К теории двумерных и трехмерных систем автоматического регулирования

К теории двумерных и трехмерных систем автоматического 
регулирования

Посвящается моей жене – Тамаре Барской, 
которая заставила меня написать эту 
книгу (и не очень мешала делать это).

А.Г. Барский

К ТЕОРИИ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ 
СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО 
РЕГУЛИРОВАНИЯ

Москва • 2020 • Логос

УДК 535
ББК 32.965.8
 
Б26

Рецензенты
В.Л. Левшин, доктор технических наук, профессор
Ю.М. Климков, доктор технических наук, профессор, 
заслуженный работник высшей школы

Б26 

Барский А.Г.

   К   т еории двумерных и трехмерных систем автоматического регулирования / А.Г. Барский. – М.: Логос, 2020. – 192 с.

ISBN 978-5-98704-807-8

Изложены теория, методы расчета и проектирования линейных 
и нелинейных оптико-электронных систем углового пространственного сопровождения движущихся объектов (двумерных систем) и систем 
пространственной стабилизации движущихся объектов (трехмерных 
систем), широко используемых при решении различных задач в области управления, прежде всего в военной технике. Приведены методы 
анализа и синтеза, учитывающие специфику таких систем с модуляцией. Особое внимание уделено получению инженерных зависимостей, 
позволяющих обеспечить оптимальность характеристик систем. 
Для специалистов, занимающихся разработкой систем пространственного слежения (следящих теплопеленгаторов и др.) и систем пространственной стабилизации (инерциальных систем управления летательными аппаратами и др.). Может использоваться в учебном процессе соответствующих высших учебных заведений, подготавливающих 
студентов по направлению «Оптотехника» и специальности «Оптикоэлектронные приборы и системы».

УДК 535
ББК 32.965.8

ISBN 978-5-98704-807-8 
© Барский А.Г., 2020
© Логос, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ......................................................................................................................................7

Глава 1. Линейные двумерные системы автоматического 
регулирования.................................................................................................................16

1.1. Двумерные системы с идентичными каналами 
и антисимметричными перекрестными связями ......................................16

1.2. Оптико-электронные двумерные системы пространственного 
углового сопровождения движущихся объектов 
(оптико-электронные следящие системы) ...................................................24

1.3. Синтез структур двумерных систем высокой точности ..........................46

1.4. Двумерные системы общего вида .....................................................................52

Глава 2. Нелинейные двумерные системы автоматического 
регулирования.................................................................................................................65

2.1. Следящие системы с двумерными нелинейностями общего 
вида и линейной двухканальной частью с идентичными 
каналами и антисимметричными перекрестными связями .................65

2.2. Оптико-электронные следящие системы с нелинейным 
двумерным модулятором и линейной двухканальной частью 
с идентичными каналами и антисимметричными 
перекрестными связями .......................................................................................70

2.3. Оптико-электронные следящие системы с нелинейным 
элементом в одноканальной части контура и линейной 
двухканальной частью общего вида ................................................................76

2.4. Следящие системы с нелинейностями в каналах 
двухканальной части ..............................................................................................86

2.5. Синтез корректирующих устройств в нелинейных 
двухканальных системах по заданным требованиям 
к параметрам периодического режима ..........................................................92

Оглавление
6

Глава 3. Линейные трехмерные системы автоматического 
регулирования.................................................................................................................99

3.1. Основные понятия и структурные схемы трехмерных систем 
с модуляцией .............................................................................................................99

3.2. Устойчивость трехмерных систем с идентичными каналами ............ 106

3.3. Установившаяся точность трехмерных систем ........................................114

3.4. Трехмерные системы общего вида.................................................................124

3.5. Трехмерные системы с периодическими параметрами ........................ 139

Глава 4. Нелинейные трехмерные системы автоматического 
регулирования..............................................................................................................148

4.1. Основные понятия и структурные схемы нелинейных 
трехмерных систем ..............................................................................................148

4.2. Периодические режимы трехмерных систем с нелинейностями 
в каналах инфранизкочастотной части.......................................................151

4.3. Динамика трехмерных систем при наличии управляющих 
воздействий и несимметричных нелинейностей ...................................162

4.4. Периодические режимы трехмерных систем с нелинейностями 
в трактах переменного тока .............................................................................174

4.5. Случайные процессы в нелинейных трехмерных системах ............... 181

Список литературы............................................................................................................187

ВВЕДЕНИЕ

Среди автоматических систем можно выделить большой класс 
двумерных и трехмерных систем, широко используемых при решении различных задач в области управления и, прежде всего, в военной технике.
К двумерным системам относятся оптико-электронные приборы 
и системы пространственного слежения за движущимися объектами 
(следящие теплопеленгаторы, тепловые головки самонаведения 
и др.), к трехмерным системам – системы пространственной (полной) стабилизации с измерителями пространственного движения 
объекта (инерциальные системы управления летательными аппаратами и др.).
Этот класс систем в силу пространственного характера слежения 
и стабилизации в сочетании с модуляцией принимаемого сигнала 
обладает определенной спецификой, выделяющей их среди обычных 
(одномерных) систем автоматического регулирования. Специфика 
заключается в том, что эти системы структурно представляются 
в виде сочетания одного, двух или трех одноканальных участков 
переменного тока с двух- или трехканальной инфранизкочастотной 
частью и перекрестными связями между каналами. Указанная специфика приводит к возникновению ряда новых, в сравнении с одномерными системами, явлений и эффектов.
Сложность таких взаимосвязанных систем, многие из которых 
являются нелинейными, не позволяет применять обычные методы, 
принятые при исследовании одномерных систем, и обуславливает 
необходимость разработки специальной теории этого класса двух- 
и трехмерных систем.
Цель данной книги состоит в изложении теории, методов расчета 
и проектирования указанного класса систем при учете специфики 
пространственного слежения и стабилизации.
В данной книге метод комплексных координат и комплексных 
передаточных функций распространяется на двух- и трехмерные 
системы автоматического регулирования (ДСАР и ТСАР), в том 
числе и на системы с модуляцией.
В целом этот обобщенный метод позволяет максимально приблизить теорию и методы расчета двумерных систем к теории и методам 
расчета одномерных систем, а в части трехмерных систем – к мето

Введение
8

дам расчета одно- и двумерных систем и, следовательно, использовать уже имеющиеся результаты в области теории этих систем.
Матричные методы исследования многомерных систем из-за 
сравнительно слабого развития качественных методов оценки решений матричных уравнений значительно уступают методам исследования одно- и двумерных систем. Последнее обуславливает преимущество предлагаемой методики исследования ДСАР и ТСАР.
В сравнении с методами аналитического конструирования [17] 
для решения задач рассматриваемого класса, особенно с учетом 
эффекта модуляции, который с трудом приводится к пространству 
состояний, более эффективным является предлагаемый структурнооператорный подход. Этот подход позволяет получить обозримые 
соотношения между параметрами системы, выявить важнейшие 
качественные закономерности процессов и формировать систему на 
этапах проектирования.
Данное издание состоит из четырех глав. Главы 1 и 2 посвящены 
соответственно линейным и нелинейным двумерным системам автоматического регулирования.
В гл. 1 метод комплексных координат и комплексных передаточных функций, начало разработки которого было положено работами 
А.А. Красовского [15, 16], распространяется на оптико-электронные 
системы пространственного углового сопровождения движущихся объектов (оптико-электронные следящие системы – ОЭСС). Излагается 
методика последовательного преобразования ОЭСС с модуляцией 
в одноканальную систему относительно комплексных координат. Это 
вдвое сокращает порядок характеристического уравнения замкнутой 
системы и дает возможность получить единое математическое описание замкнутого контура, выявить причины появления перекрестных 
связей между каналами системы и оценить их влияние.
Изложенная методика максимально приближает теорию и методы 
расчета двумерных систем к теории и методам расчета одномерных 
систем (см. разд. 1.1, 1.2). В разд. 1.2 описывается методика исследования устойчивости двумерных ОЭСС с модуляцией, основанная 
на распространении разработанного для одномерных систем метода 
D-разбиения [6, 29] на двумерные системы. Последнее позволяет 
оценить влияние перекрестных связей на устойчивость и определить 
требования к фазированию системы.
В отличие от одномерных систем высокой точности [19], двумерные структуры, позволяющие создавать перекрестные связи, расширяют возможности коррекции системы. С использованием этого 
качества в разд. 1.3 рассматривается метод синтеза структур двумерных систем высокой точности.

Введение
9

В ряде случаев на практике возникает необходимость использования двумерных систем общего вида, т.е. систем, состоящих из двух 
неидентичных каналов и имеющих несимметричные перекрестные 
связи. В разд. 1.4 описывается метод исследования ДСАР общего 
вида, основанный на использовании комплексных координат, введении оператора сопряжения C и придаточных C-функций. При 
этом уравнение замкнутой ДСАР приводится к виду линейного дифференциального уравнения с комплексными постоянными коэффициентами, что существенно упрощает дальнейшее исследование. 
Из уравнения замкнутой системы нетрудно получить приведенную 
комплексную передаточную функцию разомкнутой ДСАР и затем 
применить критерий Найквиста для анализа устойчивости системы.
Глава 2 посвящена нелинейным двумерным системам автоматического регулирования. В отличие от линейных систем в этих системах 
режим автоколебаний может быть рабочим. Задачей рассматриваемых ОЭСС является угловое сопровождение движущихся объектов 
и измерение угловой скорости линии визирования этих объектов. 
Очевидно, что в этом случае весьма актуальным является вопрос 
о существовании периодического режима, его виде и параметрах. 
Действительно, режим автоколебаний, особенно при малом угловом 
поле системы, может привести к срыву слежения. В то же время при 
измерении угловой скорости линии визирования в управляющем 
сигнале появляется ложная колебательная составляющая, приводящая к отступлению от принятого метода наведения и, как следствие, 
к пролету управляемого объекта относительно цели.
Известный 
метод 
исследования 
одномерных 
нелинейных 
систем – метод гармонического баланса [23,24] – не может быть 
непосредственно применен к системам рассматриваемого типа. 
Отсюда возникает необходимость разработки метода, позволяющего 
исследовать и рассчитывать подобные системы. Именно решению 
этой задачи и посвященна данная глава.
Рассматриваемый в разд. 2.1 метод гармонического баланса распространяется на двумерные следящие системы с нелинейностью 
общего вида. При этом методе, в отличие от одномерных систем, 
параметры периодического режима определяются не одним, а двумя 
комплексными уравнениями гармонического баланса. Метод позволяет определить условия возникновения различных видов автоколебаний – эллиптических, плоских или круговых, и определить их 
параметры.
В разд. 2.2 рассмотрен широко распространенный в практике случай следящей системы с однозначной центрально-симметричной 
нелинейностью оптического модулятора и линейной двухканаль

Введение
10

ной частью с идентичными каналами и антисимметричными перекрестными связями. С использованием обобщенного метода гармонического баланса показано, что в такой системе практически 
возможным видом периодического режима являются только круговые автоколебания, параметры которых определяются так же, как 
в случае одномерных систем. Полученный при этом результат имеет 
существенное значение в теории нелинейных дифференциальных 
уравнений: приближенный метод гармонического баланса в применении к определению круговых автоколебаний в ДСАР с однозначной центрально-симметричной нелинейностью модулятора становится точным методом.
Следует особо подчеркнуть, что в отличие от известных точных 
методов решения некоторых видов нелинейных дифференциальных уравнений (уравнений Клеро, Риккати, Бернулли [13, 22, 31]), 
являющихся уравнениями первого или второго порядка, порядок 
дифференциальных уравнений, описывающих линейную часть рассматриваемой системы, может быть любым.
Метод гармонического баланса, изложенный в разд. 2.3, распространяется на системы с нелинейным элементом в одноканальной части контура и линейной двухканальной частью общего вида, 
т.е. состоящей из двух неидентичных каналов с несимметричными 
перекрестными связями. Полученная с использованием передаточных С-функций система двух уравнений гармонического баланса 
позволяет определить существование и вид периодического режима 
(эллиптический, плоский или круговой), а также вычислить параметры автоколебаний.
Система с нелинейностями в каналах двухканальной части рассматривается в разд. 2.4. Здесь для распространенного в практике 
случая нечетно-симметричных нелинейностей и идентичных каналов линейной части получен вывод о применимости метода гармонического баланса для расчета круговых автоколебаний.
Рассматриваемый в разд. 2.5 графический метод синтеза корректирующих устройств обеспечивает заданные параметры автоколебаний в распространенных в практике систем с однозначной 
центрально-симметричной нелинейностью в одноканальной части 
контура и линейной двухканальной частью с идентичными параметрами.
Глава 3 посвящена линейным трехмерным системам автоматического регулирования. В качестве примера трехмерной системы 
рассматривается инерциальная система управления летательного 
аппарата, в которой в качестве измерителей пространственного 
движения объекта используются вибрационные гироскопы.

Введение
11

Развитие авиационной и ракетной техники потребовало для решения ряда задач, связанных с управлением и стабилизацией объектов, 
создания прецизионных гироскопов с малыми габаритами, массой 
и энергопотреблением, имеющих при этом высокую надежность 
и сравнительно малую стоимость. Этим требованиям в значительной мере отвечают вибрационные гироскопы [7, 8].
Среди большого числа разновидностей вибрационных гироскопов 
наибольшие успехи достигнуты в области создания одноканальных 
двумерных измерителей угловой скорости. Одноканальный измеритель представляет собой роторный вибрационный гироскоп, имеющий плоскость чувствительности и измеряющий вектор угловой 
скорости, перпендикулярный оси вращения ротора. Колебания чувствительного элемента измерителя преобразуются в сигнал переменного тока, частота которого соответствует частоте вращения ротора, 
а амплитуда и фаза несут информацию о векторе угловой скорости.
Важным фактором является то, что для создания прецизионных 
одноканальных измерителей использовался принцип резонансной 
настройки. На основе этого принципа были получены высокочувствительные приборы, способные измерять малые величины угловых скоростей [8, 30].
Основой кинематической схемы инерциальной системы управления летательными аппаратами является трехосная гиростабилизированная платформа, решающая задачу полной или пространственной 
стабилизации. Одна из возможных схем трехосной гиростабилизированной платформы приведена на рис. В1 [20].
Стабилизируемая платформа устанавливается в карданном подвесе, который состоит из внутренней и наружной рам и обеспечивает платформе три степени свободы относительно основания. На 
платформе размещены три двухстепенных гироскопа Г1, Г2, Г3, каждый из которых снабжен датчиком угла прецессии ДУi и датчиком 
моментов ДМi (i = 1, 2, 3). По осям карданного подвеса (осям стабилизации) расположены стабилизирующие двигатели СД1, СД2, СД3, 
управляемые с помощью сигналов, поступающих с усилителей У1, 
У2, У3. Таким образом, система стабилизации состоит из трех каналов, каждый из которых обеспечивает стабилизацию платформы 
относительно одной из осей. Так, гироскоп Г1 совместно со стабилизирующим двигателем СД1 стабилизирует платформу относительно 
оси наружной рамы; стабилизация платформы относительно оси 
внутренней рамы осуществляется с помощью гироскопа Г2 и стабилизирующего двигателя СД2.
При использовании одноканальных двумерных измерителей для 
коррекции уходов платформы в системе коррекции предусмотрено 
три канала, которые включают одноканальные измерители ОИ,