Математический анализ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 

АНАЛИЗ

А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
Н.И. САВОСТЬЯНОВА
Н.М. ФЕДОРОВА

Рекомендовано 

Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по негуманитарным направлениям подготовки 

(квалификация (степень) «бакалавр»)

(протокол № 17 от 11.11.2019)

Москва
ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МОСКОВСКИЙ  АВИАЦИОННЫЙ  ИНСТИТУТ 
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ  ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ)

УДК 517(075.8)
ББК 22.16я73
 
П16

Пантелеев А.В.

П16  
Математический анализ : учебное пособие / А.В. Пантелеев, Н.И. Савостьянова, 

Н.М. Федорова. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 502 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — DOI 10.12737/1077332.

ISBN 978-5-16-016008-5 (print)
ISBN 978-5-16-108385-7 (online)
Учебное пособие содержит краткое изложение курса математического анализа. 

В отличие от имеющейся учебной литературы пособие начинается главой «Элементарная математика», охватывающей и арифметику, и алгебру, т.е. основные сведения, 
необходимые при решении задач высшей математики. Наряду с теоретическим материалом все разделы сопровождаются большим количеством примеров, в том числе иллюстрирующих геометрический и экономический смыслы вводимых понятий, а также 
методами и алгоритмами решения математических, инженерных и экономических задач. Приведены задачи для самостоятельного решения с ответами.

Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стан
дартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, изучающих дисциплины «Математиче
ский анализ» и «Высшая математика» и получающих образование по направлениям 
естественных наук, техники и технологии, информатики и экономики (бакалавриат 
и магистратура). Может быть использовано лицами, занимающимися самообразованием.

УДК 517(075.8)

ББК 22.16я73

Р е ц е н з е н т ы:

Формалев В.Ф., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 

кафедры вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (национального исследовательского университета), заслуженный деятель науки Российской Федерации;

кафедра прикладной математики Московского государственного техниче
ского университета гражданской авиации (заведующий кафедрой Кузнецов В.Л., 
доктор технических наук, профессор)

ISBN 978-5-16-016008-5 (print)
ISBN 978-5-16-108385-7 (online)

© Пантелеев А.В., Савостьянова Н.И., 

Федорова Н.М., 2020

.......................................................................................................................10 
  
1. ...............................................................................11 
 
               1.1. ...............................................11 
           
1.1.1. ........................................................11   
           
1.1.2. .....................................................15 
 
           
1.1.3. ..............................................................................16 
  
           
1.1.4. ..........................................................................................25 
 
            
1.1.5. ............................................................................28 
 
            
1.1.6. .......................................................................37 
 
            
 
1.1.7. . 
1.1.8. ..............................44 
     
  
1.2. ..........................................................................................................46 
 
   
1.2.1. ...................................................................46 
   
1.2.2. ..................................................50 
   
1.2.3. ...................................................51 
            
1.2.4. .........................................................................54 
 
            
1.2.5. ..............................................................60 
      
1.3. ...................62              
           
1.3.1. . ......................62 
            
1.3.2. ..................................................................63 
 
            
1.3.3. ..............................................................64 
 
            
1.3.4. .....................................................................65 
            
1.3.5. . ..............................66 
            
1.3.6. ..............................................................................67 
 
            
1.3.7. ...............................................................................68 
            
1.3.8. ........68            
    
1.3.9. ............................................................71      
                
 1.4. ......................................................................................74 
           
1.4.1. ........................................................................74 
            
1.4.2. .....................................................................74 
            
1.4.3. ................76 
           
1.4.4. . .........................79 
 

2. ...............................................................................................86 
            2.1. .................................................86 
        
2.1.1. .................................86  

...........................................................................40 
 

2.1.3. .....................................92 
            
2.1.4. .....93 
            
2.1.5. ..................................................95 
            
2.1.6. . - -. .......................................................................97 
            
2.1.7. ....................................................................................99 
     
2.2. ...........................................109 
            
2.2.1. , .............109 
            
2.2.2. .................................................112 
            
2.2.3. ......................................112 
                       2.2.4. ..................................................................................114 
 
3. .................120 
                3.1. . ..................................................................120 
           
3.1.1. .............................................................................120 
 
           
3.1.2. ............................................125 
 
     
3.2. ..................................................129 
 
           
3.2.1. ........................................................129  
           
3.2.2. ...............................................130 
 
           
3.2.3. .  
 
          .........................................131 
           
3.2.4. .........................................134 
 
           
3.2.5. . ..................................................................134 
 
3.2.6. ...........................................137   
     
3.3. ...............................140 
           
3.3.1. ...............................................140  
           
3.3.2. . .........................................................143 
           
3.3.3. .................................................144 
  
     
3.4. .............................146 
 
           
3.4.1. ............................................................................146 
   
           
3.4.2. ...............................................................................148 
           
3.4.3. .....150 
 
     
3.5. ........................................153 
 
           
3.5.1. .............................153 
 
           
3.5.2. ..................................155 
 
           
3.5.3. .............................................................................160 
     
3.6. ..............................................................................164 
           
3.6.1. ............................165 
 

    
2.1.2. . ...91 

3.6.2. ....................................169 
 
           
3.6.3. ...........................................................173 
           
3.6.4. ........175 
 
           
3.6.5. .............................179   
 
4. ............................186 
       
4.1. ...........................................186 
                      4.1.1. ..........................................................186 
           
4.1.2. .................................................187 
           
4.1.3. ..................................................................................198 
                 4.2. ............................................................................204 
           
4.2.1. ..........................................................204 
 
           
4.2.2. ....................................................................................206 
 
           
4.2.3. ............207 
 
           
4.2.4. ............... 211 
 
4.2.5. ...............212 
           
4.2.6. ..................................................................................223 
     
4.3. .........................................................................228 
 
 4.3.1. .........................................228 
 
 4.3.2. .........................................229 
 
 4.3.3. . – .........................................................................230 
  
4.3.4. ..................................................................................232 
 
5. ......234 
     
5.1. ......................................................................................234 
           
5.1.1. ..................................234 
           
5.1.2. ....................................237 
  
           
5.1.3. ............................................................239 
           
5.1.4. ......................................240 
  
           
5.1.5. ........................242 
 
     
5.2. ....247 
  
  
5.2.1. ....................................................247 
  
5.2.2. .............252 
 
  
5.2.3. ..........................................255 
 
  
5.2.4. . ............................................................................................257 
  
5.2.5. ........260                  
  
5.2.6. ...............................................................................263 
  
5.2.7. ..........................................264  
     
5.3. .................................................................................................269 

5.3.1. .......269 
           
5.3.2. ...271 
  
 
6. .............278   
 
6.1. .......................................................................................278 
6.1.1. .............................................................................278 
6.1.2. ....278   
6.1.3. ..............................................................280 
6.1.4. ..................................................281 
6.1.5. n-....................282 
6.1.6. ...............................283 
 
6.2. ......................................................................................286 
 
6.2.1. ...286  
6.2.2. ...........288 
6.2.3. ......................290 
  
6.2.4. ..............292 
 
6.2.5. ............................................................................................294 
6.2.6. ....................................................297 
 
6.2.7. ...................................................................................298 
6.3. ......................................................................................305 
6.3.1. .....................................................305  
6.3.2. ...........306 
6.3.3. ......................308 
6.3.4. ...........................................................308 
6.3.5. ....................................................309 
 
6.3.6. ...................................................................................310 
 
6.4. 1-........................................................318 
 
6.4.1. 1-........................318 
6.4.2. 1-.................................................................................319 
6.4.3. 1-..............................................................................................320 
 
6.4.4. ...................................................................................321 
 
6.5. 1-.........................................................328 
 
6.5.1. 1-........................328  
6.5.2. 1-..........................................................................................329 
6.5.3. 1-..............................................................................................329 
 
6.5.4. ...................................................................................330 
 
7. .....................................................................................................................335 
       
7.1. ...........................................................................................335 
 

7.1.1. .............................................................................335 
 
 
7.1.2. .......................................................................339 
 
7.1.3. . ..............................................................341 
 
7.1.4. . .............................................................342 
            
7.1.5. . .............................................................352 
             
7.1.6. . .............................................................................................354 
             
7.1.7. ..................................................................................354 
     
7.2. ..........................................................................................361 
            
7.2.1. .............................................................................361 
  
7.2.2. . . ...................................................................363 
            
7.2.3. .   
                                ....................364 
            
7.2.4. ..............................................................365 
            
7.2.5. ..................................................................................367 
     
7.3. ..................................................................379 
            
7.3.1. ........................................................379 
            
7.3.2. .............................380 
            
7.3.3. .................381 
            
7.3.4. ..................................................................................383 
     
7.4. .....................................................................................387 
            
7.4.1. ..........................................................................   387 
            
7.4.2. . .................................................389 
            
7.4.3. ..................................................................................391 
     
7.5. ..................................................................................................392 
            
7.5.1. ...................................................................392 
            
7.5.2. .......................................................................395 
            
7.5.3. .......................................................400 
            
7.5.4. ..................................................................................403 
     
7.6. ..........................................................................................409 
            
7.6.1. ...................................................................................................409 
                      7.6.2. . ...............................413 
 
7.6.3. ...................................................................................415 
 

8. ............................................................................................419 
       8.1. 2-.........................................................419 
             8.1.1. ...................................................................................419 
            8.1.2. ............................................................................419             
 
      8.1.3. 2-. ...........................420 
             8.1.4. 2-1-..........................................421 
             8.1.5. 2-.........................422 
 
     8.1.6. , . 
                      .................424 
            8.1.7. ...................................................................................427 
 
 
8.2. 2-..........................................................434 
 
8.2.1. .................................................434  
                      8.2.2. . 2-............................................................................ 435 
                      8.2.3. 2-1-...........................................436 
 
8.2.4. 2-..........................436  
 
8.2.5. ...................................................................................437 
 
 
 
8.3. . -...................................439 
 
     8.3.1. ................439 
             8.3.2. ...................................................................................................440 
 
     8.3.3. .......................................................441      
 
     8.3.4. ........................................................................442  
 
     8.3.5. ...................................................................................443 
8.4. . ..............................................................................446  
             8.4.1. ...........................446 
 
     8.4.2. . ............................447 
 
     8.4.3. ......................................................................447 
             8.4.4. ..................................................................448 
 
     8.4.5. ...................................................................................449 
 
.......................................................................................................................455 
 
. 1. .................................455 
 
. 2. ......................................................460 
 
. 3. ......................461 
 
. 4. ...........................................464 
 
. 5. .........................465 
            . 6. ...................................................................................................467  
 
   . 6.1. .....................................................467 
                              . 6.1.1. ....................................................467 

-9

                               . 6.1.2. .............................................................468 
                               . 6.1.3. ........................................468 
                               . 6.1.4. ...........................................................469  
                               . 6.1.5. ..............................................471 
                               . 6.1.6. .......................................471 
                      . 6.2. ...............................................................................472 
                               . 6.2.1. ...............................................472 
                               . 6.2.2. ............................472 
                      . 6.3. ...................................................473 
                               . 6.3.1.  ,  ...............................473 
                               . 6.3.2.  ..............................475 
 
             . 6.3.3. ..............................476 
                               . 6.3.4.  .....................................477 
 
             . 6.3.5.  ............478 
                               . 6.3.6.  ........479 
                                   . 6.3.7.  ..............................480 
                               . 6.3.8.  ..............................482 
                                   . 6.3.9.  .............................482 
                           . 6.4.  ...................................484 
                           . 6.5.  ............................................................487 
                           . 6.6.  ................................................488 
 
...........................................................................................491 
 
....................................................................................................493 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

, ,  

, . 

,  

. 

,  
.

, , . . , , (), . , . 

, , , (), , , 
.  

, :  
1) (, );  
2) ;  
3) ;  
4) : , , , ; 

5) . 
. .... , , , . , [68].  

, . 

1. 1.1. 1.1.1. , .  

, . . , , , 2 5
6 0,
x
x
2
4
3 0
x
x
. 

. : 
,
,
,
,
A B C : 
, , ,
a b c . a

A, a
A
().  b A, .
b A
, 

, , . , 
. 

, , Ø. ,  .  

A B, A B ,
A
B
. , . . A
B
,
B
C
.
A
C
U , U . 

-–. U , – «», . .1.1 A U «». 

. 1.1

 A          

U

A
B
. 1.2, B
C
. 1.3. 

. 1.4 .  

A B , B
A A
B , . . . ,
A
B
A
B , A
B
. 

, . , 1; 2; 3; 4; 5
A 1; 2; 3; 4; 5, . 2
{
5
6
0}
X
x
R x
x
( x
R
) 2
5
6
0,
x
x
. . . 

1.1. : 

{
| (
3)(
1)(
1)
0 0}.
A
x
Z
x
x
x
x
A ( x
Z
) (
3)(
1)(
1)
0.
x
x
x
: 
3
0,
x 1
0,
x 1
0.
x 1
3,
x 2
3
1,
1.
x
x
, 0.
x 1; 3 .
A . 1.2

 A         B    

U

. 1.4 

A
B  C  

U

. 1.3 

B             C  

U

A
B ,
C
, . : 

.
C
A
B
: 
1) 
;
A
B
B
A
2) 
;
A
A
3) 
;
A
A
A
4) ,
B
A ;
A
B
B
5) 
.
A
U
U
–(. 1.5). 

A B D, , A .
B : 
.
D
A
B
: 

1) 
;
A
B
B
A
2) 
;
A
3) 
;
A
A
A
4) ,
A
B
;
A
B
A
5) 
.
A
U
A
–(. 1.6). 

A B ,
E A, .
B : 
\
.
E
A B
–(. 1.7). 

. 1.6 

U

A         D      B

. 1.5 

 A   

U

 B   

C

B A (
A
B ), A B B A, B A .
A
C B ,
B
A
{
,
}
A
C B
x x
A x
B
(. 1.8). B U B. , : 
(
)
B
A
C B
B
.
B
B
1.2. {1; 2; 3; 4; 5}
A {2; 4; 6; 8; 10}
B .  , , A B B
A, .
A B

{1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10};
A
B
{2; 4};
A
B
\
{1; 3; 5};
A B ,
(
)
{1; 3; 5};
A
A
B
A C
A
B
,
(
)
{6; 8; 10}.
B
A
B
B C
A
B
1.3. D . 11 . , D 8 . 
. . 15 . . ? 

11 , D 8 

, D
15 . C D , 19, , D
. 
D
(), . . 
4
15
19
(. ). 1. {
| (
2)(
6)
0}.
A
x
R
x
x
x
:
{ 6; 0; 2}.
A . 1.8 

   U

CAB

A          B  

. 1.7 

                                     U

     A                   B 

E

2. A– 40. . , 1) 5
; 2) 10
; 3)
8
; 4) 4
;
A
A
A
A
5)0
;
A
6)0
?
A
: 
{1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40};
A 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . 

3. {21; 54; 153; 171; 234}
A . A , : 1) 7; 2) 9; 3) 5;  
4)4. 

: 1){21}; 2){54; 153; 171; 234}; 3){21; 54; 153; 171; 234}; 4)
.
4. : 
}.
0
)
2
)(
1
2
(|
{
x
x
N
x
A
 
: 
.
A
 

5. : 

{
| (2
3)(
1)
0 1}.
A
x
R
x
x
x
: 
5,1
A
. 

6. : 
}
7
;5
;3
;1
{
A
, 
}
8
;6
;4
;2
{
B
, 
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.
D , , A B  A B   .
D  

: 
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; 
; \
{1; 3; 5; 7};
A
B
A
B
A B
A
{2; 4; 6; 8; 9};
D
C A {1; 3; 5; 7; 9}.
D
C B 1.1.2. , , , 
.  
, , , .  
: 2 (), ().  
«» , . «!» . 
, , ,
a b c , ,
,
,
.
A B C . : 
(: , , ),  
(: , ).   
: Any, Exist.  

x
X a
, x X  a . y Y b
, y  Y , b . , . .  
: 
x
X a
: .
y Y b
, . .  
 a
b
, a  b . : «a , b ».  . 
a
b
, a  b  : a  b  
b  a . :  «a  , b ».  .   
a  , .a  : «a » .a  

1.1.3. . . 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, . 0, 1, 2, 3, …, 9; , .  
137 7 , 3  , 1 
– .  137 7 , 3 . .
N   

, , 
:  I = 1, X = 10, C = 100, M = 1000, V = 5,            
L = 50, D = 500. . I, X, C, 
M, ,  , , , , : II = 2, XXX = 30. , (); , (). . . 1.1.    
, , , , . :   137 = CXXXVII,   500 = D,   1856 = MDCCLVI, 
2014 = MMXIV, 1999 = MCMXCIX. 
,  . , 
, : 8 = IIX,  1856 = MCCMLVI. ,  : 1999 = MIM.   
 

1.1 

I 
II 
III 
IV 
V 
VI 
VII 
VIII 
IX 
X 

1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 

XI XII
XIII XIV
XV
XVI
XVII
XVIII
XIX XX 

11 12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 

:  

DL, XVI(, M=1000, D=500, 

C=100, L=50, X=10, V=5, I=1). 

? , : !  

. . 

, . , ,
,
.
m n k : , , , , . , 

, , () . , , , .  

: 
,
m
n
k
,
m n , k . , .  

, 0. 

. : 
0
.
m
m
: 
,
m n
k
,
m n , , k . n , m, .  

, : 

0
0
0.
n
m
. . , .  

k m
n, m
n k . 

: 
1) m n
n
m
(); 
2) m n
n m
(); 
3) (
)
(
)
m
n
k
m
n
k
; 
4) (
)
(
)
m n k
m n k
; 
5)
(
)
m n k
m n
k
. 
. , , k  m n. : 
,
k
m
n
k  , m  , n .  
. , , 100 9 91: 100 9 = 91, 9 100 .  
 
. , , k  m  ,n  :
,
k m
n
k , m , n . -: k
n
m . . , , 100 25 4: 100:25=4, 
25:100 .  

1.4. . 

                                                                                                                1.2 
1 
2500 . 1 1 2 
70 . 1 2 
11 2 

3 
100 . 1 2 
20 2 

4 
250 . 1 3 5 
70 . 1 8 6 
300 . 1 1 S  : 

2500 1
70 11 100 20
250 3
70 8
300 1.
S : 
2500
770
2000
750
560
300.
S : 
6880
S . . a  n , , n-a : 
...
.
n

n
a a a
a
a
a  , n .