#*

Z

x

p

x

G
dx
E

Z

p

x

G
x

G
dx
E

E

Z

p

x

G
dx

G
E

Z

p

t
dt
E

E

p

t

G
C
E

x

G
p

x

G
G
C
Z

tg
x
dx
E

Z

sin
x

cos
x

dx
E
Z

d
cos
x

cos
x

E
ln
j
cos
xj
G
C
AZ

dx

cos

x

E

Z

dx

cos

x
sin

x

E

Z

tg

x

dx

cos

x

E

E

Z

d
tg
x

tg

x

E

p

arctg

p

tg
x

p

G
C
Z

x

dx

p

x

E

Z

dx

p

x

E

arcsin
x

G
C
Z

x

p

x

x

x

dx
E

Z

x

p

x

x

dx
E

&
7
(*
'
,
F
E
+
ln
G
C
E
+
,
(C
E
ln
*
&!
'*+

F
xE
ln
jxj
G
ln
E
ln
jxj
G
N

=
!
*
 
!
"Z

x
e

x

dx
N
04$',
"A
4!
 ( !
&#- 
!

4!E
+
4,#*

Z

x
e

x

dx
E

Z

x
dx
Z

e

x

dx
E

x

e

x

G
C
x
R
N

=
!
*
 
!
A"Z

p

x
p

x
x

dx
N

Z

p

x
p

x
x

dx
E

Z

dx
A

Z

x

dx
G
A

Z

x

dx
E

E
x
x

G
x

G
C
x
N

=
!
*
 
!
"Z

dx

x

x

N

Z

dx

x

x

E

Z

x

x

x

x

dx
E

Z

dx

x

Z

dx

x

E

E
x

arctg

x

G
C
x
E
N

=
!
*
 
!
"Z

p

x

p

x

p

x

dx
N

Z

p

x

p

x

p

x

dx
E

Z

dx

p

x

Z

dx

p

x

E

E
lnx
G

p

x

G
ln
jx
G

p

x

j
G
C
jxj
p

N

=
!
*
 
!
"Z

cos

x

dx
N

Z

cos

x

dx
E

Z

cos
x

dx
E

Z

dx
G

G

Z

cos
x
dx
E

x

G

sin
x

G
C
x
R
N

=
!
*
 
!
"Z

tg

x
dx
N
)(*
!+
( 
4!
 ( 4(-!
$9
,8+
4,#*

Z

tg

x
dx
E

Z

cos

x

dx
E
tg
x
x
G
C
N

=
!
*
 
!
"Z

x

x

dx
N

Z

x

x

dx
E

Z

x

dx
E

x

ln
G
C
x
R
N

!
'

=
!
*
 
!
"!
H

Z

x
dx
J
Z

x

p

x

G
dx
J
Z

tg
x
dx
J

AZ

dx

cos

x

jxj
J
Z

x

dx

p

x

J
Z

x

p

x

x

x

dx
N
"( *
!
4*$%
9
!*,
+
4!
 (!$4!
 
&!
'(,%*
&!
'*H

Z

x
dx
E

Z

x
x
dx=)9
!*,
t
E
xE
x
f
tE
t

+
4,#*

Z

x
x
dx
E

Z

t

dt

tx*
&!
'*+

Z

x
dx
E

t

G
C

txE

x
G
C
L
*
 
#
>&-#+
4$',
$
9
!*,
"
+
'4!
 6 (!
4,
%'4(j

tx4!* !+
-#(!
4!
(H

Z

x
dx
E

Z

x
dx
E

E

Z

t

dt
E

t

G
C
E

x
G
C
=9
!*,
+
4)"
t
E
xE
x

G
+
f
tE

p

t
+

4,#*

Z

x

p

x

G
dx
E

Z

p

x

G
x

G
dx
E

E

Z

p

x

G
dx

G
E

Z

p

t
dt
E

E

p

t

G
C
E

x

G
p

x

G
G
C
Z

tg
x
dx
E

Z

sin
x

cos
x

dx
E
Z

d
cos
x

cos
x

E
ln
j
cos
xj
G
C
AZ

dx

cos

x

E

Z

dx

cos

x
sin

x

E

Z

tg

x

dx

cos

x

E

E

Z

d
tg
x

tg

x

E

p

arctg

p

tg
x

p

G
C
Z

x

dx

p

x

E

Z

dx

p

x

E

arcsin
x

G
C
Z

x

p

x

x

x

dx
E

Z

x

p

x

x

dx
E

(E

Z

dx
xp

x
xE

Z

dt

p

t

E
ln
jt
G

p

t

j
G
C
E

E
ln

x
x

G

r

x

G

x

G
C
N

=
!
*
 
!
"!
H

Z

dx

p

x

J
Z

dx

x

p

x

x
J
Z

dx

p

e

x

N
54$',
 *9
!*,
"
!!
'* "
4 !
 * "=(-!
$9
,84!
 ( 4!
* )
,x
3( *
'* ,
4 !
 * "
x
E
t

+
t
39
!*,
+
4)"

x
E
tE
t

f
xE
G

p

x4,#*

Z

dx

p

x

E

Z

p

t

t

dt
E

Z

t

t

dt
E
Z

t
t

dt
E

E
t
A
ln
jG
tj
G
C
E
p

x
A
ln
jG

p

xj
G
C
3( *
'* ,
4 !
 * "+
4)x
E
t
J
(dx
E
t

dt3($+

Z

dx

x

p

x

E
Z

t

dt

t



p

t

E
Z

t
dt

p

t

E
Z

dp

t

G
E

E
p

t

G
G
C
E
p

x

G
G
C
=)*
e

x

G
E
t

+
t
J
(e

x

dx
E
t
dt
dx
E

t
dt

t

3($+

Z

dx

e

x

E
Z

dt

t

E
ln

t
t
G
C
E
ln

p

e

x

p

e

x

G
C
N

=
!
*
 
!
"!
H

Z

x
x

x
dxJ
Z

x
p

x

x
dxN
=!
 (*
4(-!
$,%
9
,8%
( 
""
*&8(,7
!
8$-7
(!
&
 "
+
#&#*
4 !"

(!
&&-4!
'('* x

x
G
+
#*
!
"
(!
&.
 (8H

x
x

x
E

x
x

x
G

x

x
0!
)(*-#H

Z

x
x

x
dx
E

Z

dx

x
x

x
E

lnx

x
G
G
C

!
((

Z

dx

x

x
E

Z

dx
x
E

p

arctg

x
p

G
C

*
&!
'*+

Z

x
x

x
dx
E

lnx

x
G
G

p

arctg

x
p

G
C
=!
 (*
4(-!
$,%
9
,8%
( 
""
*&8(,7
(!
&
 "
+
#&#*
4 !"
(!
&&-4!
'((!
!
 
7#+
'* +
#*

!
"
(!
&.
 (8H

x
p

x

x
E
x
p

x

x
G
p

x

x
4 !$
!
-#H

Z

x
p

x

x
dx
E
Z

x

G
x
dx

G
x
G

G
Z

dx
x
E
p

x

G
x
G
arcsin
x
G
C
N

=
!
*
 
!
"!
Z

dx

sin
x

N
"
4
&H

Z

dx

sin
x

E

Z

sin
x
dx

sin

x

E

Z

d
cos
x

cos

x
E

ln

tg

x

G
C
"
4
&H

Z

dx

sin
x

E

Z

dxsin
xcos
xE

Z

dxtg
xcos

xE

Z

dtg
xtg
xE

E
ln

tg

x

G
C
N

=
!
*
 
!
A"!
H

Z

ln
x
dxJ
Z

x
sin
x
dxN
=)*
u
E
ln
x
+
dv
E
dx
J
(du
E
dx
xv
E
x=9
!*,
!!
4#*
4,#*

Z

ln
x
dx
E
x
ln
x
Z

x

dx

x

E
x
ln
x
x
G
C
=)*
u
E
x
+
dv
E
sin
x
dx
J
(du
E
dxv
E
cos
x+
9
!*,
A+

Z

x
sin
x
dx
E
x
cos
x
G

Z

cos
x
dx
E
x
cos
x
G
sin
x
G
C
N

(E

Z

dx
xp

x
xE

Z

dt

p

t

E
ln
jt
G

p

t

j
G
C
E

E
ln

x
x

G

r

x

G

x

G
C
N

=
!
*
 
!
"!
H

Z

dx

p

x

J
Z

dx

x

p

x

x
J
Z

dx

p

e

x

N
54$',
 *9
!*,
"
!!
'* "
4 !
 * "=(-!
$9
,84!
 ( 4!
* )
,x
3( *
'* ,
4 !
 * "
x
E
t

+
t
39
!*,
+
4)"

x
E
tE
t

f
xE
G

p

x4,#*

Z

dx

p

x

E

Z

p

t

t

dt
E

Z

t

t

dt
E
Z

t
t

dt
E

E
t
A
ln
jG
tj
G
C
E
p

x
A
ln
jG

p

xj
G
C
3( *
'* ,
4 !
 * "+
4)x
E
t
J
(dx
E
t

dt3($+

Z

dx

x

p

x

E
Z

t

dt

t

p

t

E
Z

t
dt

p

t

E
Z

dp

t

G
E

E
p

t

G
G
C
E
p

x

G
G
C
=)*
e

x

G
E
t

+
t
J
(e

x

dx
E
t
dt
dx
E

t
dt

t

3($+

Z

dx

e

x

E
Z

dt

t

E
ln

t
t
G
C
E
ln

p

e

x

p

e

x

G
C
N

=
!
*
 
!
"!
H

Z

x
x

x
dxJ
Z

x
p

x

x
dxN
=!
 (*
4(-!
$,%
9
,8%
( 
""
*&8(,7
!
8$-7
(!
&
 "
+
#&#*
4 !"

(!
&&-4!
'('* x

x
G
+
#*
!
"
(!
&.
 (8H

x
x

x
E

x
x

x
G

x

x
0!
)(*-#H

Z

x
x

x
dx
E

Z

dx

x
x

x
E

lnx

x
G
G
C

!
((

Z

dx

x

x
E

Z

dx
x
E

p

arctg

x
p

G
C

*
&!
'*+

Z

x
x

x
dx
E

lnx

x
G
G

p

arctg

x
p

G
C
=!
 (*
4(-!
$,%
9
,8%
( 
""
*&8(,7
(!
&
 "
+
#&#*
4 !"
(!
&&-4!
'((!
!
 
7#+
'* +
#*

!
"
(!
&.
 (8H

x
p

x

x
E
x
p

x

x
G
p

x

x
4 !$
!
-#H

Z

x
p

x

x
dx
E
Z

x

G
x
dx

G
x
G

G
Z

dx
x
E
p

x

G
x
G
arcsin
x
G
C
N

=
!
*
 
!
"!
Z

dx

sin
x

N
"
4
&H

Z

dx

sin
x

E

Z

sin
x
dx

sin

x

E

Z

d
cos
x

cos

x
E

ln

tg

x

G
C
"
4
&H

Z

dx

sin
x

E

Z

dxsin
xcos
xE

Z

dxtg
xcos

xE

Z

dtg
xtg
xE

E
ln

tg

x

G
C
N

=
!
*
 
!
A"!
H

Z

ln
x
dxJ
Z

x
sin
x
dxN
=)*
u
E
ln
x
+
dv
E
dx
J
(du
E
dx
xv
E
x=9
!*,
!!
4#*
4,#*

Z

ln
x
dx
E
x
ln
x
Z

x

dx

x

E
x
ln
x
x
G
C
=)*
u
E
x
+
dv
E
sin
x
dx
J
(du
E
dxv
E
cos
x+
9
!*,
A+

Z

x
sin
x
dx
E
x
cos
x
G

Z

cos
x
dx
E
x
cos
x
G
sin
x
G
C
N

(=
!
*
 
!
"!
H

Z

x

e

x

dxJ
Z

arccos

x
dxN
=)*
u
E
x

+
dv
E
e

x

dx
J
(du
E
x
dxv
E
e

x

=9
!*,
A* 
 *

Z

x

e

x

dx
E
x

e

x

Z

xe

x

dx4,# *,
!
,
4!* *
9
!*,
,
!!
4#*=)u
E
x
+
dv
E
e

x

dx
+
"( *

du
E
dxv
E
e

x

3($+

Z

xe

x

dx
E
xe

x

Z

e

x

dx
E
xe

x

e

x

G
C
=C*,

Z

x

e

x

dx
E
x

x
G
e

x

G
C
L
*
 
#
2 6 C4!* !
*)'4$
!
# H

Z

x

e

x

dx
E
x

e

x

Z

xe

x

dx
E
x

e

x

xe

x

Z

e

x

dx

E

E
x

x
G
e

x

G
C
=,
$
u
E
arccos

x
+
dv
E
dx
J
(du
E
arccos
x

p

x

dxv
E
x39
!*,
AZ

arccos

x
dx
E
x
arccos

x
G
Z

x
arccos
x
dx

p

x

-#4,# !
!
'
4$',
 *9
!*,
"
A+
4)u
E
arccos
xdv
E
x
dx
p

x

(du
E
dxp

x

+
-#!
v
E

Z

x
dx

p

x

E
Z

d

p

x

E
p

x

G
C

'$* *
v
E
p

x

5
!
 ',
$
4,#*

Z

x
arccos
x

p

x

dx
E
p

x

arccos
x
Z

dx
E

E
p

x

arccos
x
x
G
C

0+

Z

arccos

x
dx
E
x
arccos

x
p

x

arccos
x
x
G
C
N

!
(=
!
*
 
!
"!
J
E

Z

p

a

x

dx
+
a
E
N
=)*
u
E

p

a

x

+
dv
E
dx
J
(du
E
x
dx

p

a

x

v
E
x=9
!*,
A4,#*

J
E
x

p

a



x

G

Z

x

dx

p

a

x

L46 *
4(-!
$,%
9
,8%
4(!
( 

x

p

a

x

E

a

a

x

p

a

x

E

a

p

a

x

p

a

x

J

(&
,
( *
* $

J
E
x

p

a

x

G

Z

a

dx

p

a

x

J
*
&!
'*+
4*$%
9
!*,
!!
4#*

4,# ,!
+
'
!
J
4!
 ( H

J
E

x

p

a

x

G

a

Z

dx

p

a

x

E

x

p

a

x

G

a

arcsin

x

jaj

G
C
N

=
!
*
 
!
=,#$
(!
J

n

E

Z

dx

x

a

n

n
N
a
E
!
 ,!!
 ,%
9
!*,
,

J

nE

na

x

x

a

n

G
n
J

n

N
04$',
 *
9
!*,
,
!!
4#*
(!
J

n

=)*

u
E

x

a

n

dv
E
dx(du
E

nx
dx

x

a

nv
E
x+
($+

J

n

E

x

x

a

n

G
n

Z

x

dx

x

a

n=!&
*
-#*
a

#4(-!
$"
9
,84,# !
H

J

n

E

x

x

a

n

G
n

Z

x

a

a

x

a

ndxL44("
!
( 
!
'!
+
4,#*

J

n

E

x

x

a

n

G
nJ

n

na

J

n(=
!
*
 
!
"!
H

Z

x

e

x

dxJ
Z

arccos

x
dxN
=)*
u
E
x

+
dv
E
e

x

dx
J
(du
E
x
dxv
E
e

x

=9
!*,
A* 
 *

Z

x

e

x

dx
E
x

e

x

Z

xe

x

dx4,# *,
!
,
4!* *
9
!*,
,
!!
4#*=)u
E
x
+
dv
E
e

x

dx
+
"( *

du
E
dxv
E
e

x

3($+

Z

xe

x

dx
E
xe

x

Z

e

x

dx
E
xe

x

e

x

G
C
=C*,

Z

x

e

x

dx
E
x

x
G
e

x

G
C
L
*
 
#
2 6 C4!* !
*)'4$
!
# H

Z

x

e

x

dx
E
x

e

x

Z

xe

x

dx
E
x

e

x

xe

x

Z

e

x

dx

E

E
x

x
G
e

x

G
C
=,
$
u
E
arccos

x
+
dv
E
dx
J
(du
E
arccos
x

p

x

dxv
E
x39
!*,
AZ

arccos

x
dx
E
x
arccos

x
G
Z

x
arccos
x
dx

p

x

-#4,# !
!
'
4$',
 *9
!*,
"
A+
4)u
E
arccos
xdv
E
x
dx
p

x

(du
E
dxp

x

+
-#!
v
E

Z

x
dx

p

x

E
Z

d

p

x

E
p

x

G
C

'$* *
v
E
p

x

5
!
 ',
$
4,#*

Z

x
arccos
x

p

x

dx
E
p

x

arccos
x
Z

dx
E

E
p

x

arccos
x
x
G
C

0+

Z

arccos

x
dx
E
x
arccos

x
p

x

arccos
x
x
G
C
N

!
(=
!
*
 
!
"!
J
E

Z

p

a

x

dx
+
a
E
N
=)*
u
E

p

a

x

+
dv
E
dx
J
(du
E
x
dx

p

a

x

v
E
x=9
!*,
A4,#*

J
E
x

p

a

x

G

Z

x

dx

p

a

x

L46 *
4(-!
$,%
9
,8%
4(!
( 

x

p

a

x

E

a

a

x

p

a

x

E

a

p

a

x

p

a

x

J

(&
,
( *
* $

J
E
x

p

a

x

G

Z

a

dx

p

a

x

J
*
&!
'*+
4*$%
9
!*,
!!
4#*

4,# ,!
+
'
!
J
4!
 ( H

J
E

x

p

a

x

G

a

Z

dx

p

a

x

E

x

p

a

x

G

a

arcsin

x

jaj

G
C
N

=
!
*
 
!
=,#$
(!
J

n

E

Z

dx

x

a

n

n
N
a
E
!
 ,!!
 ,%
9
!*,
,

J

nE

na

x

x

a

n

G
n
J

n

N
04$',
 *
9
!*,
,
!!
4#*
(!
J

n

=)*

u
E

x

a

n

dv
E
dx(du
E

nx
dx

x

a

nv
E
x+
($+

J

n

E

x

x

a

n

G
n

Z

x

dx

x

a

n=!&
*
-#*
a

#4(-!
$"
9
,84,# !
H

J

n

E

x

x

a

n

G
n

Z

x

a

a

x

a

ndxL44("
!
( 
!
'!
+
4,#*

J

n

E

x

x

a

n

G
nJ

n

na

J

n(#
,
(J

nE

na

x

x

a

n

G
n
J

n

J

E

Z

dx

x

a

E

a

arctg

x

a

G
C
+
4)4,# "
9
!*,
n
E
+
*)"J

LJ

+

*)"J

(N

9
,8f
x"4 !&!
',%
F
x+
!
9!
"

4!
7
(# !
 '
#,
x

J
y

H

f
xE
p

xG
sinx
G
+
x
J
G+
J
J

f
xE
x
x

+
x
J
+
J
J

f
xE
jxj
+
x
R
+
J
A%"!
H

Z

xx
G
x
dx
J
Z

x

dx
J

Z

x

G

x

G

x

dx
J
AZ

x

x
p

x

dx
J
Z

q

x

p

x

p

x
dx
J

Z

dx

x

J
Z

dx

x


J
Z

dx

p

x

J
Z

dx

x

J

Z

p

p

x

dx
J
Z

p

x

p

x

p

x

dx
J

Z

x

e

x

dx
J
Z

x

x

x

dx
J
AZ

dx

x

x

J
Z

sin

x

dx
J

Z

ctg

x
dx
J
Z

th

x
dx
J
Z

cth

x
dx
'=,
$
9
,8F
x4 !&!
'"
9
,8f
x"
#"
'$
4!
!,$
(,%,!)( H

f
x.
4 !(# 
9
,8+
F
x.
4 !(# 
9
,8J

f
x.
# 9
,8+
F
x.
# 9
,8J

f
x.
# 9
,8+
F
x.
# 9
,8+'$+
#9
,8f
xE
sign
x
* 
 "
#"

("
4 !&!
'"/=!4!* !
!
'!-"
9
,8+
(!
"
"

#"
4 !&!
',,
 1"4 !&!
'- 
9
,8H

xjxj
+
x
R
J
jG
xj
jxj
+
x
R
J

x
jx
j
+
x
R
J
Ae

jxj

+
x
R
J
jsh
xj
+
x
R
J

!
()

f
xE

x

jxj
jxjjxj
J

max
J
x

+
x
R
J

MxO
j
sin
xj
+
x
MJ
G2"!
a
E
H

Z

e

ax

dx
J
Z

sin
ax
G
bdx
J
Z

ax
G
bdx
J

AZ

sin

ax
G
bdx
J
Z

cos
ax
G
bcos
ax
bdx
J

Z

sin
ax
sinax
G
bdx
3"!
H

Z

dx

x

J
Z

dx

x
x

J
Z

dx

x

x
J

AZ

dx

x

x
J
Z

dx

p

x
x

J
Z

dx

p

x
x

J

Z

dx

p

x

x
J
Z

dx

p

x
x

4'$
!
Z

xxdx
E

xG
C
E
ln
jxj
G
C
E
"!
:5Z

x
x

x
dx
J
Z

x
x
x

dx
J

Z

x
x

x
dx
J
AZ

x
x

x
dx
J
Z

x
p

x

x
dx
J

Z

x
p

x

x
dx
J
Z

x
p

x
x

dx
J

Z

x

x

p

x

x

dx
J
Z

dx

x

p

x

J

Z

dx

x
p

x

x
+
x
J
Z

p

x
x

dx
J

Z

p

x

G
x
G
dx
Z

x
dx

x

J
Z

x

x

dx
J
Z

x
dx

xJ

AZ

x

dx

x
J
Z

x

x

x
dx
J
Z

x
dx

x

x

J

Z

x

x

dx
J
Z

x

x

dx
%Z

x

p

x

G
dx
J
Z

x

p

G
x
dx
J
Z

x

p

x

dx
J

AZ

x

dx

p

x
J
Z

dx

p

x
J
Z

dx

p

x
p

x

J
Z

p

x
dx

xp

x
p

x
J

(#
,
(J

nE

na

x

x

a

n

G
n
J

n

J

E

Z

dx

x

a

E

a

arctg

x

a

G
C
+
4)4,# "
9
!*,
n
E
+
*)"J

LJ

+

*)"J

(N

9
,8f
x"4 !&!
',%
F
x+
!
9!
"

4!
7
(# !
 '
#,
x

J
y

H

f
xE
p

xG
sinx
G
+
x
J
G+
J
J

f
xE
x
x

+
x
J
+
J
J

f
xE
jxj
+
x
R
+
J
A%"!
H

Z

xx
G
x
dx
J
Z

x

dx
J

Z

x

G

x

G

x

dx
J
AZ

x

x
p

x

dx
J
Z

q

x

p

x

p

x
dx
J

Z

dx

x

J
Z

dx

x

J
Z

dx

p

x

J
Z

dx

x

J

Z

p

p

x

dx
J
Z

p

x

p

x

p

x

dx
J

Z

x

e

x

dx
J


Z

x

x

x

dx
J
AZ

dx

x

x

J
Z

sin

x

dx
J

Z

ctg

x
dx
J
Z

th

x
dx
J
Z

cth

x
dx
'=,
$
9
,8F
x4 !&!
'"
9
,8f
x"
#"
'$
4!
!,$
(,%,!)( H

f
x.
4 !(# 
9
,8+
F
x.
4 !(# 
9
,8J

f
x.
# 9
,8+
F
x.
# 9
,8J

f
x.
# 9
,8+
F
x.
# 9
,8+'$+
#9
,8f
xE
sign
x
* 
 "
#"

("
4 !&!
'"/=!4!* !
!
'!-"
9
,8+
(!
"
"

#"
4 !&!
',,
 1"4 !&!
'- 
9
,8H

xjxj
+
x
R
J
jG
xj
jxj
+
x
R
J

x
jx
j
+
x
R
J
Ae

jxj

+
x
R
J
jsh
xj
+
x
R
J

!
()

f
xE

x

jxj
jxjjxj
J

max
J
x

+
x
R
J

MxO
j
sin
xj
+
x
MJ
G2"!
a
E
H

Z

e

ax

dx
J
Z

sin
ax
G
bdx
J
Z

ax
G
bdx
J

AZ

sin

ax
G
bdx
J
Z

cos
ax
G
bcos
ax
bdx
J

Z

sin
ax
sinax
G
bdx
3"!
H

Z

dx

x

J
Z

dx

x
x

J
Z

dx

x

x
J

AZ

dx

x

x
J
Z

dx

p

x
x

J
Z

dx

p

x
x

J

Z

dx

p

x

x
J
Z

dx

p

x
x

4'$
!
Z

xxdx
E

xG
C
E
ln
jxj
G
C
E
"!
:5Z

x
x

x
dx
J
Z

x
x
x

dx
J

Z

x
x

x
dx
J
AZ

x
x

x
dx
J
Z

x
p

x

x
dx
J

Z

x
p

x

x
dx
J
Z

x
p

x
x

dx
J

Z

x

x

p

x

x

dx
J
Z

dx

x

p

x

J

Z

dx

x
p

x

x
+
x
J
Z

p

x
x

dx
J

Z

p

x

G
x
G
dx
Z

x
dx

x

J
Z

x

x

dx
J
Z

x
dx

xJ

AZ

x

dx

x
J
Z

x

x

x
dx
J
Z

x
dx

x

x

J

Z

x

x

dx
J
Z

x

x

dx
%Z

x

p

x

G
dx
J
Z

x

p

G
x
dx
J
Z

x

p

x

dx
J

AZ

x

dx

p

x
J
Z

dx

p

x
J
Z

dx

p

x
p

x

J
Z

p

x
dx

xp

x
p

x
J