Отличная квантовая механика : учебное пособие. Часть 1

Отличная
квантовая
механика
Учебное пособие

QUANTUM PHYSICS

    

A. I. Lvovsky

Москва
2019

Перевод с английского

Отличная
квантовая
механика
Учебное пособие

Александр Львовский

© Львовский А., 2019
© Издание на русском языке, перевод, оформление. 
ООО «Альпина нон-фикшн», 2019
ISBN 978-5-91671-952-9 (рус.)
ISBN 978-3-662-56582-7 (англ.)

УДК 530.145
ББК 22.314
 
Л89
Переводчик Н. Лисова
Редактор А. Ростоцкая

Львовский А.
Отличная квантовая механика : Учеб. пособие : в 2 ч. / Александр 
Львовский ; Пер. с англ. — М.: Альпина нон-фикшн, 2019. — 422 с.

ISBN 978-5-91671-952-9

Ч. I. – 422 c.

Наряду с традиционным материалом, охватываемым курсом квантовой 
механики (состояния, операторы, уравнение Шрёдингера, атом водорода), 
в книге предлагается глубинное обсуждение таких концепций, как гильбертово пространство, квантовое измерение, запутанность и декогеренция. Эти 
концепции имеют решающее значение для понимания квантовой физики и ее 
связи с макроскопическим миром, но редко рассматриваются в учебниках начального уровня.
В книге применяется математически простая физическая система — поляризация фотонов — в качестве инструмента визуализации, что позволяет студенту увидеть запутанную красоту квантового мира с самых первых страниц. 
Формальные концепции квантовой физики проиллюстрированы примерами 
из современных экспериментальных исследований, таких как квантовые компьютеры, коммуникации, телепортация и нелокальность.
Материал книги успешно использовался в качестве основного учебного 
пособия в двухсеместровом курсе по квантовой механике для студентов-физиков. Однако потенциальный круг читателей много шире и охватывает как студентов и аспирантов, изучающих точные науки, так и всех интересующихся 
квантовой физикой и квантовыми технологиями. Математический аппарат, 
требующийся для понимания книги, не выходит за пределы курса технического вуза или математической школы.
Автор — профессор Оксфордского университета, экспериментатор с мировым именем в области квантовой оптики и квантовой информатики — 
применяет сократовскую педагогику: студенту предлагается самостоятельно 
разработать аппарат квантовой физики путем последовательного решения 
тщательно составленных задач. Подробные решения представлены во втором 
томе пособия.
УДК 530.145
ББК 22.314

Л89

Все права защищены. Никакая часть этой книги не может 
быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в сети 
интернет и в корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ для частного или пуб личного использования, 
без письменного разрешения владельца авторских прав. 
По вопросу организации доступа к электронной библиотеке 
издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ........................................................................................... 11
Почему я написал эту книгу? .................................................................11
Квантовая механика или квантовая оптика? .......................................14
Структура курса .......................................................................................16
Как пользоваться этой книгой (послание студенту) ...........................18
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОЯЗЫЧНОМУ ИЗДАНИЮ ............21
ПРЕДИСЛОВИЕ РОССИЙСКОГО КВАНТОВОГО ЦЕНТРА ...23
БЛАГОДАРНОСТИ ..............................................................................25

ГЛАВА 1. КВАНТОВЫЕ ПОСТУЛАТЫ ..........................................29
1.1. Предмет квантовой механики ....................................................29
1.2. Постулат гильбертова пространства .........................................31
1.3. Поляризация фотона ..................................................................34
1.4. Квантовые измерения .................................................................38
1.4.1. Постулат об измерениях ...................................................38
1.4.2. Измерения поляризации ..................................................43
1.5. Квантовая интерференция и дополнительность .....................47
1.6. Квантовая криптография ...........................................................51
1.6.1. Протокол BB84 ..................................................................53
1.6.2. Практические вопросы квантовой криптографии ........56
1.7. Операторы в квантовой механике .............................................59
1.8. Проекционные операторы и ненормированные состояния ....63
1.9. Квантовые наблюдаемые ............................................................64
1.9.1. Наблюдаемые операторы .................................................64
1.9.2. Среднее значение и неопределенность наблюдаемого ....66
1.9.3. Принцип неопределенности ............................................69
1.10. Квантовая эволюция .................................................................71
1.11. Задачи .........................................................................................76

ГЛАВА 2. ЗАПУТАННОСТЬ
2.1. Пространство тензорных произведений ..................................83
2.1.1. Тензорное произведение состояний и запутанные 
состояния ......................................................................................83
2.1.2. Измерения в составных пространствах ..........................86
2.1.3. Тензорное произведение операторов .............................89
2.1.4. Локальные операторы ......................................................91

2.2. Локальные измерения запутанных состояний ........................93
2.2.1. Удаленное приготовление состояния .............................93
2.2.2. Частичное скалярное произведение ...............................95
2.2.3. Локальные измерения и причинность .........................100
2.2.4. Смешанные состояния ....................................................102
2.3. Квантовая нелокальность .........................................................104
2.3.1. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена ..........104
2.3.2. Неравенство Белла ..........................................................107
2.3.3. Нарушение неравенства Белла ......................................111
2.3.4. Нелокальность Гринбергера — Хорна — 
Цайлингера (ГХЦ) .....................................................................115
2.4. Взгляд на квантовые измерения .............................................118
2.4.1. Измерения фон Неймана ...............................................118
2.4.2. Декогеренция ...................................................................121
2.4.3. Интерпретации квантовой механики ...........................125
2.4.4. Дерево суперпозиции* ....................................................129
2.5. Квантовые вычисления ............................................................134
2.6. Квантовая телепортация и ее приложения ............................139
2.6.1. Квантовая телепортация ................................................139
2.6.2. Квантовый повторитель .................................................144
2.7. Задачи .........................................................................................148

ГЛАВА 3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ
3.1. Непрерывные наблюдаемые ....................................................153
3.2. Волна де Бройля ........................................................................160
3.3. Координатный и импульсный базисы ....................................163
3.3.1. Преобразование между 
координатным и импульсным базисами ................................163
3.3.2. Неопределенность координаты и импульса ................166
3.3.3. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена 
в первоначальном виде .............................................................168
3.4. Потенциал свободного пространства ......................................170
3.5. Стационарное уравнение Шрёдингера ...................................175
3.6. Связанные состояния ................................................................179
3.7. Несвязанные состояния ............................................................186
3.7.1. Потенциал-ступенька .....................................................187
3.7.2. Квантовое туннелирование ............................................193
3.8. Гармонический осциллятор .....................................................198
3.8.1. Операторы уничтожения и рождения ..........................199

3.8.2. Фоковские состояния ......................................................202
3.8.3. Когерентные состояния ..................................................210
3.9. Представление Гейзенберга .....................................................215
3.9.1. Эволюция оператора .......................................................216
3.9.2. Оператор смещения ........................................................222
3.9.3. Эволюция плотностей вероятности*.............................224
3.10. Преобразования состояний гармонического осциллятора ....227
3.10.1. Когерентное состояние как смещенное вакуумное ...227
3.10.2. Фазовый сдвиг ...............................................................229
3.10.3. Сжатие ............................................................................231
3.11. Задачи .......................................................................................239

ГЛАВА 4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
4.1. Трехмерное движение ...............................................................247
4.2. Центрально-симметричный потенциал .................................250
4.2.1. Сферические координаты ..............................................250
4.2.2. Квантовый момент импульса .........................................254
4.3. Собственные состояния момента импульса ...........................259
4.3.1. Матричное представление момента импульса ............259
4.3.2. Волновые функции собственных состояний 
момента импульса .....................................................................266
4.3.3. Спин ..................................................................................269
4.4. Атом водорода ............................................................................270
4.4.1. Радиальные волновые функции ....................................270
4.4.2. Энергетический спектр и переходы ..............................273
4.4.3. Периодическая система элементов ...............................279
4.5. Сфера Блоха ...............................................................................283
4.6. Магнитный момент и магнитное поле ...................................287
4.6.1. Момент импульса и магнитный момент ......................287
4.6.2. Прибор Штерна — Герлаха ............................................289
4.6.3. Эволюция магнитных состояний ..................................291
4.7. Магнитный резонанс ................................................................293
4.7.1. Вращающийся базис .......................................................293
4.7.2. Эволюция в приближении вращающейся волны .......298
4.7.3. Площадь импульса ..........................................................301
4.7.4. Приложения магнитного резонанса .............................302
4.8. Задачи .........................................................................................307

ГЛАВА 5. КВАНТОВАЯ ФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
5.1. Оператор плотности ..................................................................313
5.1.1. Чистые и смешанные состояния ...................................313
5.1.2. Диагональные и недиагональные элементы ...............316
5.1.3. Эволюция .........................................................................320
5.2. След .............................................................................................322
5.3. Частичный след .........................................................................325
5.4. Матрица плотности и вектор Блоха ........................................328
5.5. Матрица плотности и магнитный резонанс ...........................330
5.5.1. Декогеренция ...................................................................330
5.5.2. Термализация ..................................................................331
5.5.3. Релаксация и вектор Блоха ............................................333
5.6. Обобщенные измерения ...........................................................337
5.6.1. Реалистичный детектор ..................................................337
5.6.2. Положительная операторнозначная мера (POVM) ....339
5.7. Квантовая томография .............................................................343
5.7.1. Томография квантового состояния ...............................343
5.7.2. Томография квантового процесса .................................345
5.7.3. Томография квантового детектора ...............................351
5.8. Задачи .........................................................................................352

ПРИЛОЖЕНИЕ A. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
A.1. Линейные пространства ...........................................................359
A.2. Базис и размерность .................................................................361
A.3. Скалярное произведение .........................................................363
A.4. Ортонормальный базис ............................................................365
A.5. Сопряженное пространство .....................................................367
A.6. Линейные операторы ...............................................................369
A.6.1. Операции с линейными операторами ..........................369
A.6.2. Матрицы...........................................................................371
A.6.3. Внешние произведения ..................................................373
A.7. Сопряженные и самосопряженные операторы .....................376
A.8. Спектральное разложение .......................................................379
A.9. Коммутаторы .............................................................................382
A.10. Унитарные операторы ............................................................383
A.11. Функции операторов ...............................................................385

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ВЕРОЯТНОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Б.1. Математическое ожидание и дисперсия ................................389
Б.2. Условные вероятности ..............................................................390
Б.3. Биномиальное распределение и распределение Пуассона ...392
Б.4. Плотности вероятности ............................................................395
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ 
ОПТИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ
В.1. Поляризация света ....................................................................399
В.2. Поляризующий светоделитель................................................402
В.3. Волновые пластинки ................................................................403

ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Г.1. Дельта-функция Дирака ...........................................................407
Г.2. Преобразование Фурье .............................................................409

ОБ АВТОРЕ ..........................................................................................413
ПРЕДМЕТНО-ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ ....................................415

ПРЕДИСЛОВИЕ

Почему я написал эту книгу?

Впервые строгое определение квантовой механики (КМ) предложили Вернер Гейзенберг и Эрвин Шрёдингер почти век назад. С тех 
пор эта область науки претерпела громадные изменения. Направленная изначально на объяснение атомных спектров, сегодня квантовая 
механика является одной из основ почти всех разделов физики. Соответственно, КМ — неотъемлемая часть программы обучения любого 
студента-физика: какую бы специализацию ни избрали выпускники 
после окончания вуза, квантовая механика им почти наверняка потребуется в дальнейшей работе.
В то же время методы обучения студентов квантовой механике 
с годами почти не меняются. Мы начинаем с понятия волновой функции и пишем сначала стационарное, а затем временнóе уравнение 
Шрёдингера в координатном представлении. Мы определяем энергетические спектры и соответствующие им волновые функции в простых потенциальных ямах и рассматриваем эволюцию волновых пакетов, связанную с потенциальными барьерами. Наконец, мы вводим 
оператор момента импульса и вычисляем спектр атома водорода. 
Последние три четверти века именно так, с небольшими вариациями, 
выглядела программа первого семестра вузовского курса квантовой 
механики.
У этой традиции множество положительных сторон. Она работает 
с физической системой, с которой студент уже разобрался в курсе 
классической физики и которую ему нетрудно себе представить. Она 
позволяет увидеть различия между поведением классической и квантовой частицы и привлекает внимание к некоторым фундаментальным явлениям, характерным для квантового мира: туннелированию, 
квантованию и принципу неопределенности. Она снабжает студента 
инструментами для решения экспериментально значимых задач, 
с которыми невозможно справиться классическими методами: рассчитав в аудитории спектр водорода, студент отправляется в лабораторию и измеряет его!
Однако такой подход неидеален. Он дает студенту алгоритм 
для анализа конкретной физической системы, но не раскрывает внутреннего устройства квантовой физики и ее концептуальной логики. 

ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

Мы знакомим студентов с многочисленными фактами и преподаем 
вычислительные подходы, связанные с волновыми функциями, операторами и измерениями, но не выстраиваем жесткой логической 
связи между ними и не объясняем, какие из этих фактов являются 
постулатами, а какие — их следствиями и в какой именно логической 
последовательности эти следствия выводятся.
В результате студент — по крайней мере думающий студент — основательно запутывается. Почему достаточно всего лишь поставить над буквами крышечки, чтобы превратить классическую формулу в квантовую? 
Почему действие оператора импульса на волновую функцию эквивалентно взятию производной? Почему мы никогда не встречаем собственных состояний импульса (и кошек Шрёдингера) в практической 
реальности? Почему атомы, которые мы наблюдаем, переходят между 
энергетическими собственными состояниями, а не какими-нибудь другими? Как проективное измерение связано с измерением наблюдаемого 
оператора? Почему одни состояния описываются волновыми функциями, а другие — столбцами чисел? Если все состояния имеют норму 1, 
то как мы нормируем волны де Бройля? Если наблюдаемые представляют собой матрицы, то как выглядит матрица импульса?
На вершине всего этого — самый подлый вопрос. Если рассматривать квантовую физику как более общую теорию, чем физика классическая, то почему нужно обращаться к классическим представлениям, чтобы разобраться в концепции измерения? Почему это самое 
измерение, в отличие от всех прочих физических процессов, не описывается унитарной эволюцией? Если квантовые системы действительно в какой-то момент измерения становятся классическими, 
то в какой же именно момент это происходит?
Основополагающий образ мышления, который мы стараемся привить нашим студентам за годы обучения физике, можно сформулировать так: «Подвергай все сомнению!» В курсах квантовой физики 
наше послание студентам звучит, кажется, с точностью до наоборот: 
«Заткнись и считай!»1

Поскольку я тоже когда-то был студентом и изучал квантовую механику, то со временем нашел ответы на эти вопросы, но во многих случаях это произошло через много лет после получения ученой степени. Когда же я пытался задавать подобные вопросы, будучи студен
 1 Подробнее об этом лозунге, ошибочно приписываемом Фейнману, см. в разд. 2.4.

ПРЕДИСЛОВИЕ

том, вокруг не было никого, кто мог бы не то что ответить мне на них, 
но хотя бы помочь правильно сформулировать.
Моя задача при написании этой книги состояла в том, чтобы изменить сложившуюся ситуацию. Я попытался выстроить ясную логическую структуру, в которой осталось бы как можно меньше дыр, которая позволила бы читателю по логической цепочке отследить любое 
заявление назад, до самых основ… Которая не оставила бы вопросов 
без ответов.
Итак, в определенном смысле я написал эту книгу для себя. Но 
не для сегодняшнего себя, а для того, каким я был в 18 лет. Такую 
книгу, которую я счастлив был бы на третьем курсе иметь в своей 
библиотеке и которая избавила бы меня от многолетних мучительных поисков истины.
Естественно спросить: «Насколько реалистична такая цель? 
Некоторые из поставленных выше вопросов представляются достаточно сложными. Может быть, без научной степени в них и не разобраться?»
Я дам двойной ответ. Во-первых, с педагогической точки зрения: 
механика с ее гильбертовым пространством бесконечной размерности 
едва ли оптимальна для иллюстрации квантовых принципов. Во многих приведенных выше вопросах можно разобраться, если использовать вместо механической более простую физическую систему; 
чуть позже я расскажу об этом подробнее. Во-вторых, бóльшую часть 
нестыковок и парадоксов вполне реально устранить, если правильно 
ввести понятие запутанности. Это понятие лежит в основе двух важных взаимосвязанных концепций: измерения фон Неймана и декогеренции. Первая из них обеспечивает способ избежать превращения 
измерения в некое исключительное явление в мире квантовой физики 
и таким образом устраняет логическую бутылку Клейна, характерную для копенгагенской интерпретации. Вторая описывает происходящие естественным образом «самопроизвольные» измерения, благодаря которым квантовый мир предстает перед макроскопическим 
и наблюдателями вроде нас в том виде, который мы знаем под именем 
«классическая физика».
Эти концепции не слишком сложны. Математически они намного 
проще многих элементов традиционного квантового курса, таких 
как уже упоминавшийся атом водорода или теория рассеяния. Главная трудность в понимании запутанности — не недостаток у студента 
необходимых математических навыков; она связана скорее с его вооб

ОТЛИЧНАЯ КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА

ражением. Чтобы стать хорошим физиком, необходимо эту способность у себя развить; как говорил Эйнштейн, воображение на самом 
деле важнее знаний.

Квантовая механика или квантовая оптика?

Название нашей дисциплины — квантовая механика — подразумевает, что мы изучаем применение квантовых принципов к законам 
движения. На самом же деле рамки квантовой теории не ограничены 
механикой; она применима во всех областях физики. Если наша цель 
состоит в том, чтобы изучить общие принципы квантовой физики, 
то разумно ли выбирать именно механику в качестве физической 
системы для иллюстрации этих принципов?
Если мы задумаемся над этим вопросом всерьез, то вынуждены 
будем дать отрицательный ответ. Использование механики — в основном дань традиции, поскольку именно в механике исторически имело 
место первое успешное применение квантовых принципов в их современной форме. Но если говорить об обучении, то объяснение базовых квантовых принципов на примере механики — весьма неудачный 
подход. Гильбертово пространство, связанное с этой системой, имеет 
бесконечную размерность; более того, базис имеет мощность континуума. Студенту приходится иметь дело с незнакомым, чрезвычайно 
сложным и не всегда строгим математическим аппаратом, включающим в себя обобщенные функции, преобразование Фурье и функциональный анализ. В результате вместо того, чтобы сосредоточить усилия студентов на понимании физических концепций, мы заставляем 
их сражаться с математикой, а это зачастую ведет к путанице средств 
и целей. Трудно ожидать от подобного опыта сколько-нибудь глубокого понимания. Студент попросту не увидит за деревьями леса.
Если мы поставим перед собой выбор физической системы 
для иллюстрирования квантовой физики, нам следует взять ту, у которой гильбертово пространство обладает наименьшей нетривиальной 
размерностью, а именно — равной двум. Имеется множество таких 
систем, которые в настоящее время изучаются в контексте квантовых 
информационных технологий в качестве квантовых бит. Среди подобных систем выделяется одна как наиболее тщательно исследованная 
и интуитивно понятная: поляризация фотона. Как правило, студент, 
приступающий к изучению квантовой физики, успел уже освоить 

ПРЕДИСЛОВИЕ

оптическую волновую поляризацию. Векторы поляризации Джонса 
напрямую транслируются в векторы состояния фотонной поляризации, а матрицы, описывающие трансформацию этих векторов различными волновыми пластинками, превращаются в операторы. Принимая во внимание дискретную природу фотона, несложно обосновать 
постулат квантового измерения из классической картины измерения 
поляризации. Таким образом, основные квантовые принципы выводятся из классической поляризационной оптики (и студенческого 
лабораторного опыта обращения с ней) самым простым и естественным образом.
Фотонная поляризация оказывается полезной и позже, когда мы 
переходим к изучению запутанности. Огромное количество экспериментов по проверке принципиальных моментов в квантовой информатике было проделано с использованием именно данного объекта 
в качестве носителя квантового бита. Некоторые из этих экспериментов — в частности, по квантовой криптографии, телепортации и нелокальности — относятся непосредственно к концепциям, описанным 
в книге. Иллюстрируя теоретический материал данными экспериментов из актуальнейших на сегодняшний день исследовательских тем, 
эта книга сразу, с самого начала, вводит студентов в самое сердце квантовой физики. А что может придать изучению академической дисциплины больший интерес, чем свежие результаты из исследовательских лабораторий?
Раз уж мы заговорили о лабораториях, замечу, что опыт студентов не должен ограничиваться чтением материалов об экспериментах, проведенных кем-то другим. Огромное преимущество поляризационного кубита как иллюстрирующей системы состоит в том, что он 
позволяет усилить курс лабораторным компонентом. Почти весь материал главы 1 иллюстрируется классическим экспериментом с поляризацией, для которого требуются лазер, несколько поляризационных 
пластинок, поляризующий светоделитель и два детектора. Материал 
по запутанности можно подать наглядно при помощи серии лабораторных работ по удаленному приготовлению состояния, однофотонной интерференции и нелокальности Белла. Организовать такие эксперименты силами среднестатистической кафедры физики сложнее, 
но вполне по силам, о чем свидетельствует опыт множества колледжей 
по всему миру, в том числе и моего родного Университета Калгари. 
Дополнительные подробности на предмет возможных образовательных лабораторных работ можно найти на сайте книги.