Кристаллофизика : сборник задач с решениями

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 

 
 

 

Кафедра материаловедения полупроводников и диэлектриков
 
Н.В. Переломова 
М.М. Тагиева 

Кристаллофизика

Сборник задач с решениями 

Под редакцией профессора Ю.Н. Пархоменко 

Допущено учебно-методическим объединением 
по образованию в области металлургии в качестве 
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению Металлургия 

Москва 2013 

№ 2323

УДК 548 
П27

Р е ц е н з е н т
д-р физ.-мат. наук, зам. директора по научной работе Д.В. Рощупкин
(Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Института проблем
технологии микроэлектроники и особочистых материалов РАН)

Переломова, Н.В.
П27
Кристаллофизика : сб. задач с решениями / Н.В. Переломова,
М.М. Тагиева ; под ред. Ю.Н. Пархоменко. – 6-е изд., перераб.
и доп. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2013. – 408 с.
ISBN 978-5-87623-701-9 

Сборник содержит более 400 задач и упражнений по основным разделам
физики диэлектрических кристаллов, которые дают возможность уяснить
физический смысл различных коэффициентов, характеризующих свойства
кристаллов, оценить их значение и степень анизотропии, а также выбрать оптимальные значения коэффициентов в зависимости от конкретных условий
практического применения кристаллов различной симметрии. Даны решения
типовых задач, а также задач повышенной сложности. В сборник включены
теоретические сведения и справочные данные, позволяющие получить наглядное представление о порядках реальных кристаллофизических характеристик и облегчающие решение задач. Представлены задачи, решение которых способствует приобретению практических навыков по эффективному
использованию диэлектрических кристаллов при разработке приборов и устройств твердотельной электроники.
Настоящее издание дополнено задачами по свойствам кристаллов, получивших широкое применение в новых приборах твердотельной электроники,
а также задачами по компьютерному анализу анизотропии тензорных коэффициентов, определяющих работу монокристаллических элементов в различных режимах.
Сборник предназначен для студентов – бакалавров и магистров, преподавателей вузов, а также инженеров и специалистов-материаловедов, работающих в области физики диэлектрических кристаллов и их практического применения.
УДК 548 

ISBN 978-5-87623-701-9 
© Н.В. Переломова,
М.М. Тагиева, 2013 

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора..............................................................................................4 
Предисловие к шестому изданию ...........................................................6 
Список принятых обозначений ...............................................................8 
1. Матричное представление симметрических операций и классов
симметрии. Тензорные методы описания физических свойств
кристаллов...............................................................................................11 
2. Принцип симметрии в кристаллофизике. Симметрия
физических воздействий. Основные постулаты кристаллофизики ...26 
3. Пироэлектрические и электрокалорические свойства
кристаллов...............................................................................................42 
4. Удельная электропроводность, диэлектрическая
проницаемость, тепловое расширение и другие физические
свойства кристаллов, описываемые тензором второго ранга.............57 
5. Напряжения и деформации в кристаллах.........................................87 
6. Пьезоэлектрические свойства кристаллов .....................................110 
7. Упругие свойства кристаллов. Закон Гука.....................................147 
8. Пьезорезистивный (тензорезистивный) эффект
в полупроводниковых кристаллах ......................................................178 
9. Оптические свойства кристаллов....................................................200 
10. Пьезооптические и упругооптические свойства кристаллов .....225 
11. Электрооптические свойства кристаллов.....................................240 
12. Нелинейные оптические свойства кристаллов.
Генерация оптических гармоник.........................................................265 
13. Термодинамика равновесных свойств диэлектрических
кристаллов.............................................................................................287 
14. Определение экстремальных значений физических
коэффициентов, характеризующих рабочие параметры
монокристаллических элементов, в среде Mathcad...........................316 
Ответы к задачам ..................................................................................350 
Библиографический список.................................................................359 
Приложение...........................................................................................360 
Указатель таблиц, помещенных в приложении.................................406 

От редактора

Современная твердотельная электроника базируется преимущественно на монокристаллах, нашедших широкое применение в пьезотехнике, оптике, акусто- и оптоэлектронике.
В связи с расширением применения диэлектрических и полупроводниковых кристаллов во многих областях современной твердотельной электроники, созданием новых перспективных кристаллов, а
также развитием компьютерных методов исследования их физических свойств появилась необходимость выпуска нового переработанного и расширенного издания пособия «Кристаллофизика. Сборник задач с решениями». Предлагаемое пособие, впервые изданное в
1972 г., было практически первым сборником задач по кристаллофизике не только в отечественной, но и в мировой литературе. К тому
ж, со времени выхода в свет последних изданий этой книги на русском и английском языках в 1982 и 1983 гг. они стали библиографической редкостью.
В настоящее время, наряду с широким объемом теоретической и
экспериментальной литературы в виде монографий, оригинальных
работ, журнальных статей, отмечается явная нехватка и относительная недоступность учебных пособий по кристаллофизике, особенно в
плане выявления соответствия свойств кристаллов функциональному
назначению приборов и устройств на основе кристаллов, а также заметна недостаточная привязка таких изданий к практическим и инженерным вопросам.
Настоящее издание существенно расширено и дополнено. В него
включены дополнительные разделы, а также новые задачи, составленные на основе сведений, содержащихся в учебной литературе,
специальных монографиях и журнальных статьях, способствующие
приобретению навыков применения тензорных методов, идей симметрии для анализа вариантов практического применения современных кристаллов, а также выбора кристаллов с оптимальными характеристиками для конкретных научных или инженерных решений.
Особое значение для оптимизации характеристик монокристаллических элементов устройств современной твердотельной электроники представляет исследование анизотропии тех физических коэффициентов, которые определяют их работу в конкретных схемах.
Для специалистов материаловедческого профиля важно уметь не
только выбрать кристалл для реализации поставленной инженерной

задачи, но и, используя его анизотропию, уметь определить ориентацию элемента на основе этого кристалла с экстремальным значением
его рабочей характеристики. В связи с этим в настоящее издание вошли экстремальные задачи, реализуемые как аналитическими, так и
численными методами с использованием пакета программ Mathcad. 
Исследования, проводимые такими методами, позволяют избежать
дорогостоящих экспериментов, улучшить характеристики монокристаллических элементов только за счет их анизотропии.
Настоящее пособие, по сути, представляет собой практический
курс кристаллофизики анизотропных диэлектриков; однако общие
подходы могут с успехом применяться и в исследованиях других
анизотропных материалов.
Как авторы, так и редактор будут признательны за любые критические замечания и предложения.

Ю.Н. Пархоменко

Предисловие к шестому изданию

Предлагаемый сборник задач является частью методической работы кафедры материаловедения полупроводников и диэлектриков
НИТУ «МИСиС» по совершенствованию преподавания базового
курса «Кристаллофизика». Изучение данного курса всегда вызывает
у студентов некоторые трудности, связанные как с необходимостью
изучения широкого спектра физических эффектов, наблюдаемых в
кристаллах, и освоения тензорных методов их описания, так и с недостатком учебной литературы практической направленности.
Следует отметить, что концепция курса «Кристаллофизика» для
студентов инженерных специальностей была сформирована на семинарах, проводимых в 1960-е годы в МИСиС и МГУ замечательными
учеными и педагогами, авторами фундаментального курса «Основы
кристаллофизики», доцентом МГУ Ю.И. Сиротиным и профессором
МИСиС М.П. Шаскольской. Основными положениями этой концепции являлись идеи симметрии при анализе тензорного описания анизотропии свойств кристаллов, а также их практического применения.
Для успешного усвоения курса «Кристаллофизика» оказалось необходимым ввести в преподавание решение задач, способствующих
развитию навыков практического применения теоретических знаний,
освоению методов расчета тензорных характеристик монокристаллических элементов, применяемых в современных приборах и устройствах. Задачи, предлагаемые студентам на семинарах, вошли в первые пять изданий сборника «Кристаллофизика. Сборник задач с решениями» Н.В. Переломовой и М.М. Тагиевой; редактором первых
его изданий стала профессор М.П. Шаскольская.
Следует отметить, что этот задачник по кристаллофизике на русском и иностранных языках был выпущен в пяти изданиях, в последний раз в 1982–1983 гг. За истекшее время было создано большое
число новых перспективных кристаллов, чрезвычайно расширилась
сфера применения различных кристаллов в современной твердотельной электронике, разработаны новые методы исследования их физических свойств, включая компьютерные технологии. В связи с этим
оказалось необходимым существенно переработать большинство
разделов предыдущих изданий, составить новые задачи, упражнения
и таблицы, а также ввести дополнительные разделы, способствующие углубленному изучению курса кристаллофизики и развитию навыков практического применения кристаллов.

Настоящее издание сборника «Кристаллофизика. Сбрник задач с
решениями» переработано и расширено профессором Н.В. Переломовой, большинство разделов дополнено теоретическими сведениями, необходимыми для решения задач, введены задачи по исследованию анизотропии тензорных коэффициентов, а также экстремальные
задачи для их определения.
Так как решение практически любой сколько-нибудь сложной задачи в материаловедении анизотропных сред, как правило, приводит
к созданию математической модели, требующей ее реализации с использованием численных методов, в пособие введен новый раздел,
подготовленный доцентом А.Н. Забелиным, посвященный исследованию анизотропии физических свойств кристаллов с использованием пакета Mathcad (разд. 14). 
Сборник содержит задачи различной сложности, а также решения
типовых задач; приведены ответы к задачам и приложение, в которое
вошли данные, необходимые для решения задач, а также сведения о
широко применяемых кристаллах. Данные для решения многих задач
взяты из статей, опубликованных в научных журналах и монографиях, в
которых использовалась система единиц СГСЭ; эта система применена
при решении задач. При необходимости перехода к системе СИ следует
пользоваться табл. П16 приложения. Задачи, для которых не приведены
решения и ответы, можно использовать для индивидуальных домашних
заданий, контрольных работ, а задачи повышенной сложности (включая
задачи по расчету анизотропии различных тензорных коэффициентов) – 
для курсовых работ и спецкурсов. Предлагаемое издание учитывает
особенности перехода образования на двухуровневую систему подготовки «бакалавр – магистр».
В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить
глубокую благодарность научному редактору пособия, заведующему
кафедрой материаловедения полупроводников и диэлектриков НИТУ
«МИСиС» профессору Ю.Н. Пархоменко за постоянную поддержку,
обсуждение и советы при подготовке рукописи, способствовавшие
переработке сборника в свете современных требований к учебным
курсам, читаемым на кафедре МПиД. Выражаем сердечную признательность всем преподавателям и сотрудникам кафедры, а также
с.н.с. М.В. Вороновой за ценные предложения и замечания. Особая
благодарность доценту А.Н. Забелину за его активное участие в подготовке новых материалов и оформлении рукописи.

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Обозначения классов элементов симметрии точечных групп приведены в прил., табл. П1, П4. Обозначения элементов симметрии – 
в табл. П2. Символы Миллера направлений заключаются в прямые
скобки […], символы пучка симметрически эквивалентных направлений – в угловые скобки <…>, символы плоскостей – в круглые
скобки (…), символы набора симметрически эквивалентных плоскостей – в фигурные скобки {…}. 
X, Y, Z – оси кристаллографической системы координат;
X1, X2, Х3 – оси кристаллофизической системы координат;
(Сij) – матрица преобразования кристаллофизической системы координат (матрица косинусов);
C – теплоемкость на единицу объема;
cijkl (cλμ) – тензор коэффициентов упругой жесткости;
D – вектор индукции электрического поля;
dijk (dλμ) – тензор пьезоэлектрических модулей;
dijkpq – тензор нелинейных пьезоэлектрических модулей;
eijk – тензор пьезоэлектрических постоянных;
eijkpq – тензор нелинейных пьезоэлектрических постоянных;
E – модуль Юнга;
Е – вектор напряженности электрического поля;
fa – антирезонансная частота пьезоэлектрического резонатора;
fr – резонансная частота пьезоэлектрического резонатора;

ijkl

ijkl

ijkl

F
R
⎫⎪⎬
⎪
ψ
⎭

 – коэффициенты квадратичного электрооптического эф
фекта;
G – модуль сдвига;
Н – вектор напряженности магнитного поля;
j – вектор плотности электрического тока;
K – объемная сжимаемость;
m – единичный вектор волновой нормали;
mijkl (mλμ) – тензор эласторезистивных коэффициентов;
n – единичный вектор нормали;
No, Ne – главные показатели преломления обыкновенной и необыкновенной волн для одноосных кристаллов;

Ng, Nm, Np – или n1, n2, n3 – показатели преломления двуосных кристаллов вдоль главных осей;

1n′,
2n′  – показатели преломления для произвольного направления
распространения света;
Р – вектор поляризации;
pijkl (pλμ) – тензор упругооптических коэффициентов;
(
)

(
)

ijkl

ijkl

Q
Q

L
L

λμ

λμ

⎫⎪⎬
⎪⎭
 – тензоры коэффициентов электрострикции;

rijk (rλk) – тензор электрооптических коэффициентов;
(
)

(
)

ijkl

ijkl

R
R

M
M

λμ

λμ

⎫⎪⎬
⎪⎭
 – тензоры коэффициентов квадратичного электрооп
тического эффекта;
rij – тензор малых деформаций;
s – единичный вектор луча;
S – энтропия на единицу объема;
sijkl (sλμ) – тензор коэффициентов упругой податливости;
sijklmn – тензор нелинейных коэффициентов упругой податливости;
T – температура;
Tf – температурный коэффициент частоты;
tij – тензор механических напряжений;
Ts
Tc
⎫
⎬
⎭
 – температурные коэффициенты упругих податливостей и

упругих жесткостей;
ТС – температура Кюри;
u – вектор смещения;
U – внутренняя энергия на единицу объема;
αij – тензор теплового расширения;
δij – символ Кронекера;
γi – пироэлектрические коэффициенты;
ε0 – диэлектрическая постоянная вакуума;
εij – тензор диэлектрической проницаемости;
εijk – тензор нелинейной диэлектрической проницаемости;
ηij – тензор диэлектрической непроницаемости (тензор поляризационных констант);
θijkl – тензор кубической диэлектрической восприимчивости;

θ – угол синхронизма;
λij – тензор теплопроводности;
ν – коэффициент Пуассона;
Πijkl (Πλμ) – тензор пьезорезистивных коэффициентов;
πijkl (πλμ) – тензор пьезооптических коэффициентов;
ρ – плотность;
ρij – тензор удельного сопротивления;
σij – тензор удельной проводимости;
Φ – термодинамический потенциал на единицу объема;
χij – тензор коэффициентов поляризуемости;
χijk – тензор квадратичной диэлектрической восприимчивости;
χijkl – тензор кубичной поляризации;
ωij – тензор малых вращений;
⊂ – символ включения подгруппы в группу;
∩ – символ пересечения групп.
Индексы:
i, j, k, l = 1, 2, 3 соответствуют декартовой (обычно кристаллофизической) системе координат;
λ, μ, ν = 1, …, 6 позволяют заменить два тензорных индекса одним.
Случаи, когда индексы употребляются в другом смысле или принимают другие значения, оговорены в тексте.

1. МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
И КЛАССОВ СИММЕТРИИ.
ТЕНЗОРНЫЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ
ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ

Специфические особенности кристаллов связаны с симметрией и
анизотропией кристаллической среды.
Симметрия
кристаллического
пространства
определяется
как
свойство такого пространства совмещаться с самим собой путем некоторых преобразований, называемых операциями симметрии, или
симметрическими преобразованиями.
Различают два типа таких преобразований: операции симметрии
I рода (повороты) и операции симметрии II рода (зеркальные отражения). Операции I рода преобразуют правую систему координат,
связанную с кристаллом, в правую, левую – в левую, а операции II 
рода приводят к замене правой координатной системы на левую (и
наоборот).
Возможные сочетания симметрических операций кристаллических многогранников образуют 32 точечные группы, или 32 класса
симметрии (см. прил., табл. П1, П2). Точечными эти группы названы
потому, что входящие в них симметрические преобразования оставляют неподвижной хотя бы одну точку кристаллического пространства (начало координат).
Искусственные анизотропные среды – текстуры и керамики – характеризуются так называемыми предельными группами симметрии,
содержащими оси бесконечного порядка. Таких групп пять: ∞, ∞m,
∞2, ∞/m, ∞/mm.

Стандартные кристаллографические и кристаллофизические
координатные системы. Для однозначного описания направлений и
плоскостей кристаллов служат кристаллографические координатные
оси X, Y, Z; стандартные правила их выбора приведены в прил.,
табл. П3. Для описания физических свойств кристаллов, а также для
аналитического представления их точечных групп симметрии в кристаллах выбираются ортогональные кристаллофизические оси X1, X2,
Х3; стандартные правила ориентировки этих осей приведены в прил.,
табл. П4, П4а, П4б. Кристаллографические и кристаллофизические