Теория управления. Математический аппарат управления в экономике

Теория управления. 
Математический аппарат управления в экономике

Ю.К. Машунин

Теория управления. 
Математический аппарат 
управления в экономике

Москва  ЛОГОС  2020

УДК 658.012
ББК 65.052
 
М38

Серия основана в 2003 г.

Рецензенты

В. Н. Ембулаев, доктор экономических наук, 

профессор кафедры математики Владивостокского государственного 

университета экономики и сервиса

Л. Н. Чижов, кандидат экономических наук, 

заведующий кафедрой Дальневосточного государственного университета

Машунин Ю.К.

М38  
Теория управления. Математический аппарат управления в эконо
мике: учеб. пособие / Ю.К. Машунин. – М.: Логос, 2020. – 448 с. 
(Новая университетская библиотека).

ISBN 978-5-98704-736-1

Представлено системное изложение теории управления и матема
тический аппарат управления в экономике. Наряду с традиционными (стандартными) математическими методами исследования операций проведен анализ и изложены методы решения задач векторной 
оптимизации, лежащих в основе математических моделей, используемых при разработке и принятии управленческого решения в области 
экономики. Представлены теоретические основы и конструктивные 
методы решения векторных (многокритериальных) задач математического программирования при равнозначных критериях и при заданном 
приоритете критерия. Методы принятия решений в условиях определенности и неопределенности. Большинство математических методов 
сопровождаются конкретными числовыми примерами из области 
управления экономикой и их решением в системе Matlab. 

Учебное пособие рассчитано на студентов специальности 080504 

«Государственное и муниципальное управление» и 080507 «Менеджмент», магистров, аспирантов, преподавателей, научных работников 
и специалистов, занимающихся теоретическими исследованиями 
управления в экономике.

Печатается по решению Учебно-методического совета специально
стей.

УДК 658.012
ББК 65.052

ISBN 978-5-98704-736-1
© Машунин Ю.К., 2020 
© Логос, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................................................................................................................................11

Часть 1. Теория управления.......................................................................................13

Глава 1. Основы теории управления в экономике ........................................15

1.1. Предмет, методы, основные задачи управления ........................................15

1.2. Управление в организационных системах ....................................................18

1.2.1. Основные понятия .......................................................................................18

1.2.2. Создание организационной системы: 
производство – система управления ...................................................21

1.2.3. Внутренняя и внешняя среда организационной системы ..........24

1.2.4. Объект и субъект управления ..................................................................27

1.2.5. Основные функции системы управления ..........................................30

1.3. Процесс управления ...............................................................................................33

1.3.1. Функции процесса управления ...............................................................33

1.3.2. Функция планирования .............................................................................40

1.3.3. Моделирование и принятие управленческого решения ..............41

1.3.4. Организация управления – системный подход ...............................44

1.4. Информация и коммуникации в управлении .............................................47

1.4.1. Информационные аспекты управления .............................................47

1.4.2. Коммуникация в процессе управления ...............................................50

1.5. Показатели в системе управления экономикой .........................................51

1.6. Цели в организационных системах ..................................................................53

1.7. Критерии в управлении организационной системой .............................56

1.8. Теория принятия управленческих решений .................................................60

1.8.1. Задачи теории принятия управленческих решений .......................60

1.8.2. Определение и классификация управленческих решений .........62

1.8.3. Процесс принятия решений.....................................................................68

Оглавление
6

1.9. Управление в организационной системе .......................................................72

1.9.1. Базовая модель управления ......................................................................72

1.9.2. Управление в фирме. Технологии менеджмента .............................73

1.9.3. Управление в регионе ..................................................................................78

1.10. Построение и разработка системы управления........................................85

1.10.1. Построение системы управления ........................................................85

1.10.2. Развитие, совершенствование и автоматизация систем 
управления ......................................................................................................90

1.11. Методология разработки и принятия управленческого решения 
в сложной экономической системе на основе математической 
модели ..........................................................................................................................92

Часть 2. Математические основы управления в экономике ............. 105
Глава 2. Введение в математическое программирование ...................... 107

2.1. Система линейных уравнений и методы их решения ........................... 107

2.2. Решение систем линейных уравнений ........................................................112

Глава 3. Линейное программирование ..............................................................116

3.1. Постановка задачи линейного программирования ............................... 116

3.2. Задача линейного программирования .........................................................118

3.3. Геометрическое решение задачи линейного программирования .... 120

3.4. Решение задачи линейного программирования 
симплекс-методом ...............................................................................................122

3.5. Вариант симплекс-метода с сокращенным числом итераций .......... 126

3.6. Решение задачи линейного программирования М-методом ............. 128

3.7. Решение задачи линейного программирования с ограничениями 
на переменные .......................................................................................................130

3.8. Доминирующие плоскости в задачах линейного 
программирования ..............................................................................................131

3.9. Двойственность задачи линейного программирования ...................... 133

3.10. Решение задач линейного программирования 
в системе Matlab ....................................................................................................140

3.11. Модели производственных планов нефтепереработки ..................... 145

3.11.1 Модель производственного плана предприятия 
нефтепереработки. ...................................................................................145

3.11.2. Модель производственного плана нефтепереработки 
из бензиновых полупродуктов ............................................................151

Оглавление
7

Глава 4. Нелинейное программирование ........................................................157

4.1. Задача нелинейного программирования ....................................................157

4.2. Основные определения, понятия и свойства функций ЗНП ............ 158

4.3. Основные методы решения задач нелинейного 
программирования ..............................................................................................164

4.4. Решение задач безусловной оптимизации и квадратичного 
программирования ..............................................................................................168

4.4.1. Методы решения задач безусловной оптимизации ..................... 168

4.4.2. Квадратичное программирование ......................................................171

4.5. Решение задачи нелинейного программирования условной 
оптимизации в системе Matlab .......................................................................174

4.6. Модель поведения отдельного потребителя (спроса) ........................... 179

4.7. Модель поведения отдельного производителя ........................................181

4.8. Тестовые примеры задач нелинейного программирования ............... 184

Глава 5. Транспортная задача ..................................................................................186

5.1. Математическая постановка транспортной задачи ............................... 186

5.2. Оптимальное решение транспортной задачи ...........................................189

5.3. Примеры решения транспортных задач .....................................................194

Глава 6. Методы решения сетевых задач ..........................................................196

6.1. Постановка сетевых задач в виде задачи линейного 
программирования ..............................................................................................196

6.2. Задача о кратчайшем пути ................................................................................198

6.3. Календарное планирование программ сетевыми методами .............. 200

Часть 3. Теория и методы векторной оптимизации ................................ 209
Глава 7. Постановка проблемы векторной оптимизации ..................... 211

7.1. Анализ проблемы векторной оптимизации ..............................................211

7.2. Постановка практических векторных задач линейного 
программирования ..............................................................................................212

7.3. Векторная задача математического программирования...................... 214

Глава 8. Теоретические основы векторной оптимизации ..................... 221

8.1. Основные понятия и определения ................................................................221

8.2. Аксиоматика векторной оптимизации ........................................................226

8.3. Принципы оптимальности решения ВЗМП .............................................229

8.4. Теоретические результаты, связанные с аксиоматикой 
и принципами оптимальности .......................................................................231

Оглавление
8

8.4.1. Свойства однокритериальных и векторных задач 
линейного программирования ............................................................231

8.4.2. Определения из теории непрерывных и выпуклых 
функций ........................................................................................................232

8.4.3. Теоретические результаты векторной оптимизации ................... 233

8.5. Геометрическая интерпретация аксиоматики и принципов 
оптимальности решения ВЗМП ....................................................................241

Глава 9. Методы решения задач векторной оптимизации .................... 246

9.1. Геометрическое решение векторной задачи линейного 
программирования ..............................................................................................246

9.2. Решение задач векторной оптимизации с равнозначными 
критериями .............................................................................................................249

9.2.1. Алгоритм решения ВЗМП с неоднородными 
равнозначными критериями ................................................................249

9.2.2. Решение векторной задачи линейного программирования .... 252

9.2.3. Решение векторной задачи нелинейного 
программирования ...................................................................................262

9.3. Решение задач векторной оптимизации с приоритетом критерия .... 269

9.3.1. Алгоритм решения ВЗЛП с заданным приоритетом .................. 269

9.3.2. Пример решения ВЗЛП с заданным приоритетом ...................... 272

9.4. Выбор точки из множества Парето в ВЗМП .............................................273

9.5. Тестовые примеры векторных задач линейного 
программирования ..............................................................................................278

Глава 10. Двойственность векторной задачи линейного 
программирования ...................................................................................................281

10.1. Двойственность задачи линейного программирования 
(однокритериальной) .........................................................................................281

10.2. Векторная задача линейного программирования с максимумом 
векторной целевой функции и двойственная ей задача ...................... 283

10.2.1. Построение двойственной ВЗЛПmax .............................................283

10.2.2. Алгоритм решения ЗЛПmin на множестве ограничений ....... 286

10.2.3. Алгоритм решения ЗЛП на множестве ограничений 
с приоритетом ограничения .................................................................288

10.2.4. Теоремы двойственности в ВЗЛПmax ............................................291

10.2.5. Двойственность ВЗЛПmax в тестовых примерах ....................... 293

10.2.6. Анализ двойственных задач на основе функции Лагранжа ..... 300

Оглавление
9

10.3. Векторная задача линейного программирования с минимумом 
векторной целевой функции и двойственная ей задача ...................... 303

10.3.1. Построение двойственной ВЗЛПmin .............................................303

10.3.2. Алгоритм решения ЗЛПmax на множестве ограничений ...... 305

10.3.3. Теоремы двойственности в ВЗЛПmin .............................................307

10.3.4. Двойственность ВЗЛПmin на тестовых примерах ..................... 308

10.4. Двойственность в ВЗЛП на множестве ограничений ......................... 311

10.4.1. Двойственность в ВЗЛП на множестве ограничений 
и алгоритмы решения .............................................................................311

10.4.2. Анализ двойственности в ВЗЛП на множестве ограничений 
на основе функции Лагранжа ..............................................................321

Глава 11. Модели векторной оптимизации ....................................................323

11.1. Модели производственного плана ..............................................................323

11.1.1. Характеристика и построение модели годового плана ........... 323

11.1.2. Формирование производственного плана предприятия 
по критерию максимизации объема продаж и прибыли ......... 327

11.1.3. Построение модели формирования производственного 
плана по трем критериям ......................................................................329

11.1.4. Постановка и моделирование задачи формирования 
годового и стратегического плана концерна ................................ 335

11.2. Моделирование рынка отдельных видов товаров ................................ 344

11.3. Моделирование региональной экономики .............................................363

11.3.1. Модель региональной экономики ....................................................363

11.3.2. Числовая модель региональной экономики ................................ 365

11.3.3. Методология моделирования развития региональной 
экономики ...................................................................................................367

Глава 12. Аппроксимация. Интерполяция .....................................................377

12.1. Определение аппроксимации и интерполяции ....................................377

12.2. Регрессионный анализ .....................................................................................379

12.3. Вывод уравнения линейной аппроксимации (1-й фактор) ............. 383

12.4. Двухфакторная линейная модель ................................................................386

12.5. Трехфакторная линейная модель .................................................................391

12.6. Четырехфакторная линейная модель ........................................................394

Глава 13. Теория принятия решений и векторная оптимизация ...... 398

13.1. Математическая постановка задачи ...........................................................398

Оглавление
10

13.2. Модель технической системы в условиях полной 
определенности .....................................................................................................400

13.3. Модель технической системы в условиях неопределенности ......... 408

13.4. Модель ТС, представленная параметрами и набором 
показателей .............................................................................................................419

Глава 14. Моделирование технических систем с учетом 
приоритета критерия и принятие оптимального решения ............ 426

14.1. Математическая постановка задачи ...........................................................426

14.2. Алгоритм оптимального принятия решения 
при моделировании ТС ......................................................................................429

14.3. Принятие оптимального решения по модели технической 
системы .....................................................................................................................434

Литература .............................................................................................................................443

ВВЕДЕНИЕ

Переход экономики России на интенсивный путь связан с развитием социально-экономических процессов управления экономическими системами, составляющими основу рыночной экономики, 
которые постоянно находятся во взаимосвязи с региональными 
и государственными органами управления. Поэтому актуальным 
является изучение теории управления и математического моделирования управления в экономике, в том числе процессами управления 
предприятиями, фирмами, рынками, отраслями и т.д.
В настоящее время выпущено большое количество учебников 
и учебных пособий как по теории управления [1–29, 37], так и дисциплинам экономико-математического профиля [39–71], которые 
изучаются на втором-третьем курсах вузов экономического профиля. 
Однако практика показывает, что на последующих курсах студенты, 
как правило, забывают материал, связанный с использованием математических методов в задачах управления, и недостаточно широко 
пользуются этими методами при написании курсовых и дипломных 
работ – в основном для решения небольших задач. И это притом, 
что уже создан ряд систем программного обеспечения, реализующих 
множество экономико-математических методов, в частности эффективно действующая система Matlab [65, 66, 83].
Кроме того, в имеющейся учебной литературе неполно изложено 
решение проблемы векторной оптимизации, тогда как большинство 
используемых в управлении организационными системами моделей экономических систем по сути являются многокритериальными 
и лишь отсутствие математических методов решения задач векторной оптимизации, лежащих в основе этих моделей, сдерживало их 
применение, как в теории, так и на практике. Восполнить этот пробел – основная задача данного пособия.
Материал учебного пособия разбит на три части. В части 1 «Теория 
управления» рассматриваются следующие основные вопросы:
общая теория управления, процесс управления, в том числе 
 •
структура и функции управления – прогнозирование, планирование, принятие решения, учет, контроль, анализ и регулирование, 
информация и связь в управлении;
теория принятия управленческих решений, направленная на 
 •
изучение технологии разработки, принятия и реализации управленческого решения в условиях определенности и неопределенности 
и являющаяся составной частью теории управления;

Введение
12

методики построения математической модели, моделирова •
ния и принятия управленческого решения в сложной экономической системе, модель которой представлена задачей векторной 
оптимизации.
Часть 2 «Математические основы управления в экономике» 
посвящена стандартным методам решения задач линейного и нелинейного программирования, сетевым моделям, транспортным задачам. Методы соправождаются моделями и примерами решения указанных задач в системе Matlab.
В части 3 «Теория и методы векторной оптимизации» представлены:
теоретические основы векторной оптимизации – аксиоматика, на 
 •
основе которой сформулированы принципы оптимальности решения 
векторных (многокритериальных) задач, базирующиеся на нормализации критериев и принципе гарантированного результата; разработаны 
конструктивные методы решения векторных задач математического 
программирования, которые позволяют решать линейные и нелинейные задачи при равнозначных критериях и заданном приоритете 
критерия, представлены модели векторной оптимизации, в том числе 
производственные задачи, модели рынка, региональной экономики. 
Рассмотрена двойственность в векторных задачах линейного программирования. Все методы сопровождаются решением практических задач и программным обеспечением в системе Matlab;
аппроксимация, интерполяция и регрессионные одно-четырех •
факторные модели с программным обеспечением, используемые 
при построении задач векторной оптимизации;
методика принятия управленческого решения в сложной эконо •
мической (технической) системе в условиях определенности и неопределенности, модель которой построена на основе векторной задачи математического программирования и используются изложенные 
выше методы их решения.
Учебное пособие построено на основе изучения подобной литературы в областях «Теории управления» [1–29], «Математические 
основы управления в экономике» зарубежных [39–49] и отечественных авторов [50–72], «Теория и методы векторной оптимизации» 
авторских разработок [30–38, 72, 80–82].
Большинство математических методов сопровождаются не только 
конкретными числовыми примерами, но и их решением в системе 
Matlab.
Теория управления и методы решения векторной задачи математического программирования используются при построении 
моделей экономических систем по курсу «Теория управления», 
«Математическое моделирование развития экономических систем».

Часть 1. 

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Глава 1.

 ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ

1.1. Предмет, методы, основные задачи управления

Процесс формирования научной теории в общем ее понимании 
проходит определенные стадии (этапы), основными из которых 
являются:
систематизация элементов познания действительности;
 •
определение причинно-следственных и функциональных зави •
симостей между данными элементами;
выявление закономерностей, законов и тенденций в экономиче •
ской реальности – разработка прикладных научных основ для анализа и синтеза наблюдаемых процессов, обобщение знаний и создание теоретических основ науки (принципы, зависимости, законы 
и закономерности);
разработка системы рекомендаций для экономического поведе •
ния индивидуума, фирмы и государства на основе накопленых статистических данных об эффективности предположенной методологии, 
ее корректировка и создание методологии исследования процессов 
заданной типологии [26, 67].
Задачами дисциплины «Теория управления» (в экономике) на 
этих этапах являются следующие.
1. Систематизация элементов управления в экономике – возникновение управления, место управления в экономической системе, 
становление его основных этапов, обобщение модели механизма 
управления.
2. Определение причинно-следственных и функциональных зависимостей – выявление понятийного аппарата управления (системы 
управления, целей и функций управления), управленческого решения и управляющего воздействия, установление причинно-следственных взаимосвязей в динамике, т.е. в процессе управления.
3. Выявление закономерностей, законов и тенденций, проявляющихся 
в процессе управления – накопление статистических данных о способах управления, состоящих в переводе экономической системы из 
одного состояния в другое; разработка методики принятия управ