Сопротивление материалов

СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ

Е.В. КОНДРАТОВА

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано 
экспертным советом ЧВВМУ имени П.С. Нахимова 
в качестве учебного пособия для курсантов и студентов ЧВВМУ

ЧЕРНОМОРСКОЕ ВЫСШЕЕ 
ВОЕННО-МОРСКОЕ УЧИЛИЩЕ 
ИМЕНИ П.С. НАХИМОВА

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
 
К64

Кондратова Е.В.
К64  
Сопротивление материалов : учебное пособие / Е.В. Кондратова. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 185 с. — (Военное образование). 

ISBN 978-5-16-016340-6 (print)
ISBN 978-5-16-108634-6 (online)
Учебное пособие содержит теоретические основы раздела «Сопротивление материалов» дисциплины «Механика», основные формулы для расчетов стержней на прочность, жесткость и устойчивость, примеры решений основных типовых задач при различных видах деформаций, а также 
справочные данные по характеристикам материалов, ГОСТ на профильный материал.
Предназначено для курсантов и студентов высших учебных заведений 
технических специальностей.

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73

Р е ц е н з е н т:
Сухопяткина И.Т., кандидат технических наук, доцент

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р:
Утробина О.Л., инженер

ISBN 978-5-16-016340-6 (print)
ISBN 978-5-16-108634-6 (online)

© Черноморское высшее 
военно-морское училище 
имени П.С. Нахимова, 
2021

РАЗДЕЛ  1. ПРОСТЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ДОПУЩЕНИЯ, 

ПРИМЕНЯЕМЫЕ В СОПРОТИВЛЕНИИ МАТЕРИАЛОВ

1.1. Введение в сопротивление материалов

Сопротивление материалов – это наука, занимающаяся про
стейшими видами расчетов стержней и стержневых конструкций
(рам) на прочность, жесткость и устойчивость под воздействием
внешних нагрузок (сил).

Рассмотрим каждое из понятий этого определения в отдельности.
Прочность – это способность конструкции, ее частей и дета
лей не разрушаться под действием внешних сил.  

Жесткость – это способность конструкции не деформироваться

(изменять форму и размеры) под действием внешних нагрузок.

Устойчивость – это способность конструкции сохранять пер
воначальную форму равновесия под действием внешних нагрузок.

Стержень – это простейший элемент любой сложной кон
струкции, разделенной на составные части, имеющий длину во много раз превосходящую размеры поперечного сечения этого элемента
(l >>b; l >> h). Стержни могут иметь постоянное или поперечное сечение, а также могут быть прямыми или криволинейными.

Рисунок 1.1

l – длина стержня, h и b – размеры сечения

у
у

х

х

z 

l 

h 

b 

1.2. Внешние силы

Внешние нагрузки (силы) – это силы взаимодействия между

стержнем и связанными с ним телами. Например: воздействие веса
конструкции, передающегося на стержень в местах связей его с другими стержнями, веса грузов, ветровые, водяные и прочие нагрузки, 
получаемые сооружением. Все виды внешних нагрузок в зависимости от площади их приложения к стержню можно подразделить на

сосредоточенные силы – Р, (Н, кН),
сосредоточенные моменты –M, (Нм, кНм), 
распределенные нагрузки с интенсивностью, приве
денной к длине стержня – q, (Н/м). 

Рисунок 1.2

Стержни могут быть закреплены тремя способами. В местах со
единения стержней могут быть различные связи с различным количеством реакций, которые зависят от способа закрепления стержней.

Подвижный шарнир

q 
R 

z 

q, Н/м

Неравномерно распределенная нагрузка

q, Н/м

z 

Равномерно распределенная нагрузка

Неподвижный шарнир

Жесткое закрепление (заделка)             

Рисунок 1.3

1.3. Расчетная схема

При расчетах стержней и рам составляется расчетная схема, 

для чего проводят ось параллельную продольной оси стержня, и на
нее приводятся все внешние силы, действующие на поверхности
стержня. Далее рассматривается расчетная схема с учетом соответствующего поперечного сечения стержня.

Рисунок 1.4

Объёмный стержень

Расчётная схема

Р1
Р2

Р1
Р2

Р3

Р3
1 
2 
3 

1 

2 
3 

h1

h2

М1=Р1∙h1

М2=Р2∙h2

z

z

Н

R 

М

Н

R 

1.4. Виды простых сопротивлений (деформаций) стержня

В зависимости от положения внешних сил по отношению к

координатным осям стержня (X, Y, Z) различают четыре вида простых сопротивлений:

1) Растяжение (сжатие)
Если внешние силы действуют непосредственно вдоль про
дольной оси стержня (Z), то он испытывает растяжение или сжатие; 
при этом на одних участках продольные волокна растягиваются, на
других – сжимаются.

Рисунок 1.5

2) Срез (сдвиг)
Если внешние силы действуют перпендикулярно продольной

оси стержня, близко друг к другу в рассматриваемом сечении, то
они производят срез (сдвиг) стержня в этом сечении.

Рисунок 1.6

3) Кручение
Если к стержню приложены пары сил (моменты), перпендику
лярные продольной оси стержня, то они вызывают скручивание
стержня (поворот сечений относительно оси Z). 

Рисунок 1.7

М1

Z 

М2
М3

Р

Р

Z 

Р1
Р3
Р2

Z 

4) Плоский изгиб
Если внешние силы и моменты вызывают изгиб продольной

оси стержня в одной плоскости и при этом волокна по одну сторону
оси удлиняются, а по другую ее сторону укорачиваются, то такое
сопротивление называется плоским изгибом.

Рисунок 1.8

1.5. Понятие о внутренних усилиях (силах)

Стержень из любого материала в ненагруженном виде нахо
дится в состоянии покоя за счет сил межатомного взаимодействия. 
Если на стержень воздействовать внешними силами, то силы межатомного взаимодействия начнут изменяться (расти), т.е. происходит сопротивление материала внешним нагрузкам. Эти силы мы будем называть внутренними усилиями, действующими в каждом поперечном сечении стержня.

В общем (произвольном) виде нагружения стержня внешними

нагрузками в любом поперечном сечении такого стержня возникает
два вида внутренних усилий: вектор сил и вектор моментов. Спроектировав вектор сил и вектор моментов на координатные оси (X, Y, Z)
поперечного сечения, получим шесть проекций: три усилия – N, Qx, 
Qy, три момента – Mz ,Мх, Му. Для усилий и моментов в сечении
приняты следующие названия: 

N – продольная, или осевая сила (направленная по оси

стержня Z); 

Qx, Qy – поперечные (реже – перерезывающие) силы;
Mz = Мкр – крутящий момент
Мх, Му – изгибающие моменты

Удлинённые волокна

Укороченные волокна

Р1
Р2

Z

Z

1.6. Понятие о напряжениях

Внутренние усилия, возникающие в каждой точке нагружен
ного стрежня, будут распределяться по поперечному сечению
стержня по какому-то закону. Величина внутреннего усилия, приходящаяся на элемент площади поперечного сечения, но сведенная
затем к центру этой элементарной площадки (точке), называется

полным напряжением в точке – р . 

Разложив полное напряжение р на нормаль к сечению и на

само сечение, получаем два вида напряжений:

σ – нормальное (перпендикулярное) напряжение, 
τ – касательное напряжение. 

1.7. Характеристики материалов

В сопротивлении материалов используются три вида характе
ристик материалов, которые получаются опытным путем:

1) Характеристики прочности:
σпц – предел пропорциональности, 
σт – предел текучести, 
σв – предел временного сопротивления (предел прочности). 
Для пластичных материалов опасным является предел текуче
сти σт, т.к. при нём происходят остаточные деформации детали.

2) Характеристики упругости:
μ – коэффициент Пуассона, 
Е – модуль продольной упругости (Н/м2), 
G – модуль поперечной упругости (Н/м2). 
3) Характеристики пластичности:
δ в % – относительное остаточное удлинение, 
ψ в % – относительное сужение площади сечения.

1.8. Закон Гука

Между напряжениями и деформациями существует зависи
мость. В случае упругой деформации эта зависимость выражается
законом Гука.

Закон Гука при линейной деформации (растяжение или сжа
тие) выражает прямолинейную зависимость между нормальными
напряжениями и относительными деформациями:

Е
,                                          (1.1) 

где ε – относительная упругая деформация. 

При угловой деформации (сдвиг) существует прямолинейная

зависимость между касательными напряжениями и углами сдвига:

G
,                                                (1.2) 

где γ – относительный сдвиг. 

В выражениях (1.1) и (1.2) Е и G представляют собой коэффи
циенты пропорциональности, характеризующие упругие свойства
материала, 

Е – модуль продольной упругости, 
G – модуль поперечной деформации.

1.9. Допускаемые напряжения

Инженерный расчет на прочность стержня не должен допус
кать появления остаточных деформаций у пластичных материалов
или потери предела прочности у хрупких с некоторым запасом на
неучтенные факторы. Поэтому предельным напряжением при расчетах является допускаемое напряжение:

.
.

оп

З П
К
,                                            (1.3) 

где КЗ.П. – коэффициент запаса прочности;

σоп – опасное напряжение для соответствующего материала;
σоп = σт – для пластичных материалов;
σоп = σв – для хрупких материалов;
КЗ.П. = 1,5 – 3 – для пластичных материалов;
КЗ.П. = 3 – 5 – для хрупких материалов.

1.10. Гипотезы и допущения в сопротивлении материалов

Для вывода расчетных формул в сопротивлении материалов

принимается ряд допущений и гипотез.

1. Рассматривается «идеальный» материал, т.е. материал упру
гий, однородный, сплошной, изотропный.

2. Считается, что деформации материалов являются упругими

и бесконечно малыми, что позволяет при выводах пренебрегать
бесконечно малыми второго порядка и рассматривать сечения и
размеры стержня в первоначальном виде.

3. При расчетах применяется метод суперпозиций и гипотеза

плоских сечений.

4. При определении напряжений в сечении стержня использу
ется принцип Сен-Венана – соответствующий закон распределения
напряжений справедлив в сечениях, отстоящих от точки приложения силы на расстоянии не меньшем поперечного размера сечения. 

Контрольные вопросы

1. Задачи науки о сопротивлении материалов.
2. Что понимают под внешними нагрузками? Назовите виды

внешних сил.

3. Дайте определение прочности, жесткости и устойчивости

конструкции.

4. Связь каких величин устанавливает закон Гука? 
5. Что называют внутренними усилиями?
6. Какие внутренние усилия (внутренние силовые факторы) мо
гут возникать в поперечных сечениях бруса и какие виды деформаций с ними связаны?

7. Какие допущения о свойствах материалов приняты в курсе

«Сопротивление материалов»?

8. Что называется расчетной схемой конструкции и чем она от
личается от реального объекта?

9. Что называется напряжением в данной точке сечения тела? 

На какие две составляющие может быть разложен вектор полного
напряжения?

10.Какие типы опор применяются для закрепления балок?