Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии

Покупка
Артикул: 450446.04.99
Цель книги — помочь учителю математики сформировать у учеников универсальные учебные действия при обучении геометрии, что отражает задачу, сформулированную в Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования второго поколения. Для учителей математики школ, лицеев, колледжей, а также студентов и аспирантов математических факультетов педагогических вузов.
Боженкова, Л. И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении геометрии : учебное пособие / Л. И. Боженкова. - 4-е изд. - Москва : Лаборатория знаний, 2020. - 208 с. - ISBN 978-5-00101-715-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1206704 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Москва
Лаборатория знаний
2020

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ
УНИВЕРСАЛЬНЫХ
УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ
ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

4-е издание, электронное

Л. И. Боженкова

УДК 514
ББК 22.151
Б76

Боженкова Л. И.
Б76
Методика
формирования
универсальных
учебных
действий
при
обучении
геометрии
/
Л. И. Боженкова. — 4-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2020. — 208 с. — Систем.
требования:
Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-715-8
Цель книги — помочь учителю математики сформировать
у учеников универсальные учебные действия при обучении
геометрии, что отражает задачу, сформулированную в Федеральном государственном образовательном стандарте общего
образования второго поколения.
Для
учителей
математики
школ,
лицеев,
колледжей,
а также студентов и аспирантов математических факультетов
педагогических вузов.
УДК 514
ББК 22.151

Деривативное издание на основе печатного аналога: Методика
формирования
универсальных
учебных
действий
при
обучении
геометрии
/
Л. И. Боженкова. — 2-е
изд. —
М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — 205 с. : ил. —
ISBN 978-5-9963-1887-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-715-8
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Глава 1. Познавательные универсальные учебные действия 
в обучении геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

§ 1.1. Содержание познавательных универсальных учебных 
действий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. Понятие познавательных универсальных учебных 
действий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2. Сравнение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3. Подведение под понятие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.4. Анализ и синтез  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.5. Выведение следствий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.6. Установление причинно-следственных связей 
и построение логической цепи рассуждений, 
доказательства  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

§ 1.2. Постановка и решение проблем при обучении 
геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1. Алгоритмизация как способ преобразования 
учебной информации  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.2. Составление геометрических задач . . . . . . . . . . . . . . . 31

§ 1.3. Теоретические основы становления познавательных 
учебных действий при обучении геометрии  . . . . . . . . . . . . . 39

Глава 2. Регулятивные универсальные учебные действия 
в обучении геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

§ 2.1. Основа саморегуляции при освоении геометрии — 
регулятивные универсальные учебные действия . . . . . . . . . 46

§ 2.2. Регуляция деятельности при обучении геометрическим 
понятиям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

§ 2.3. Регуляция деятельности при обучении теоремам  . . . . . . . . 55
§ 2.4. Регуляция деятельности при обучении решению задач . . . . 65

Оглавление

Оглавление

Глава 3. Коммуникативные и личностные универсальные 
учебные действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§ 3.1. Формирование коммуникативных УУД 
при обучении геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§ 3.2. Личностные универсальные учебные действия
при обучении геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Глава 4. Система обогащающих упражнений 
для формирования УУД при обучении геометрии . . . . . . . . 88

§ 4.1. Требования к системе обогащающих упражнений . . . . . . . . 88
§ 4.2. Обогащающие работы по геометрии для седьмого 
класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Работа № 1. Прямая, отрезок, луч, угол  . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Работа № 2. Биссектриса угла. Сравнение отрезков 
и углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Работа № 3. Измерение углов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Работа № 4. Измерение отрезков и углов . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Работа № 5. Вертикальные и смежные углы . . . . . . . . . . . . . 98
Работа № 6. Свойства смежных и вертикальных углов  . . . . 99
Работа № 7. Первый признак равенства 
треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Работа № 8. Признаки равных треугольников: 
составление задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Работа № 9. Признаки равных треугольников: 
составление и решение задач . . . . . . . . . . . . . . 106

Работа № 10. Задачи на построение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Работа № 11. Признаки и свойства параллельных 
прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Работа № 12. Сумма углов треугольника . . . . . . . . . . . . . . . 112
Работа № 13. Признаки равенства прямоугольных 
треугольников  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Работа № 14. Решение задач на построение  . . . . . . . . . . . . 116
Работа № 15. Как мы изучали геометрию 
в 7 классе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Ответы и указания к работам для 7 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 4.3. Обогащающие работы по геометрии для 8 класса . . . . . . . . 127

Работа № 1. Понятие и свойства параллелограмма  . . . . . . 127
Работа № 2. Признаки параллелограмма  . . . . . . . . . . . . . . 128
Работа № 3. Трапеция и параллелограммы . . . . . . . . . . . . . 130

Оглавление 
5 

Работа № 4. Свойства трапеции и параллелограмма: 
составление задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Работа № 5. Решение задач на построение  . . . . . . . . . . . . . 134
Работа № 6. Площадь многоугольника  . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Работа № 7. Решение задач на вычисление площадей . . . . 139
Работа № 8. Подобные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Работа № 9. Подобие: решение и составление задач . . . . . . 145
Работа № 10. Соотношение между сторонами и углами 
прямоугольного треугольника  . . . . . . . . . . . 146

Работа № 11. Вписанный угол  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Работа № 12. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Работа № 13. Как мы изучали геометрию в 8 классе  . . . . . 149

Ответы и указания к работам для 8 класса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Указатель таблиц, содержащихся в пособии  . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Библиография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Социальный заказ общеобразовательной школе представлен в «Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности 
гражданина России». Эта концепция является методологической 
основой федерального государственного образовательного стандарта 
общего образования (ФГОС — Стандарт) второго поколения. В Стандарте сформулированы требования к предметным, личност ным и 
метапредметным результатам обучения, которые должны быть достигнуты в процессе обучения каждой учебной дисциплине. К метапредметным результатам относятся, в частности, «универсальные 
учебные действия» (УУД), для формирования которых разработана 
специальная программа. УУД — это система действий учащегося, 
обеспечивающая социальную компетентность, способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию самостоятельной учебной деятельности, способность учащегося 
к саморазвитию посредством сознательного и активного присвое ния 
нового социального опыта. В соответствии с функциями УУД выделены четыре группы: 1) познавательные; 2) регулятивные; 3) коммуникативные; 4) личностные. Согласно Стандарту, УУД должны 
являться целью обучения и формироваться при освоении учениками каждой предметной области с учётом её специфики. 
Организация процесса формирования УУД при обучении математике требует их систематизации, дифференциации, составления 
ориентировочной основы отобранных действий, включения их в 
процесс обучения, в неразрывной связи с усвоением учебной информации. Анализ познавательных действий, соотнесение их с содержанием школьного курса математики, показали следующее. 
1. Познавательные УУД при обучении алгебре и геометрии имеют 
определённую специфику, поэтому требуют отдельного рассмотрения.
2. Формирование познавательных УУД при обучении математике учащихся 7–9 классов целесообразно начинать при обучении гео
Введение 
7 

метрии, осуществляя перенос сформированных УУД в процесс обучения алгебре. 
3. В первую очередь следует формировать познавательные УУД, 
постепенно включая сформированные умения в процесс осознанной 
саморегуляции, что обеспечит формирование регулятивных УУД.
В данном пособии представлен один из возможных вариантов организации процесса формирования УУД при обучении геометрии. 
Пособие содержит четыре главы, включающие теоретическую и 
практическую части. В первых трёх главах рассматривается содержание всех видов УУД при обучении геометрии и примеры их формирования. Цель этих глав — теоретическая и практическая подготовка учителя к формированию УУД при обучении геометрии. 
Первая глава посвящена познавательным — важнейшим при обучении геометрии — УУД. Рассмотрены общеучебные и логические 
познавательные УУД, необходимые для освоения понятий, доказательства теорем и решения задач; показана их взаимосвязь. Отдельно рассматривается постановка и решение проблем при обучении 
геометрии, а также средства, необходимые (но недостаточные) для 
формирования этого действия: алгоритмизация и составление геометрических задач. Отдельный параграф отведён теоретическим основам становления познавательных УУД при обучении геометрии.
Во второй главе обосновано, что познавательные УУД должны постепенно включаться в структуру регуляторного процесса, основой 
которого являются регулятивные УУД. Рассматривается регуляция 
деятельности при обучении геометрическим понятиям и теоремам, 
при обучении решению задач приводятся соответствующие примеры. 
В третьей главе рассмотрена специфика коммуникативных 
и личностных УУД при обучении геометрии, их взаимосвязь с познавательными и регулятивными УУД. 
Четвёртая глава содержит систему обогащающих упражнений —  
основное средство введения и становления познавательных УУД 
в неразрывной связи с изучением учебной информации. Наборы 
упражнений составлены в соответствии с программой школьного 
курса геометрии 7–8 классов и могут использоваться при работе по 
любому учебнику геометрии. В зависимости от индивидуальных особенностей учащихся класса, а также имеющегося времени упражнения могут использоваться полностью или частично в различных 
вариантах: как самостоятельные работы, выполняемые группой 
учеников или учеником; как задания, которые учитель использует 
при объяснении нового материала в ходе коллективной работы; как 
задания для домашней работы. 

Введение

«Школа должна научить ребёнка учиться!» — это заявление 
звучит давно и постоянно. Однако научить школьника учиться невозможно без формирования метапредметных действий. Стандарт 
второго поколения требует реализации этого лозунга на  практике. 
Внедрение Стандарта предъявляет к учителю новые требования, 
связанные с дополнительными профессиональными знаниями и 
умениями, на базе которых учитель сможет решить задачу формирования УУД при обучении математике. 
В пособии используются следующие сокращения: 
ПУД  — познавательные универсальные учебные действия; 
ПЛД  — познавательное логическое универсальное учебное действие (действия); 
ПОД  — познавательное общеучебное универсальное учебное действие (дейст вия); 
РУД  — регулятивное универсальное учебное действие (действия); 
УПД  — учебно-познавательная деятельность. 
Задания обогащающих работ снабжены значками, обозначающими те УУД, на формирование которых направлено данное задание: 
      — познавательные; 
      — регулятивные; 
      — коммуникативные; 
      — личностные. 
Автор надеется, что содержание данного пособия поможет учителю решить непростую задачу формирования УУД при обучении геометрии.

В главе рассматриваются следующие теоретические вопросы:

 
способы преобразования учебной информации школьного курса геометрии как основа познавательных общеучебных действий; 

 
операциональный состав познавательных общеучебных и логических учебных действий, необходимых для усвоения геометрии, их взаимосвязь;

 
связь познавательного учебного действия «постановка и решение проблем» с проблемным обучением;

 
использование геометрических задач, подлежащих алгоритмизации (особому способу преобразования информации), для 
формирования учебного действия «постановка и решение проблем»; 

 
составление задач учениками как средство формирования учебного действия «постановка и решение проблем»;

 
взаимосвязь компонентов проблемного обучения и познавательных учебных действий при обучении геометрии;

 
формирование познавательных учебных действий при обучении геометрии.

§ 1.1. 1.1.1. Понятие познавательных универсальных учебных действий. 
Под познавательными действиями понимают такие, которые обеспечивают познание — умственный творческий процесс получения 
и постоянного обновления знаний, необходимых человеку. В психологии познание обозначает способность к умственному восприятию 
и переработке внешней информации. Результатом процесса позна
Глава 1

10 
Глава 1

вательных действий [3, 47]. В соответствии с деятельностным подходом, действие представляет перечень операций, специально организованных для решения задач определённого типа разной степени 
обобщённости. Известный российский психолог Н. А. Менчинская 
отмечала, что действие, усвоенное учащимся в процессе учебно-познавательной деятельности, становится умением [4]. 
В соответствии с программой формирования УУД, к познавательным действиям относятся: общеучебные, логические учебные действия и постановка и решение проблем. Их функция — обеспече ние 
успешности усвоения знаний, умений и навыков. Познавательные 
общеучебные действия (ПОД) направлены на поиск необходимой 
информации, структурирование информации и знаний, на выполнение знаково-символических действий, в том числе моделирования; 
на выбор способов решения задач [2]. 
Поиск необходимой информации при обучении математике ученики осуществляют при работе с учебной и дополнительной литературой. В настоящее время информация может быть представлена на 
бумажных и электронных носителях, в том числе в сети Интернет. 
Успешное использование интернет-ресурсов при освоении математики предполагает наличие у ученика следующих основных умений: 

 
осуществлять поиск информации о существующих учебных ресурсах (образовательных порталах, сайтах и др.); 

 
использовать информационно-поисковые системы: электронные каталоги библиотек, поисковые системы в Интернете 
и т. п., электронные словари и энциклопедии для поиска и получения информации; 

 
использовать автоматизированные обучающие системы; 

 
составлять собственный, собранный самостоятельно, каталог 
учебных и научных интернет-ресурсов. 
Формирование указанных умений является задачей процесса 
обучения информатике. Однако нацеленность процесса обучения 
математике на использование ресурсов для организации самостоятельной работы учеников вносит свой вклад в совершенствование 
указанных умений и качества усвоения содержания математики. 
В любом случае информация, полученная в результате поиска, — это текстовая информация, которую ученику необходимо самостоятельно переработать, для чего и необходимы познавательные 
общеучебные действия. Переработка информации включает в себя её 
преобразование. Преобразование как интерпретация, организация 
знаний связана со знаково-символической деятельностью человека, 
в результате которой информация представляется в виде модели. 
В процессе преобразования информации происходит её запомина
Познавательные универсальные учебные действия в обучении геометрии 
11 

ние, являющееся основой процессов накопления, сохранения информации и последующего использования знаний. П. И. Зинченко, рассматривая непроизвольное запоминание как продукт целенаправленной учебно-познавательной деятельности (УПД), а произвольное 
запоминание — как специальную мнемическую деятельность, особое 
место отводил непроизвольному запоминанию в процессе обучения. 
Он сформулировал следующие условия продуктивного непроизвольного запоминания [17]. 

 
Если учебная информация входит в содержание основной цели 
действия, то она запоминается особенно продуктивно. 

 
Наибольшая успешность непроизвольного запоминания учебной информации достигается применением активных и содержательных способов работы с ней. 

 
Непроизвольное запоминание продуктивнее, если учащиеся 
ясно понимают логическую структуру учебной информации 
и чётко представляют себе её основные важнейшие звенья.
Для выполнения перечисленных условий необходимо владеть 
специальными действиями преобразования учебной информации. 
Основной способ преобразования информации — структурирование. Однако в обучении математике не менее важную функцию выполняют такие способы преобразования информации, как достраивание [39] и алгоритмизация [27]. Результат преобразования учебной информации школьного курса математики — определённые 
учебные модели (первый столбец табл. 1), которые в когнитивной 
психологии и в информатике имеют специальные названия: логические, реляционные, семантические и продукционные (второй столбец табл. 1) [23, 47]. Для получения учебных моделей необходимы 
соответствующие им познавательные общеучебные действия (ПОД), 
перечисленные в последнем столбце табл. 1. Содержание этой таблицы раскрывается в следующем параграфе. 
Трудности, возникающие при обучении математике, связаны 
в том числе с недостаточно сформированным умением переходить 
от одной модели к другой. Если преобразование информации выполняется на основе применения законов логики, то получаются логические модели. Они связаны с логическими познавательными действиями, поэтому типы учебных моделей и операциональный состав 
соответствующих познавательных УД представлены при рассмотрении логических познавательных действий. Это ещё раз подчёркивает взаимосвязь и условность деления познавательных действий, что 
особенно прослеживается при их формировании (гл. 4).
Познавательные логические учебные действия необходимы для 
формирования общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики. К ним относятся: 1) сравнение; 2) под
Глава 1

ведение под понятие; 3) анализ и синтез; 4) выведение следствий; 
5) установление причинно-следственных связей; 6) построение логической цепи рассуждения, доказательство [21]. Рассмотрим эти 
действия с учётом специфики школьного курса математики. 

Таблица 1

Модели представления информации школьного курса математики 
и познавательные общеучебные действия 

Типы моделей представления 
учебной информации
Познавательные УД для преобразования (определённым 
способом) учебной информации школьного курса 
математики 
в обучении математике (учебные модели)
в психологии

1) схемы определений 
понятий; 
2) схемы поиска решения задачи (доказательства теоремы);
3) знаковая 
модель 
записи доказательства 
теоремы (решения задачи)

логические 
модели
Структурирование, достраивание
1) составление схемы определения понятия; 
2) составление схемы поиска 
решения задачи (доказательства теоремы);
3) выполнение записи доказательства теоремы (решения задачи)

4) поисковые области 
понятий, 
связанных 
отношением;
5) наборы 
объектов 
для подведения под 
понятие;
6) таблицы, информационные схемы 

реляцион ные 
(сооб щаю щие) 
модели

Достраивание, структурирование 
4) составление поисковой области;
5) составление набора объектов для подведения под понятие; 
6) составление информационной схемы 

7) классификационные и систематизационные схемы

семантические 
модели
Структурирование 
7) составление 
классификацион ной (систематизационной) схемы 

8) предписания 
для 
решения геометрических задач определённого класса

продукционные модели
Алгоритмизация
8) составление предписания 
для решения задач определённого класса 

Познавательные универсальные учебные действия в обучении геометрии 
13 

1.1.2. Сравнение. Сравнение — приём умственной деятельности, 
познавательное логическое действие, лежащее в основе суждений 
о сходстве или различии изучаемых объектов [33]. 
Сравнение используется при определении понятия, когда для выделения его существенных признаков необходимо абстрагироваться 
(отвлечься) от несущественных; при поиске общего метода решения 
задач определённого типа и др. (табл. 2). 

Таблица 2

Состав ПЛД «Сравнение»

1) убедиться, что изучаемые объекты сравнимы;

2) выявить наблюдением свойства изучаемых объектов (фигур);

3) установить различные свойства;

4) установить общие свойства объектов — признаки;

5) установить существенные и несущественные признаки;

6) выбрать основание для сравнения (один из существенных признаков);

7) сопоставить объекты по данному основанию;

8) сформулировать выводы.

1.1.3. Подведение под понятие. Как известно, понятие — это форма мышления, в которой отражаются существенные признаки класса однородных предметов (объектов) или одноэлементного класса 
[13]. 
Понятие имеет содержание и объём. Содержание понятия — совокупность существенных признаков, перечисленных в определении понятия. Объём понятия — совокупность (класс) предметов или 
объектов, которая мыслится в понятии [13]. В школьном курсе геометрии большинство понятий определяется через ближайший род и 
видовые отличия (около 98). В курсе алгебры этот способ определения понятий представлен также достаточно весомо (около 70). Для 
понятия, которое определяется этим способом, составляется схема 
определения понятия — логическая учебная модель (табл. 1). Схема 
представляет перечень следующих компонентов: термин (или имя) 
понятия; существенные признаки понятия; изображение объекта, 
принадлежащего объёму понятия; обозначение объекта (рис. 1). 
В данной схеме первый существенный признак — ближайшее родовое понятие, остальные — видовые отличия, причём признаки связаны союзом «и». 

Глава 1

. 1. Общая схема определения понятия

Схема определения понятия — результат применения соответствующего познавательного общеучебного действия (ПОД); оно заключается в составлении схемы определения понятия (табл. 1), а его 
состав представлен в табл. 3.

Таблица 3

Состав ПОД «Составление схемы определения понятия»

1) сформулировать определение понятия, выявить вид определения: 

если понятие определено через ближайший род и видовые отличия, 
то перейти к п. 2,  если нет, то к п. 6;

2) назвать имя понятия — термин (записать в первой строке);

3) выявить ближайшее родовое понятие (записать во второй строке — № 1);

4) выявить признаки понятия — видовые отличия (записать в следующих строках — № 2, 3, 4 и т. д. по количеству видовых отличий);

5) записать обозначение понятия и выполнить его изображение — получена схема определения понятия;

6) выбрать другой способ записи определения понятия.

Это ПОД, служащее для преобразования учебной информации 
способом структурирования, подлежит формированию у учащихся 
(гл. 4). 
Схемы определений понятий могут быть составлены в символьной, словесной записи (рис. 2) или в смешанной. Примеры схем 
определений понятий приведены в приложении 1.
Подведение под понятие — приём умственной деятельности, 
познавательное логическое действие, заключающееся в установлении наличия у объекта существенных признаков данного понятия 
(табл. 4). Эти признаки являются достаточными или одновременно 
необходимыми и достаточными условиями [44]. 

Термин (имя):                                                               Изображение

1) ближайшее родовое понятие  —  1-й существенный признак 
2) первое видовое отличие           
—  2-й существенный признак
3) второе видовое отличие            —  3-й существенный признак
     и т.д.
n) последнее видовое отличие      —  n-й существенный признак

Обозначение

Познавательные универсальные учебные действия в обучении геометрии 
15 

. 2. Схема определения понятия «Биссектриса угла»

Таблица 4

Состав ПЛД «Подведение объекта под понятие»

1) вспомнить определение понятия, под которое подводится исследуемый объект;
2) проверить принадлежность объекта родовому понятию (наличие первого признака);
3) проверить наличие у объекта видовых отличий (остальных признаков);
4) сделать вывод о принадлежности объекта понятию (все признаки выполняются) или непринадлежности (не выполняется хотя бы один 
признак).

Чтобы исследуемый объект принадлежал объёму понятия, необходимо, чтобы он обладал всеми признаками, входящими в содержание этого понятия. При этом если хотя бы один из признаков отсутствует, то объект не принадлежит объёму понятия и оставшиеся 
признаки проверять не нужно. Если информация о наличии признака неопределённая, то неизвестно, принадлежит или нет объект 
объёму данного понятия. 
Действие «Подведение под понятие» используется для первоначального закрепления определения изученного понятия, схема которого в процессе обучения уже составлена. Для этого целесообразно 
использовать набор специальных объектов, подлежащих исследованию при подведении под понятие.
Таких наборов объектов нет в учебниках, поэтому учителю необходимо знать принцип составления такого набора объектов. Так, например, при введении понятия «Биссектриса угла», схема определения которого представлена на рис. 2, набор объектов может быть 
таким, как на рис. 3. 

Биссектриса угла   
1) луч                                                        
И  
2) начало луча — вершина угла          
И
3) луч делит угол пополам   

Обозначение: ОА — биссектриса или
KOA LOA