Математический анализ. Руководство к решению задач

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ — БАКАЛАВРИАТ

Владикавказский филиал 

 

Кафедра «Математика и информатика» 

Х.П. ДЗЕБИСОВ 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Учебное пособие

Москва

ИНФРА-М

2020

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Д43

Рецензенты:

Ш.С. Хубежты,
доктор физико-математических наук,
профессор 

(Северо-Осетинский государственный университет иени. К.Л. Хетагурова);

Р.И. Бтемирова, кандидат педагогических наук, доцент (Финансовый 

университет (Владикавказский филиал))

Дзебисов Х.П.

Д43
Математический анализ. Руководство к решению задач : учебное 

пособие / Х.П. Дзебисов. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 203 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-109185-2 (online)

Содержание 
 
учпебного 
пособия
охватывает 
следующие 
разделы

программы: 
введение 
в 
анализ 
(теория 
последовательностей, 
предел 

и непрерывность функций), дифференциальное исчисление функций одной 
независимой 
переменной 
(производная 
и 
дифференциал, 
применение 

дифференциала и формулы Тейлора к приближенным вычислениям). В каждом 
параграфе кратко излагаются основные сведения из теории, даются подробные 
решения типовых задач, приводятся задания для самостоятельной работы.

Адресовано студентам бакалавриата, обучающимся по направлениям 

«Экономика», «Менеджмент», «Бизнес информатика», а также студентам, 
изучающим математический анализ в том или ином объеме в различных учебных 
заведениях. Предназначено для организации самостоятельной работы студентов 
и может быть рекомендовано преподавателям для проведения практических 
занятий.  

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-109185-2 (online)
© Дзебисов Х.П., 2020

ФЗ 

№ 436-ФЗ 

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 

 

Оглавление 

Введение ....................................................................................................................................................... 4 

Глава 1 ......................................................................................................................................................... 5 

§  1.1. Абсолютная величина и соотношения, связанные с ней. ........................................................ 5 

§  1.2. Управления и неравенство, содержащие переменную под знаком абсолютной величины. . 6 

§  1.3. Последовательности. Классификация последовательностей по их свойствам .................... 10 

§  1.4. Предел числовой последовательности ..................................................................................... 14 

§ 1.5. Бесконечно малые последовательности (б.м.п.), бесконечно большие последовательности 
(б.б.п.) и их свойства ............................................................................................................................. 19 

§  1.6. Второй замечательный предел для последовательности ........................................................ 24 

§  1.7. Функция и ее основные характеристики .................................................................................. 26 

§ 1.8. Предел функции .......................................................................................................................... 40 

§  1.9. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение .................................... 51 

§  1.10. Техника вычисления пределов ................................................................................................ 56 

§ 1.11. Эквивалентные бесконечно малые. Применение к отысканию пределов ........................... 69 

§ 1.12. Непрерывность функций .......................................................................................................... 74 

Глава 2 ....................................................................................................................................................... 87 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной .............................................................. 87 

§  2.1. Приращения аргумента и функции .......................................................................................... 87 

§  2.2. Производная функция ................................................................................................................ 89 

§ 2.2. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила вычисления 
производных. ......................................................................................................................................... 97 

§ 2.3. Техника вычисления производных сложных функций. ........................................................ 104 

§ 2.4. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции, заданной параметрически. 
Неявно заданная функция и ее производная. ................................................................................... 118 

§ 2.5. Производные высших порядков. ............................................................................................. 132 

§ 2.6. Дифференциал функции ........................................................................................................... 143 

§ 2.6. Некоторые теоремы о дифференцируемых функций. ........................................................... 154 

§ 2.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя ........................................................... 162 

§ 2.8. Формула Тейлора ...................................................................................................................... 177 

 

Введение

Настоящее издание является практическим руководством к решению 

задач по курсу математического анализа. Несмотря на значительное 

разнообразие рассматриваемых вопросов, автор старался предложить если не 

абсолютно универсальные, то максимально общие методы решения задач.

В начале каждого параграфа приводятся ряд теоретических аспектов, 

необходимых для решения соответствующих задач. Детальное теоретическое 

обоснование 
методов 
и 
утверждений 
курса 
и 
их 
геометрическая 

интерпретация следует отнести к учебникам: Высшая математика для 

экономистов/ под ред. Н.Ш. Кремер – 3 - изд.М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006 –

479с; Конспект лекций по высшей математике/ под ред. Д.Т. Письменный, 9
е изд.М.: АЙРИС ПРЕСС, 2009 – 602  с.

Глава 1

§  1.1. Абсолютная величина и соотношения, связанные с

ней.

В дальнейшем изложении курса нам встретится необходимость 

рассматривать соотношения между абсолютными величинами некоторых 

выражений. Поэтому напомним определение абсолютной величины числа и 

соотношения, связанные с этим понятием.

Определение. 
Абсолютной 
величиной 
положительного 
числа 

называется само это число; абсолютной величиной отрицательного числа 

называется это число, взятое с отрицательным знаком.

Абсолютная величина числа а обозначается так :

Таким образом,

1. Абсолютная величина алгебраической суммы меньше или равна 

сумма абсолютных величин слагаемых

Например:

2. Абсолютная величина разности двух чисел больше или равна 

разности абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого

Например:
|

3. Абсолютная величина произведения конечного числа сомножителей 

равно произведению их абсолютных величин

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

6 

 

Например:

4. Абсолютная величина частного равна частному абсолютных величин

делимого и делителя

Например:

§  1.2. Управления и неравенство, содержащие переменную 

под знаком абсолютной величины.

 

При решении уравнений и неравенств, содержащих переменную по 

знаком абсолютной величины, применяются чаще всего следующие методы:

1) раскрытие абсолютной величины по определению;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат;

3) метод разбиения на промежутки.

Пример 1. Решим уравнение

Решение.
Так как по определению

то исходное уравнение равносильно следующей совокупности двух систем:

Из первой системы находим 
a из второй  

Пример 2. Решим уравнение 

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

7 

 

Решение.
Принимая во внимание, что

нетрудно убедиться: способ решения возведением в квадрат (второй способ) 

здесь наиболее целесообразен, поэтому

или 
,

откуда

.

Пример 3. Решим уравнение

Решение. В данном случае более предпочтительным является метод 

разбиение на промежутки (третий способ).

Нанесем на числовую прямую значение
при котором 

и значение , при котором 

Числовая прямая при этом разобьется на промежутки

Решим исходное уравнение на каждом из этих 

промежутков, т.е. решим совокупность следующих трех систем

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

8 

 

или

Решением первой системы является луч 
т.е. все значения 
из 

промежутка 
, из второй системы находим, что 
а третья 

система решений не имеет.

Пример 4. Решим неравенство 

Решение. Так как по определению (первый способ)

то заданное неравенство равносильно двум системам:

Из первой системы получаем 
из второй 

Объединив эти решения, находим решение заданного неравенства: 

Пример 5. Решим неравенство 

Решение. После возведения в квадрат обеих частей неравенства (второй 

способ) получим:

,

и далее 
откуда находим 

Пример 6. Решим неравенство 

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

9 

 

Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых выражения, 

находящиеся под знаком абсолютных величин, обращаются в нуль. Это 

точки 
(третий способ). Числовая прямая разбивается этими точками 

на три промежутка: 
. Рассматривая заданное 

неравенство на каждом из этих трех промежутков, получим совокупность 

трех систем:

Из первой системы находим
из второй 
из третьей 

Объединяя найденные решения, получим 

Пример 7. Решим неравенство

Решение. Это неравенство равносильно неравенству 

которое можно переписать следующим образом:

или

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

10 

 

откуда

Методом интервалов находим решение последнего, а вместе с ним и 

заданного неравенства: 

Задания для самостоятельной работы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

§  1.3. Последовательности. Классификация 

последовательностей по их свойствам

1.
Пусть дано множество чисел, расположенных в определенном 

порядке, например:

Глава 1
_____________________________________________________________________________________ 

11 

 

(1)

тогда каждому число этого множества можно приписать номер места, 

которое оно занимает. Так, число
занимает первое место, 
второе место, 

третье место, 
четвертое место,
ое место, и т.д.

Определение.
Множество 
действительных 
чисел, 
эквивалентное 

множеству 
натуральных 
чисел, 
называется 
бесконечной 
числовой 

последовательностью или просто последовательностью и обозначается 

символом

,
(2)

где 
называется общим членом последовательности.

Зная формулу общего члена последовательности, можно найти любой член 

последовательности 
(1) 
Тогда, 
например, 
десятый 
член 

2. Ограниченные последовательности

Последовательность  
называется ограниченной сверху (снизу), если 

существует такое действительное число
такое, что для всех

справедливо неравенство 
.

Последовательность 
называется ограниченной с обеих сторон или 

просто ограниченной, если она ограничена с обеих сторон, т.е. 

Если последовательность ограничена с обеих сторон, то всегда существует 

положительное число 
такое, что 

3. Монотонные последовательности

Последовательность 
называется возрастающей (неубывающей), 

если, начиная с некоторого номера 
выполняется неравенство