Фазовые равновесия и структурообразование : трехкомпонентные диаграммы фазового равновесия

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2935 

Институт новых материалов и нанотехнологий
Кафедра физического материаловедения 
 

Е.С. Малютина 
 

Фазовые равновесия 
и структурообразование

Трехкомпонентные диаграммы 
фазового равновесия

Сборник задач 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2017 

УДК 
669.01 
 
М18 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. В.Ю. Турилина 

Малютина Е.С. 
М18  
Фазовые равновесия и структурообразование : трехкомпонентные диаграммы фазового равновесия : сб. задач / Е.С. Малютина. – М.: Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 28 с. 

В сборнике представлены задачи по определению фазовых и структурных 
превращений в тройных сплавах, построению политермических и изотермических диаграмм, нахождению состава сплава по заданным фазовым или 
структурным составляющим сплава, а также нахождению точки состава 
сплава по заданному количеству составляющих. Предложены диаграммы с 
отсутствием растворимости компонентов в твердом состоянии, а также диаграммы с ограниченной и неограниченной растворимостью. В сборнике приведены примеры решения задач. 
Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлениям 03.03.02 «Физика», 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 22.03.02 «Металлургия» и 28.03.03 «Наноматериалы». 
УДК 669.01 

 
 Е.С. Малютина, 2017 
 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Примеры решения задач. Используемые в задачнике диаграммы .............. 4 

2. Задачи .............................................................................................................. 14 
2.1. Варианты заданий для задач 1, 2, 3 ....................................................... 14 
2.2. Варианты заданий для задачи 4 ............................................................. 17 
2.3. Рисунки к задачам 1–4 ............................................................................ 19 
 
 

1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ 
В ЗАДАЧНИКЕ ДИАГРАММЫ 

В сборнике задач предлагаются диаграммы фазового равновесия с 
компонентами А, В и С. Во всех случаях компоненты неограниченно 
растворяются друг в друге в жидком состоянии, а в твердом состоянии растворимость компонентов может отсутствовать, быть ограниченной и неограниченной. 
Для графического изображения трехкомпонентной системы используют трехгранную призму с основанием в форме равностороннего треугольника (этот треугольник называют концентрационным). 
На ребрах призмы откладывают температуру, на основании призмы – 
составы сплавов, фаз и структурных составляющих. 
Одним из наиболее простых способов определения химического 
состава является следующий. Из фигуративной точки X на любую из 
сторон треугольника (в примере выбрана сторона АС) проводят прямые, параллельные сторонам этого треугольника, как показано на 
рис. 1.1. Сторона АС разбивается на три отрезка, соответствующие 
концентрации компонентов А, В и С в точке х. Так, отрезок mА равен 
процентному содержанию компонента С, отрезок mu – процентному 
содержанию компонента В, отрезок uC – процентному содержанию 
компонента А. В приведенном примере концентрация компонентов в 
сплаве Х составляет,%: 40А, 30В и 30С. 

 

Рис. 1.1. Определение химического состава в точке Х 

Для определения количества или доли фаз или структурных составляющих в тройном сплаве, находящемся в двухфазном состоянии, необходимо воспользоваться правилом рычага. Пусть сплав Х 
состоит из фазы и фазы , химические составы которых определя

ются точками а и b соответственно (рис. 1.2). В этом случае масса 
фаз определяется по формулам 

m  xb/ab)mспл ; m  xa/ab)mспл. 

 

Рис. 1.2. Определение количества фаз по правилу рычага 

Для определения численных значений величин отрезков необходимо снести точки а, х и b на любую из сторон концентрационного 
треугольника. В данном примере выбрана сторона АС. 
Количество фазы можно выразить в процентах от массы сплава, 
приняв массу сплава за 100 % (mспл = 100 %). 
Если трехкомпонентный сплав состоит из трех фаз (, и  состава a, b и с соответственно, то их количество определяется по правилу центра тяжести треугольника (рис. 1.3): 

m  xo/ao)mспл;; m  xе/еb)mспл ; m  mспл – m – m

При построении кривой термического анализа необходимо пользоваться правилом фаз Гиббса, если в системе нет фазовых переходов второго рода: число степеней свободы с конденсированных систем при постоянном давлении определяется по формуле 

с = к – ф + 1, 

где к – число компонентов; ф  – число фаз, находящихся в равновесии. 

Рис. 1.3. Определение массы фаз ,и  по правилу  
центра тяжести треугольника 

В отличие от двухкомпонентных систем нонвариантное равновесие 
(с = 0) в трехкомпонентных сплавах наступает, когда в равновесии 
находятся не три, а четыре фазы. В этом случае реакция протекает при 
постоянной температуре и при постоянном составе фаз, как, например, 
при тройных эвтектических и перитектических реакциях. В тех трехкомпонентных сплавах, где протекают двойные эвтектические и перитектические реакции, число степеней свободы с = 1, что означает изменение химического состава фаз во время реакции, причем сами реакции протекают в интервале температур. Последнее приводит к появлению поверхностей начала и конца соответствующих двойных реакций, проецирующихся в определенные части концентрационного треугольника, что необходимо учитывать при построении политермических сечений. Например, в диаграмме, изображенной на рис. 1.4, при 
выделении из жидкости первичных кристаллов фазы поверхность 
ликвидус проецируется в область Ае2Ее3, поверхность начала кристаллизации двойной эвтектики L    +  проецируется в область 
mnaEb, горизонтальная изотермическая плоскость тройной эвтектики 
проецируется в треугольник abС и т.д. 
При построении изотермических сечений полезно изобразить на 
сторонах концентрационного треугольника соответствующие двухкомпонентные диаграммы и показать на них след изотермической 
плоскости сечения. 

Рис. 1.4. Трехкомпонентная диаграмма фазового равновесия  
с тройной эвтектической реакцией 

Тогда становится однозначным чередование фаз на сторонах треугольника горизонтального изотермического сечения. Например, 
необходимо построить горизонтальное сечение диаграммы, изображенной на рис. 1.5, а, при температуре Т. След плоскости сечения 
отмечен жирной линией. Фазовая ситуация на сторонах треугольника 
сечения показана на рис. 1.5, а. Построение сечения внутри концентрационного треугольника в этом случае существенно облегчается. 
При построении вертикальных сечений также полезно строить 
бинарные системы на сторонах концентрационного треугольника. В 
этом случае понятен ход линий на краях сечения, как это показано на 
рис. 1.5, б. Далее необходимо нарисовать схемы микроструктур 
сплавов разреза при низкой температуре. В разрезе mn разную микроструктуру будут иметь сплавы состава от m до 1, в точке 1, от 1 
до 2; в точке 2, от 2 до 3, в точке 3; от 3 до n. 
Например, микроструктура сплавов состава от m до 1, а также 
только сплава 1 представлена на рис. 1.5, в. 
Нахождение состава сплава по заданному количеству фаз или 
структурных составляющих необходимо начинать с определения точек химического состава заданных составляющих. Воспользуемся 
для примера диаграммой, изображенной на рис. 1.4. 

а 

 

б 

 

в 

Рис. 1.5. Изотермическое сечение при температуре Т (а);  
политермическое сечение mn (б) и схемы микроструктур (в) 

Допустим, что по условию задачи в искомом сплаве присутствуют 
30 % фазы С, 20 % фазы и жидкая фаза L при температуре начала 
тройной эвтектической реакции. При этой температуре состав фазы 
С определяется точкой «С», состав фазы  – точкой «a» и состав 
жидкой фазы L – точкой «Е». Выделим треугольник СаЕ (рис. 1.6) и 
разделим сторону аС в количественном соотношении фаз С и , получив точку «m». Суммарное количество твердых фаз составит 50 %, 
так же как и количество жидкого расплава L. Разделим отрезок mE 
пополам. Точка «х», находящаяся на середине отрезка mЕ, является 
искомой точкой состава сплава, как показано на рис. 1.6. 

.
 

Рис. 1.6. Определение химического состава сплава по заданному количеству 
фазовых составляющих 

Рассмотрим пример решения задачи № 3 для сплава состава точки 
Х диаграммы, приведенной на рис. 1.7. Содержание задачи № 3 см. 
в разд. 2. 

 

Рис. 1.7. Проекция диаграммы на концентрационный треугольник  
и расчет массы структурных составляющих 

Рис. 1.8. Кривая термического анализа сплава Х.  
Микроструктура сплава на различных этапах кристаллизации 

В сплаве Х из жидкого расплава первыми выделяются кристаллы 
С, химический состав которых не изменяется при понижении температуры. Химический состав L в процессе первичной кристаллизации 
меняется от точки Х до точки m, расположенной на линии двойной 
эвтектики. После выделения первичных кристаллов С в сплаве протекает двойная эвтектическая реакция с образованием двойной эвтектики (С + В), средний состав которой определяет точка k. Двойная 
эвтектическая реакция протекает в интервале температур. Состав 
жидкой фазы в это время меняется от точки k до точки Е. Завершает 
процесс кристаллизации сплава тройная эвтектическая реакция с образованием тройной эвтектики постоянного состава точки Е. 
Поскольку в данной фазовой диаграмме предполагается отсутствие растворимости компонентов в твердом состоянии, содержание 
компонентов в сплаве равно содержанию фаз А, В и С. 
Далее приведены используемые в сборнике задач трехкомпонентные диаграммы фазового равновесия (рис. 1.9–1.14). 

Рис. 1.9. Трехкомпонентная диаграмма фазового равновесия. На сторонах 
концентрационного треугольника построены двухкомпонентные (бинарные) 
диаграммы с отсутствием растворимости в твердом состоянии 
и эвтектическими превращениями. В трехкомпонентной системе 
присутствует тройная эвтектическая реакция 

 

Рис. 1.10. Трехкомпонентная диаграмма фазового равновесия. На сторонах 
концентрационного треугольника построены двухкомпонентные диаграммы 
с непрерывным рядом твердых растворов