Кристаллофизика

Н.А. Сергеев,  Д.С. Рябушкин

Кристаллофизика

Учебник для студентов, получающих высшее 
образование в области естественнонаучных 
и инженерно-технических направлений 
и специальностей с углубленным изучением физики

2020
Москва 
Университетская книга

УДК 548.O:53
ББК 22.37
С32

Рецензенты
М.Б. Стругацкий, доктор физико-математических наук, 
профессор Физико-технического института Крымского 
федерального университета им. В.И. Вернадского;
Н.А. Корыневский, доктор физико-математических наук, 
профессор Национального университета «Львовская политехника»

С32  

Сергеев Н.А.
Кристаллофизика: монография / Н.А. Сергеев, Д.С. Рябушкин. – 
М.: Университетская книга,  2020. − 160 с.

ISBN 978-5-98699-182-5

Рассмотрены основополагающие аспекты физики кристаллов как 
одной из ведущих дисциплин, изучающих свойства твердых тел. Представлен анализ симметрии кристаллов. Раскрыты основные понятия и 
принципы кристаллофизики. Освещены упругие и оптические свойства 
кристаллов, изложена их термодинамика.
Представляет интерес для исследователей и специалистов, работающих в области физики кристаллов, а также для аспирантов и магистрантов, получающих высшее образование в области естественнонаучных и 
инженерно-технических направлений и специальностей с углубленным 
изучением физики. 

УДК 548.O:53
ББК 22.37

ISBN 978-5-98699-182-5
© Сергеев Н.А., 
Рябушкин, Д.С., 2020 
© Университетская 

книга, 2020

Оглавление

Оглавление ............................................................................................................3

Предисловие .........................................................................................................5

Глава 1. Симметрия строения кристаллов ...................................................7
1.1. Кристаллические и аморфные тела .............................................................7
1.2. Элементы симметрии ...................................................................................8
1.3. Точечные группы .........................................................................................11
1.4. Кристаллографические системы ...............................................................15
1.5. Элементарная ячейка. Решетки Бравэ .......................................................18
1.6. Пространственные элементы симметрии .................................................20
1.7. Пространственные группы симметрии .....................................................23
1.8. Обозначения плоскостей и направлений в кристалле .............................24
1.9. Правила выбора осей кристаллофизической системы координат..........26

Глава 2. Основные понятия и принципы кристаллофизики ..................27
2.1. Скаляры, векторы и тензоры ......................................................................27
2.2. Принцип Кюри. Симметрия физических полей.......................................36
2.3. Симметрия физических свойств. Принцип Неймана ..............................41

Глава 3. Упругие свойства кристаллов ........................................................62
3.1. Тензор напряжений .....................................................................................62
3.2. Тензоры деформации и девиатор деформации .........................................71
3.3. Закон Гука ....................................................................................................82
3.4. Упругие волны в кристалле ........................................................................92
3.5. Пьезоэлектрический эффект ......................................................................98

Глава 4. Оптические свойства кристаллов ...............................................107
4.1. Явление двойного лучепреломления света ............................................107
4.2. Фотоэластический эффект .......................................................................122
4.3. Электрооптический эффект .....................................................................128
4.4. Оптическая активность ............................................................................134

Глава 5. Термодинамика кристаллов .........................................................141
5.1. Основы термодинамики ...........................................................................141
5.2. Термодинамика физических свойств диэлектриков ..............................145
5.3. Связи между коэффициентами, измеряемыми при различных 
условиях ............................................................................................................155

Литература ........................................................................................................158

Предисловие

В последние десятилетия физика кристаллов стала одной из ведущих дисциплин, изучающих свойства твердых тел. В настоящее время 
исследованием кристаллов занимаются несколько относительно 
самостоятельных наук – геометрическая кристаллография, структурная кристаллография, кристаллохимия, физика твердого тела, кристаллофизика, физика выращивания монокристаллов и др. Все они 
имеют свой круг задач и свои методы исследования. Однако изучение 
любой из этих наук требует знакомства хотя бы с основными идеями 
всех остальных дисциплин, исследующих кристаллы.
Настоящая книга посвящена одной из перечисленных наук – кристаллофизике. Авторы данной работы постарались реализовать свое 
убеждение в том, что при изучении кристаллофизики, как и других 
разделов физики, важнейшее место должно занимать умение практически использовать теорию изучаемой дисциплины. Поэтому в книге 
приведено много примеров, а в конце каждого раздела предлагаются 
задачи, решение которых будет для читателя подтверждением того, 
что он освоил материал и можно двигаться дальше.
Авторы надеются, что стиль изложения окажется доступным не 
только специалистам-физикам, которым знания по кристаллофизике 
требуются для решения занимающих их проблем, но и студентам второго или третьего курсов тех факультетов, где изучение физики кристаллов предусмотрено программой. Впрочем, использование этой 
книги в учебном процессе требует некоторого пояснения.
Обширность научной информации о кристаллах имеет своим 
следствием невозможность разработать семестровый курс физики 
кристаллов, который включал бы в себя информацию обо всех (или 
почти обо всех) направлениях этой важной дисциплины. В такой 
ситуации перед каждым преподавателем возникает проблема, как 
подобрать материал, чтобы курс физики кристаллов был современным, логически связанным и удовлетворяющим требованиям высшей школы, а не являлся бы собранием научно-популярных статей. 

Предисловие
6

Существуют два подхода к решению этой проблемы. Первый из них 
предполагает краткое изложение основ всех наук, занимающихся 
исследованием кристаллов. Второй подход опирается на одну–две 
науки о кристаллах. Трудно сказать, какой подход является лучшим, 
а потому право выбора лучше оставить за читателем. Мы же придерживались второго подхода – в соответствии с известным принципом 
«лучше меньше, да лучше». По этой причине важным был вопрос об 
отборе лишь самых значительных фактов, без знания которых нельзя 
считать данный курс полноценной научной дисциплиной. Как следствие, рассмотрение многих вопросов кристаллофизики не вошло 
в эту книгу. Сюда можно отнести все, что связано с физическими 
свойствами магнитоупорядоченных кристаллов, полупроводников, 
металлов. Пришлось отказаться от рассмотрения фазовых переходов 
в кристаллах, физических свойств фуллеритов (т.е. кристаллов на 
основе больших молекул – фуллеренов, например, С60), квазикристаллических и несоразмерных структур и т.д. Если же читатель заинтересуется этими и другими вопросами, то советуем ознакомиться со 
списком литературы в конце этой книги.
Возможные отклики и замечания читателей будут приняты авторами с благодарностью. Нам можно написать по адресу Sergeev_
Riabushkin@mail.ru

Н.А.Сергеев
Д.С.Рябушкин

Глава 1. 

СИММЕТРИЯ СТРОЕНИЯ КРИСТАЛЛОВ

1.1. Кристаллические и аморфные тела

Любая жидкость (кроме жидкого гелия) при охлаждении переходит в состояние твердого тела. При этом возможны два основных 
вида такого превращения.
В первом случае имеет место процесс кристаллизации. Он состоит 
в том, что в жидкости, охлажденной до определенной температуры, 
появляются так называемые центры кристаллизации, которые представляют собой маленькие кристаллики (кристаллиты). Кристаллиты 
состоят из связанных между собой частичек (атомов, молекул), размещенных упорядоченно в пространстве. Если внешние условия 
допускают свободный рост кристаллитов, то дальнейшее понижение 
температуры приводит к формированию трехмерно упорядоченных 
макроскопических твердых тел, называемых кристаллами [1].
Во втором случае понижение температуры жидкости сопровождается быстрым ростом ее вязкости. Жидкость утрачивает свои свойства и становится твердым телом, в котором частички размещаются 
не так упорядоченно, как в кристаллах. При этом в некоторых веществах (лак, воск, смола и др.) процесс кристаллизации никогда не 
происходит. Такие вещества в твердой фазе называются аморфными. 
Существуют также вещества, которые из жидкого состояния вначале 
переходят в нестабильное квазиаморфное состояние, а затем в кристаллическое состояние. Их называются стеклами. Хорошо известным примером стекол является обычное оконное стекло.
Одним из основных различий между аморфными/стеклянными 
и кристаллическими веществами является наличие анизотропии 
физических свойств у кристаллов. Таковой называется зависимость 

Глава 1. Симметрия строения кристаллов 
8

различных физических характеристик (тепловых, электрических 
и др.) от направления, в котором производятся измерения. Например, 
если поместить проводящий кристалл в электрическое поле конденсатора, то обнаружится, что способность кристалла проводить электрический ток зависит от того, как ориентирован кристалл относительно направления вектора напряженности электрического поля. 
Наиболее наглядным проявлением анизотропии физических свойств 
является форма, которую кристаллы принимают в процесс роста: это 
всегда симметричный многогранник.
Анизотропия является следствием внутреннего строения кристаллов. Исследованием зависимости физических свойств кристаллов 
от их структуры занимается наука, которая получила название кристаллофизики, или физической кристаллографии. Кристаллофизика 
тесно связана и переплетена с физикой твердого тела [2–8]. Ее основой является геометрическая кристаллография [1, 2, 9, 10].

1.2. Элементы симметрии

Одна из главных особенностей кристаллов – их способность 
принимать форму правильного многогранника в процессе роста. 
Симметрия формы кристаллов проявляется в том, что правильный 
кристаллический многогранник совмещается сам с собой при различных геометрических преобразованиях. Например, такое совмещение происходит при повороте кристалла на некоторый угол вокруг 
определенной оси. Подобные геометрические преобразования называются преобразованиями симметрии. Каждому преобразованию 
симметрии соответствует свой символ, обозначающий элементы 
симметрии. К элементам симметрии кристаллических многогранников относятся плоскость симметрии, центр симметрии (инверсии), 
ось симметрии, инверсионная ось.
Плоскость симметрии (символ m) – это плоскость, которая делит 
кристалл на две части, и эти две части соотносятся между собой как 
предмет и образ в плоском зеркале.
Центр симметрии (символ 1 ) – это точка в кристалле, инверсия 
в которой приводит к тому, что симметричный многогранник совмещается сам с собой. Наличие в кристалле центра симметрии означает, 
что для любой точки в кристалле существует другая точка, которая 

1.2. Элементы симметрии
9

находится на таком же расстоянии от центра симметрии на линии, 
соединяющей исходную точку с центром инверсии.
Ось симметрии порядка n (символ n, где n = 1, 2, ...) – линия, при 

повороте вокруг которой на угол 
360
,k
n
ϕ =



 где k = 1, 2, ..., много
гранник совмещается сам с собой. Порядок оси n определяет, сколько 
раз многогранник переходит сам в себя при повороте вокруг оси симметрии на угол 360˚. Можно показать, что в кристаллах возможны 
только оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков [1, 2, 9, 10].
Если на оси симметрии находится центр симметрии или перпендикулярно к ней располагается ось 2 или плоскость симметрии, то 
такая ось называется биполярной. Для биполярной оси оба ее конца 
являются равнозначными. Это означает следующее.
Нарисуем на одном конце биполярной оси стрелку, направленную 
в сторону любого ее конца, безразлично какого именно. Тогда наличие на оси центра инверсии (или оси 2, или плоскости симметрии) 
приведет к тому, что преобразование симметрии, связанное с биполярной осью, вызовет появление другой стрелки на противоположном конце биполярной оси. Эта стрелка будет направлена в сторону, 
противоположную направлению исходной стрелки. Для полярной же 
оси нет таких элементов симметрии, которые изменяли бы направление стрелки.
Кроме элементов симметрии 1, 2, 3, 4, 6, m, 1  в кристаллах могут 
существовать пять осей симметрии, которые называются инверсионными. Преобразование симметрии, связанное с инверсионной осью 
симметрии n-го порядка (символ 
,
n  где n = 1, 2, ...), содержит два 

последовательных преобразования – вращение на угол 
360
,k
n
ϕ =



 где 

k = 1, 2, ..., вокруг данной оси и отражение в центре симметрии, который лежит на этой же оси. Последовательность преобразований (вращение → отражение) может быть и обратной (отражение → вращение), результат от этого не изменится. Инверсионные оси являются 
новыми независимыми элементами симметрии.
Важно подчеркнуть, что наличие в кристалле инверсионной 
оси симметрии не означает, что в нем имеется центр симметрии. 
Инверсионная ось 1-го порядка и центр инверсии обозначаются 
одним и тем же символом 1,  поскольку результат их действия одинаков. Нетрудно проверить, что преобразование симметрии, связанное с инверсионной осью 2-го порядка, является равнозначным пре

Глава 1. Симметрия строения кристаллов 
10

образованию, связанному с плоскостью симметрии, расположенной 
перпендикулярно к инверсионной оси. Следовательно, среди перечисленных элементов симметрии независимыми являются только 
десять элементов:

 
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2( ),
m
3, 4, 6. 
(1.1)

Различают преобразования симметрии первого и второго рода. 
К преобразованиям первого рода относятся вращения вокруг осей 
симметрии 1, 2, 3, 4 и 6. Преобразования первого рода сохраняют 
выбор осей системы координат: правая система координат после преобразования симметрии остается правой, а левая – левой. Однако 
при преобразованиях симметрии второго рода, к которым относятся 
инверсионные оси, правая система координат переходит в левую 
систему координат, а левая – в правую.
Чтобы представить преобразования симметрии в аналитической 
форме, выберем прямоугольную систему координат Ox1, Ox2, Ox3, 
жестко связанную с кристаллом. При этом будем считать, что элемент 
симметрии содержит начало выбранной системы координат. В результате действия этого элемента симметрии оси Ox1, Ox2, Ox3, изменят 
свое направление в пространстве и перейдут в оси 
1
2
3
,
,
Ox Ox
Ox
′
′
′  
новой прямоугольной системы координат. Очевидно, что положение 
начала систем координат будет одним и тем же. Связь новых и старых координат можно описать с помощью матрицы направляющих 
косинусов вида

1 1
1 2
1 3

2 1
2 2
2 3

3 1
3 2
3 3

.

′
′
′

′
′
′

′
′
′

α
α
α
⎡
⎤
⎢
⎥
α
α
α
⎢
⎥
⎢
⎥
α
α
α
⎣
⎦

Здесь первый индекс при α относится к новой (штрихованной) 
оси, а второй – к старой (нештрихованной) оси. Например, 
2 3′
α
 есть 
косинус угла между осью 
2
Ox′  и осью 
3
Ox .
Данная матрица называется матричным представлением выбранного элемента симметрии. Вид матрицы зависит от того, как выбраны 
оси Ox1, Ox2, Ox3 прямоугольной системы координат. Можно показать, что для преобразований симметрии первого рода определитель 
матрицы 
i j′
α  равен 1: det(
)
1
i j′
α
= . Для преобразований второго рода 
определитель матрицы 
i j′
α  равен (–1): det(
)
1
i j′
α
= − .