Геометрия недр : подсчет и учет движения запасов полезных ископаемых

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ  
 
Кафедра геологии и маркшейдерского дела

Москва 2018

Г.О. Абрамян
Д.И. Боровский
Е.Н. Толчкова

Геометрия недр

ПОДСЧЕТ И УЧЕТ ДВИЖЕНИЯ ЗАПАСОВ
ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ

Лабораторный практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2980

УДК 622.1 
 
А16

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. В.В. Агафонов

Абрамян Г.О.
А16  
Геометрия недр: подсчет и учет движения запасов полезных 

ископаемых: лаб. практикум / Г.О. Абрамян, Д.И. Боровский, 
Е.Н. Толчкова. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2018. – 24 с.

Практикум включает теоретические основы дисциплины «Геометрия 

недр» по специальности «Маркшейдерское дело» раздел «Подсчет и учет движения запасов полезных ископаемых». Предназначен для выполнения соответствующих лабораторных работ в целях закрепления теоретических знаний 
раздела курса и приобретения практических навыков. Разработаны задания 
и методические указания по выполнению лабораторных работ.
Для студентов вузов, обучающихся по специальности 21.05.04 «Горное 

дело». Может быть полезен студентам других специальностей, изучающих 
дисциплину «Геометрия недр».
УДК 621.1

 Г.О. Абрамян, 

Д.И. Боровский, 
Е.Н. Толчкова, 2018
 НИТУ «МИСиС», 2018

ОГлАвление

Общие методические рекомендации ...................................................... 4

Лабораторная работа 1. Исследование точности  
определения площади и объема точечными палетками ....................... 5

Лабораторная работа 2. Определение объема штабеля (отвала) ......... 8

Лабораторная работа 3. Подсчет запасов участка рудной залежи ......11

Лабораторная работа 4. Подсчет запасов месторождений  
складчатой формы залегания ................................................................ 17

Лабораторная работа 5. Подсчет запасов рудной залежи  
в эксплуатационном блоке .................................................................... 20

ОБЩие МеТОДиЧеСКие РеКОМенДАЦии

Выполнение лабораторных работ закрепляет теоретические знания, полученные при изучении дисциплины «Геометрия недр» раздела «Подсчет и учет движения запасов полезных ископаемых». 

Задания предусматривают измерения, вычисления и графические 

построения, которые студенты выполняют на занятиях в аудитории. 
Оформление лабораторных работ выполняется в домашних условиях.
Графические работы выполняются гелиевой ручкой с соблюдением условных знаков, графической точности и масштаба чертежа. 
По согласованию с преподавателем допускается цветное или чернобелое оформление лабораторной работы.
Вычислительные работы производятся и оформляются в следующей последовательности: расчетная формула – числовые значения в 
порядке буквенных обозначений – промежуточный или окончательный результат с указанием размерности. Во всех работах точность 
промежуточного и окончательного результатов записывается до второго порядка.
Если работа индивидуализирована по вариантам, которые определяются с учетом номера группы G и порядкового номера студента N 
в списке по журналу группы то, студент сам вычисляет исходные значения, соответствующие его варианту. Если же работа не индивидуализирована согласно номеру группы и порядкового номера студента, 
то преподаватель выдает студентам формулу, по которой определятся 
исходные значения вариантов заданий.
По окончании измерительных, вычислительных и графических работ студент должен написать выводы, исходя из результатов выполненной лабораторной работы, где он излагает свое видение причинно-следственных связей полученных результатов.
Все задания выполняются аккуратно и сопровождаются краткими пояснениями хода решения. Работу студент выполняет так, чтобы в ней без особого труда мог разобраться читатель-маркшейдер, 
не принимавший участия в ее выполнении. 

К следующей работе студент должен приступить после сдачи предыдущей, для этого необходимо:
– устранить отмеченные преподавателем ошибки, если таковые существуют;
– ответить правильно на все вопросы преподавателя по работе.

лАБОРАТОРнАЯ РАБОТА 1

иССлеДОвАние ТОЧнОСТи 
ОПРеДелениЯ ПлОЩАДи и ОБЪеМА 
ТОЧеЧнЫМи ПАлеТКАМи

Точность определения площади с помощью точечной палетки 

и объема тела, изображенного поверхностью топографического порядка, определяемого с помощью объемной палетки П.К. Соболевского 
(V-палетка), зависит главным образом от величины площади основания 
палетки.
Для установления этой зависимости необходимо определить палетками значения заранее известной площади и объема, например 
площадь и объем геометрически правильных фигур.
Объектами исследования могут служить площадь круга известного радиуса и усеченный цилиндр известных радиуса и средней высоты, а также комплект точечных квадратных палеток на кальке со сторонами, равными 0,5; 1,0; 1,5 и 2,0 см.

Методические указания

На основании исходных данных вычислить:
1. Площадь круга.
На листе бумаги в масштабе 1:1000 необходимо изобразить круг 

радиусом r = 6 +(–1)G 0,1N, см:
а) теоретическая площадь круга равна

 
Sт = πr2. 
(1.1)

б) экспериментальная площадь круга, определяемая палеткой, вычисляется по формуле

 
SЭ = 
2
k
n


ω
+





, 
(1.2)

где ω – основание палетки (площадь элементарной ячейки палетки) 

в масштабе чертежа, см²; n – число внутриконтурных точек палетки; k – число точек палетки, лежащих на контуре.

Площадь круга определяется при двух случайных положениях 

палетки для каждого из оснований палеток. Из двух определений 
площади круга при одном и том же основании палетки вычисляют 
среднее значение площади круга  Sэ, соответствующее основанию палетки. 

Результаты измерений и вычислений заносят в табл. 1.1 и строят 

кривую зависимости между относительной погрешностью fs отн определения площади круга и основанием палетки ω (рис. 1.1). Количество испытываемых палеток равно четырем: 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 см.

К + 10
К + 9
К + 8
К + 7
К + 6
К + 5
К + 4
К + 3
К + 2
К + 1
К

Рис. 1.1

Относительная погрешность определения площади круга равна

 

абс
отн
т

s
s
f
f
S
=
, 
(1.3)

где fs абс – абсолютная погрешность измерения.

 
абс
э
т
f
S
S
=
. 
(1.4)

2. Объем усеченного цилиндра.
На листе бумаги в масштабе 1:1000 изображают круг радиусом 

r = 6 + (–1)G0,1N, см. (рис. 1.2), на котором проводят горизонтали, 
где К = 50 + (–1)GN, см:
а) вычисляют теоретический объем усеченного цилиндра

Vт = πr2h, 
(1.5)

где h – высота усеченного цилиндра в центре круга, cм;

б) вычисляют экспериментальные объемы э
V  усеченного цилиндра 

V-палеткой с основаниями, равными 0,5; 1,0; 1,5 и 2,0 см, как средние 
значения при двух положениях каждой из палеток.
Экспериментальный объем усеченного цилиндра равен

 

1
,
э

n

i
i
V
h

=
= ω∑
 
(1.6)

где hi – отметка высоты по палетке с номером i = 1, 2, …, n.

Относительная погрешность определения объема усеченного цилиндра определяется аналогично вычислению относительной погрешности определения площади по формулам (1.3) и (1.4).
Результаты вычислений относительных погрешностей определения площади круга и объема усеченного цилиндра при различных основаниях палетки заносят в табл. 1.1.

Таблица 1.1
Результаты вычислений

Параметры
палетки,
см × см

Относительная погрешность, %
Площадь, S
Объём, V
Положение палетки
Положение палетки
первое
второе
среднее
первое
второе
среднее
0,5 × 0,5
1,0 × 1,0
1,5 × 1,5
2,0 × 2,0

По результатам табл. 1.1 

строят график относительных погрешностей объема 
усеченного цилиндра при 
различных основаниях палетки на том же рис. 1.2.

0,5
0

5

10

15

20

fотн, %

1,0
1,5
2,0
ω, см2

Рис. 1.2. Пример построения графика  
относительных погрешностей S и V

лАБОРАТОРнАЯ РАБОТА 2

ОПРеДеление ОБЪеМА ШТАБелЯ 
(ОТвАлА)

На плане (рис. 2.1) в масштабе 1:500 в изогипсах изображена земная поверхность – основание штабеля, где нанесены пикеты тахеометрической съемки поверхности штабеля каменного угля с соответствующими номерами. 

Требуется определить объем штабеля каменного угля по данным 

тахеометрической съемки его поверхности V-палеткой и методом параллельных горизонтальных сечений. 

Методические указания

Последовательность действий следующая:
1. Для подсчета объема построить на плане контур изовысот штабеля через 1 м по отметкам пикетов за вычетом отметок земной поверхности, предварительно вычислив отметки пикетов согласно варианту, используя таблицу базовых отметок и правило:
а) отметки пикетов №1 – №10 у всех вариантов одинаковы;
б) отметки пикетов №11 – №30 равны Нi = Нбi + (0,1 + 0,05(–1)G)N, 

где Нбi отметка базового варианта из табл. 2.1.
2. Объем штабеля по V-палетке определяют по двум случайным 

положениям палетки по формулам

 
1
,
k

n

i
i
V
h

=
= ω∑
 
(2.1)

 

1
2 ,
2
V
V
V
+
=
 
(2.2)

где Vk – объем штабеля при k-м случайном положении палетки 

(k = 1,2), м3; ω – основание палетки в масштабе плана, м²; hi – высота штабеля по палетке в точке с номером i = 1, 2, …, n, м. 

Допустимая разность двух независимых определений объема отвала: 12 % – до 20 тыс. м³, 8 % – 20–50 тыс. м³, 4 % – 50–200 тыс. м³, 
3 % – свыше 200 тыс. м³.

3. Объем тела методом параллельных сечений определяется 

по формуле

 
1
,

n

i
i
V
V
V

=
=
+ ∆
∑
 
(2.3)

где Vi – объем слоя с номером i (i = 1,2, …, n) заключенный между параллельными сечениями Si – 1 и Si с высотой h:

 

1
,
2

i
i
i
S
S
V
h
− +
=
 
(2.4)

здесь ∆V – объем верхней конусообразной части штабеля с высотой h* и основанием Sn:

 

*
 .
1
3
n
V
S h
∆
=
 
(2.5)

В формулах (2.4) и (2.5) площади сечений определяются по формуле (1.2).

Таблица 2.1 
Отметки базового варианта

№ пикета
Нбi, м
№ пикета
Нбi, м
№ пикета
Нбi, м

1
121,32
11
122,67
21
124,90

2
121,30
12
123,25
22
125,46

3
121,67
13
123,64
23
125,72

4
122,17
14
124,12
24
124,77

5
122,68
15
123,91
25
125,08

6
122,87
16
123,65
26
124,33

7
122,80
17
123,31
27
125,06

8
122,50
18
122,80
28
126,37

9
122,15
19
122,95
29
126,13

10
121,62
20
124,75
30
126,84

121,0
121,5

1
2
3

4

5

6

7
8

9

10

11
12

13

14

15
16

17

18

19

20
21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

122,0

122,5

123,0

Рис. 2.1. План рельефа участка с пикетами поверхности штабеля

лАБОРАТОРнАЯ РАБОТА 3

ПОДСЧеТ ЗАПАСОв УЧАСТКА 
РУДнОЙ ЗАлеЖи

Рудная залежь горизонтального залегания детально разведана вертикальными скважинами.
На плане в масштабе 1:2000 (рис. 3.1) представлено расположение 

разведочных скважин с исходными данными: номер скважины – наверху, отметка поверхности почвы залежи – внизу, вертикальная мощность залежи – справа, содержание компонента – слева.
Требуется подсчитать балансовые запасы руды и металла различными методами в пределах контура крайних скважин:
1. Провести контур балансовых запасов руды, приняв промышленные кондиции по мощности mk = 1,0 м, по содержанию сk = 0,1 % 
и объемную массу руды γ = 2,7 т/м³.
2. Подсчитать запасы руды и полезного компонента суммарным 

способом и определить погрешность подсчета запасов.
3. Определить запасы руды и полезного компоненты V-палеткой.
4. Подсчитать запасы руды и полезного компонента методами многоугольников и треугольников.
5.   Составить 
таблицу 

сравнения запасов, подсчитанных разными методами.
6. Изложить свое мнение 

о результатах выполненной 
работы.
Характеристики 
числовых параметров скважин: 

– сверху – № скважины;
– справа – мощность полезного ископаемого (п.и), м.;
– снизу – отметка устья 

скважины, м.;
– слева – содержание п.и, 

%.

125,4

124,3

124,5

129,3
126,5
128,3
126,2

123,7
124,3
124,1

10

9

8

4
5
6
7

3
2
–

0,36

0,55

0,26

0,25
0,54
0,65
0,15

0,43
0,05

0,6

4,7

3,3
4,0
5,3
6,0

6,3
4,8
4,6
1

–

Рис. 3.1. План разведки рудного поля