Введение в математическое моделирование

            ВВЕДЕНИЕ
            В МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ


Учебное пособие



            Допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Математика. Прикладная математика»










Москва Логос

2020

УДК 510.6:683.3:531
ББК 22в. 6
В24

Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор А.Р. Абдуллаев Член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор В.П.Матвиенко
Авторы:
В.Н. Ашихмин, М.Б. Гитман, И.Э. Келлер, О.Б. Наймарк, В.Ю. Столбов, П.В. Трусов, П.Г. Фрик
В24 Введение в математическое моделирование: учеб. пособие / Под ред. П.В. Трусова. - М.: Логос, 2020. - 440 с.
      ISBN 978-5-98704-637-1

         Рассмотрены основные понятия, определения, положения и подходы математического моделирования, представлена классификация математических моделей. Описаны основные этапы, технология построения математических моделей, приведены простые примеры ее применения. Анализируются особенности математического моделирования в условиях различных типов неопределенности, разработки моделей с применением структурного и имитационного подходов. Особое внимание уделено анализу линейных и нелинейных моделей, выявлению их качественных различий. Приведены сведения о современных разделах математики (вейвлеты, фракталы, клеточные автоматы), эффективно используемых при решении различных проблем нелинейной физики. Каждый из разделов снабжен перечнем заданий для самостоятельной работы.
         Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки «Естественные науки и математика» и специальности «Прикладная математика». Представляет интерес для специалистов в области математического моделирования физико-математических процессов и явлений.
ББК 22в. 6

      ISBN 978-5-98704-637-1             ©Авторы, указанные на
                                        обороте титульного листа, ,2020
                                         © Логос, 2020

            ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие..................................................6

Глава 1. Определение и назначение моделирования.............11
   1.1. Что такое модель?...................................13
      1.1.1. Место моделирования среди методов познания.....13
      1.1.2. Определение модели.............................16
      1.1.3. Свойствамоделей................................19
      1.1.4. Цели моделирования.............................21
   1.2. Классификация моделей...............................23
      1.2.1. Материальное моделирование.....................24
      1.2.2. Идеальное моделирование........................26
      1.2.3. Когнитивные, концептуальные и формальные модели...................................29
   1.3. Классификация математических моделей................36
      1.3.1. Классификационные признаки.....................36
      1.3.2. Классификация математических моделей в зависимости от сложности объекта моделирования......37
      1.3.3. Классификация математических моделей в зависимости от оператора модели.....................39
      1.3.4. Классификация математических моделей в зависимости от параметров модели (рис. 1.9) ........42
      1.3.5. Классификация математических моделей в зависимости от целей моделирования (рис. 1.11)......48
      1.3.6. Классификация в зависимости от методов реализации (рис. 1.12).....................50
Вопросы для самопроверки....................................54
Задания для самостоятельного выполнения.....................55

Глава 2. Этапы построения математической модели.............56
   2.1. Обследование объекта моделирования..................58
   2.2. Концептуальная постановка задачи моделирования......62
   2.3. Математическая постановка задачи моделирования......66
   2.4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи....72
   2.5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ........................................78
   2.6. Проверка адекватности модели........................82
   2.7. Практическое использование построенной модели и анализ результатов моделирования.......................86
Вопросы для самопроверки....................................90
Задания для самостоятельного выполнения.....................90

3

Глава 3. Примеры математических моделей....................92
   3.1. Статический анализ конструкций.....................94
   3.2. Модельспроса-предложения..........................100
   3.3. Динамикапопуляций................................ 106
   3.4. Модель конкуренции двух популяций................ 116
   3.5. Гармонический осцилятор...........................128
Заданиядля самостоятельного выполнения....................138

Глава 4. Структурные модели...............................142
   4.1. Что такое структурная модель?.....................143
   4.2. Способы построения структурных моделей............152
   4.3. Примеры структурных моделей...................... 162
Вопросыдлясамопроверки....................................180
Заданиядля самостоятельного выполнения....................180

Глава 5. Моделирование в условиях неопределенности........181
   5.1. Причины появления неопределенностей и их виды.....183
   5.2. Моделирование в условиях неопределенности, описываемой с позиций теории нечетких множеств.........188
   5.3. Моделирование в условиях стохастической неопределенности.......................................205
   5.4. Моделирование марковских случайных процессов......228
Вопросы для самопроверки..................................241
Задания для самостоятельного выполнения...................243

Глава 6. Линейные и нелинейные модели.....................245
   6.1. О законе Гука и границах линейности...............246
   6.2. Сплошные среды и уравнения математической физики. Линейные уравнения и принцип суперпозиции..............249
   6.3. О построении сплошносредных моделей. Вывод волнового уравнения..............................253
   6.4. Решение волнового уравнения методом Фурье.........257
   6.5. О характеристиках уравнений математической физики. Решение волнового уравнения методом Даламбера..........262
   6.6. Уравнения Максвелла...............................266
   6.7. О классификации квазилинейных систем..............269
   6.8. Связь непрерывного и дискретного на примерах уравнения колебаний струны и уравнения Шредингера......272
   6.9. О пользе феноменологии при построении математических моделей.................................277
   6.10. Анализ подобия и размерности.....................282
   6.11. Автомодельность..................................287
   6.12. Самоорганизация и структуры в нелинейных средах..291
   6.13. О нелинейных волнах в сплошных средах............296


4

   6.14. Иерархические модели турбулентности и многомасштабные функциональные базисы...............304
   6.15. Вейвлеты........................................314
   6.16. Вейвлет-анализ временных колебаний..............324
   6.17. О фракталах и их применении.....................332
   6.18. Нелинейные модели ДНК...........................360
Задания для самостоятельного выполнения..................368

Глава 7. Моделирование с использованием имитационного подхода....................................369
   7.1. Особенности моделей, использующих имитационный подход................................................370
   7.2. Имитатор системы массового обслуживания..........377
   7.3. Клеточные автоматы...............................382
   7.4. Моделирование дислокаций в металле...............399
Вопросы для самопроверки.................................414
Задания для самостоятельного выполнения..................414

Приложения...................................................
   Приложение 1. Язык формального описания алгоритмов.....417
   Приложение 2. Численные методы (минимальные сведения)..421

Библиографический список.................................431
Предметный указатель.....................................435


5

Памяти наших Учителей посвящается.
Авторы




    ПРЕДИСЛОВИЕ

                       ...Становитсяясно, что в следующем веке понадобятся не только эксперты по некоторым аспектам отдельных стадий избранных процессов. Понадобятся специалисты по решению проблем... По-видимому, междисциплинарность будет в цене. А в институтах будут стараться учить не «предметам», а стилям мышления.
Г.Г.Малинецкий

    Понятие «математическое моделирование» в последние два-три десятилетия является едва ли не самым распространенным в научной литературе, по крайней мере в естественно-научной и технической. Сегодня трудно представить себе проектную или конструкторскую организацию, не использующую в своей практике в той или иной мере математические модели. Все более распространенным и эффективным становится применение математического моделирования в научных исследованиях. Интенсивно разрабатываются математические модели в экономике, управлении, истории, биологии и многихдругих областях знаний. Подавляющее большинство известных авторам диссертационных работ по специальностям естественно-научных и инженерно-технических направлений связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. В последние 10—15 лет эта тенденция получает все более широкое распространение при подготовке дипломных работ выпускников вузов. Широкое распространение приобретает математическое моделирование в учебно-исследовательской работе учащихся физико-математических школ и лицеев. Можно констатировать, что математическое моделирование в последние десятилетия оформилось в отдельную междисциплинарную область знаний с присущими ей объектами, подходами и методами исследования.
    В связи с этим все более актуальной становится задача целенаправленной подготовки специалистов-«матмодельеров» в вузах различного профиля, в рамках различных направлений и специальностей. Кроме того, по мнению авторов, эту подготовку, формирование соответствующего «стиля мышления» можно (а возможно, и необходимо) начинать со старших классов общеобразовательной

6

школы. Определенный положительный опыт подобной работы с учащимися специализированных физико-математических школ и классов позволяет по крайней мере не отвергать данную гипотезу.
    Реализация образовательного процесса по подготовке специа-листов-«матмодельеров», естественно, требует наличия соответствующего методического обеспечения. За последние годы издано немало прекрасных монографий, статей, научно-популярных брошюр, пособий, часть из которых цитируется в тексте. К их числу в первую очередь следует отнести работы отечественных ученых: А.А.Са-марского, Н.Н.Моисеева, С.П.Курдюмова, Г.Г.Малинецкого и многих других, трудами которых математическое моделирование и превратилось в самостоятельную область знаний. В этих работах, большей частью написанных математиками, достаточно подробно и прозрачно освещены такие вопросы, как предмет, подходы, методы математического моделирования, приведено огромное количество ярких примеров математических моделей. Как правило, в работах этого направления основное внимание уделяется методам исследования собственно математических моделей, качественному анализу решений, новым эффектам в исследуемых процессах и явлениях.
    Следует отметить, что в настоящее время в значительной части учебников и учебных пособий по различным дисциплинам включаются некоторые понятия, методы и примеры применения математического моделирования. Здесь обычно используется некоторый набор базовых моделей данной дисциплины или смежных с ней: из этих «кубиков» в дальнейшем строится модель анализируемого процесса. При этом, как правило, базовые модели принимаются в качестве данности, не обсуждается правомерность их использования, область применимости, степень адекватности описания. «За кадром» в большинстве случаев остается и собственно процесс создания математической модели, процесс перехода от «языка природы» к «языку математики».
    Понятно, что указанные обстоятельства обусловлены сложившимися в различных областях традициями, спецификой дисциплин, личными склонностями авторов. В то же время нам представляется полезным появление пособия, в котором более детально раскрывалась бы «кухня» разработчиков математических моделей. Несмотря на то, что создание любой новой модели — процесс творческий, близкий к искусству, существуют достаточно общие подходы, методы, «инструменты», пригодные для различных предметных областей. Именно этому кругу вопросов — технологии создания математических моделей — будет уделено наибольшее внимание.

7

    Предлагаемое пособие основано на материале специальных семинаров и курсов лекций по математическому моделированию, которые авторы читают студентам специальности «Прикладная математика и информатика» (специализация «Математическое моделирование»), курсов лекций по дисциплине «Концепции современного естествознания», читаемыхдля ряда инженерно-технических и гуманитарных специальностей Пермского государственного технического университета, а также на собственном опыте авторов в области разработки математических моделей (главным образом физико-механических процессов, что сказалось и на содержании работы). Естественно, широко использовались монографии, статьи, пособия, посвященные данной тематике.
    Пособие ориентировано в первую очередь на студентов младших курсов математических и естественно-научных специальностей (главным образом — математиков-прикладников, физиков, механиков), на студентов технических специальностей (инженеров-механиков), а также на учителей и учащихся старших классов физико-математических школ. Книга может представлять интерес для аспирантов и научных сотрудников, специализирующихся в области математического моделирования физико-механических процессов и явлений. Для работы с большинством разделов пособия достаточно знания вузовского курса математики (математический анализ, линейная алгебра и аналитическая геометрия, элементы теории вероятности, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики), изучаемого обычно на младших курсах. При этом мы стремились сделать пособие «замкнутым», т.е. содержащим по возможности все необходимые понятия, определения и другие сведения.
    Глава 1 является вводной, содержащей описание предмета, основные понятия и определения, связанные с моделированием в целом и в частности с математическим моделированием, классификацию моделей. Для самой юной части читателей этот материал может показаться излишним; тем не менее, для дальнейшего чтения необходимо познакомиться хотя бы с основными понятиями и определениями. Глава 2 посвящена технологии построения математических моделей и представляется нам ключевой для специалистов, занимающихся построением конкретных моделей. В главе 3 мы попытались на простейших примерах, доступных всем отмеченным выше категориям читателей, показать эту технологию в действии (аналогичную цель в той или иной степени преследуют и примеры всех остальных глав). Главы 4и5 содержат необходимые сведения из отдельных разделов математики, широко используемых

8

при построении различных математических моделей (системного анализа, теории вероятностей, теории нечетких множеств), а также качественные примеры построения моделей с применением этих знаний. В главе 6, требующей для прочтения достаточной математической подготовки, авторы попытались отразить современные тенденции моделирования, связанные в первую очередь с созданием нелинейных моделей и анализом возникающих при этом качественно новых эффектов. Здесь же отражены некоторые сведения о современных методах (вейвлетах, фракталах), используемых при разработке математических моделей физико-механических процессов. Глава 7 посвящена одному из широко используемых в настоящее время при построении различных моделей «инструментов» — имитационному подходу.
    Каждая глава снабжена набором вопросов для самопроверки и/или заданий для самостоятельной работы, выполнение которых мы считаем обязательным элементом работы с предлагаемым пособием. Возможно, некоторые задания покажутся читателю тривиальными; в случае правильности этого предположения выполнение задания не займет много времени. В то же время нельзя исключать возможности, что посылка была не верна. Кроме того, большинство заданий можно сделать сложными настолько, насколько это приемлемо для конкретного читателя. В любом случае, выполнение заданий не приведет к отрицательному результату в усвоении содержания.
    Главы 1и2 предназначены в основном для преподавателей, читающих курсы «Введение в математическое моделирование» и «Концепции современного естествознания», и студентов специальности «Прикладная математика и информатика». Остальные главы, по мнению авторов, полезны для всех категорий читателей, указанных выше. Студенты и учащиеся старших классов найдут в них сведения о современных методах и подходах, широко применяемых при исследовании нелинейных проблем, примеры построения математических моделей и задания для самостоятельной разработки моделей широкого спектра явлений и процессов, различного уровня сложности и глубины. Учителя старших классов физико-математических школ могут использовать материал глав 3—7 при подготовке заданий по естественно-научным (физика, биология) и математическим дисциплинам, а также для внеклассной (кружковой) работы. Преподаватели вузов могут воспользоваться материалом указанных глав при подготовке заданий по курсовым работам по указанным выше дисциплинам, а также в рамках курсов «Уравне

9

ния математической физики», «Дифференциальные уравнения в частных производных», «Численные методы» и др.
    Следует особо подчеркнуть, что приведенные примеры и задания соотносятся с математическими моделями сложных реальных процессов примерно также, какхолмы с Эверестом. Но пособие и не рассчитано на «покорителей вершин». Нам представляется целесообразным начинать работу в математическом моделировании именно с простейших моделей, не отягченных математическими сложностями. Будущий специалист, избравший этот не самый легкий путь, должен обладать широкими и глубокими знаниями не только во многих разделах «чистой» и «прикладной» математики и информатики, но и аналогичными познаниями в относящихся к объекту моделирования естественно-научных (физике, механике, химии и др.) и/или гуманитарныхдисциплинах. Только доскональное знание объекта моделирования, соответствующей предметной области, а также возможность говорить на одном языке со специ-алистами-«заказчиками» модели позволяет надеяться на успешную реализацию того или иного проекта по созданию математической модели процесса или явления. По крайней мере, такими качествами должен обладать «постановщик» задачи построения той или иной модели.
    Надо сказать, что модели сложных процессов и явлений, как правило, разрабатываются коллективами научных сотрудников различных специальностей, «постановщик» обычно является руководителем коллектива. Именно в подобных специалистах ощущается острый (и резко возрастающий) дефицит, а следовательно, подготовке специалистов данного профиля необходимо уделять повышенное внимание. Возможно, хотя бы в малой степени, предлагаемое пособие будет способствовать решению этой задачи.
    Авторы выражают искреннюю признательность своим студентам и аспирантам, вопросы и замечания которых в немалой степени способствовали становлению курса, а в итоге — появлению предлагаемого пособия. Не меньшую признательность и благодарность мы выражаем рецензентам — доктору физико-математических наук, профессору А.Р.Абдуллаеву и академику РАН, доктору технических наук, профессору В.П.Матвеенко, обсуждение с которыми замечаний и предложений по содержанию пособия позволило, как нам представляется, сделать последнее более подходящим «для употребления». Авторы благодарят доцентов кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» Н.Д.Няшину и И.Ю.Зубко, написавших соответственно параграфы 6.17 и 7.4.

10

                --------------------- Глава 1




            ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ


   С процессом моделирования и различными моделями человек начинает сталкиваться с самого раннего детства. Так, еще не научившись уверенно ходить, малыш начинает играть с кубиками, сооружая из них (на первых порах с помощью старших) различные конструкции (точнее, модели последних). Его окружают разнообразные игрушки: плюшевые, резиновые, металлические, различающиеся размерами, формой, цветом, предназначением и т.д. При этом большинство игрушек в большей или меньшей степени воспроизводят (моделируют) отдельные свойства и форму реально существующих предметов и объектов. В этом смысле такие игрушки также можно рассматривать в качестве моделей соответствующих объектов.
   В школе практически все обучение построено на использовании моделей в той или иной форме. Действительно, для знакомства с основными конструкциями и правилами родного языка используются различные структурные схемы и таблицы, которые можно считать моделями, отражающими свойства языка. Процесс написания сочинения следует рассматривать как моделирование некоторого события или явления средствами родного языка. На уроках биологии, физики, химии и анатомии к плакатам и схемам (т.е. моделям) добавляются макеты (тоже модели) изучаемых реальных объектов. На уроках рисования или черчения на листе бумаги либо ватмана создаются модели различных объектов, выраженные изобразительным языком либо более формализованным языком чертежа.
   Даже такую трудно формализуемую область знания, как история, также можно считать непрерывной эволюционирующей совокупностью моделей прошлого какого-либо народа, государства и т.д. Устанавливая закономерности в наступлении разных исторических

11

событий (революций, войн, ускорений либо застоев исторического развития), можно не только выяснить причины, приведшие кдан-ным событиям, но и прогнозировать и даже управлять их появлением и развитием в будущем.
    Так, моделями можно считать картину, написанную художником, художественное произведение и скульптуру. Даже жизненный опыт человека, его представления о мире является примером модели. Причем поведение человека определяется моделью сформировавшейся в его сознании. Психолог или учитель, изменяя параметры такой внутренней модели, способен в отдельных случаях существенно влиять на поведение человека.
    Без преувеличения можно утверждать, что в своей осознанной жизни человек имеет дело исключительно с моделями тех или иных реальных объектов, процессов, явлений. При этом один и тот же объект воспринимается различными людьми по-разному, иногда с точностью «до наоборот» (как говорится в известной пословице, «на вкус и цвет ...»). Это восприятие, мысленный образ объекта также является разновидностью модели последнего (так называемой когнитивной моделью) и существенным образом зависит от множества факторов: качества и объема знаний, особенностей мышления, эмоционального состояния конкретного человека «здесь и сейчас» и от множества других, зачастую не доступных рациональному осознанию. Особенно велика роль моделей и моделирования в современной науке и технике.
    Можно ли обойтись в технике без применения тех или иных видов моделей? Очевидный ответ — нет! Безусловно, что новый самолет можно построить «из головы» (без предварительных расчетов, чертежей, экспериментальных образцов, т.е. используя только единственную идеальную модель, существующую в мыслях конструктора), но едвали это будетдостаточно эффективная и надежная конструкция. Единственное ее достоинство — уникальность. Ведь даже автор не сможет повторно изготовить точно такой же самолет, так как в процессе изготовления первого экземпляра будет получен некоторый опыт, который обязательно изменит идеальную модель в голове самого конструктора.
    Чем более сложным и надежным должно быть техническое изделие, тем большее число видов моделей потребуется на этапе его проектирования.
    Как правило, сложные изделия создаются целыми коллективами разработчиков. Вся совокупность применяемых ими разнообразных моделей позволяет сформировать общую для всего коллектива




12

идеальную модель разрабатываемого изделия. Реальное техническое изделие можно рассматривать как материальную модель (аналог) созданной авторами идеальной модели.



    1.1. ЧТО ТАКОЕ МОДЕЛЬ?

                      Что значит знать? Вот, друг мой, в чем вопрос. На этот счет у нас не все в порядке.
Гёте


    Место моделирования среди методов познания

                        Метод есть душа знания, его жизнь, им порождаются отдельные научные системы, им же они и низвергаются как недостаточноразрешающие задачу научного построения.
С.И. Гессен

    Безусловно, моделирование является далеко не единственным методом изучения окружающего мира. Существует целая область знания, которая специально занимается изучением методов познания и которую принято именовать методологией. Методология дословно означает «учение о методах» (ибо происходит этот термин от двух греческих слов: metodos — метод, путь к чему-либо и logos — учение). Изучая закономерности человеческой познавательной деятельности, методология вырабатывает на этой основе методы ее осуществления. Важнейшей задачей методологии является изучение происхождения, сущности, эффективности и других характеристик методов познания.
    Понятие «метод» означает совокупность приемов и операций практического и теоретического освоения действительности. Метод вооружает человека системой принципов, требований, правил, руководствуясь которыми он может достичь намеченной цели. Владеть методом — это значит знать, каким образом, в какой последовательности нужно совершать те или иные действия для решения различных задач, и уметь реализовать эти знания на практике. Умению грамотно применять тот или иной метод на практике возможно научиться только при решении различных практических задач. Какотмечал С.И. Гессен, « Овладетьметодом наукиможно,


13