Теория функций комплексного переменного

Москва

2020
Лаборатория знаний

5-е издание, электронное

Рекомендовано 
Учебно-методическим объединением высших 
учебных заведений Российской Федерации по 
образованию в области прикладных математики 
и физики в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению «Прикладные математика  
и физика», а также для других математических 
и естественнонаучных направлений и специальностей 
и по смежным направлениям и специальностям 
в области техники и технологий

М. И. Шабунин
Ю. В. Сидоров

Теория
функций
комплексного
переменного

УДК 517.9
ББК 22.161.1

Ш13

Шабунин М. И.

Ш13
Теория функций комплексного переменного / М. И. Шабунин, Ю. В. Сидоров. — 5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 303 с. — Систем. требования: Adobe
Reader
XI
;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст
:
электронный.
ISBN 978-5-00101-916-9
В учебнике рассматриваются методы теории функций комплексного переменного, которые часто применяются в прикладных задачах: операции с функциями комплексного переменного, разложения
в ряды, конформные отображения, вычисление интегралов с помощью вычетов, основы операционного исчисления. В книге разобрано
большое количество примеров, помогающих читателю глубже освоить теорию и приобрести навыки решения практических задач.
Студентам
физико-математических
и
инженерно-физических
специальностей университетов и вузов с расширенной математической подготовкой.
УДК 517.9
ББК 22.161.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Теория
функций комплексного переменного / М. И. Шабунин, Ю. В. Сидоров. — 4-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2018. — 300 с. : ил. —
ISBN 978-5-00101-135-4.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-916-9
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга написана на основе многолетнего опыта преподавания теории функций комплексного переменного (ТФКП) в Московском физико-техническом институте (государственном
университете).
Она является учебником для студентов высших технических учебных
заведений с углубленным курсом математики и может оказаться полезной для самостоятельного изучения курса ТФКП.
Основное внимание в книге уделяется методам ТФКП, которые
находят широкое применение в прикладных задачах (разложение в ряды, вычисление интегралов с помощью вычетов, конформные отображения).
При изложении материала особое внимание уделено тому, чтобы
помочь читателю успешно овладеть основами ТФКП. С этой целью
в книге разобрано большое число примеров, которые дают возможность читателю не только глубоко усвоить теоретический материал, но
и приобрести необходимые навыки в решении задач.
Первая глава содержит сведения о комплексных числах, кривых
и областях на комплексной плоскости, непрерывных функциях комплексного переменного и об интегрировании этих функций.
Во второй главе введено одно из основных понятий ТФКП — понятие регулярной функции, изложены основные свойства регулярных
функций, доказаны
интегральная
теорема и интегральная
формула
Коши, рассмотрены ряды Лорана и особые точки однозначного характера.
Третья глава посвящена многозначным аналитическим функциям.
В ней подробно
изучены
аналитические
свойства
и приведены
основные формулы для вычисления значений важнейших элементарных
функций. Особое внимание уделено вопросу о выделении регулярных
ветвей многозначных аналитических функций.
В четвертой главе изложена теория вычетов и ее приложения. Рассмотрено много важных типов интегралов от однозначных и неоднозначных аналитических функций.

Предисловие

В пятой главе рассматриваются свойства конформных отображений,
подробно
изучаются
отображения,
задаваемые
элементарными
функциями, дается решение задачи Дирихле с помощью конформных
отображений.
Шестая глава содержит краткие сведения о преобразовании Лапласа и его применении к решению дифференциальных уравнений.
Во
втором
издании,
как
и
в
первом,
в
числе
авторов
указан
Ю. В. Сидоров, с которым мы обсуждали структуру книги. К сожалению, Юрий Викторович не смог принять участие в работе над книгой
в связи с продолжительной болезнью и кончиной в начале 2001 г.
Меня связывало с ним многолетнее сотрудничество и совместная работа над многими учебниками и учебными пособиями, в том числе
и над учебником по ТФКП (авторы Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк,
М. И. Шабунин), на который имеется много ссылок в данном учебнике.
Во второе издание внесены существенные изменения: подробно изучено понятие аргумента, переработан материал, связанный с обратной функцией и теоремой единственности, заменены многие примеры
(особенно из раздела «Особые точки»), переработана глава о многозначных функциях, много внимания уделено выделению регулярных
ветвей.
Выражаю искреннюю благодарность своим коллегам по кафедре
высшей математики МФТИ и, в первую очередь, профессору Е. С. Половинкину, за конструктивную критику первого издания книги и предложения по ее переработке.

М. И. Шабунин

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ

§ 1. Комплексные числа

1. Определение комплексного числа

Комплексными
числами
называются
пары
(x, y)
действительных
чисел x и y, если для них определены понятие равенства и операции
сложения и умножения следующим образом:

1. Два комплексных числа (x1, y1) и (x2, y2) считаются равными тогда
и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2.
2. Суммой двух комплексных чисел (x1, y1) и (x2, y2) называется комплексное число (x1 + x2, y1 + y2).
3. Произведением двух комплексных чисел (x1, y1) и (x2, y2) называется комплексное число (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).

Для обозначения равенства, суммы, произведения и других операций над комплексными числами применяются те же знаки, что и для
действительных чисел. Таким образом, по определению комплексного
числа

(x1, y1) = (x2, y2),
если
x1 = x2
и
y1 = y2;
(1)

сумма и произведение двух комплексных чисел соответственно равны

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),
(2)

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).
(3)
Множество
комплексных
чисел,
в
котором
введено
равенство,
а также операции сложения и умножения по формулам (1)–(3), обозначают C. Напомним, что множество натуральных чисел обозначают N, множество целых чисел — буквой Z, а множество действительных чисел — буквой R.
Из формул (2), (3) получаются, в частности, равенства

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0),
(x1, 0) · (x2, 0) = (x1x2, 0),

Глава 1. Введение

которые показывают, что операции над комплексными числами (x, 0)
совпадают с операциями над действительными числами x. Поэтому
комплексные числа (x, 0) отождествляются с действительными числами: (x, 0) = x.
Комплексное число (0, 1) называется мнимой единицей и обозначается буквой i, т. е. i = (0, 1). По формуле (3) находим

i2 = i · i = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1,
а по формулам (2) и (3) получается равенство

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.
Таким образом, каждое комплексное число можно записать в алгебраической форме: (x, y) = x + iy.
Комплексные числа 0 + iy = iy называют чисто мнимыми. В частности, число 0 + i · 0 = 0 является единственным числом, которое
одновременно и действительное, и чисто мнимое.
С помощью алгебраической формы комплексного числа соотношения (1)–(3) записываются так:

x1 + iy1 = x2 + iy2,
если
x1 = x2
и
y1 = y2,
(4)

(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2),
(5)

(x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
(6)
Комплексное число x + iy принято обозначать одной буквой z, т. е.
z = x + iy. Число x называется действительной частью, а число y —
мнимой частью
комплексного числа z = x + iy. Для этих чисел
приняты следующие обозначения * :

x = Re(x + iy) = Rez,
y = Im(x + iy) = Imz.
Здесь, как и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное,
в записи z = x + iy предполагается, что x и y — действительные числа.

2. Комплексно сопряженные числа

Комплексное число x − iy называется сопряженным с комплексным
числом z = x + iy и обозначается z, т. е.

z = x + iy = x − iy.
(7)

* Обозначения
Re
и
Im
являются
сокращениями
французских
слов
Reel
(действительный) и Imaginaire (мнимый).

§ 1. Комплексные числа
7

Из этого определения следует, что операция сопряжения перестановочна с арифметическими операциями над комплексными числами:

z1 ± z2 = z1 ± z2,
z1z2 = z1 · z2,

(zn) = (z)n,
n ∈ N.

Из (7) получается также, что для любого комплексного числа z
справедливо равенство (z) = z, а равенство z = z выполняется только
тогда, когда z — действительное число.

Пример 1. Если P(z) = a0zn +a1zn−1 +. . . +an — многочлен с действительными коэффициентами, то по свойствам операции сопряжения
получаем:

P(z) = a0(z)n + a1(z)n−1 + . . . + an = P(z).

Если P(z0) = 0, то P(z0) = P(z0) = 0, т. е. если число z0 является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то
и комплексно сопряженное число z0 также является корнем этого
многочлена.

3. Модуль комплексного числа

Число
x2 + y2 называется модулем комплексного числа z = x + iy
и обозначается |z|, т. е.

|z| = |x + iy| =
x2 + y2.
(8)

Из этого определения следует, что |z| ⩾ 0, причем |z| = 0 только тогда,
когда z = 0. Модуль действительного числа совпадает с абсолютной
величиной этого числа. Из (8) получаются также следующие равенства:
|z1z2| = |z1||z2|;

|zn| = |z|n,
n ∈ N;

|z| = |z|,
zz = |z|2.
(9)

Глава 1. Введение

4. Свойства арифметических операций
над комплексными числами

Из формул (4)–(6) следует, что операции сложения и умножения
комплексных чисел обладают следующими свойствами.
1. Коммутативность:

z1 + z2 = z2 + z1,
z1z2 = z2z1.
2. Ассоциативность:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),
(z1z2)z3 = z1(z2z3).
3. Дистрибутивность:

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
Поэтому операции сложения и умножения над комплексными числами x + iy обладают формально такими же свойствами, как если бы
число i было действительным. В частности, нет необходимости запоминать формулы (5) и (6), их можно получить по обычным правилам
алгебры. Например, (6) получается из равенства

(x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i2y1y2,
где i2 = −1.
Числа нуль и единица в множестве комплексных чисел обладают теми же свойствами, что и в множестве действительных чисел.
А именно, для любого комплексного числа z имеют место равенства:

z + 0 = z,
z · 1 = z.
4. Вычитание. Операция сложения комплексных чисел обладает
обратной операцией, которую, как обычно, называют вычитанием. Это
означает, что для любых двух комплексных чисел z1 и z2 существует,
и притом только одно, число z, удовлетворяющее уравнению

z + z2 = z1.
(10)
Это число называется разностью чисел z1 и z2 и обозначается
z1 − z2. В частности, разность 0 − z обозначается −z.
◦ Из (4), (5) следует, что для любых комплексных чисел z1 = x1 + iy1
и
z2
=
x2 + iy2
уравнение
(10)
имеет
единственный
корень
z = (x1 − x2) + i(y1 − y2). Таким образом,

z1 − z2 = (x1 + iy1) − (x2 + iy2) = (x1 − x2) + i(y1 − y2).
•

5. Деление. Операция умножения комплексных
чисел обладает
обратной операцией, которую, как обычно, называют делением. Это

§ 1. Комплексные числа
9

означает, что для любых двух комплексных чисел z1 и z2 ̸= 0 существует, и притом только одно, число z, удовлетворяющее уравнению

zz2 = z1.
(11)
Это число называется частным чисел z1 и z2 и обозначается z1 : z2
или z1

z2 .

◦ Докажем, что уравнение (11) имеет единственный корень для любых комплексных
чисел z1
и z2, если z2
̸= 0. Умножая
обе части уравнения (11) на число z2 и используя формулу (9), получаем

z|z2|2 = z1z2, откуда умножением на число
1

|z2|2
находим z = z1z2

|z2|2 .

Таким образом,

z1
z2 = z1z2

z2z2 = z1z2

|z2|2 ,
z2 ̸= 0.
(12)
•

Если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2, то формулу (12) можно записать
так:

z1
z2 = x1 + iy1

x2 + iy2 = (x1 + iy1)(x2 − iy2)

x2
2 + y2
2
= x1x2 + y1y2

x2
2 + y2
2
+ ix2y1 − x1y2

x2
2 + y2
2
.

Эту формулу можно не запоминать — достаточно помнить, что она
получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

5. Геометрическая интерпретация
комплексного числа

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число z = x + iy изображается точкой плоскости с координатами (x, y), и эта точка обозначается той же буквой z (рис. 1).
Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимно однозначным. При этом действительные числа
изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые — точками оси
ординат. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось
ординат — мнимой
осью. Плоскость, на которой изображаются
комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Отметим, что точки z и −z симметричны относительно точки 0,
а точки z и z симметричны относительно действительной оси: если
z = x + iy, то −z = (−x) + i(−y), а z = x + i(−y) (рис. 1).

Глава 1. Введение

Комплексное
число
z
изображается
также
вектором
с
началом
в точке 0 и концом в точке z (рис. 1). Такое соответствие между
комплексными числами и векторами комплексной плоскости с началом в точке 0 также является взаимно однозначным. Поэтому вектор,
изображающий комплексное число z, обозначается той же буквой z.
Из формулы (8) и рис. 1 видно, что длина вектора z равна |z|
и имеют место неравенства

|Re z| ⩽ |z|,
|Im z| ⩽ |z|.
С помощью
векторной
интерпретации
наглядно
иллюстрируются
сложение и вычитание комплексных чисел. Из формулы (5) следует,
что число z1 + z2 изображается вектором, построенным по обычному
правилу сложения векторов z1 и z2 (рис. 2). Вектор z1 − z2 строится
как сумма векторов z1 и −z2 (рис. 2).

Рис. 1
Рис. 2

Из рис. 2 видно, что расстояние между точками z1 и z2 равно
длине вектора z1 − z2, т. е. равно |z1 − z2|.

Пример 2. Множество точек z, удовлетворяющих уравнению |z−z0| =
= R есть окружность радиуса R с центром в точке z0, так как
|z − z0| — расстояние между точками z и z0.

Пример 3. Множество точек z, удовлетворяющих уравнению |z−z1| =
= |z − z2| есть множество точек, равноудаленных от точек z1 и z2.
Следовательно, это уравнение прямой, перпендикулярной отрезку,
соединяющему точки z1, z2, и проведенной через его середину.