Моделирование физических процессов горного производства

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ 
 
Кафедра физических процессов горного производства 
и геоконтроля

А.С. Вознесенский

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ  
ПРОЦЕССОВ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА

Учебное пособие

Допущено Федеральным учебно-методическим объединением 
в сфере высшего образования по УГСН 21.00.00 «Прикладная 
геология, горное дело, нефтегазовое дело и геодезия»  
в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся 
по специальности 21.05.04 «Горное дело»

№ 3153

УДК 004.94:622 
 
В 64

Р е ц е н з е н т ы: 
д-р техн. наук В.А. Трофимов (ИПКОН РАН) 
д-р техн. наук С.В. Мазеин (Тоннельная ассоциация России)

Вознесенский, А.С.
В 64  
Моделирование физических процессов горного производства : учеб. пособие / А.С. Вознесенский. – М. : Изд. 
Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 159 с.
ISBN 978-5-907061-46-0

Студенты знакомятся с численным моделированием объектов и 
процессов горного производства методом конечных элементов (МКЭ) 
с использованием программного пакета COMSOL Muliphysics. Рассмотрены основы МКЭ, последовательность действий при моделировании, порядок выбора параметров моделей, а также визуализация 
результатов, в наилучшей степени отражающая особенности изучаемых объектов и процессов. Включены вопросы моделирования тепловых, механических, гидромеханических процессов, а также пьезокерамических материалов, используемых при акустическом контроле 
горных пород, бетона, металлов, с которыми приходится иметь дело 
в горном производстве. Теоретические сведения проиллюстрированы 
примерами моделей из области физических процессов горного производства и геоконтроля.
Учебное пособие предназначено для студентов специальности 
21.05.05 «Физические процессы горного или нефтегазового производства» и изучающих дисциплину «Моделирование физических 
процессов горного производства». Оно будет полезно студентам и 
аспирантам других специальностей, а также инженерно-техническому персоналу и научным работникам, ведущим работы в областях 
исследования физических процессов горного производства и геоконтроля.

УДК 004.94:622

 А.С. Вознесенский, 2019
ISBN 978-5-907061-46-0
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..................................................................... 6
1. Уравнения, описывающие объекты и процессы горного 
производства при моделировании ......................................... 9
1.1. Общий подход при компьютерном моделировании 
строения, свойств и состояния физических объектов 
и процессов .................................................................... 9
1.2. Дифференциальные уравнения, описывающие  
объекты и процессы горного производства ........................ 10
1.3. Дифференциальные уравнения в частных  
производных в системе COMSOL Multiphysics ................... 13
1.4. Решение систем дифференциальных уравнений  
в частных производных ................................................. 18
1.4.1. Методы решения ДУЧП. Метод конечных  
элементов ................................................................. 18
1.4.2. Конечные элементы (Finite Elements) и сетки ........ 22
1.4.3. Приближения к точному решению внутри  
конечных элементов ................................................... 24
1.4.4. Элементы Лагранжа, Аргириса и Эрмита .............. 27
1.4.5. Элементы Лагранжа в COMSOL Multiphysics ......... 28
Контрольные вопросы ................................................... 32

2. Системы координат в COMSOL Multiphysics ..................... 33
2.1. Размерность задач и виды систем координат  
в COMSOL Multiphysics .................................................. 33
2.2. Глобальная система координат ................................. 35
2.3. Локальная геометрическая система координат ............ 36
2.4. Системы координат, определяемые пользователем ...... 37
2.5. Пример задания цилиндрических координат, 
определяемых пользователем ......................................... 44
Контрольные вопросы ................................................... 48

3. Моделирование тепловых процессов в среде  
COMSOL Multiphysics ....................................................... 49
3.1. Общая характеристика задач расчета тепловых  
процессов..................................................................... 49
3.2. Уравнения теплопереноса за счет  
теплопроводности и за счет конвекции ............................. 49
3.3. Граничные условия при решении тепловых задач ........ 51
3.4. Теплопередача за счет излучения .............................. 52

3.5. Решение задач теплопередачи в системе  
COMSOL Mutiphysics ..................................................... 57
3.6. Пример тепловых расчетов  
в системе COMSOL Multiphysics ...................................... 60
3.6.1. Монофизическая постановка задачи  
(распределение температур и тепловых потоков) ............ 60
3.6.2. Мультифизическая постановка задачи 
(распределение температур, тепловых потоков, 
механических напряжений и деформаций) .................... 67
Контрольные вопросы ................................................... 73

4. Моделирование механических систем и процессов  
в среде COMSOL Multiphysics ............................................. 75
4.1. Общая характеристика возможностей  
моделирования механических объектов и процессов 
в COMSOL Multiphysics .................................................. 75
4.2. Уравнения механики ............................................... 78
4.3. Задание механических свойств подобластей ............... 86
4.4. Граничные условия при решении механических  
задач ........................................................................... 88
4.5. Визуализация символов ........................................... 93
4.6. Примеры механических расчетов в системе  
COMSOL Multiphysics .................................................... 95
4.6.1. Расчет напряжений вокруг горизонтальной 
выработки ................................................................ 95
4.6.2. Моделирование расслоения кровли подземных 
горных выработок ...................................................... 97
4.6.3. Моделирование сейсмического действия  
взрыва на карьере .....................................................101
4.6.4. Моделирование распределения напряжений  
в массиве пород при камерной системе разработки 
горизонтальных залежей ...........................................106
Контрольные вопросы ..................................................112

5. Моделирование пьезоматериалов  
и пьезопреобразователей ..................................................113
5.1. Общие сведения о свойствах пьезокерамики ..............113
5.2. Электрические свойства керамики ...........................114
5.2.1. Основные понятия теории электричества .............114
5.2.2. Электрическое поле и электрическая индукция ....116

5.3. Механические свойства керамики ............................117
5.4. Уравнения пьезоэффекта ........................................120
5.5. Модели материала .................................................122
5.5.1. Материалы с пьезоэффектом и без него ................122
5.5.2. Пьезоэлектрическое рассеяние ...........................123
5.5.3. Затухание колебаний и потери в керамике ...........123
5.6. Моделирование пьезопреобразователей  
в среде COMSOL Multiphysics .........................................124
Контрольные вопросы ..................................................128

6. Механика жидкости .....................................................130
6.1. Расположение разделов механики жидкости  
в COMSOL Multiphysics .................................................130
6.2. Области изучения механики жидкости  
и формулировка дифференциальных уравнений  
в частных производных ................................................131
6.3. Установки свойств подобластей................................132
6.4. Установка граничных условий .................................134
6.5. Численная стабильность решения и техника 
его стабилизации .........................................................141
6.6. Переменные раздела механики жидкости ..................146
6.7. Настройки решателя ..............................................147
6.8. Пример задачи, решаемой в разделе уравнений 
несжимаемой жидкости  
Навье – Стокса ............................................................149
Контрольные вопросы ..................................................155

Библиографический список ..............................................156
Приложение 1. Некоторые графические символы  
нагрузки ........................................................................157
Приложение 2. Некоторые графические символы  
граничных условий (constraint) ........................................158

ПРЕДИСЛОВИЕ

Появление персональных компьютеров и программного обеспечения, построенного на методе конечных элементов (МКЭ), 
сделало доступным для широкого круга специалистов инженерного уровня решение задач моделирования сложных систем 
во многих областях науки и техники, что ранее было доступно 
только математикам высокого уровня подготовки. МКЭ позволил также расширить круг задач, решаемых методами аналитического моделирования, базирующимися на точных решениях 
систем дифференциальных и интегральных уравнений, которые 
описывают реальные объекты сложной формы со значительными приближениями и допущениями. С использованием МКЭ 
стало возможным исследовать объекты сложной формы и строения, что не всегда удавалось осуществить аналитическими расчетами.
Все это в полной мере относится к такой области, как физические процессы горного производства и геоконтроль. Объектами 
исследования здесь являются горные породы в массиве и образцах, угольные шахты, рудники, карьеры, подземные и шахтные 
сооружения, предприятия по добыче и переработке полезных ископаемых и использованию подземного пространства. К физическим процессам горного производства относятся процессы взаимодействия с горными породами инструментов, механизмов, 
агрегатов или реагентов, которые по технологическим признакам подразделяются на осушение, оттаивание, разрушение взрывом, дробление, измельчение, упрочнение, поддержание горных 
выработок, переработку и обогащение полезных ископаемых, 
контроль свойств, качества, состава, строения, состояния и поведения пород при технологических процессах. Исследование физических процессов горных пород позволяет устанавливать количественные соотношения между параметрами технологического 
процесса и физико-техническими свойствами горных пород.
Целью исследований физических процессов горного производства является установление значений и закономерностей изменения параметров, необходимых для расчета режимов работы 
и производительности горного оборудования при проектировании 
горных предприятий и планировании их работ, при разработке 

новых методов воздействия на горные породы и новой технологии 
горного производства, а также разработку и эксплуатацию систем 
контроля и мониторинга состава, строения, состояния и поведения горных пород в различных производственных процессах.
Современные методы исследования физических объектов и 
процессов горного производства включают в себя натурные и лабораторные физические эксперименты, измерения и мониторинг 
различных информативных параметров, их компьютерную обработку, физическое и численное моделирование.
Как один из рабочих инструментов, компьютерное моделирование, особенно интенсивно развивающееся в последние десятилетия, в этой деятельности занимает особое место, позволяющее 
современному инженеру осуществлять проведение виртуальных 
экспериментов и расчетов, что не было доступно ранее. Многообразие физических законов, описывающих процессы горного производства, обусловило ориентацию на программный пакет COMSOL 
Multiphysics 3.5a, который изначально разрабатывался как система мультифизического моделирования, что позволило сделать 
удобным его применение для решения практических задач, описываемых несколькими физическими законами. Автор не стремился 
отследить последние версии этого программного продукта, уделив 
значительное внимание физическим, математическим и вычислительным принципам, заложенным в него, а также тем задачам, с 
которыми приходится сталкиваться при исследовании физических 
процессов горного производства и в геоконтроле.
Следует заметить, что только само по себе проведение таких 
виртуальных расчетов и компьютерных экспериментов может 
привести к ошибочным выводам, если они базируются лишь на 
умозрительных исходных предпосылках. В настоящее время 
компьютерное моделирование используется в сочетании с физическими экспериментами и служит либо для обоснования методик проведения экспериментов, либо для интерпретации их 
результатов. Модели, создаваемые в ходе подготовки и проведения компьютерных экспериментов, обязательно должны пройти 
верификацию и валидацию. Первая операция предполагает выполнение моделью предъявляемых к ней требований, т. е. ее работоспособность, а вторая – соответствие результатов ее работы 
тем реальным физическим процессам, которые она моделирует.

Пособие состоит из шести глав.
В первой главе рассмотрены дифференциальные уравнения в 
частных производных, описывающие объекты и процессы горного производства, а также методы их решения в системе COMSOL 
Multiphysics. Обсуждаются базовые идеи, закладываемые в МКЭ, 
а также различные виды элементов и сетки, на которые разбивается объект моделирования. Во второй главе представлены виды 
координат, доступных в системе моделирования. Третья глава 
посвящена моделированию тепловых процессов, рассмотрено моделирование различных видов теплопередачи. В четвертой главе 
рассматривается моделирование механических систем и процессов. Учитывая широкое распространение неразрушающего акустического контроля, в пятой главе рассматривается моделирование пьезопреобразователей. Шестая глава посвящена механике 
жидкостей и описанию их течения с помощью уравнений Навье – 
Стокса. В приложениях приведены обозначения графических 
символов нагрузки и граничных условий.
Все главы снабжены примерами решения задач. В то же время теоретические сведения, приведенные в данном пособии, 
должны дополняться лабораторно-практическими занятиями, 
изложенными в соответствующем лабораторном практикуме.
При изучении данного пособия предполагается владение студентами материалами следующих областей знаний: горная геофизика, 
физико-технический контроль и мониторинг объектов и процессов 
горного производства, физика горных пород, гидромеханика, геомеханика, компьютерные методы в инженерных расчетах и научных исследованиях, волновые процессы, измерения в физическом 
эксперименте, спецглавы физики и математики и других.
Пособие будет полезно также студентам, обучающихся по специальности 21.05.04 «Горное дело», а также научным работникам и инженерно-техническому персоналу, областью действия 
которых является массив горных пород, физические процессы 
горного производства и геоконтроль.
Автор выражает благодарность д-ру техн. наук В.А. Трофимову, д-ру техн. наук С.В. Мазеину, канд. физ.-мат. наук П.Е. Сизину за ценные замечания, учтенные при подготовке текста 
пособия, а также А.О. Тютчевой за помощь при подготовке рукописи к изданию.

1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ 
ОБЪЕКТЫ И ПРОЦЕССЫ ГОРНОГО 
ПРОИЗВОДСТВА ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ

1.1. Общий подход при компьютерном 
моделировании строения, свойств и состояния 
физических объектов и процессов

Физические объекты и процессы в них обычно описываются 
дифференциальными уравнениями различного порядка с начальными и граничными условиями. При решении на основе 
условий, заданных на границах (краях) модели, получают распределение искомых величин внутри нее, которые также могут 
меняться во времени. В зависимости от вида искомой величины – скалярной или векторной, ее распределение называется 
векторным или скалярным полем. Область математики, рассматривающей такие задачи, называется «теория поля».
В задачах теории поля приходится решать уравнения в частных производных и из большого числа решений выбирать такие, которые удовлетворяют заданным граничным условиям, 
т. е. условиям на краях модели. Такие задачи называются краевыми. К ним относятся, в частности, задачи определения внутреннего строения, свойств и состояния массива горных пород. 
В этом случае доступ возможен либо к его свободным границам 
на поверхности Земли или в выработках, либо при бурении к 
ограниченным точкам пространства внутри него. Задача ставится таким образом, чтобы по измеренным на поверхности массива 
пород деформациям, температуре, электросопротивлению или 
другим физическим величинам получить информацию о том, 
что находится или происходит внутри него.
В теории поля решаются линейные и нелинейные задачи. 
В линейных задачах параметры среды, в которой протекает процесс, не зависят от искомых величин. Задачи относятся к нелинейным, когда между параметрами модели и результатами решений существует нелинейная зависимость.
Моделирование осуществляется с использованием дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП, англ. 

partial differential equations или сокращенно PDE). PDE – это 
уравнение, содержащее неизвестную функцию двух или более 
переменных и ее частные производные. Дифференциальные 
уравнения могут описывать объекты и процессы в скалярных и 
векторных полях. Системы нелинейных уравнений или нелинейные скалярные уравнения более сложны для решения, чем 
системы линейных уравнений или линейные уравнения скалярных величин.

1.2. Дифференциальные уравнения, 
описывающие объекты и процессы горного 
производства

Для описания положения точек в пространстве используются несколько видов координат, наиболее распространенными 
из которых являются декартовы координаты. В одномерной постановке задачи (1D) положение точек задается координатой х, 
в двухмерной (2D) – координатами x, y, в трехмерной (3D) – x, y, 
z. Кроме того, используются осесимметричные (axial symmetry) 
постановки задач, в которых координата положения точки обозначается r в случае 1D Axial symmetry и r, z в случае 2D Axial 
symmetry. В случае осесимметричной постановки подразумевается также переменная phi, обозначающая угол поворота относительно оси симметрии.
Если это не оговорено отдельно, перемещения точки по оси x 
обозначаются буквой u, по оси y буквой v, по оси z буквой w. Для 
вектора используется обозначение u .
Дифференциальные уравнения в частных производных могут быть представлены в стандартной записи и с использованием 
векторного дифференциального оператора, что позволяет сократить количество символов, используемых при обозначениях. Напомним некоторые из них.
1. Обозначение частных производных первого и второго порядка (первой и второй производных) скалярной переменной u 
по x

u
x
∂
∂
, 

2

2
u
x
∂
∂

.

2. Оператор набла, или оператор Гамильтона, – это векторный 
дифференциальный оператор, обозначаемый символом набла ∇:

i
j
k
x
y
z
∂
∂
∂
∇ =
+
+
∂
∂
∂





.

Применяя этот оператор к скалярной величине u, получаем

grad .
u
u
u
u
u
u
u
i
j
k
u
x
y
z
x
y
z



∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇
=
+
+
=
=


∂
∂
∂
∂
∂
∂







Этот же оператор, примененный к векторной величине u

 в 
виде скалярного произведения, приводит к соотношению

∂
∂
∂
∇⋅
=
+
+
=
∂
∂
∂



div .
u
v
w
u
u
x
y
z

Дивергенция характеризует точку, в случаях div
0
u >

 и 

div
0
u <

 точка является источником или стоком соответственно.
Аналогично векторное произведение оператора ∇ на u  дает 
ротор вектора

rot

x
y
z

i
j
k

u
u
x
y
z
u
u
u





∂
∂
∂


∇×
=
= 

∂
∂
∂













,

где ux, uy, uz – компоненты вектора u  по координатам x, y, z.
3. С помощью оператора набла можно записать различные 
виды дифференцирования, в частности, 

(
)

2
2
2

2
2
2
u
u
u
u
u
u
u
i
j
k
x
y
z
x
y
z



∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇⋅ ∇
= ∇⋅
+
+
=
+
+


∂
∂
∂
∂
∂
∂







.

4. Оператор Лапласа (лапласиан) – дифференциальный оператор, действующий в пространстве скалярных функций обозначается символом ∆. Скалярной функции F он ставит в соответствие 
также скалярную функцию

(
)

2
2
2

2
2
2
F
F
F

x
y
z



∂
∂
∂
∆
= ∇⋅ ∇
=
+
+




∂
∂
∂



.

Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом: 
∇2, т.е. в виде скалярного произведения оператора набла на самого себя.
5. В записях используются также обозначения: Ω – область в 
одно-, двух- или трехмерном пространстве; ∂Ω  – границы (ребра) области Ω; 
2
∂ Ω  – точки в области Ω.

Пример 1. Уравнение конвекции – диффузии:

0
t
u
u
c u
+β⋅∇ −∇⋅ ∇
=

 внутри области Ω – дифференциальное 
уравнение,

∂Ω  – граничные условия на ∂Ω ,

(
)
( )
,0  = 
0
u x
b
 – начальные условия при t = 0.

Пример 2. Уравнения Навье – Стокса (Navier – Stokes) – система дифференциальных уравнений в частных производных, 
описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости.
Система состоит из уравнения движения и уравнения неразрывности. В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

(
)
1
k
u
u
u
u
p
f
t

∂
= −
⋅∇
+ ν ∆ −
∇ +
∂
ρ






,

0
u
∇⋅
=

,

где u  – векторное поле скоростей; ∇ – оператор Гамильтона; 
∆ – оператор Лапласа; t – время, νk – коэффициент кинематической вязкости; ρ – плотность; p – давление; f



 – векторное 
поле сил. Вводятся краевые (граничные) и начальные условия на ∂Ω , например:

 
0
u ∂Ω =

 – нулевые граничные условия;

 
0
0
t
u
u
=
=

  – нулевые начальные условия.

В табл. 1.1 приведены примеры и других дифференциальных 
уравнений в частных производных с дифференциальным оператором ∇ и в стандартной записях.






Таблица 1.1
Классические PDE в компактной и стандартной записях

Уравнение
Запись с дифференциальным оператором ∇
Стандартная запись в частных  
производных (2D)
Уравнение 
Лапласа
(
)
0,
u
∇⋅ ∇
=

0
u
∆ =

∂ ∂
∂ ∂
+
=
∂
∂
∂
∂
0,
u
u

x x
y y

2
2

2
2
0
u
u

x
y

∂
∂
+
=
∂
∂

Уравнение 
Пуассона
(
)
c u
f
−∇⋅
∇
=
u
u
c
c
f
x
x
y
y



∂
∂
∂
∂


−
−
=




∂
∂
∂
∂





Уравнение 
Гельмгольца
(
)
c u
u
f
−∇⋅
∇
+ α
=
u
u
c
c
u
f
x
x
y
y


∂
∂
∂
∂


−
−
+ α
=




∂
∂
∂
∂





Уравнение 
теплопроводности

(
)
c
a
u
d
u
f
t

∂
−∇⋅
∇
=
∂
a

u
u
u
d
c
c
f
t
x
x
y
y



∂
∂
∂
∂
∂


−
−
=




∂
∂
∂
∂
∂





Волновое 
уравнение 
без потерь

(
)
2

2
a
u
e
c u
f

t

∂
−∇⋅
∇
=
∂

2

2
a

u
u
u
e
c
c
f
x
x
y
y
t



∂
∂
∂
∂
∂


−
−
=




∂
∂
∂
∂


∂



Уравнение 
Шредингера
(
)

2

2
u
c u
u
b
t

∂
−∇⋅
∇
+ α
=
∂

2

2

u
u
u
c
c
u
b
x
x
y
y
t



∂
∂
∂
∂
∂


−
−
+ α
=




∂
∂
∂
∂


∂



Как видно из приведенных в табл. 1.1 примеров, запись с дифференциальным оператором ∇ существенно экономит пространство, удобна для восприятия, но требует определенного навыка 
для понимания смысла входящих в уравнение величин.
В горном деле, например, решение задачи о распределении 
тепла в массиве горных пород в стационарном режиме и при изменении во времени осуществляется с помощью уравнения Фурье или уравнения теплопроводности, задача о распространении 
упругих волн при отбойке руды взрывом решается с помощью 
волнового уравнения и т.д.

1.3. Дифференциальные уравнения в частных 
производных в системе COMSOL Multiphysics

В системе COMSOL Multiphysics существуют три формы записи ДУЧП: