Математика на 100 баллов

МАТЕМАТИКА 
НА 100 БАЛЛОВ

Г.С. ЖУКОВА
М.Ф. РУШАЙЛО

Москва
ИНФРА-М

202УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 51
ББК 22.1
 
Ж86

Жукова Г.С.

Ж86  
Математика на 100 баллов : учебное пособие / Г.С. Жукова, М.Ф. Ру
шайло. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 480 с. — DOI 10.12737/1077344.

ISBN 978-5-16-016009-2 (print)
ISBN 978-5-16-108386-4 (online)
В учебном пособии предложено системное изложение всех основ
ных разделов школьной математики, которые обязательно востребованы 
на различного рода контрольных и самостоятельных работах, олимпиадах, экзаменах по математике (ОГЭ, ЕГЭ), а также на вступительных испытаниях в вузах, где они полностью не совмещены с ЕГЭ. При изучении 
каждой темы для ее овладения и приобретения практических навыков дан 
необходимый теоретический и справочный материал, а также подробно 
проанализировано и решено большое число примеров и задач. Для контроля качества полученных знаний предложены многочисленные задания 
(с ответами) для самостоятельного решения.

Может быть использовано школьниками при выполнении домашних 

заданий, подготовке к контрольным работам, олимпиадам и экзаменам 
по математике. Рекомендуется учителям для работы со школьниками 
на уроках, в кружках, на подготовительных курсах подготовки к ОГЭ, ЕГЭ 
и др. Будет полезно старшеклассникам и абитуриентам при самостоятельной подготовке к поступлению в вуз, ученикам школ-экстернатов, преподавателям и слушателям подготовительных отделений вузов.

УДК 51

ББК 22.1

Р е ц е н з е н т ы:

Панфилов В.И., доктор технических наук, профессор Российского 

химико-технологического университета имени Д.И. Менделеева, заслуженный деятель науки Российской Федерации;

Коган Е.А., кандидат физико-математических наук, доцент Москов
ского политехнического университета

ISBN 978-5-16-016009-2 (print)
ISBN 978-5-16-108386-4 (online)

© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 

2004, 2020

В В Е Д Е Н И Е

С 2001 года в России выпускники средних школ могут сдавать единый государственный экзамен (тестирование), в частности по математике. Результаты этого 
экзамена, во-первых, считаются оценкой 
школьной итоговой аттестации по математике. Во-вторых, именно с этой 
оценкой выпускник школы далее участвует в конкурсном отборе в выбранный им вуз.

Совмещение итоговой аттестации по математике в школе со вступительным испытанием в определенный вуз, с которым эта школа имела 
соответствующий договор, в последние годы было достаточно распространенным явлением. Поэтому предложенная министерством образования схема единого экзамена не явилась неожиданной.

Понятно волнение выпускников школ перед этим экзаменом. Конечно, 
проще сдать экзамен в стенах родной школы своему учителю, который 
прекрасно знает все твои сильные и слабые стороны, а также учитывает 
насколько тщательно отработана им на уроках та или иная тема.

Сдать единый экзамен независимой комиссии достаточно сложно. Он 
потребует глубокого и вдумчивого владения всем материалом школьной программы по математике. Учащийся должен показать уверенное 
владение математическими знаниями и навыками, умение точно и сжато 
выражать свою мысль, правильно использовать символику. Логичность, 
обоснованность действий, отсутствие ошибок в вычислительной части 
решения -  вот что в комплексе определяет экзаменационную оценку.

Эта книга написана для учащихся, желающих систематизировать свои 
знания по основным разделам алгебры и началам анализа.

Она поможет и тем, кто уже окончил школу, но продолжает изучать 
математику самостоятельно или на подготовительных курсах и отделени
Авторы надеются, что учителя средних школ, преподаватели колледжей и лицеев, преподаватели центров по довузовской подготовке, руко3

водители математических кружков и студенты педагогических вузов 
найдут в книге материал, который смогут использовать в своей работе.

Книга написана в соответствии с программой по математике для 
средних школ и программой по математике для поступающих в вузы. В 
ней используются терминология и обозначения, которые приняты сейчас 
в школе.

Пособие не содержит систематического изложения школьного курса 
математики и не может заменить школьные учебники. Тем не менее, по 
мнению авторов, все основные и важные вопросы школьной программы 
даны достаточно подробно. В некоторых случаях добавлен материал, 
который углубляет знания учащегося и учит его анализировать одну и ту 
же проблему различными способами.

При изложении каждой темы авторы рассматривают большое число 
разнообразных задач различной трудности. Их решение анализируется с 
учетом характерных ошибок абитуриентов.

Книга состоит из девяти глав, каждая из которых разделяется на параграфы, и двух приложений. Нумерация параграфов сквозная.

Глава I посвящена элементарным функциям и их свойствам. Здесь 
даны необходимая терминология и обозначения, используемые в дальнейшем изложении.

Глава II посвящена тождественным преобразованиям алгебраических 
выражений, алгебраическим и иррациональным уравнениям, уравнениям 
с модулем.

В главе III рассматриваются методы решений алгебраических и иррациональных неравенств, а также неравенств с модулем.

Глава IV посвящена прогрессиям и текстовым задачам. В частности, 
анализируются задачи, приводящие к смешанным системам уравнений и 
неравенств.

В главе V дано изложение раздела "Тригонометрия", где материал 
школьных учебников за 9-11 классы собран воедино.

В главе VI рассматриваются степени и логарифмы, показательная и 
логарифмическая функции, их свойства, методы решения показательных 
и логарифмических уравнений.

4

Глава VII посвящена показательным и логарифмическим неравенствам.

Глава VIII содержит элементы математического анализа, вошедшие 
в программу по математике для поступающих в вузы.

В главе IX обсуждаются несколько наиболее распространенных классов задач с параметрами. Задачи, содержащие параметры, традиционно 
являются самыми трудными для учащихся. Поэтому авторы попытались 
убедить читателя, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, но требуют от учащегося хорошего владения элементарной математикой.

В приложении 1 приведены варианты письменных работ по математике, предлагавшиеся в разные годы на олимпиаде, едином и вступительном экзаменах. Все варианты приведены с ответами. Мы советуем 
абитуриентам с помощью этих вариантов проверить свои знания по математике.

Приложение 2 нами воспринимается как шпаргалка. Здесь дан 
в краткой форме справочный материал по "школьному" курсу алгебры 
и началам анализа: основные формулы, алгоритмы решения наиболее 
часто встречающихся уравнений и неравенств.

Надеемся, что книга будет полезна читателю.

5

Г
л а в а  
I

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

Понятия числа и множества являются одними из основных в математике. Это -  простые, первичные понятия, которые не определяются через другие.

Множество -  это любая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Множества обозначают прописными буквами, например 
А, В ,... или 

X , Y , ..., а их элементы -  строчными, например а, Ь ,... или X, у ,... .

Символом \а ,Ь ,...,с \ обозначают множество, содержащее только элементы a,b,...,c. Символом 0  обозначают пустое множество. то есть 

не содержащее элементов.

Запись XC А означает, что элемент X принадлежит множеству А. 

Если же X не входит во множество А , пишут х £  А.

Для сокращения записи математических утверждений часто используют 
символы: " V" -  квантор общности; " 3" -  квантор существования.

Запись " V-XG А : ОС" означает, что для всех (для любого) X из множества А имеет место некое утверждение, обозначенное ОС.

Запись " Эх0 € А: ОС" означает, что существует (найдется) такой элемент Х0 из множества А , для которого справедливо утверждение, обозначенное ОС.

Введем необходимую для дальнейшего изложения терминологию.

О п р е д е л е н и е  1. Суммой или объединением множеств А и В 
называется множество, обозначаемое А + В  или A  U В, состоящее из элементов обоих множеств А и В .

Следовательно,- 
A \J В  = |х | XE А ИЛИ л:£ в \.

6

О п р е д е л е н и е  2. Произведением или пересечением множеств А 
и В  называется множество, обозначаемое А • В  или А П  В, состоящее 

из элементов, одновременно принадлежащих множествам 
А и В. 

Следовательно, А П В  = \х\х&  А И XG В\.

При решении уравнений или неравенств (условно обозначим их (А) и 

W )  , если возникает необходимость в объединении или пересечении множеств их решений, для обозначения этого факта обычно используют, соответственно, следующую символику:

ГМ
\(Л)

[(в) 
или 1(e)

О п р е д е л е н и е  3. Разностью множеств А п  В  называется множество, обозначаемое 
А \ В , состоящее из элементов множества 
А , 
которые не принадлежат множеству В.

Следовательно, А \ В  = {х| ХЕ А И Х& В \

О п р е д е л е н и е  4. Г оворят, что множество 
А вложено во множество В  или 
А является подмножеством 
множества В  
(пишут А а  В ), если любой элемент множества А является также элементом 
множества В .

О п р е д е л е н и е  5. Два множества 
А и В  называются равными 
(пишут А= В), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Нетрудно видеть, что два множества А и В  равны, если А С  В  и 
В  С  А , то есть

А =  В<=>

\ А с В

[ В с  А.

О п р е д е л е н и е  6. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Напомним обозначения некоторых бесконечных числовых множеств:

N  = {l, 2 , 3 , 4 , . . множество натуральных чисел,

Р  — {l,2 ,3 ,5 ,7 ,...} - множество простых чисел,

7

Z = { . . . 2, — 1 , 0 , 1 , 2 , . . множество целых чисел,

Q = ] — , где р  G Z , 
/V > — множество рациональных чисел,

к 
J

R — 
оо;+оо) — множество вещественных (действительных) чисел. 

Нетрудно видеть, что 
P d N d Z d Q c i R

Множество R  эквивалентно множеству точек числовой оси, в силу чего 
понятия “число х” и “точка х ” на числовой оси считают равнозначными.

Напомним некоторые числовые подмножества числовой оси и их обозначения.

О п р е д е л е н и е  7. Множество чисел XG R , удовлетворяющих неравенству а < Х<Ь,  
называется отрезком и обозначается [а;Ъ\.

Следовательно, \а\ b\ = {х| а < X < b \

О п р е д е л е н и е  8. Множество чисел XG R , удовлетворяющих неравенству а < X < Ь, называется интервалом и обозначается 
(а\Ь ).

Следовательно, [а\Ъ) =  {х| а < X < Ь \

О п р е д е л е н и е  9. Множество чисел 
XG R , удовлетворяющих 
одному из неравенств а <  Х < Ь  или 
а < Х < Ь, называется 
полуинтервалом (или полуотрезком) и обозначается \а.',Ь) или 
соответственно.

Следовательно, (a; b\ =  {х| а < х < b}, [а; Ь) = {х| а < х < b \

Напомним, что общим названием интервала, полуинтервала и отрезка 
является промежуток.

О п р е д е л е н и е  10. Окрестностью точки х0 называется произвольный интервал {сг,Ь \ содержащий точку Х0.

О п р е д е л е н и е  11. Интервал (х0 — <5; Х0 + S ), где S > 0, называется 8 — окрестностью точки Х0 
(обозначается Us (х$ )).

8

О п р е д е л е н и е  12. Интервал (х0 — 5 ; л:0 ), где 8 > О, называется 

левой окрестностью точки Хи (обозначается U~s (х0)), 
а интервал 

(х0; Х0 + 8 ), где 8 > 0, называется правой окрестностью точки Х0 

(обозначается и$ (л'0 )).

О п р е д е л е н и е  13. Множество X  называют ограниченным. если 
существует такое число М  > О, что для всех элементов X из X  справедливо неравенство: | х | < М .

Следовательно, [ X  — ограничено] <=> 3 М  > 0 
VxfE X
| х | < М .

О п р е д е л е н и е  14. Множество X  называют ограниченным сверху 
(снизу), если существует такое число М  > 0 , что для всех элементов X из 
X  справедливо неравенство:

Х< М  
(н ш Х > М ).

О п р е д е л е н и е  15. Множество X  называют неограниченным, если 

для любого М  > 0 существует такой элемент Х0 Е X , что | х$ | > М .

Следовательно,

[ X  -  неограничено ] <=$ V А / > 0 З х 0 Е X : 
| л:0 | > М.

2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

При исследовании явлений природы и в своей практической деятельности человек сталкивается с различными величинами: время, длина, объем, 
скорость. Каждая из них, в зависимости от условий задачи, может принимать либо различные значения, либо лишь одно.

В первом случае мы имеем дело с переменной величиной, а во втором -  
с постоянной.

Переменные, как правило, обозначают строчными буквами: X, у, t , ... .

О п р е д е л е н и е  16. Переменная X считается заданной, если указано числовое множество X  =  {л-} значений, которые величина X может

принимать. Это множество X  называется 
областью изменения 
переменной X.

9

Заметим, что постоянную величину можно рассматривать как частный 
случай переменной, когда множество X  состоит из одного элемента.

О п р е д е л е н и е  17. Пусть даны две переменные величины Х и ) '  

с областями изменения X  и Y соответственно. Если каждому элементу 
X из множества X  по некоторому правилу или закону поставлен в соответствие один определенный элемент у  из множества Y , то говорят, что

на множестве X  задана функция, условно обозначая 
этот факт следующим образом:

У = / М
 
или у = у { х )  , 

где f  -  символ закона соответствия.

При этом переменная X называется аргументом функции f  , а множество X  -  областью определения ( или областью допустимых значений -  ОДЗ ) функции f  и обозначается 0 ( / ).

То число у 0 6 У, которое соответствует данному Л'0 £ D ( f ) ,  называется частным значением функции и обозначается у 0 = f  (.Х()).

Множество всех частных значений функции f  обозначается 
E ( f ) 

и называется областью значений функции f .

З а м е ч а н и е  1. 
Если функция задается с помощью некоторых алгебраических выражений, указывающих те действия над постоянными числами и значением аргумента ЛГ, которые надо произвести, чтобы получить

соответствующее значение у  — f ( x ) ,  то D { f )  — множество всех тех значений переменной X, для которых указанные формулы имеют смысл.

10