Конфлюэнтный анализ. Как учесть погрешность всех случайных величин

А.А. Грешилов
А.А. Грешилов

 А.А. Грешилов  Конфлюэнтный  анализ. Как  учесть  погрешность всех  случайных  величин  
 А.А. Грешилов  Конфлюэнтный  анализ. Как  учесть  погрешность всех  случайных  величин  

КАК  УЧЕСТЬ  
КАК  УЧЕСТЬ  

ПОГРЕШНОСТЬ 
ПОГРЕШНОСТЬ 

ВСЕХ  СЛУЧАЙНЫХ 
ВСЕХ  СЛУЧАЙНЫХ 

ВЕЛИЧИН
ВЕЛИЧИН

КОНФЛЮЭНТНЫЙ 
КОНФЛЮЭНТНЫЙ 

АНАЛИЗ 
АНАЛИЗ 

К о н ф л ю э н т н ы й  а н а л и з . 

К а К у ч е ст ь п о г р е ш н о ст ь  

в с е х с л у ч а й н ы х в е л и ч и н

К о н ф л ю э н т н ы й  а н а л и з . 

К а К у ч е ст ь п о г р е ш н о ст ь  

в с е х с л у ч а й н ы х в е л и ч и н

А.А. Грешилов

КОНФЛЮЭНТНЫЙ  АНАЛИЗ. 
КАК  УЧЕСТЬ  ПОГРЕШНОСТЬ 
ВСЕХ  СЛУЧАЙНЫХ  ВЕЛИЧИН 
 

2020

Университетская книга

УДК 621.372.542
ББК 22.18
Г81

Рецензенты
Б.И. Махартин, доктор технических наук, профессор Московского 
государственного технического университета имени Н.Э. Баумана
П.Н. Антонюк, кандидат технических наук, доцент Московского 
государственного университета имени М.В. Ломоносова

Грешилов А.А. 
Г81  Конфлюэнтный анализ. Как учесть погрешность всех случайных величин: учебное пособие. – М.: Университетская книга. – 2020. – 136 с. 

ISBN 978-5-89699-321-8

Рассматривается класс задач, в которых обрабатываются данные наблюдений и измерений. Показано, что в ходе измерений с необходимостью 
возникают погрешности. Если они не учитываются, то данные измерений 
и наблюдений не отражают реальные процессы и явления, а содержат существенные искажения и отклонения. Для их предотвращения используется метод наименьших квадратов, когда в матрицах системы элементы 
считаются детерминированной величиной. Если все величины, участвующие в решении, являются случайными, то применяются методы конфлюэнтного анализа. Предлагаемые алгоритмы являются основой решения 
систем уравнений, в которых случайные величины присутствуют в матрицах системы, а также применяются при определении характеристик 
систем передачи данных и при учете влияния этих характеристик на передаваемую и обрабатываемую информацию. В доступной форме рассмотрены алгоритмы учета погрешностей в исходных данных (элементах матриц 
систем алгебраических уравнений и правых частях уравнений), приводятся методы оценки свободных параметров различных функций известного 
вида; примеры, поясняющие особенности алгоритмов, а также примеры, 
имеющие прикладное значение, включая идентификацию источников 
радиоактивных изотопов криптона и ксенона, определение координат источников излучения и др. Использован математический аппарат, соответствующий программе технических направлений и специальностей вузов. 
Для научных работников и специалистов, занимающихся цифровой 
и аналоговой обработкой информации. Может использоваться в учебном 
процессе со студентами, магистрантами и аспирантами высших учебных 
заведений инженерно-технического профиля. 

УДК 621.372.542
ББК 22.18

ISBN 978-5-89699-321-8
© Грешилов А.А., 2020
© Университетская книга, 2020

 
оглавление

Введение.....................................................................................7

глава 1. инженерное образование и конфлюэнтный анализ.............12

глава 2. Методы регрессионного и конфлюэнтного анализа
2.1. Понятие регрессии; основные определения...............................19
2.2. Линейная регрессия η на ξ и ξ на η..........................................23
2.3. Регрессионный парадокс.......................................................24
2.4. Ортогональная регрессия.......................................................26
2.5. Метод наименьших квадратов. Оценка свободных  
параметров функций, линейных по параметрам.........................28
2.6. Оценка параметров моделей с помощью функции  
правдоподобия.......................................................................34
2.7. Байесовский подход к оцениванию параметров моделей.............41
2.8. Интервальная оценка линии регрессии и прогнозируемых  
значений функции.................................................................42

глава 3. активный и пассивный эксперименты
3.1. Оценивание параметров функции известного вида  
в пассивном эксперименте.......................................................46
3.2. Анализ систем в активном эксперименте..................................52

глава 4. примеры других методов в конфлюэнтном анализе
4.1. Оценки параметров функции известного вида с учетом  
ошибок в значениях функций и аргументов...............................56
4.2. Оценки свободных параметров в уравнении прямой линии.........60
4.3. О единственности оценок параметров. Состоятельность  
оценок и алгоритм их получения.............................................63
4.4. Оценка параметров многомерной линейной модели...................70
4.5. Оценка параметров полиномиальной зависимости.....................72
4.6. Оценка значений параметров в сигноме (многомерном  
полиноме).............................................................................74
4.7. Построение сглаживающих кубических сплайнов.....................77
4.8. Непосредственное определение оценок параметров  
экспоненты и функции Гаусса.................................................81

глава 5. определение координат источника излучения путем  
объединения всей информации по пеленгам.............................84

глава 6. идентификация источников радиоактивных  
благородных газов
6.1. Источники радиоактивных благородных газов.........................89
6.2. Трудности идентификации источников изотопов криптона  
и ксенона..............................................................................97
6.3. Алгоритм идентификации источников изотопов криптона  
и ксенона............................................................................101

глава 7. планирование экспериментов и некорректные задачи
7.1. Планирование экспериментов в конфлюэнтном анализе...........109
7.2. Некорректныезадачи в конфлюэнтном анализе.......................115

Литература..............................................................................120

приложение 1. Описание программы «Регрессия»  
(инструкция для пользователя)..............................................122

приложение 2. Вкладка «Метод наименьших квадратов»...............129

Мы как карлики на плечах 
гигантов, и поэтому можем 
видеть больше и дальше, чем они.  
Исаак Ньютон

введение

Не мы хватаем идею, идея хватает  
и гонит нас на арену, чтобы мы, как 
невольники-гладиаторы, сражались за нее.  
Генрих Гейне

Данная книга является расширенным и дополненным изданием 
книги А. А. Грешилова «Метод наименьших квадратов и элементы 
конфлюэнтного анализа» (Москва, Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
1990). За эти годы произошел грандиозный скачок в развитии персональных компьютеров и программного обеспечения к ним, что позволило решать самые сложные практические задачи, в частности, 
задачи регрессионного и конфлюэнтного анализа. Любые измерения 
и наблюдения приводят к случайным величинам. Случайная величина – это не одно число, а функция на множестве реализаций. 
В процессе измерений невозможно получить детерминированную 
величину (число): каждый результат содержит неизвестную погрешность (ошибку)1. Основным математическим аппаратом теории обработки информации и сигналов является аппарат статистических методов, используемый для анализа и синтеза технических 
устройств и протекающих процессов, выделения полезного сигнала на фоне помех, измерения статистических характеристик пото
1 В словаре русского языка С. И. Ожегова погрешность определяется как 
ошибка. В данной книге оба слова будут применяться в тексте в качестве 
синонимов. В английском языке ситуация обстоит так же. 

Введение
8

ков сигналов, обеспечения надлежащей разрешающей способности 
в спектрометрических и радиометрических измерениях и т. п. Для 
создания современной техники, приборов и оборудования требуются 
большие материальные затраты, поэтому крайне важно увеличить 
информационность расчетных методов и экспериментов. Последние 
достижения в области прикладной и фундаментальной математики 
позволяют с большой эффективностью решать задачи, стоящие перед исследователями. 
В процессе анализа сложных (больших) систем возникают проблемы оценки погрешности, вносимой в расчеты при замене неизвестных вероятностных характеристик (параметров) статистическими. 
Следовательно, в каждом конкретном случае требуется обосновать 
значения таких показателей, как объемы выборок, границы доверительных интервалов, уровни значимости (доверия). В связи с этим 
при численных расчетах возникают проблемы выбора аппроксимирующей системы с учетом требуемой точности получаемых результатов и допустимой сложности вычислений, проверки адекватности 
используемой математической модели изучаемому реальному процессу и оценки коэффициентов чувствительности моделей относительно вариации их параметров. 
С точки зрения математической статистики данные проблемы 
сводятся к задачам аппроксимации исходных данных, разработке 
методов оценок параметров однофакторных и многофакторных моделей, решению интегральных и линейных алгебраических уравнений и т. п. При этом приходится оперировать с данными, содержащими неопределенность из-за погрешностей измерения, случайных 
флуктуации или операций усреднения, группировки и округления. 
Практическая польза от алгоритмов, реализующих перечисленные 
задачи, определяется тем, насколько адекватна модель реальному 
процессу и в какой степени учитывается неопределенность исходных 
данных независимо от ее природы. 
На рубеже 1803−1805-х годов математики К. Гаусс и А. Лежандр 
независимо друг от друга заложили основы метода наименьших квадратов (МНК), ставшего впоследствии базой линейного регрессионного анализа. Но в классическом методе наименьших квадратов невозможно учесть неопределенность всей исходной информации, что 

Введение
9

ведет к получению неверных (смещенных) оценок и, как следствие, 
к неверным практическим выводам. Учесть влияние всех случайных 
величин позволяет конфлюэнтный анализ – совокупность методов 
математической статистики, относящихся к анализу априори постулируемых (заданных) функциональных связей между количественными (случайными и неслучайными) переменными в условиях, 
когда наблюдаются не сами переменные, а случайные величины, образуемые добавкой случайной погрешности измерений. Если анализируется зависимость одной переменной от остальных, то это задача 
регрессионного анализа. Естественно, что математические процедуры над случайными величинами более сложные, чем те же процедуры над детерминированными переменными: для случайных величин 
необходимо применять их закон распределения. 
С учетом изложенного выше можно сделать следующие заключения:

 • реальные задачи содержат не одну, а несколько статистических 
величин с соизмеримыми дисперсиями, которые необходимо учитывать в процессе обработки исходной информации. При этом каждый 
исследователь должен показать, как будут отличаться результаты 
при повторном проведении того же исследования с использованием 
аналогичных исходных данных, для чего во всех задачах необходимо найти интервальные оценки решения. Тогда можно будет оценить 
качество получаемого решения и сделать выводы о том, обеспечивает 
ли исходная информация получение надежного решения, удовлетворяет ли поставленным условиям математический алгоритм решения 
или требуется повысить точность исходных данных либо искать другие способы решения задачи;

 • наличие погрешности в исходных данных приводит к тому, 
что встречающиеся в практике задачи, решаемые с помощью интегральных уравнений и систем плохо обусловленных алгебраических 
уравнений, некорректны, т. е. бесконечно малым приращениям 
в исходных данных могут отвечать сколь угодно большие изменения 
в решении. 
Цель данной книги – ознакомить инженеров и исследователей, работающих в различных отраслях, с имеющимися в настоящее время 
способами учета погрешностей в исходных данных как в коррект

Введение
10

ных, так и в некорректных (условно корректных) задачах, а также 
показать способы получения устойчивого решения некорректных задач и интервальных оценок решения. 
В главе 1 на простейших примерах введено понятие конфлюэнтного анализа. На простом примере – определение параметров прямой 
линии – рассмотрен метод наименьших квадратов, в котором учитываются погрешности всех исходных данных (в элементах матрицы 
и в правой части). Рассмотрены регрессионный парадокс и ортогональная регрессия для метода наименьших квадратов. 
Глава 2 посвящена методу регрессионного анализа, являющегося предтечей конфлюэнтного анализа. Здесь предполагается, 
что погрешность имеет место только в правых частях уравнений. 
Исследованы методы определения точечных и интервальных оценок 
искомых параметров. Рассмотрены физические причины некорректности задач, обусловленность линейных систем, метод наименьших 
квадратов, оценка параметров моделей с помощью функции правдоподобия, теорема Крамера – Рао, байесовский подход к оцениванию 
параметров моделей. 
В главе 3 приведена общая постановка задачи учета погрешностей 
и в значениях функции, и в значениях аргументов. В разных работах 
эта задача имеет различные названия. В данной монографии применен термин «конфлюэнтный анализ», под которым понимается набор алгоритмов, позволяющих с позиций математической статистики находить оценки свободных параметров функции заданного вида 
(в том числе интегральных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений) с учетом погрешностей значений как функции, 
так и аргументов. 
Дано описание пассивной схемы эксперимента в конфлюэнтном 
анализе, приведена общая постановка задачи оценки параметров 
функции известного вида. Здесь же рассмотрены вопросы о единственности и несмещенности получаемых оценок и методом статистических испытаний исследованы свойства получаемых оценок. 
Изложен метод получения оценок в активной схеме эксперимента: показано, что в этом случае задача сводится к регрессионной. 
В главе 4 методы конфлюэнтного анализа конкретизированы для 
прямой линии, линейных функций и систем линейных алгебраиче

Введение
11

ских уравнений, полинома, сигнома, кубических сплайнов, экспоненты и функции Гаусса. 
В главе 5 методы конфлюэнтного анализа применены для определения координат источника радиоизлучения (ИРИ) по пеленгам, 
полученным несколькими пеленгаторами. Рассмотрены алгоритмы 
определения координат ИРИ на плоскости и в пространстве. 
В главе 6 решена задача идентификации источников радиоактивных благородных газов криптона и ксенона, проанализированы 
трудности идентификации источников изотопов криптона и ксенона, приведен алгоритм идентификации конкретного источника изотопов криптона и ксенона. 
В главе 7 показаны особенности планирования экспериментов 
в конфлюэнтном анализе, приведен пример получения D-оп ти мального плана. Подробно рассмотрена связь между получением оценок 
параметров в конфлюэнтном анализе и некорректными задачами. 
Показан способ получения не только точечных, но и интервальных 
оценок при решении некорректных задач конфлюэнтного анализа. 
В приложениях дано описание программных продуктов для получения оценок функции заданного вида в регрессионном и конфлюэнтном анализе. 

Автор выражает глубокую благодарность Стакун Виталии Анатоль евне за неоценимую помощь, оказанную при работе над книгой.