Сказки мнимого мира История о корне из минус 1

Сказки мнимого мира 
История о –1 

Пол Дж. Нахин

An Imaginary Tale
The story of –1

Paul J. Nahin

With a new preface by the author

Princeton University Press

Princeton and Oxford

Москва, 2020

Сказки мнимого мира 
История о –1

Пол Дж. Нахин

С новым предисловием автора

УДК 530.1
ББК 22.31
Н12

Нахин П. Дж.
Н12 
Сказки мнимого мира. История о 
 / пер. с англ. А. А. Слинкина. – М.: ДМК Пресс, 2020. – 342 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-822-7

Эта книга читается как увлекательная история, чуть ли не биография, одного из самых неуловимых и вместе с тем вездесущих «чисел» 
в математике. История 
 берет начало еще в Древнем Египте, но 
европейская наука освоила это число относительно недавно. Пол Нахин, известный популяризатор точных наук, вплетает в повествование 
любопытные исторические факты, обсуждение математических проблем и сведения о применениях комплексных чисел и функций в таких 
важных задачах, как законы движения планет Кеплера и электрические 
цепи переменного тока.
Издание адресовано всем, кого интересует математика, в том числе 
и в историческом ракурсе.

УДК 530.1
ББК 22.31

All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted 
in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, 
recording or by any information storage and retrieval system, without permission 
in writing from the Publisher PRINCETON UNIVERSITY PRESS. Russianlanguage edition copyright © 2020 by DMK Press. All rights reserved.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами 
без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-0-691-16924-8 (анг.) 
©  Princeton University Press, 2016
ISBN 978-5-97060-822-7 (рус.) 
©  Оформление, издание, перевод, 
ДМК Пресс, 2020

Посвящается моей матери 
КАТЕРИНЕ ДОРОТИ МАРКВЕЛЬДЕР 

и памяти моего отца 

ПОЛА ДЖИЛЬБЕРТА НАХИНА 

(1916–1990)

Кэлвин и Хоббс
Рисунок Билла Уотерсона

Вот еще задачка,  
никак решить не могу. 
Сколько будет 
9 + 4?

Нда, непростая.  
Тут нужен матанализ  
и мнимые числа

Ну, знаешь, 
одиннадесять, 
тридцать 
двенадцать. 
Поначалу-то  
крышу сносит

Откуда 
ты все это 
знаешь? Ты  
и в школу-то 
не ходил!

Инстинкт, 
понимаешь. 
Тигры с этим 
рождаются

Мнимые 
числа?!

Содержание

Вступительное слово от издательства ................................... 10

Обращение к читателю ................................................................. 12

Предисловие ко второму изданию ......................................... 13

Предисловие ...................................................................................... 23

Введение ............................................................................................. 28

Глава 1. Загадки мнимых чисел ................................................ 34
1.1.  Кубическое уравнение ................................................................... 34
1.2.  Отрицательное отношение к отрицательным числам ............... 40
1.3.  Опрометчивый вызов ................................................................... 42
1.4.  Секрет распространяется .............................................................. 43
1.5.  Как комплексные числа могут представлять вещественные  
решения .......................................................................................... 46
1.6. Вычисление вещественных корней без мнимостей ................... 51
1.7.  Курьезное переоткрытие............................................................... 54
1.8.  Нахождение комплексных корней с помощью линейки ............ 58

Глава 2. Первая попытка понять геометрию –1 ............. 63
2.1.  Рене Декарт .................................................................................... 63
2.2.  Джон Валлис ................................................................................... 74

Глава 3. Загадки начинают разрешаться .............................. 83
3.1.  Каспар Вессель прозревает путь ................................................... 83
3.2.  Вывод тригонометрических тождеств из формулы Муавра ....... 97
3.3.  Комплексные числа и экспоненциальная функция .................. 104
3.4.  Арган ............................................................................................ 112
3.5.  Бюэ ................................................................................................ 115
3.6.  И снова повторное открытие ...................................................... 118
3.7.  Гаусс .............................................................................................. 123

Глава 4. Использование комплексных чисел .................... 126
4.1.  Комплексные числа как векторы ................................................ 126
4.2.  Применение алгебры комплексных векторов к решению   
геометрических задач ................................................................. 129

СОДЕРЖАНИЕ

4.3.  Задача Гамова .............................................................................. 135
4.4.  Решение рекуррентного уравнения Леонардо .......................... 137
4.5.  Мнимое время в физике пространства-времени ...................... 141

Глава 5. Другие применения комплексных чисел .......... 151
5.1.  Комплексные функции открывают короткий путь  
сквозь гиперпространство .......................................................... 151
5.2.  Максимальные блуждания на комплексной плоскости ........... 154
5.3.  Законы Кеплера и орбиты спутников ........................................ 157
5.4.  Когда и почему кажется, что некоторые планеты движутся 
вспять ........................................................................................... 170
5.5.  Комплексные числа в электротехнике ....................................... 175
5.6.  Знаменитая электронная схема, которая работает  
благодаря –1 ............................................................................... 190

Глава 6. Математики-кудесники ............................................. 195
6.1.  Леонард Эйлер ............................................................................. 195
6.2.  Тождество Эйлера ........................................................................ 196
6.3.  Эйлер делает себе имя ................................................................. 200
6.4.  Нерешенная задача ..................................................................... 204
6.5.  Эйлер раскладывает синус в бесконечное произведение ........ 212
6.6.  Окружность Бернулли ................................................................. 213
6.7.  Граф вычисляет ii ......................................................................... 214
6.8.  Роджер Котс и упущенная возможность .................................... 219
6.9.  Многозначные функции ............................................................. 224
6.10.  Гиперболические функции ......................................................... 226
6.11.  Вычисление π по –1 ................................................................... 231
6.12.  Использование комплексных чисел для реальных вещей ....... 234
6.13.  Формула дополнения Эйлера для Γ(n) и функциональное  
уравнение для ζ(n) ....................................................................... 243

Глава 7. Девятнадцатый век, Коши и начало теории 
функций комплексного переменного .................................. 248
7.1.  Введение ....................................................................................... 248
7.2.  Огюстен Луи Коши ....................................................................... 250
7.3.  Аналитические функции и условия Коши–Римана .................. 252
7.4.  Первый результат Коши .............................................................. 258
7.5.  Первая интегральная теорема Коши .......................................... 265
7.6.  Теорема Грина .............................................................................. 268
7.6.  Вторая интегральная теорема Коши .......................................... 274
7.7.  Третий закон Кеплера: заключительное вычисление............... 285
7.8.  Эпилог: что было дальше ............................................................ 288

СОДЕРЖАНИЕ 9

Приложение A. Основная теорема алгебры ..................... 295

Приложение B. Комплексные корни  
трансцендентного уравнения .................................................. 299

Приложение C. –1 –1 с точностью  
до 135 десятичных знаков, и как его вычислили .......... 304

Приложение D. Решение загадки Клаузена ...................... 308

Приложение E. Вывод дифференциального  
уравнения генератора  с фазовым сдвигом ...................... 310

Приложение F. Значение гамма-функции  
на критической прямой .............................................................. 315

Примечания ..................................................................................... 317

Указатель имен ............................................................................... 334

Предметный указатель ............................................................... 337

Благодарности ................................................................................ 341

Вступительное слово 
от издательства

Отзывы и пожелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, 
что вы думаете об этой книге – что понравилось или, может 
быть, не понравилось. Отзывы важны для нас, чтобы выпускать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.
com, зайдя на страницу книги и оставив комментарий в разделе 
«Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному 
редактору по адресу dmkpress@gmail.com; при этом укажите 
название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой-либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmk press.com/authors/publish_book/ 
или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.

Список опечаток

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое качество наших текстов, ошибки все равно 
случаются. Если вы найдете ошибку в одной из наших книг – 
возможно, ошибку в основном тексте или программном коде, – 
мы будем очень благодарны, если вы сообщите нам о ней. 
Сделав это, вы избавите других читателей от недопонимания 
и по можете нам улучшить последующие издания этой книги. 
Если вы найдете какие-либо ошибки в коде, пожалуйста, сообщите о них главному редактору по адресу dmkpress@gmail.
com, и мы исправим это в следующих тиражах.

Нарушение авторских прав

Пиратство в интернете по-прежнему остается насущной проблемой. Издательства «ДМК Пресс» и Princeton University Press 

ВСТУПИТЕЛьНОЕ СЛОВО ОТ ИЗДАТЕЛьСТВА 11

очень серь езно относятся к вопросам защиты авторских прав 
и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой-либо из наших книг, пожалуйста, 
пришлите нам ссылку на интернет-ресурс, чтобы мы могли 
применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по 
адресу dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы. 

Обращение к читателю

В этой книге много говорится об истории, но это не значит, 
что математика в ней в загоне. Впрочем, не стоит принимать 
это чрезмерно серьезно. Это не научный трактат, адресованный какой-то мифической элитарной группе, – наподобие той, 
о которой в 20-х годах XX века ходили слухи, будто в мире найдется всего дюжина людей, действительно понимающих идеи 
Эйнштейна. Про 
 тоже долгое время бытовало аналогичное 
заблуждение – мол, тайна сия велика есть. Гениальный французский философ эпохи Просвещения Дени Дидро писал про 
математиков, что они «похожи на людей, взирающих с вершин 
высоких гор, чьи пики теряются в облаках. Оттуда не видно, 
что находится внизу, они поглощены созерцанием собственных мыслей и осознанием высоты, на которую вознеслись, 
куда другим не подняться и где они не смогут дышать [разреженным воздухом]». Так вот, в этой книге давление воздуха 
почти такое же, как на уровне моря. Большая ее часть будет 
понятна даже старшекласснику, который внимательно слушал 
учителя на уроках. И уж точно она доступна любому из того 
миллиона студентов, которые каждый год посещают курс математического анализа для первокурсников. Это не учебник, 
но мне кажется, что студентам было бы полезно прочитать 
эту книгу как дополнение к стандартному курсу математики. 
Сам я инженер-электротехник, а не математик, и это оказало влияние на стиль изложения. Я в полной мере пользовался 
свободой от педагогических оков, связывающих авторов учебников, – в худшем случае они выливаются в педантизм – и писал в свободном стиле, который, хочется надеяться, доставит 
вам удовольствие. Но уверяю вас, что когда требовалось взять 
интеграл, я не падал на колени в священном ужасе. И вы не 
должны. Мощь и красота комплексных чисел и функций и удивительная история их открытия с лихвой окупят те умственные усилия, которые придется предпринять при чтении более 
сложных частей книги.

Предисловие ко второму изданию

Издание этой книги в твердой обложке вышло в 1998 году, 
и в течение долгих восьми лет я каждую ночь засыпал с мыслью 
о нелепых опечатках, пропущенных по невнимательности 
знаках минус и неудачно построенных предложениях. Все это 
доставляло мне такие же страдания, как заноза под ногтем. 
Конечно, это не угрожало ничьей жизни, но отравляло мое 
интеллектуальное существование. Первые шесть месяцев после выхода книги из печати я просыпался по ночам, бормоча 
себе под нос, как эксцентричный физик викторианской эпохи 
Оливер Хэвисайд, который, приближаясь к шестидесяти годам, 
бывало, восклицал: «Я, должно быть, глуп как пробка». То было 
интересное время – жизнь пожилого математика, решившего 
писать книги, может оказаться полной стрессов.
Но теперь это позади! На протяжении нескольких лет читатели щедро жертвовали своим временем, чтобы рассказать 
о моих упущениях. И вот, со списком замечаний в одной руке 
и с красным карандашом в другой, я с радостью исправил досадные оплошности в тексте нового издания. Быть может, чтото и осталось, но все равно я чувствую себя гораздо лучше (без 
сомнения, это чувство испарится, как только я получу очередное письмо – на бумаге или по электронной почте, – в котором мне укажут на незамеченные ошибки). Особенно полезны были два длинных, очень подробных письма, полученных 
в 1999 году от профессоров Роберта Бэркеля (математический 
факультет Канзасского университета) и Дэвида Вунша (факультет электротехники Массачусетского университета в Лоуэлле). 
Ранее в этом году издательство Принстонского университета 
опубликовало продолжение этой книги «Doctor Euler’s Fabulous 
Formula»i, так что появление исправленного издания «Сказок 
мнимого мира» пришлось очень кстати. Я благодарен своему 
редактору из Принстона, Вики Керн, за возможность вернуться 
к этой книге. А теперь хочу сказать о том, что еще изменилось 
в этом издании, помимо исправления опечаток.

i Нахин П. Дж. Необыкновенная формула доктора Эйлера. М.: ДМК 
Пресс, 2020. – Прим. перев.